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北师大版八年级数学下册课件
第四章 因式分解
4.3 公式法
第2课时 逆用完全平方公式
1.两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，可以分解成这两个数的和（或差）的___________.即 __________, _______________.形如 或 的式子称为_____________.
2.由因式分解与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作_____________.
3.分解因式时，一般都遵循“一提、二套、三变、四查”这四步.
（1）如果多项式的各项含有公因式，那么首先提取这个公因式.
（2）如果多项式各项没有公因式，那么考虑套用公式.
完全平方
完全平方式
运用公式法
（3）如果用上述方法还不能分解，那么可以尝试先变形整理，再运用提公因式法、公式法等来分解.
（4）必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
例1 把下列各式因式分解：
（1） ；
（2） .
【点拨】若一个多项式各项含有公因式，首先提公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止,注意整体思想在因式分解中的运用.
（1）【解】原式 .
（2）【解】原式 .
例2 已知 ， ，求 的值.
【点拨】观察多项式，可先提公因式，再用公式法因式分解，最后将 , 的值代入即可求值.
【解】原式 .
当 ， 时，原式 .
变式 先因式分解，再求值： ，其中 ， .
解：原式
.
将 , 代入，得
原式
.
易错示例 若 是完全平方式，则 的值为( )
A. B. C. D. 或
D
【错解】A
【错因分析】错解中误认为一次项系数 一定是正数，因而出现 ，即 的错误.事实上，此处的 也可能为负数.其实只要知道完全平方式包括两种形式：一种是形如 的式子，一种是形如 的式子，就不会出现这样的错误.
1.下列多项式中能用完全平方公式分解的是( )
A. B.
C. D.
B
2.小贝同学利用完全平方公式对下列式子进行因式分解，你认为正确的是( )
A.
B.
C.
D.
D
3.计算： ( )
A. B. C. D.
B
4.因式分解： ____________.
5.已知正方形的面积为 ，则这个正方形的周长是___________.
6.把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
7.先阅读，再因式分解：
.
按照这种方法把多项式 因式分解.
解：
.
8.已知三角形的三边长分别为 ， ， ，且满足 ，试判断该三角形的形状.
解：因为 ，
所以 .
所以 .
即 .
即 .
所以 ， ， .
所以 ， ， ，即 .
所以该三角形为等边三角形.
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第四章 因式分解
4.1 因式分解
1.把一个多项式化成几个整式的_____的形式，这种变形叫作___________.
2.因式分解与整式乘法互为_____变形.整式的乘法是把几个整式的积的形式转化为一个_________的形式.
积
因式分解
逆
多项式
例1 下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
B
【点拨】判断一个恒等变形是不是因式分解，关键看这个变形是否把一个多项式化成几个整式的积的形式.
变式.下列由左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
解：（3）是因式分解，（1）（2）（4）不是因式分解.
例2 若 ，求 的值.
【点拨】利用因式分解与整式乘法的关系，将等号右边的积展开，得到一个多项式，它与等号左边的多项式相等，则对应的系数也相等，由此可求得 的值.
【解】因为 ，
所以
解这个方程组，得 ， .
变式.如果多项式 可以分解为 ，那么 的值为( )
A. B. C. D.
A
1.下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
C
2.将多项式 因式分解，下列结果中正确的是( )
A. B.
C. D.
D
3.已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ，则 ， 的值分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
A
4.已知 ，则分解因式： _____________________.
5.星期天，王怡和妈妈一起到体育器材商店买呼啦圈用于锻炼身体，她们发现商店有两种型号的呼啦圈，一种是直径为 的，另一种是直径为 的.店主见王怡是学生，就笑着对她说：“小朋友，如果你能计算出制作这两种型号的呼啦圈各一个所需材料的总长度，我就优惠卖给你.”请你帮王怡计算一下（结果精确到 ）.
解：所需材料的总长度为 .
答：所需材料的总长度约为 .
6.将多项式 进行因式分解得 ，说明多项式 有一个因式为 ，且当 时， .
利用上述阅读材料解答问题：若多项式 有一个因式为 ，试求 的值.
解：令 ，则 ，此时 ，
，解得 .
7.求证： 能被7整除.
证明:∵原式
，
能被7整除.
8.甲、乙两个同学分解因式 时，甲看错了 ，分解结果为 ；乙看错了 ，分解结果为 ，求 的值.
解： ， .
， .
.
9.如图，有若干张边长为 的小正方形纸片，长为 、宽为 的长方形纸片，以及边长为 的大正方形纸片.
（1） 已知小正方形纸片与大正方形纸片的面积之和为169，长方形纸片的周长为34，求长方形纸片的面积；
解：由题意得 ， .
， .
.即长方形纸片的面积为60.
（2） 如果现有小正方形纸片1张，大正方形纸片2张，长方形纸片3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2的虚线框内画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式 因式分解.
解：如图所示.
.
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第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第2课时 提公因式法（2）
1.多项式 中各项的公因式是_____.类似地，多项式 中各项的公因式是________.
2.用提公因式法进行因式分解的注意事项
（1）若多项式的第一项为负数，应先提出“-”号，并注意括号中的各项都要_______.
（2）公因式可以是数，也可以是单项式，还可以是多项式.当原多项式中的某一项正好是公因式时，则提公因式后这一项为1，不能漏掉.提公因式后括号中的项数与原多项式的相同.
（3）注意类似 , 的应用.
变号
（4）因式分解与整式乘法为互逆的过程，因此可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
例1 把下列各式因式分解：
（1） ；
（2） .
【点拨】提取公因式时要注意符号的变化.
（1）【解】原式
.
（2）【解】原式
.
变式.把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
例2 已知 ， ，求代数式 的值.
【点拨】先将代数式化简，分解成含已知因式的乘积的形式，再代入计算即可.
【解】原式
.
把 ， 代入上式，
得原式 .
解：原式 .
当 ， ， 时，
原式 .
变式 先化简，再求值： ，其中 ， ， .
易错示例 因式分解：
.
【错解】原式 .
【错因分析】上述解法中，第二项 变形为 时没有改变符号.在确定公因式前，应先将 变为 ，变形时要注意改变符号.一般来说， ， 为正整数）.
【正解】原式
.
1.把 因式分解时，应提取的公因式是( )
A. B. C. D.
D
2.分解因式 时，提出公因式 后，另一个因式是( )
A. B. C. D.
C
3.将 因式分解，正确的是( )
A. B.
C. D.
C
4.若多项式 可以分解成 ，则 的值是( )
A. B. C. 或 D.
C
5.分解因式： ________________.
6.把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式
.
7.不解方程组 求 的值.
解：原式
.
， ，
原式 .
8.先阅读下面因式分解的过程，再回答问题：
.
（1） 上述因式分解的方法是_____________，共应用了____次；
提公因式法
2
（2） 若要将多项式 因式分解，则可应用上述方法________次，结果是_____________；
2 022
（3） 分解因式： 为正整数 ；
解：原式 .
（4） 利用（3）中的结果计算： .
解：原式 .
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第四章 因式分解
4 积累与提高
例1 因式分解： .
【点拨】先提取公因式，再用平方差公式分解.
【解】原式
.
方法归纳
本题考查了提公因式法和运用平方差公式进行因式分解.解答因式分解的题时要灵活使用各种方法，一般来说，如果能提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式来分解：两项则考虑是否可用平方差公式，三项则考虑是否可用完全平方公式.
例2 若 ，求 的值.
【点拨】先根据非负数的性质得到 ， .再将所求代数式进行因式分解，最后整体代入求值即可.
【解】因为 ，
所以 ， .
所以 ， .
所以
.
将 ， 代入，
得原式 .
方法归纳
在整式的化简求值问题中，若根据已知条件，不可能求出字母的具体的值，用常规的解题思路和方法行不通，这就决定了解此题必须用其他方法.而整体代入法就是解决此类问题较常见的方法.
因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数式中重要的恒等变换之一，当然也是中（学）考的必考考点.一般以选择题、填空题的形式来考查因式分解的概念与基本方法，以解答题的形式来考查因式分解方法的应用.试题的难度一般不大.
考点 因式分解
2.[2021·江西] 因式分解： ____________________．
B
1.下列各式中因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
C
2.若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
B
3.多项式 与多项式 的公因式是( )
A. B. C. D.
A
4.小贝是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： ， ， ， ， ， 分别对应以下六个字：习，爱，我，创，新，练. 现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱创 B.练习新 C.我爱练习 D.创我练习
C
5.在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释.如图，根据图1、图2面积的关系可得到的因式分解的公式为
_________________________.
6.请你写出一个既要运用提公因式法，又要运用公式法因式分解的多项式：__________，因式分解的结果是_________________.（答案不唯一）
7.把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式
.
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式
.
8.例：分解因式：
解法一：原式 .
解法二：原式 .
根据你发现的方法，把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式 ；
（2） .
解：原式 .
9.阅读材料
因式分解时，有一类形如 的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 .
例如， .
上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图，这个图称为十字相乘图.
知识应用
（1） 请用十字相乘法将下列两个多项式因式分解.（画出十字相乘图）
① ；
解： 画十字相乘图如下：
.
② .
解： 画十字相乘图如下：
.
（2） 若多项式 可以分解成 ， 为整数）的形式，求 的最大值.
解： ，
的最大值是 .
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第四章 因式分解
4.3 公式法
第1课时 逆用平方差公式
1.两个数的平方差可以分解成这两个数的_____与这两个数的_____的积，即 _________________.
2.能运用平方差公式进行因式分解的多项式满足：仅有两个平方项，且它们的符号_______；公式中的 , 可以是单项式，也可以是_________；运用平方差公式进行因式分解时，若各项有公因式，应先提取_________，再运用平方差公式分解.
和
差
相反
多项式
公因式
例1 因式分解：
（1） ；
（2） .
【点拨】先观察多项式中各项是否有公因式，再观察能不能套用公式进行因式分解.
（1）【解】原式 .
（2）【解】原式
.
变式.把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
例2 .
【点拨】题中的计算可以看成两个数的平方差运算，利用平方差公式可以简化计算.
【解】原式
.
变式.用简便方法计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
易错示例 把多项式 因式分解.
【错解】
.
【错因分析】错解中因式分解不彻底.分解不彻底是因式分解时经常出现的问题，所以在你认为因式分解完成以后，一定要再仔细观察分解后的每一个因式能否继续分解.
【正解】
.
1.下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是( )
A. B. C. D.
C
2.某同学粗心大意，因式分解时，把等式 中的两个数字弄污了.式子中的 ， 对应的一组数可以是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
B
3.因式分解： ________________.
4.已知 ， ，则 _______.
5.已知 ，则 ____.
6.把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式
.
7.已知 可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数.
解： .
则这两个数为63和65.
8.计算： .
解：原式
.
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第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第1课时 提公因式法（1）
1.一个多项式中各项都含有的___________叫作这个多项式各项的_________.
2.确定公因式时，对于系数，如果是整数系数，那么就取各项系数的_____________；对于字母，取各项相同字母的___________.
3.如果一个多项式的各项含有_________，那么就可以把这个_________提出来，从而将多项式化成_______________的形式.这种因式分解的方法叫作_____________.
4.当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出 “-”号，使括号内第一项的系数成为_______，在提出“-”号时，多项式的各项都要_______.
相同因式
公因式
最大公约数
最低次数
公因式
公因式
两个因式乘积
提公因式法
正数
变号
例1 因式分解： .
【点拨】在提公因式前，应先要找到这个多项式各项的公因式，注意公因式是每一项的系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积.
【解】 .
变式.下列各式分解因式正确的是( )
A. B.
C. D.
D
例2 用简便方法计算： .
【点拨】若直接把后两项平方，则计算量太大，不如先将前两项提出公因式2 022，再观察整个式子是否可提取公因式 .
【解】原式
.
变式（1） 下列各数中，能整除 的是( )
A. B. C. D.
C
（2） 计算： .
解：
.
易错示例 因式分解： .
【错解】 .
【错因分析】错解中出现两处错误：一是将“-”号提取时，括号内的第二项没有改变符号；二是漏掉了第三项“1”.如果一个多项式中的某一项就是公因式，提取公因式后应用“1”补充，首项含有“-”号时，一般要将“-”号一并提出，但要注意括号里面的各项必须改变符号.
【正解】 .
1.下列多项式中，可以提取公因式的是( )
A. B. C. D.
B
2.下列式子中，用提取公因式法分解因式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
C
3.某天数学课上，老师讲了用提公因式法分解因式.放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题： ，横线空格的地方被钢笔水盖住了.横线上应填写( )
A. B. C. D.
C
4.因式分解： ______________.
5.将多项式 因式分解，应提取的公因式为______，提取公因式后另一个因式是_________.
6.把下列各式因式分解：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
7.利用因式分解的方法计算：
（1）
解：原式
.
（2） .
解： .
8.如图，长方形的长、宽分别为 ， ，且 比 大5，
长方形的面积为10.求 的值.
解：由题意，得 ， ，所以 .
9.邻居家有两个小孩，不知道他们的年龄，只知道他们的年龄分别是方程 中 ， 的值，试求这两个小孩的年龄.
解：因为 ，
所以 ， .
所以这两个小孩的年龄分别为9岁和2岁.
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