2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 6.2 二元一次方程组的解法同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八下·宝安开学考）若方程组的解，满足，则的值是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得3x+3y=m-2，
∵ 方程组的解x，y满足x+y=0，
∴3x+3y=0，
∴m-2=0，
∴m=2.
故答案为：B.
【分析】将方程组中的两个方程相加可得3x+3y=m-2，再结合x+y=0，可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
2．（2024八上·贵阳月考）在关于x，y的二元一次方程组中，若2x+3y=2，则a的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．-3
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由得，
①-②×2得，2x+3y-2(x-2y)=2-2，
y=0，
把y=0代入②得，x=1，
把x=1，y=0代入3x+y=a得，
a=3.
故答案为：B.
【分析】把不含字母a的两个方程组成新的二元一次方程组，解出x，y的值，再把x，y的值代入关于a的方程，解方程即可.
3．（2024七上·凤山期末）多项式（2x2+ax﹣y+4）+（﹣2bx2+3x﹣5y+1）的值与字母x的取值无关，则b﹣2a的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣1 D．7
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；解二元一次方程组；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：原式=
=
∵原式的值与字母x的取值无关，
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据整式的加减计算法则化简原式得到，进而根据原式的值与字母x的取值无关可知含x的项的系数为零，从而得到，求解即可求出a和b的值，进而即可求解.
4．下列关于x，y的方程组的说法中，正确的是 （ ）
①是方程组的解；
②无论a取什么实数，x+y的值始终不变；
③当a2时，x与y相等.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把代入原方程组得：，
解①得：解②得：则说法①错误，
②，①-②得：
∴
∴则说法②正确，
③将代入代入原方程组得：
解得：，则说法③正确，
综上所述，说法正确的为②③，
故答案为：C.
【分析】把代入原方程组得：，分别解出方程①②中a的值，即可判断①；，分别用含a的式子表示x和y，进而即可判断②；将代入代入原方程组得：解此方程组即可判断③.
5．已知二元一次方程组 用加减消元法解方程组，正确的是 （ ）
A．①×5-②×7 B．①×2+②×3 C．①×3-②×2 D．①×7-②×5
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：用加减消元法解方程组，
用①×3-②×2可以消去x，
用①×3+②×（-2）可以消去x，
用①×7+②×5可以消去y，
用①×7-②×(-5)可以消去y，
选项A，B， D无法消去方程组中的未知数.
故答案为：C.
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元：用①×3-②×2可以消去x；用①×7-②×(-5)可以消去y；系数相反相加消元：用①×3+②×（-2）可以消去x；用①×7+②×5可以消去y．
6．已知关于x，y的方程组有以下两个结论：①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解.②不论a取什么值，代数式2x+y的值始终不变.下列说法正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把a=1代入方程组中的第一个方程得x+y=0，
∴a=1时，方程组的解不是方程x+y=2的解，故结论①错误；
②，
由①+②得2x=2a+6，
由①-②得2y=-4a-4，
∴y=-2a-2，
∴2x+y=2a+6-2a-2=4，
∴ 不论a取什么值，代数式2x+y的值始终等于4，故②正确.
故答案为：C.
【分析】①把a=1代入方程组中的第一个方程即可得出结论；②将字母a作为常数，将方程组中的两个方程相加和相减即可表示出2x与y，再计算2x+y即可得出结论.
7．若关于 x，y的二元一次方程组 的解为则关于 m，n 的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得
故答案为：C.
【分析】通过观察方程组可得m-n相当于x，m+n相当于y，从而列出关于字母m、n的方程组，利用加减消元法解方程组即可得出m、n的值.
8．下列用代入法解方程组的过程中，开始出现错误的一步是（ ）
Ⅰ.由①，得
Ⅱ.把③代入②，得
Ⅲ.去分母，得24-9y-10y=5.
Ⅳ.解得y=1，再代入③，得x=2.5.
A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
由①，得x=，③
把③代入②，得3×-5y=5，
去分母，得24-9y-10y=10，
解得：y=，
再把y=代入③，得x=
故答案为：C.
【分析】先把方程①变形，用含y的式子表示x，然后再代入方程②，在利用等式的性质2去分母的时候要注意不含分母的项也要乘以分母的最小公倍数.不要漏乘.
二、填空题
9．（2024八下·宝安开学考）和都是方程的解，则 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵和都是方程y=kx+b的解，
∴，
解得，
∴k得值为2.
故答案为：2.
【分析】根据方程解的定义，将和分别代入方程y=kx+b可得关于字母k、b得二元一次方程组，解此方程组可求出k、b得值，从而得出答案.
10．（2024八上·双流期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，则m的值为 ．
【答案】3
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解方程组，得：，
把代入的中，得：2×+3×=6，
解得：m=3.
【分析】首先解方程组得，然后把代入的中，得：2×+3×=6，解得m=3.
11．问题：“已知2v+t=3v-2t=7，求v，t的值.”
（1）把已知条件转化为②-①，得 v= .
（2）解得 v= ，t= .
【答案】（1）3t
（2）3；1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）把连等式转化为方程组得：
②-①，得：
v=3t.
故答案为：3t.
（2）把v=3t代入①得：
t=1，
把t=2代入v=3t得，
v=3.
∴方程组的解为：
故答案为：3，1.
【分析】（1）由②-①可以求出v与t的关系式：v=3t.（2）再把v=3t代入①即可求出t的值，再把t的值代入v=3t即可求出v的值.
12．如图，已知前两架天平两端保持平衡.要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放 个圆形物品.
【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设○=a， =b， □=c，
由题意可得：
整理得：
①×4+②×3得：c=a，
∴2a=3a，
∴天平右边托盘上放3个圆形物品.
故答案为：3.
【分析】把三个不同形状的物品分别用a、b、c三个不同的字母表示，然后根据题中给出的图形找到它们之间的等量关系。最后用含圆形物品的字母表示方形物品的字母求出解即可.
13．（2020七下·硚口月考）若x＋y＋z＝15，－3x－y＋z＝－25，x、y、z皆为非负数，记整式5x+4y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b = .
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得4x+2y=40，即2x+y=20，
y=20-2x，
①+②得-2x+2z=-10，即x-z=5，
z=x-5，
将y，z代入5x+4y+z得5x+4（20-2x）+（x-5），
整理得：-2x+75，
∵x、y、z皆为非负数，
∴ ，
解得：5≤x≤10，
∴-20≤-2x≤-10
55≤-2x+75≤65，
∴整式5x+4y+z的最大值为65，最小值为55，
即a=65，b=55，
∴a-b=10，
故答案为：10.
【分析】先用含x的代数式表达出y，z，然后将代数式代入5x+4y+z，得到-2x+75，根据x、y、z皆为非负数，确定出x的取值范围，然后可求出整式5x+4y+z的取值范围，即可求出答案.
三、解答题
14．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
把①代入②，得3x+x+3=11，
解得：x=2，
把x=2代入①中，得y=5，
∴原方程组的解是：
（2）解：
由①×3+②×2得：19x=114，
解得x=6，
把x=6代入①中，得，
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解方程组，首先把①代入②消去y，求出x的值，然后把x的值代入①可求出y的值，即可解答；
（2）利用加减消元法解方程组，首先由①×3+②×2消去y，求出x的值，然后把x的值代入①代入可求出y的值，即可解答.
15．（2024八上·盐田期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：①，得．③……第一步 ③②，得．……第二步 ．……第三步 将代入①，得．……第四步 所以，原方程组的解为……第五步
填空：
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ．
（2）第 步开始出现错误．
（3）直接写出该方程组的正确解： ．
【答案】（1）加减消元；等式的基本性质
（2）二
（3）
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）这种解法叫做加减代入消元法，第一步的依据是：等式的基本性质.
故答案为：加减消元；等式的基本性质；
（2）第二步开始出现错误，
故答案为：二
（3）正确解题步骤：
①，得．③
③②，得．
将代入①，得．
所以，原方程组的解为.
故答案为：.
【分析】（1）（2）知道代入消元法和加减消元法的区别即可正确解决问题；等式的基本性质使方程左右两边同时变形；（3）正确解方程即知出问题的地方.注意两式相减时的顺序问题.
四、综合题
16．（2023七下·仓山期中）已知关于的方程组.
（1）当时，求的值；
（2）将方程①和方程②左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，求这个公共解.
【答案】（1）解：，
①②，得：，
整理得：，
∵，
∴，
∴将，代入①，得：，
（2）解：，
①②，得：，
整理得：，
根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关，
∴，
解得：，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将x=3代入，再将两方程相加可求出y值，然后将x、y值代入方程①即可求出m值；
（2） 将两方程相加可得得， 由于这些方程有一个公共解，与的取值无关，可得， 解方程组即可.
17．（2023七下·海曙月考）已知关于，的方程组.
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解.
【答案】（1）解：，
，
又因为，为正整数，
，
即：只能取2或4；
方程的所有正整数解：，；
（2）解：由题意得：，
解得，
把代入，
解得；
（3）解：
【知识点】解二元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（3）方程总有一个固定的解，
，.
.
【分析】（1）根据x+2y=6表示出y，结合x、y为正整数可得x、y的值，进而可得方程的正整数解；
（2）联立x+2y-6=0、x+y=0可求出x、y的值，然后代入x-2y+mx+5=0中就可求出m的值；
（3）根据题意可得x=0、-2y+5=0，求解可得y的值.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 6.2 二元一次方程组的解法同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八下·宝安开学考）若方程组的解，满足，则的值是
A． B． C． D．
2．（2024八上·贵阳月考）在关于x，y的二元一次方程组中，若2x+3y=2，则a的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．-3
3．（2024七上·凤山期末）多项式（2x2+ax﹣y+4）+（﹣2bx2+3x﹣5y+1）的值与字母x的取值无关，则b﹣2a的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣1 D．7
4．下列关于x，y的方程组的说法中，正确的是 （ ）
①是方程组的解；
②无论a取什么实数，x+y的值始终不变；
③当a2时，x与y相等.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．已知二元一次方程组 用加减消元法解方程组，正确的是 （ ）
A．①×5-②×7 B．①×2+②×3 C．①×3-②×2 D．①×7-②×5
6．已知关于x，y的方程组有以下两个结论：①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解.②不论a取什么值，代数式2x+y的值始终不变.下列说法正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
7．若关于 x，y的二元一次方程组 的解为则关于 m，n 的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．下列用代入法解方程组的过程中，开始出现错误的一步是（ ）
Ⅰ.由①，得
Ⅱ.把③代入②，得
Ⅲ.去分母，得24-9y-10y=5.
Ⅳ.解得y=1，再代入③，得x=2.5.
A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
二、填空题
9．（2024八下·宝安开学考）和都是方程的解，则 ．
10．（2024八上·双流期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，则m的值为 ．
11．问题：“已知2v+t=3v-2t=7，求v，t的值.”
（1）把已知条件转化为②-①，得 v= .
（2）解得 v= ，t= .
12．如图，已知前两架天平两端保持平衡.要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放 个圆形物品.
13．（2020七下·硚口月考）若x＋y＋z＝15，－3x－y＋z＝－25，x、y、z皆为非负数，记整式5x+4y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b = .
三、解答题
14．解方程组：
（1）
（2）
15．（2024八上·盐田期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：①，得．③……第一步 ③②，得．……第二步 ．……第三步 将代入①，得．……第四步 所以，原方程组的解为……第五步
填空：
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ．
（2）第 步开始出现错误．
（3）直接写出该方程组的正确解： ．
四、综合题
16．（2023七下·仓山期中）已知关于的方程组.
（1）当时，求的值；
（2）将方程①和方程②左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，求这个公共解.
17．（2023七下·海曙月考）已知关于，的方程组.
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得3x+3y=m-2，
∵ 方程组的解x，y满足x+y=0，
∴3x+3y=0，
∴m-2=0，
∴m=2.
故答案为：B.
【分析】将方程组中的两个方程相加可得3x+3y=m-2，再结合x+y=0，可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
2．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由得，
①-②×2得，2x+3y-2(x-2y)=2-2，
y=0，
把y=0代入②得，x=1，
把x=1，y=0代入3x+y=a得，
a=3.
故答案为：B.
【分析】把不含字母a的两个方程组成新的二元一次方程组，解出x，y的值，再把x，y的值代入关于a的方程，解方程即可.
3．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；解二元一次方程组；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：原式=
=
∵原式的值与字母x的取值无关，
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据整式的加减计算法则化简原式得到，进而根据原式的值与字母x的取值无关可知含x的项的系数为零，从而得到，求解即可求出a和b的值，进而即可求解.
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把代入原方程组得：，
解①得：解②得：则说法①错误，
②，①-②得：
∴
∴则说法②正确，
③将代入代入原方程组得：
解得：，则说法③正确，
综上所述，说法正确的为②③，
故答案为：C.
【分析】把代入原方程组得：，分别解出方程①②中a的值，即可判断①；，分别用含a的式子表示x和y，进而即可判断②；将代入代入原方程组得：解此方程组即可判断③.
5．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：用加减消元法解方程组，
用①×3-②×2可以消去x，
用①×3+②×（-2）可以消去x，
用①×7+②×5可以消去y，
用①×7-②×(-5)可以消去y，
选项A，B， D无法消去方程组中的未知数.
故答案为：C.
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元：用①×3-②×2可以消去x；用①×7-②×(-5)可以消去y；系数相反相加消元：用①×3+②×（-2）可以消去x；用①×7+②×5可以消去y．
6．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把a=1代入方程组中的第一个方程得x+y=0，
∴a=1时，方程组的解不是方程x+y=2的解，故结论①错误；
②，
由①+②得2x=2a+6，
由①-②得2y=-4a-4，
∴y=-2a-2，
∴2x+y=2a+6-2a-2=4，
∴ 不论a取什么值，代数式2x+y的值始终等于4，故②正确.
故答案为：C.
【分析】①把a=1代入方程组中的第一个方程即可得出结论；②将字母a作为常数，将方程组中的两个方程相加和相减即可表示出2x与y，再计算2x+y即可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得
故答案为：C.
【分析】通过观察方程组可得m-n相当于x，m+n相当于y，从而列出关于字母m、n的方程组，利用加减消元法解方程组即可得出m、n的值.
8．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
由①，得x=，③
把③代入②，得3×-5y=5，
去分母，得24-9y-10y=10，
解得：y=，
再把y=代入③，得x=
故答案为：C.
【分析】先把方程①变形，用含y的式子表示x，然后再代入方程②，在利用等式的性质2去分母的时候要注意不含分母的项也要乘以分母的最小公倍数.不要漏乘.
9．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵和都是方程y=kx+b的解，
∴，
解得，
∴k得值为2.
故答案为：2.
【分析】根据方程解的定义，将和分别代入方程y=kx+b可得关于字母k、b得二元一次方程组，解此方程组可求出k、b得值，从而得出答案.
10．【答案】3
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解方程组，得：，
把代入的中，得：2×+3×=6，
解得：m=3.
【分析】首先解方程组得，然后把代入的中，得：2×+3×=6，解得m=3.
11．【答案】（1）3t
（2）3；1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）把连等式转化为方程组得：
②-①，得：
v=3t.
故答案为：3t.
（2）把v=3t代入①得：
t=1，
把t=2代入v=3t得，
v=3.
∴方程组的解为：
故答案为：3，1.
【分析】（1）由②-①可以求出v与t的关系式：v=3t.（2）再把v=3t代入①即可求出t的值，再把t的值代入v=3t即可求出v的值.
12．【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设○=a， =b， □=c，
由题意可得：
整理得：
①×4+②×3得：c=a，
∴2a=3a，
∴天平右边托盘上放3个圆形物品.
故答案为：3.
【分析】把三个不同形状的物品分别用a、b、c三个不同的字母表示，然后根据题中给出的图形找到它们之间的等量关系。最后用含圆形物品的字母表示方形物品的字母求出解即可.
13．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得4x+2y=40，即2x+y=20，
y=20-2x，
①+②得-2x+2z=-10，即x-z=5，
z=x-5，
将y，z代入5x+4y+z得5x+4（20-2x）+（x-5），
整理得：-2x+75，
∵x、y、z皆为非负数，
∴ ，
解得：5≤x≤10，
∴-20≤-2x≤-10
55≤-2x+75≤65，
∴整式5x+4y+z的最大值为65，最小值为55，
即a=65，b=55，
∴a-b=10，
故答案为：10.
【分析】先用含x的代数式表达出y，z，然后将代数式代入5x+4y+z，得到-2x+75，根据x、y、z皆为非负数，确定出x的取值范围，然后可求出整式5x+4y+z的取值范围，即可求出答案.
14．【答案】（1）解：
把①代入②，得3x+x+3=11，
解得：x=2，
把x=2代入①中，得y=5，
∴原方程组的解是：
（2）解：
由①×3+②×2得：19x=114，
解得x=6，
把x=6代入①中，得，
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解方程组，首先把①代入②消去y，求出x的值，然后把x的值代入①可求出y的值，即可解答；
（2）利用加减消元法解方程组，首先由①×3+②×2消去y，求出x的值，然后把x的值代入①代入可求出y的值，即可解答.
15．【答案】（1）加减消元；等式的基本性质
（2）二
（3）
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）这种解法叫做加减代入消元法，第一步的依据是：等式的基本性质.
故答案为：加减消元；等式的基本性质；
（2）第二步开始出现错误，
故答案为：二
（3）正确解题步骤：
①，得．③
③②，得．
将代入①，得．
所以，原方程组的解为.
故答案为：.
【分析】（1）（2）知道代入消元法和加减消元法的区别即可正确解决问题；等式的基本性质使方程左右两边同时变形；（3）正确解方程即知出问题的地方.注意两式相减时的顺序问题.
16．【答案】（1）解：，
①②，得：，
整理得：，
∵，
∴，
∴将，代入①，得：，
（2）解：，
①②，得：，
整理得：，
根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关，
∴，
解得：，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将x=3代入，再将两方程相加可求出y值，然后将x、y值代入方程①即可求出m值；
（2） 将两方程相加可得得， 由于这些方程有一个公共解，与的取值无关，可得， 解方程组即可.
17．【答案】（1）解：，
，
又因为，为正整数，
，
即：只能取2或4；
方程的所有正整数解：，；
（2）解：由题意得：，
解得，
把代入，
解得；
（3）解：
【知识点】解二元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（3）方程总有一个固定的解，
，.
.
【分析】（1）根据x+2y=6表示出y，结合x、y为正整数可得x、y的值，进而可得方程的正整数解；
（2）联立x+2y-6=0、x+y=0可求出x、y的值，然后代入x-2y+mx+5=0中就可求出m的值；
（3）根据题意可得x=0、-2y+5=0，求解可得y的值.
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