沪教版八年级数学上册试题 19.8直角三角形的性质（含解析）

19.8直角三角形的性质
一、选择题．
1．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（　　）
A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD
C．AD＝BD D．∠ACD∠BDC
4．下列说法中错误的是（　　）
A．三角形的三个内角中，最多有一个钝角
B．三角形三个内角中，至少有两个锐角
C．直角三角形中有两个锐角互余
D．三角形中两个内角和必大于90°
5．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（　　）
A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m°
6．如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（　　）
A．3 B．3.3 C．4 D．5
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，CE⊥AB于点E．若CE＝5，CD＝6，则△ABC的面积是（　　）
A．60 B．50 C．40 D．30
8．如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，在墙角（点O处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB）正中间（点P处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（　　）
A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断
9．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）
A．7 B． C．8 D．9
10．一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（　　）
A．2 B．22 C．2 D．4
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB，交BC于点D且AD＝1，则BC＝　 　．
12．若三角形三个内角的度数之比为1：2：3，最短的边长是5cm，则其最长的边的长是　 　．
13．如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为　 　．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，∠BCD＝3∠ACD，CD＝3，则AB的长为 　 　．
15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝3．则AC的长为 　 　．
6．若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是 　 　．
17．如图，Rt△ABC中，BC＝13，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E分别是边AB，AC上的点，且满足AD＝2CE，则CD﹣CE的最小值为 　 　．
18．已知在直角三角形中，若一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°．若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且ADBC，则△ABC顶角的度数为 　 　．
三、解答题
19．已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG
（1）求证：CD＝AE；
（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．
21．如图，DE是△ABC的边AB上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝1，求EC的长．
22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．
（1）求证：EF＝CF；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝6，求C，E两点间的距离．
23．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
答案
一、选择题．
1．
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【解析】①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180，
解得：x＝18°，
∴∠5＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
2．【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解析】在Rt△ACB中，点M是AB的中点，
∴CMAB2.6＝1.3（km），
故选：C．
3．
【分析】根据同角的余角相等判断A；根据题意判断B；根据等腰三角形的性质判断C；根据三角形的外角性质判断D．
【解析】∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠B＝∠BCD，A选项结论正确，不符合题意；
BC与BD不一定相等，B选项结论错误，符合题意；
∵∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∵AD＝CD，
∴AD＝BD，C选项结论正确，不符合题意；
∵∠A＝∠ACD，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠ACD，
∴∠ACD∠BDC，D选项结论正确，不符合题意；
故选：B．
4．
【分析】根据三角形内角和定理，一一判断即可．
【解析】A、三角形的三个内角中，最多有一个钝角，正确．
B、三角形三个内角中，至少有两个锐角，正确．
C、直角三角形中有两个锐角互余，正确，
D、三角形中两个内角和必大于90°，错误，比如钝角三角形的两个锐角的和小于90°．
故选：D．
5．
【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解析】∵∠DEB＝m°，
∴∠AEC＝∠DEB＝m°，
∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，
∴30°+m°＝45°+∠AOC，
∴∠AOC＝（m﹣15）°，
故选：B．
6．
【分析】直接利用直角三角形的性质斜边大于直角边进而得出答案．
【解析】∵旗杆的高度为AB＝3.2米，
∴AP＞AB，
∴绳子AP的长度不可能是：3米．
故选：A．
7．
【分析】根据直角三角形的性质得到AB＝2CD，求得AB＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝6，
∴AB＝12，
∵CE⊥AB于点E，CE＝5，
∴△ABC的面积AB CE12×5＝30，
故选：D．
8．
【分析】根据题意知，OP是直角△AOB斜边上的中线，则OPAB，长度不变．
【解析】如图，连接OP，
根据题意知，点P是直角△AOB斜边的中点，则OP是直角△AOB斜边上的中线，则OPAB，
由于AB的长度不变，则OP的长度不变．
故选：A．
9．
【分析】根据直角三角形的性质求出DE，由EF＝1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．
【解析】∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，
∴DEAB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝8．
故选：C．
10．
【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．
【解析】如图，连接BE，BD．
由题意BD2（米），
∵∠MBN＝90°，MN＝4米，EM＝NE，
∴BEMN＝2（米），
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2米为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为（22）米．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥22确定最小值），
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，∠C＝∠CAD，然后利用含30°角的直角三角形可得BD长，进而可得答案．
【解析】∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，AD＝1，
∴BD＝2，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴AD＝CD＝1，
∴CB＝3，
故答案为：3．
12．
【分析】根据三角形内角和定理可求得三个角的度数分别为30°，60°，90°，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可求解．
【解析】∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3，
∴三个角的度数分别为30°，60°，90°，
∵最短的边长是5cm，
∴最长的边的长为10cm．
故答案为：10cm．
13．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【解析】∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴ADAC10＝5（cm）．
故答案为：5cm．
14．
【分析】根据已知条件得到ACD＝22.5°，求得∠B＝∠ACD＝22.5°，根据直角三角形的性质得到CE＝BEAB，求得∠DCE＝∠DEC＝45°，得到CECD＝3，于是得到结论．
【解析】∵∠ACB＝90°，∠BCD＝3∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACD＝22.5°，
∵点E是AB的中点，
∴CE＝BEAB，
∴∠BCE＝∠B＝22.5°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴CECD＝3，
∴AB＝2CE＝6，
故答案为：6．
15．
【分析】根据等腰三角形的性质求出AF⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线得出EFAC，代入求出答案即可．
【解析】连接AF，
∵AB＝AD，F为BD的中点，
∴AF⊥BD，
即∠AFC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴EFAC，
∵EF＝3，
∴AC＝6，
故答案为：6．
16．
【分析】分三种情况进行讨论：①当∠ADC＝3∠C时；②当∠C＝3∠CAD时；③当∠ADC＝3∠CAD时．根据“和谐三角形”的定义求解即可．
【解析】∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°．
当△ADC是“和谐三角形”时，分三种情况：
①当∠ADC＝3∠C时，∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝30°；
②当∠C＝3∠CAD时，∠CAD＝10°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝80°；
③当∠ADC＝3∠CAD时，
∵∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠C＝150°，
∴∠CAD150°＝37.5°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝52.5°．
综上所述，∠DAB的度数是30°或80°或52.5°．
故答案为：30°或80°或52.5°．
17．
【分析】作EF∥AB交BC于点F，连接DF，根据平行线的性质得出∠CFE＝∠B＝30°，再根据直角三角形中，30°角所对直角边是斜边一半得出EF＝2CE＝AD，取EF中点G，连接CG、DG，可得CE＝CG，当C，D，G三点共线时，D为AB的中点，EF为中位线，此时，CD﹣CE取得最小值．
【解析】作EF∥AB交BC于点F，连接DF，
∵EF∥AB，∠B＝30°，
∴∠CFE＝∠B＝30°，
∴EF＝2CE＝AD，
取EF中点G，连接CG、DG，
∴CE＝CG，
∴CD﹣CE的最小值为C，D，G三点共线时，此时D为AB的中点，EF为中位线，
∴CD﹣CE＝13，
故答案为．
18．
【分析】分两种情况：①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD＝30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【解析】①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，ADBC，
∴∠ACD＝30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°；
如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，
AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°﹣30°＝150°；
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，ADBC，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD180°＝90°，
∴顶角∠BAC＝90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
三、解答题
19．（1）证明：∵DG⊥CE，CG＝EG，
∴DE＝DC，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，又AE＝BE，
∴DE＝AE，
∴AE＝CD；
（2）解：∵AE＝CD＝2，AB＝2DE，
∴AB＝4，
∵AD＝BD，AE＝BE，
∴DE⊥AB，
∴△ABD的面积AB×DE＝4．
20．∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB∠BAD60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴ADAB7＝3.5，
∴DF＝3.5．
21．（1）∵DE是边AB上的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴∠B＝∠BAE＝30°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝30°，
∴∠ACB＝90°．
（2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴EC＝ED＝1．
22．（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是斜边AD的中点，
∴EFAD，CFAD，
∴EF＝CF；
（2）解：连接CE，由（1）得EF＝AF＝CFAD＝3，
∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，
∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∴CE3．
即C，E两点间的距离是3．
23．（1）DE∥BC，理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵EC＝ED，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴DE∥BC；
（2）∵EF⊥AB，∠A＝30°，
∴∠AEF＝60°，
∵∠ACB＝80°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝80°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．
24．在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．