八年级数学上册试题 19.9勾股定理（含解析）-沪教版

19.9勾股定理
一、选择题．
1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．64
2．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（　　）
A．25 B．7 C．25或7 D．25或16
3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
4．如图，一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，木杆折断之前的高度为（　　）
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
5．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
6．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2
7．如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是（　　）
A．13 B．25 C．33 D．144
8．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（　　）
A．36 B．9 C．6 D．18
9．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）
A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
10．如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，再分别以正方形②和②′的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（　　）
A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64ccm2
二、填空题
11．已知一个直角三角形的两边长分别是a，b且a，b满足|b﹣4|＝0．则斜边长是　 　．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝15，AC＝12，那么Rt△ABC的面积是　 　．
13．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为　 　．
14．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC＝　 　尺．
15．如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的周长为　 　．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于　 　．
17．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值　 　，h的最大值　 　．
18．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为　 　秒．
三、解答题
19．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米？
20．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？
21．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译为：有一根竹子高一丈，今在A处折断，竹梢落在地面的B处，B与竹根部C相距3尺，求折断点A与地面的高度AC．（注：1丈＝10尺）
22．如图是一底面周长为24m，高为6m的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面1m的A处沿侧面爬行到对角B处吃食物，请算出老鼠爬行的最短路程为多少？
23．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：
两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：
（1）填空：∠AGE＝　 　°，S四边形ADBE＝　 　c2．
（2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．
24．知识探究：
如图1是两直角边长分别为m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四个与图1完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形．其中图2和图3的四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形．请你根据几何图形部分与整体的关系完成第（1）（2）题．
请选择（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有关代数式表示：
图2中正方形ABCD的面积：　 　．
图3中正方形ABCD的面积：　 　．
（2）请你根据题（1），写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系　 　．
知识应用：
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；
②已知：a＞0，a，求：a的值．
答案
一、选择题．
1．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解析】∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
2．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，
∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长5，或直角三角形的第三边长，
∴直角三角形的第三平方为25或7，
故选：C．
3．
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】
根据勾股定理得出：AB，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
4．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【解析】∵一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，
∴折断的部分长为5（米），
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故选：B．
5．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
6．
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【解析】根据题意得：S（a+b）（a+b），Sababc2，
∴（a+b）（a+b）ababc2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：C．
7．
【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方17，也就是两条直角边的平方和是17，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab＝16．根据完全平方公式即可求解．
【解析】根据题意，结合勾股定理a2+b2＝17，
四个三角形的面积＝4ab＝17﹣1，
∴2ab＝16，
联立解得：（a+b）2＝17+16＝33．
故选：C．
8．
【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，
∴∠1＝∠2∠ACB，∠3＝∠4∠ACD，
∴∠2+∠3（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，
∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，
∴EM＝CM，CM＝MF，
∵EM＝3，
∴EF＝3+3＝6，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．
故选：A．
9．
【分析】根据图形和勾股定理可知S1＝c2＝a2+b2，再由完全平方公式即可得到结果．
【解析】如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
10．
【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是S，则第二个正方形的面积是，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果．
【解析】第一个正方形的面积是S；
第二个正方形的面积是；
第三个正方形的面积是；
…
第n个正方形的面积是，
∵正方形⑤的面积是2，
∴正方形①的面积32．
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】由绝对值和算术平方根的非负性质求出a＝3，b＝4，再分两种情况求解即可．
【解析】∵直角三角形的两边长分别是a，b且a，b满足|b﹣4|＝0，
∴a﹣3＝0，且b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
分两种情况：
①4为直角边长时，斜边长5；
②4为斜边长时，斜边长＝4；
故答案为：5或4．
12．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长度，即可解决问题．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，
∴BC9．
∴S△ABC9×12＝54
故答案为：54．
13．
【分析】由正方形的性质及“一线三等角“得出条件，判定△BCG≌△GJF（AAS），则BC＝GJ，根据正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，以及勾股定理可得答案．
【解析】∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，
∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，
∴∠CBG＝∠JGF，
在△BCG和△GJF中，
，
∴△BCG≌△GJF（AAS），
∴BC＝GJ，
∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，
∴BC2＝4，FJ2＝3，
∴GJ2＝4，
在Rt△GJF中，由勾股定理得：
FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，
∴正方形BEFG的面积为7．
故答案为：7．
14．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（9﹣x）2．
解得：x＝4，
答：折断处离地面的高度为4尺．
故答案为：4．
15．
【分析】根据题意和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后即可得到△ABC的周长．
【解析】由题意可得，
AB，BC，AC2，
∴△ABC的周长为：2，
故答案为：2．
16．
【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵S1＝π（）2，S2＝π（）2，S3＝π（）2，
∴S1+S2＝π（）2π（）2π（）2S3，
∵S3＝9π，
∴S1+S2＝9π，
故答案为：9π．
17．
【分析】当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，据此可以得到h的取值范围．
【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内部分13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12．
故答案为：11cm；12cm．
18．
【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．
【解析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB60（m），
∴CD＝2CB＝120（m），
则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．
答：该学校受影响的时间为24秒，
故答案为：24．
三、解答题
19．由题意得，AB＝DE＝2.5，AC＝2.4，BD＝1.3，
∵∠C＝90°，
∴BC0.7，
∴CD＝BC+BD＝2，
∵CE1.5，
∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9，
答：梯子的顶部下滑0.9米．
20．
【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据速度＝路程÷时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．
【解析】由勾股定理得，BC120米，
v＝120÷6＝20米/秒，
∵20×3.6＝72，
∴20米/秒＝72千米/小时，72＞70，
∴这辆小汽车超速了．
21．设AC＝x，
∵AC+AB＝10，
∴AB＝10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55，
即AC＝4.55．
22．
【解析】
延AC和BD剪开，将曲面平铺在平面上，过AE作AE⊥BD于E，如图，
∵底面周长为24m，高为6m的圆柱形油罐，
∴AE＝12m，BE＝6﹣1＝5（m），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB13（m），
∴老鼠爬行的最短路程为13m．
23．（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠EDF＝∠CAB，
∵∠EDF+∠CAE＝90°，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°；
∴DE⊥AB，
∴S四边形ADBE＝S△ACB+S△ABEAB DGAB EGAB （DG+EG）AB DEc2，
故答案为：90，；
（2）∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABEAB DGAB EGAB （DG+EG）AB DEc2，
四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB（AC+EF） CFBF EF（b+a）b（a﹣b） ab2aba2aba2b2，
∴c2a2b2，
即a2+b2＝c2．
24．（1）图2中，正方形ABCD面积为AB2，
由图1得AB2＝m2+n2，
∴由图中正方形EFGH面积加上四个直角三角形面积等于正方形ABCD的面积可得：
m2+n2＝（m﹣n）2+2mn；
图3中正方形ABCD的面积为AB2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn．
故答案为：（m﹣n）2+2mn；（m+n）2﹣2mn．
（2）∵图2中正方形EFGH的面积为（m﹣n）2，
而S△ABG＝S△DAF＝S△CDE＝S△BCH．
∴图2中正方形ABCD的面积＝（m﹣n）2+4（m﹣n）2+2mn．
又∵图3中正方形ABCD的面积＝（m+n）2﹣2mn，
图2与图3中正方形ABCD的边长都是图1中直角三角形的斜边，
∴图1中正方形ABCD的面积＝图2中正方形ABCD的面积．
故（m﹣n）2+2mn＝（m+n）2﹣2mn．
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．
（3）由（1）可得：
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝52+4×（﹣6）＝25﹣24＝1；
，
∴，
又a＞0，
∴．