第5章 轴对称与旋转单元测试（基础卷）（含解析）

第5章 轴对称与旋转（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点1】轴对称图形
轴对称图形：如果一个图形沿某直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，则这个图形叫做轴对称
图形，这条直线叫作它的对称轴.
【要点2】轴对称
如果一个图形关于某一条直线作轴对称变换后，能够与另一个图形重合；则这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作它的对称轴.
【要点3】轴对称变换的性质
轴对称变换不改变图形的形状与大小.成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分.
【要点4】线段垂直平分线的性质与判定
（1）线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等；（2）线段垂直平分线的判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【要点5】角平分线的性质与判定
（1）角平分线的性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
【要点6】旋转定义
图形绕着某一点（固定）转动的过程称为旋转，这一固定点叫做旋转中心.
【要点7】旋转性质
（1）旋转不改变图形的形状和大小。（即旋转后的图形与原图形完全重合）
（2）图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度.
（3）对应点的连线到旋转中心的距离相等.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面运动标识图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把长方形沿折叠，使D、C分别落在、的位置，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
4．如图，点A是内一点，点E，F分别是点A关于的对称点，连接交于点B，C，连接．已知，则的周长为（ ）
A．9 B．18 C．24 D．36
5．如图，和关于直线l对称，已知，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，将绕点C顺时针旋转得到，若点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，将绕点A逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点B，若，则的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．在中，．在同一平面内，将绕点旋转到，若恰好落在线段上，连接．则下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且A′点在AB上，A′B′交CB于点D，若∠BCB′＝α，则∠CA′B′的度数为（　　）
A．180°﹣α B．90° C．180° D．90°
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落边上的E点，折痕为．若的周长为，，，则 ．
12．如图，是的边上的高，且，点关于直线的对称点恰好落在的中点处，则的周长为 ．
13．如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则 的面积最小值为 ．
14．如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为 ．

15．如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转，得到，则的度数是 ．
16．如图，直角△ABC的直角边AB的长为6cm，∠C=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中两三角形重叠部分的面积等于 cm2．
17．如图，在中，，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，，，连接，若，则的度数为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，M是AC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若AC＝4，∠ABC＝30°，则线段MN的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点．
（1）若，指出旋转中心，并求出旋转角度；
（2）若，求的长．
20．（8分）四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF＝5，AB＝9.
（1）求：DE的长度；
（2）求证：BE⊥DF
21．（10分）如图中，，P是内一点，将绕点A逆时针旋转一定角度后能与重合，如果，那么的面积是多少？
22．（10分）如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点A，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点．
（1）若，求的度数．
（2）设，．
①请用含的代数式表示．
②当恰好平分时，求的度数．
23．（10分）如图，点为正方形的边上一点，，将旋转后能与重合．
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转的最小角是多少度？
（3）求四边形的周长和面积．
24．（12分）如图，将线段平移得到，使与对应，与对应，连接，．
（1）求证：；
（2）点在的延长线上，点与关于直线对称，直线交的延长线于点．点在线段上，且．
①设，求的度数（用含的代数式表示）；
②证明：．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意，
选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．利用轴对称的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴，，，与不一定平行，
故A、B、C项一定正确，不符合题意，D项不一定正确，符合题意．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了折叠的性质：对应角相等，根据，结合即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
由折叠可知：．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称得是解题关键．
【详解】解：∵点E，F分别是点A关于的对称点，
∴
∵，
∴
即：的周长为18
故选：B
5．B
【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是：根据轴对称的性质得到图形全等，再根据全等的性质解答．
【详解】解：∵和关于直线l对称，
∴，
∴，
故选B．
6．B
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转得性质可得出，，，即可得出答案．
【详解】解：A．由旋转可知：，∴，故该选项符合题意；
B．与不一定平行，∴与不一定相等，故该选项不符合题意；
C．与不一定相等，∴与不一定相等，故该选项不符合题意；
D．由上述过程可知，与不一定平行，故该选项不符合题意；
故选∶A．
8．C
【分析】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的性质，得出，据此可解决问题．
【详解】解：∵由绕点逆时针旋转一定的角度得到，
，
，
故选：C．
9．B
【分析】A、由旋转知=180 计算即可，
B、由BC=BC′等边对等角∠B=∠B′，利用旋转角相等∠ACA′=∠BCB′=180 -2×65 =50 ，由AC=A′C，∠CAA′=∠CA′A=计算，可得，
C、由BC=BC′等边对等角∠B=∠B′，利用旋转角相等∠ACA′=∠BCB′=180 -2×65 计算即可 ，
D、先求∠BAC=180 -∠ACB-∠B，再求∠CAA′，计算∠BAA′=∠BAC+∠CAA′即可．
【详解】A、∠BAC=180 -，
由旋转知，正确，
B、∴BC=BC′，∴∠B=∠B′，∴AC=A′C，∴∠ACA′=∠BCB′=180 -2×65 =50 ，
∴∠CAA′=∠CA′A=，故，不正确，
C、∴BC=BC′，∴∠B=∠B′，∴AC=A′C，∴∠ACA′=∠BCB′=180 -2×65 =50 ，正确
D、∵∠BAC=180 -∠ACB-∠B=25 ，∠CAA′=，
∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25 +65 =90 ，AB⊥AA′，正确
故选择：B．
【点拨】本题考查旋转变换问题，掌握旋转图形的性质，会找旋转角，会利用点B′在AB上，求旋转角，利用三角形的内角和求∠CAA′，会求两角和证垂直是解题关键．
10．B
【分析】根据旋转的性质可知：AC=A'C，∠A=∠CA'B'，∠ACA'＝∠BCB'＝α，根据三角形的内角和以及等腰三角形的性质即可求解.
【详解】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，
∴AC＝A'C，∠A＝∠CA'B'，∠ACA'＝∠BCB'＝α，
∴
故选B．
【点拨】考查旋转的性质，三角形的内角和，掌握旋转前后对应线段相等,对应角相等是解题的关键.
11．6
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，
，，
，
的周长为，
，
，
．
故答案为：6．
12．12．
【分析】由轴对称的性质可知：BC=CE=4，由点E是AB的中点可知BE=AB=4，从而可求得答案．
【详解】解：∵点B与点E关于DC对称，
∴BC=CE=4．
∵E是AB的中点，
∴BE=AB=4．
∴△BEC的周长12．
故答案为：12．
【点拨】本题主要考查的是轴对称的性质，由轴对称图形的性质得到BC=CE=4是解题的关键．
13． /度
【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，连接，过点作交的延长线于，，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，
∵，且，
∴，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的面积的最小值为，
故答案为：；．
14．
【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质， 根据平分，得出关于的对称点在角平分线上，作点关于的对称点，根据点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，即最小，进而根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，

∴，
∴，
当三点共线，且时，最短，即最小，
∵，，
∴，
则的最小值为，
故答案为：．
15．
【分析】先根据旋转的性质，求得的度数，再根据，求得的度数即可．
【详解】解：∵将绕点A顺时针方向旋转得到，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
16．18
【分析】B′C′交AC于D，如图，利用互余得∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AB′=AB=6，∠BAB′=15°，∠AB′C′=∠B=90°，则∠B′AD=45°，于是可判断△AB′D为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算出S△AB′D即可．
【详解】解：B′C′交AC于D，如图，
∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，
∴AB′=AB=6，∠BAB′=15°，∠AB′C′=∠B=90°，
∴∠B′AD=60°﹣15°=45°，
∴△AB′D为等腰直角三角形，
∴B′D=AB′=6，
∴S△AB′D=×6×6=18（cm2）．
即图中两三角形重叠部分的面积等于18cm2．
故答案为18．
【点拨】本题主要考查了旋转以及等腰直角三角形的面积，熟练旋转的性质以及三角形面积的求法是解决本题的关键．
17．60°
【分析】连接AD，由旋转的性质可得BC＝BD，∠DBC＝60°，可证△BCD为等边三角形，由“SSS”可证△ABD≌△ACD，可得∠ABD＝∠ACD，由角的数量关系和等腰三角形的性质可求∠ABD＝∠ACD＝∠CBE＝15°，由三角形内角和可求解．
【详解】连接AD，AC与BE交于F点
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC＝BD，∠DBC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD＝CD，∠DCB＝∠DBC＝60°，
在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝90°，
∵∠DEC＝45°，
∴∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴CD＝CE＝CB，且∠BCE＝150°，
∴∠CBE＝∠CEB＝15°，
∵∠ABE＝∠DBC＝60°
∴∠ABD＝∠ACD＝∠CBE＝15°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180° ∠ABC ∠ACB＝30°，
∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAC=90°，
∵BC=CE，
∴AC垂直平分BE，
∴AB=AE
∴△ABE是等边三角形，
∴=60°
故答案为：60°．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
18．2
【分析】如图，连接CN．根据直角三角形斜边中线的性质求出CN=A′B′＝4，M是AC的中点求出CM＝AC＝2，根据利用三角形的三边关系得：MN≥CN﹣CM即可解决问题．
【详解】解：如图，连接CN．
在Rt△ABC中，
∵AC＝4，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝8，BC＝AC＝4，
∵CM＝MA＝AC＝2，A′N＝NB′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵MN≥CN﹣CM，
∴MN≥4﹣2，即MN≥2，
∴MN的最小值为2．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、三角形的三边关系，掌握旋转的性质、三角形的三边关系是解题的关键.
19．(1)旋转中心为点C，旋转角度为
(2)3
【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，可知旋转中心为点C，旋转角为，再由周角的定义，即可求解；
（2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得．
【详解】（1）∵由逆时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴旋转中心为点C，旋转角度为；
（2）由（1）知，，
∵点D为的中点，
∴，
∴．
20．（1）4；（2）见解析
【分析】（1）由旋转可得：AF＝AE＝5，AD＝AB＝9，即可求出DE；
（2）延长BE交DF于点G，由旋转得：∠ADF＝∠ABE，证出∠DGE＝∠BAE＝90°即可.
【详解】解：（1）∵△ADF旋转一定角度后得到△ABE，
∴AF＝AE＝5，AD＝AB＝9，∠FAD＝∠EAB＝90°，∠ADF＝∠ABE，
∴DE＝AD﹣AE＝9﹣5＝4
（2）延长BE交DF于点G，
由旋转得：∠ADF＝∠ABE
∵∠AEB＝∠DEG
∴∠ADF+∠DEG＝∠ABE+∠AEB
∵∠BAE＝90°
∴∠DGE＝∠BAE＝90°
∴BG⊥DF
即BE⊥DF
【点拨】此题考查的是旋转的性质和垂直的判定，找到由旋转得到的各个相等的线段和利用垂直定义证垂直是解决此题的关键.
21．4.5
【分析】根据旋转的定义及性质可得，利用全等三角形的性质，得到对应边、对应角相等，再利用等量代换，确定为等腰直角三角形，即可求出三角形面积．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：，
在中，
，
∴的面积为4.5．
【点拨】题目主要考查旋转的定义、性质，全等三角形的性质等知识点，解题的关键在于掌握旋转、全等的性质，可以熟练运用于题目当中．
22．(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质：
（1）根据平行线的性质即可得到；
（2）①由（1）得：，根据折叠的性质和平角的定义可得，据此可得答案；
②直接根据平角的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∵，
．
（2）解：①由（1）得：，
又，
．
②恰好平分，
．
23．（1）点；（2）；（3）四边形的周长50，面积144
【分析】（1）根据旋转的性质可求得旋转中心．
（2）利用全等三角形的性质得出相等的线段和角度，从而判断顺时针旋转270度后能与重合，逆时针旋转90度后能与重合，即可求解；
（3）由全等的性质可得，即可求解．
【详解】解：（1）因为旋转后能与重合，所以旋转中心是点；
（2）根据旋转的性质可知，，
，
所以顺时针旋转后能与重合，逆时针旋转后能与重合，
即旋转的最小角是；
（3），
，
，
四边形的周长，
四边形的面积正方形的面积．
【点拨】本题考查了旋转旋转的性质和正方形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）根据平移的性质可知，，再利用平行线的性质可知；
（2）①根据平行线的性质及对称的性质可知，进而可知；②根据对称的性质可知的面积与的面积相等，再利用等面积法可知．
【详解】（1）证明：将线段平移得到，使与对应，与对应，
∴由平移性质知，，
∴，，
∴；
（2）①解：∵由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由对称性质知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；

②证明：过作于，于，并连接，
∴由对称性质知，的面积与的面积相等，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，
则，
∴，
．
【点拨】本题考查了平移的性质，平行线的性质，轴对称的性质，掌握平移的性质及轴对称的性质是解题的关键．