【人教七下】期末专题复习4 二元一次方程组（原卷版+解析版）

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期末专题复习4 二元一次方程组
1 二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程叫做二元一次方程.
2 二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
3 二元一次方程组
含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4 二元一次方程组的解
二元一次方程组的各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
5 二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的方法主要是通过消去一个未知数，把二元一次方程组的转化为一元一次方程，则可通过该方程先求出一个未知数，再求另一未知数。
将未知数的个数由多到少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
具体解法有代入消元法和加减消元法.
6 实际问题的求解步骤
① 审：分析号问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系；找出能够表示实际问题全部含义的相等关系.有时可通过一些“关键句子”得到，有时要利用题中“隐含条件”.
② 设：设未知数，一般求什么就设什么；有时遇到直接设不容易得到方程，则设其他量.
③ 找：找出能够表示题中全部意义的相等关系；
④ 列：根据相等关系列方程；
⑤ 解：求解未知数；
⑥ 答：检验所求解是否符合题意，写成答案，特别要注意其单位.
【题型一】 二元一次方程的概念及其解
【典题1】 若是关于的二元一次方程，则的值为( )
A．1 B．3或1 C．3 D．3或0
【典题2】已知是二元一次方程的解，则的值为( )
A．2 B． C． D．
变式练习
1.下列各式中，是二元一次方程的是( )
A． B． C． D．
2.已知二元一次方程的一组解为，则的值是( )
A．9 B．5 C．3 D．0
3.如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为( )
A． B． C． D．
4.以为解的二元一次方程组是( )
A． B． C． D．
【题型二】 解二元一次方程组
【典题1】 解方程组：
(1)；(2)
【典题2】阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：．
变式练习
1. 已知，则的值为( )
A．5 B．1 C．0 D．-1
2.若关于x、y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是(　　)
A． B．3 C．1 D．2
3.若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值为( )
A．－1 B．－3 C．1 D．5
4.解方程组：
5.小王和小李同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求，的值．
6.已知关于x，y的方程组
(1)用含m的代数式表示x、y；
(2)若方程组的解也满足方程，求m的值：
(3)当a、b满足什么条件时，无论m取何值，是个定值，并求出这个定值．
【题型三】 实际问题与二元一次方程组
【典题1】 某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量(吨)
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
(1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？
(2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？
(3)在(2)的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？
变式练习
1. 一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数.
2.某校七年级甲、乙两个班共人去游览景点，其中甲班人数较少，不到人；乙班人数较多，有多人．下表为某景点的门票价格：
购票人数/人 以上
每人门票价/元
(1)若两班都以班级为单位分别购票，则一共应付元．请计算两个班各有多少名学生？
(2)在售票处了解到，该景点为迎接劳动节推出了“买四赠一”的优惠活动(即每买4张12元的票可获得一张同等价值的赠票)，请通过计算说明七年级甲、乙两班作为一个团体，应选择团体购票还是参加迎接劳动节赠票方式购票．
3.周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
4.某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示： (假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
运载量(箱/辆) 20 30 40
运费(元/辆) 300 400 450
(1)全部货物一次性运送可用甲型车6辆， 乙型车4辆， 丙型车 辆：
(2)若全部货物仅用甲、 乙两种车型一次性运完， 需运费5100元，求甲、 乙两种车型各需多少辆？
(3)若该公司打算用甲、 乙、丙三种车型同时参与运送， 已知车辆总数为11辆， 且一次性运完所有货物， 请设计出所有的运送方案， 并写出最少运费．
【A组---基础题】
1.已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是( )
A． B．
C． D．
2.若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为( )
A． B．4 C． D．2
3.若，则的值为( )
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
4.已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为( )
A． B． C． D．
5.已知关于、的方程组得出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①④ D．②③④
6.已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 .
7.关于x、y的方程2x+ay＝7仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为　 　．
8.解二元一次方程组：
(1)； (2)．
9.由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，．
(1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根；
(2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值．
10.福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客年每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
(1)求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最少，最少为多少？
【B组---提高题】
1.若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”．如对于四位数3564，因为，所以3564是“平衡数”；对于四位数2356，因为，所以2356不是“平衡数”．
(1)最小的“平衡数”是________，最大的：“平衡数”是__________；
(2)判断7128是不是“平衡数”，并说明理由；
(3)若一个“平衡数”满足千位数字与百位数字的积是12，且十位数字与个位数字的和为6，请你写出所有满足条件的“平衡数”．
2.规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
(1)已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由；
(2)已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根；
(3)已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
期末专题复习4 二元一次方程组
1 二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程叫做二元一次方程.
2 二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
3 二元一次方程组
含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4 二元一次方程组的解
二元一次方程组的各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
5 二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的方法主要是通过消去一个未知数，把二元一次方程组的转化为一元一次方程，则可通过该方程先求出一个未知数，再求另一未知数。
将未知数的个数由多到少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
具体解法有代入消元法和加减消元法.
6 实际问题的求解步骤
① 审：分析号问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系；找出能够表示实际问题全部含义的相等关系.有时可通过一些“关键句子”得到，有时要利用题中“隐含条件”.
② 设：设未知数，一般求什么就设什么；有时遇到直接设不容易得到方程，则设其他量.
③ 找：找出能够表示题中全部意义的相等关系；
④ 列：根据相等关系列方程；
⑤ 解：求解未知数；
⑥ 答：检验所求解是否符合题意，写成答案，特别要注意其单位.
【题型一】 二元一次方程的概念及其解
【典题1】 若是关于的二元一次方程，则的值为( )
A．1 B．3或1 C．3 D．3或0
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题关键，方程的两个未知数的系数不能为0是解题的易错点．根据二元一次方程的定义列绝对值方程求解即可．
【详解】解：是关于的二元一次方程，
∴且，
解得：，
故选：A
【典题2】已知是二元一次方程的解，则的值为( )
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程求出a的值即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的解，
∴，
∴，
故选：A．
变式练习
1.下列各式中，是二元一次方程的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A．是二元一次方程，符合题意；
B．，含未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
C．，含未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
D．，是一元一次方程，不是二元一次方程，不符合题意．
故选：A．
2.已知二元一次方程的一组解为，则的值是( )
A．9 B．5 C．3 D．0
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，依题意，把代入二元一次方程，再进行解方程，即可作答．
【详解】解：把代入二元一次方程
得：，，，
故选：C．
3.如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的解，正确理解二元一次方程的解是解题的关键．
将代入二元一次方程即可得出答案．
【详解】解：将代入二元一次方程，得出：，
解得：，
故选：A．
4.以为解的二元一次方程组是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别把代入二元一次方程组，能够使方程组中各个方程左右两边都相等，即为答案．
【详解】解：A. 把代入 ，第一个方程不成立，方程组符合题意；
B. ，两个方程都成立，方程组符合题意；
C. ，第二个方程不成立，方程组符合题意；
D. ，第二个方程不成立，方程组符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，判断的标准是代入方程组中各个方程，能够使各个方程都成立，则是方程组的解．
【题型二】 解二元一次方程组
【典题1】 解方程组：
(1)；(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组是解题的关键，
(1)先化简，后利用加减法消元法求解即可；
(2)先把②去分母，然后利用加减法消元法求解即可；
【详解】(1)解：，
化简方程组，得：，
由得：，
解得：，
把代入①，解得：
方程组的解是；
(2)，
化简方程组，得：，
由得：，
解得：，
把代入①，解得：
方程组的解是
【典题2】阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：．
【答案】．
【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可变形为二元一次方程组，求得二元一次方程组的解，据此求解即可．
【详解】解：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，
解这个方程组得到它的解为．
由，得，
由，得，
经检验，，是原方程的解，
∴原方程组的解为．
变式练习
1. 已知，则的值为( )
A．5 B．1 C．0 D．-1
【答案】D
【分析】根据非负数的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值代入x+y求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查偶次幂、算术平方根的非负性及解二元一次方程组的知识，熟练掌握偶次幂、算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法是解题的关键．
2.若关于x、y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是(　　)
A． B．3 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和相反数的概念，根据x与y互为相反数，结合方程组中式子可求出、的值，再代入方程组第一个式子即可求．
【详解】解： x与y互为相反数，
，
x、y是方程组的解
，
，，
，
．
故选：A．
3.若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值为( )
A．－1 B．－3 C．1 D．5
【答案】B
【分析】将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】根据题意
，
①2+②3得：，
将代入①得：，
将代入得：
，
③-④3得：，
将代入④得：，
当时，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．
4.解方程组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
整理得
得：，解得
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为．
5.小王和小李同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求，的值．
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．解题的关键是根据题意建立关于、的二元一次方程组．根据题意建立关于、的二元一次方程组，求得和的值．
【详解】解：根据题意可以知道：
是方程的解，
是方程的解，
分别代入得到方程组：，
解得：．
6.已知关于x，y的方程组
(1)用含m的代数式表示x、y；
(2)若方程组的解也满足方程，求m的值：
(3)当a、b满足什么条件时，无论m取何值，是个定值，并求出这个定值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
(1)把m看做已知数，利用加减消元法求出解即可；
(2)把方程组的解代入方程计算即可求出m的值；
(3)将代数式变形为，根据题意得到，进而求解即可．
【详解】(1)
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：；
(2)∵方程组的解也满足方程
∴
解得；
(3)∵
∵是个定值
∴
∴
∴
．
∴这个定值为4．
【题型三】 实际问题与二元一次方程组
【典题1】 某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量(吨)
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
(1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？
(2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？
(3)在(2)的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？
【答案】(1)甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨；
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车．
(3)方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车，所需费用最少，最少费用是元．
【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
(1)根据题意，设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，然后列出方程组，解方程组即可；
(2)根据题意，设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，然后列出方程，根据m，n均为非负整数，解出m，n，即可得到租车的方案；
(3)分别求出每个方案的费用，然后进行比较，即可得到答案．
【详解】(1)解：设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意有：，
解得：，
答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨；
(2)设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，
依题意有：，
∴ ．
∵m，n均为正整数，
∴或 或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；
方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车．
(3)方案1所需费用：(元)；
方案2所需费用：(元)；
方案3所需费用：(元)．
∵，
∴方案3所需费用最少，最少费用是元．
变式练习
1. 一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数.
【答案】这个两位数是为34．
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据十位上的数与个位上的数之和是7，新的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，据此列方程组求解．
【详解】解：设个位数为x，十位数为y，由题意得：
，
解得：．
所以，原来的两位数是为34．
答：原来的两位数是为34．
2.某校七年级甲、乙两个班共人去游览景点，其中甲班人数较少，不到人；乙班人数较多，有多人．下表为某景点的门票价格：
购票人数/人 以上
每人门票价/元
(1)若两班都以班级为单位分别购票，则一共应付元．请计算两个班各有多少名学生？
(2)在售票处了解到，该景点为迎接劳动节推出了“买四赠一”的优惠活动(即每买4张12元的票可获得一张同等价值的赠票)，请通过计算说明七年级甲、乙两班作为一个团体，应选择团体购票还是参加迎接劳动节赠票方式购票．
【答案】(1)七年级甲班有人，七年级乙班有人
(2)选择团体购票
【分析】本题考查二元一次方程组的运用，解题的关键是根据题意，列出方程组；根据学生人数和购票方案，选择合适的购票方案，即可．
(1)根据题意，列出方程组，即可求解；
(2)分别求出选择团体购票和参加迎接劳动节赠票方式购票，进行比较，选择合适的购票方案，即可．
【详解】(1)设七年级甲班有人，七年级乙班有人，
∴，
∴，
答：七年级甲班有人，七年级乙班有人．
(2)两班作为一个团体，选择团体购票费用为：(元)，
∵，
∴两班作为一个团体，参加迎接劳动节赠票方式购票费用为：(元)
∵，
∴七年级甲、乙两班作为一个团体，应选择团体购票，不应该参加迎接劳动节赠票方式购票．
3.周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为
(2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有
【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决．
(1)设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可；
(2)先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可．
【详解】(1)解：(1)设小明的速度为，爸爸的速度为，
则依题意得：，于是，
，得，即有：，
，得，即有：，
答：小明的速度为，爸爸的速度为．
(2)(2)解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有．
理由：爸爸跑到半圈所用时间为，
此时小明所跑路程为，
爸爸和小明的距离，
因此小明接下来追上爸爸所需时间，
追上时，小明的爸爸总路程，
因此小明能在400米终点前追上爸爸．
追上当时距离终点还有．
4.某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示： (假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
运载量(箱/辆) 20 30 40
运费(元/辆) 300 400 450
(1)全部货物一次性运送可用甲型车6辆， 乙型车4辆， 丙型车 辆：
(2)若全部货物仅用甲、 乙两种车型一次性运完， 需运费5100元，求甲、 乙两种车型各需多少辆？
(3)若该公司打算用甲、 乙、丙三种车型同时参与运送， 已知车辆总数为11辆， 且一次性运完所有货物， 请设计出所有的运送方案， 并写出最少运费．
【答案】(1)3
(2)甲种车型需9辆，乙种车型需6辆
(3)所有的运送方案为：①甲车 1辆， 乙车6辆， 丙车4辆；②甲车2辆， 乙车4辆， 丙车5辆；③甲车3辆，乙车2辆，丙车6辆．最低运费为4400元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
(1)利用所需丙型车的数量(货物的总箱数每辆甲型车的运载量使用用型车的辆数一每辆乙型车的运载量使用乙型车的辆数)每辆丙型车的运载量，即可求出结论；
(2)设甲型车需x辆，乙型车需y辆，根据“甲、乙两种车型一次性可运送360箱货物，且需运费5100元”，可列出关于必，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设使用a辆甲型车，b辆乙型车，则使用辆丙型车，根据使用的三种车型一次性可运送360箱货物，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，均为正整数，可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论．
【详解】(1)根据题意得：
(辆)；
故答案为：3；
(2)设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据题意得：
解得
答：甲种车型需9辆，乙种车型需6辆．
(3)设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有辆， 由题意得
∵a、 b、均为正整数，
，，
∴所有的运送方案为：
①甲车 1辆， 乙车6辆， 丙车4辆；
(元)，
②甲车2辆， 乙车4辆， 丙车5辆；
(元)，
③甲车3辆，乙车2辆，丙车6辆．
(元)，
最低运费为4400元．
【A组---基础题】
1.已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案．
【详解】A.，，故该选项符合题意；
B.，故该选项不合题意；
C.，故该选项不合题意；
D.，故该选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．
2.若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为( )
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相加得到，再根据已知条件得到，则，解之即可．
【详解】解：
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3.若，则的值为( )
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
【答案】A
【分析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出的值．
【详解】解：∵，
∴，
①-②得：，
把代入①得： ，
则，
故选：A
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4.已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由方程组的定义可知x,y满足4个方程,则先解和组成的方程组求出x、y,然后再把x,y代入另外两个方程求出a,b即可．
【详解】解:根据条件方程组与有相同的解,
可得: ，解得：
把代入和可得,得即.
故选D ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
5.已知关于、的方程组得出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①④ D．②③④
【答案】B
【分析】①把看做已知数表示出方程组的解，把代入求出与的值，代入方程检验即可；②令求出的值，即可作出判断；③把与代入中计算得到结果，判断即可；④令求出的值，判断即可．
【详解】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
当时，，，
把，代入得：左边，右边，
所以当时，方程组的解也是方程的解，故①正确；
当时，，即 ，故②正确；
，
无论为什么实数，的值始终不变，为，故③正确；
令，即，即 ，存在，故④错误；
则正确的结论是①②③，
故选．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6.已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 .
【答案】2
【分析】将代入二元一次方程组，求出，再利用算术平方根的定义即可得到答案．
【详解】解：是二元一次方程组的解，
，
解得：，
，
的算术平方根为2，
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，解二元一次方程组，算术平方根，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
7.关于x、y的方程2x+ay＝7仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为　 　．
【答案】5或3
【详解】解：2x+ay＝7，ay＝7﹣2x，
①当x＝1时，7﹣2x＝5，
∴ay＝5，
∴a＝1，y＝5(舍)或a＝5，y＝1，
②当x＝2时，7﹣2x＝3，
∴ay＝3，
∴a＝1，y＝3(舍)或a＝3，y＝1，
③当x＝3时，7﹣2x＝1，
∴ay＝1，
∴a＝1，y＝1(舍)，
综上，满足条件的正整数a的值为5或3，
故答案为：5或3．
8.解二元一次方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
(1)利用加减消元法先消去未知数，求解，再进一步求解即可；
(2)先把方程组整理为，再进一步解方程即可．
【详解】(1)解：
解：①×2得：③
③②得：
解得：
把代入①得：
所以，原方程组的解为
(2)，
解：原方程组整理为，
③×2+④得：
解得：．
把代入③得：．
所以，原方程组的解为．
9.由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，．
(1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根；
(2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知可得，，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答；
(2)根据已知易得，从而可得，进而可得，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答．
【详解】(1)解：，其中，为有理数，
，，
，，
，
的平方根是；
(2)，
，
，
，为有理数，
，
解得：，
，为有理数且是的平方根，
，
的值为．
【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10.福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客年每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
(1)求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最少，最少为多少？
【答案】(1)49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元
(2)租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车，租金最少为11600元
【分析】(1)设49座的客车每辆每天的租金是元，35座的客车每辆每天的租金是元，根据“49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租用辆49座的客车，辆35座的客车，根据租用的两种客车满载可乘坐700人，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，可得出各租车方案，再求出各方案所需租金，比较后即可得出结论．
【详解】(1)解：设49座的客车每辆每天的租金是元，35座的客车每辆每天的租金是元，
根据题意得：，
解得：．
答：49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元；
(2)设租用辆49座的客车，辆35座的客车，
根据题意得：，
．
又，均为自然数，
或或，
共有3种租车方案，
方案1：租用20辆35座的客车，所需租金为(元；
方案2：租用5辆49座的客车，13辆35座的客车，所需租金为(元；
方案3：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车，所需租金为(元．
，
租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车．
【B组---提高题】
1.若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”．如对于四位数3564，因为，所以3564是“平衡数”；对于四位数2356，因为，所以2356不是“平衡数”．
(1)最小的“平衡数”是________，最大的：“平衡数”是__________；
(2)判断7128是不是“平衡数”，并说明理由；
(3)若一个“平衡数”满足千位数字与百位数字的积是12，且十位数字与个位数字的和为6，请你写出所有满足条件的“平衡数”．
【答案】(1)1001，9999
(2)是，理由见解析
(3)2651或6215
【分析】(1)根据新定义，即可得出结论；
(2)根据新定义，即可得出结论；
(3)根据题意知，，求得和的值，再根据题意是6，结合，取舍即可求得所有满足条件的“平衡数”．
【详解】(1)根据题意：一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”，
最小的正整数是1，最大的正整数是9，
∵，，
∴最小的“平衡数”是1001，最大的“平衡数”是9999，
故答案为：1001，9999；
(2)是，理由如下：
∵，
∴7128是“平衡数”；
(3)设这个“平衡数”为，
依题意得：，，
当时，，
∵
∴，即，
∵
∴解得，，
∴此时“平衡数”为2651；
当时，，
∵
∴，即，
∵
∴解得，，
∵a，b，c，d都是整数，故不符合题意，应舍去；
当时，，
∵
∴，即，
∵
∴解得，，
∵a，b，c，d都是整数，故不符合题意，应舍去；
当时，，
∵
∴，即，
∵
∴解得，，
∴此时“平衡数”为6215；
综上，满足条件的“平衡数”是2651或6215．
【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，理解新定义是解本题的关键．
2.规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
(1)已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由；
(2)已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根；
(3)已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标．
【答案】(1)点是方程的“理想点”, 点, 点不是方程的“理想点”
(2)
(3)点坐标为或 或或
【分析】本题考查二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键.
(1)根据“理想点”定义进行判断即可；
(2)根据题意求出和的值，进一步求解即可；
(3)解二元一次方程组，得出 ，再根据“理想点”定义求出和的值即可.
【详解】(1)点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”， 理由如下：
∵时，；
时，；
时；
∴点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”；
(2)解：把代入方程，得，
又∵，解得 ，
∵为非负整数，
，
，
；
(3)根据题意，得 ，
解得 ，
∵是整数，
或 ，
∵是整数，
或 或，
或 ，
当时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上，点坐标为或 或或