2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.5 平行线的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024七上·公主岭期末）如图，AB∥CD，∠B＝60°，点C在BE上，下列结论中正确的是（ ）
A．∠A＝∠120° B．∠BCD＝120°
C．∠D＝60° D．∠DCE＝120°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵AB//CD，∠B=60°，
∴∠ECD=∠B=60°，∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠ECD=∠B=60°，∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°，再逐项分析判断即可.
2．（2024七上·南关期末）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：AD//BC，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3-90°=20°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质可得∠3=∠1=70°，再利用角的运算求出∠2=180°-∠3-90°=20°即可.
3．（2023九上·武威月考）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】 是由绕点按逆时针方向旋转得到 ，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】先根据旋转的性质得到，结合已知条件求得利用平行线的性质即可进行求解.
4．（2023·娄底模拟） 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：AB//CD，AC//BD，
∴∠CAB=∠2，∠CAB+∠1=180°，
∵，
∴∠CAB=180°-∠1=180°-122°=58°，
∴∠2=∠CAB=58°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠CAB=∠2，∠CAB+∠1=180°，再求解即可.
5．（2021七上·长沙期末）下列命题中是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行
C．若a∥b，a⊥c，那么b⊥c D．相等的角是对顶角
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】A、根据“两直线平行，同旁内角互补”，故是真命题；
B、根据“同位角相等，两直线平行”，故是真命题；
C、根据平行公理可直接判断是真命题；
D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，如：“同角的余角相等”，故是假命题.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定及性质，对顶角的性质进行逐一判断即可.
6．（2023七上·香坊期中）下列命题：
①相等的角是对顶角
②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：相等的角不一定是对顶角，如角平分线也存在两个相等的角，故①错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误；
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故④正确；
在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤错误
故答案为：A.
【分析】对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两直线相交，对顶角相等；
平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
平行线的性质：两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等；
点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离；
垂线的性质：在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
根据这些定义和性质依次判定即可.
7．（2023·宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，
由题意得∠4=30°，a//b.
∴∠1=∠3=70°
∵∠3=∠4+∠5，∠2=∠5
∴∠2=∠3-∠4=70°-30°=40°.
故答案为：C.
【分析】根据平行的性质可以求出∠3的度数，再根据三角形外角定理可以求出∠5的度数，最后再根据对顶角相等，即可求出∠2的度数.
8．（2023七下·石家庄期末） 将直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质可得，再将数据代入求出的度数即可.
二、填空题
9．如图，AB∥CD，BC∥EF.若∠1=64°，则∠2 的度数为 °.
【答案】116
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：116.
【分析】先根据两直线平行内错角相等得到然后根据两直线平行同位角相等得到进而可计算出∠2的度数.
10．如图，点E，O，F 在同一条直线上，若AB∥EO，OF∥CD，则∠2+∠3-∠1= °.
【答案】180
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：180.
【分析】根据平行线的性质得到进而根据平角的定义得到进而即可求解.
11．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点 B，D重合，若固定三角形 AOB，改变三角尺ACD的位置（其中 A 点位置始终不变），当∠BAD= 时，CD∥AB。
【答案】150°或30°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图①所示，
当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图②所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，150°.
故答案为150°或30°.
【分析】分两种情况，根据平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
12．（2024七上·二道期末）如图，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的．若∠1＝56°，∠2＝112°，则∠3的大小为 度．
【答案】68
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意
光线在水中也是平行的
故答案为：68
【分析】平行光入射在不同均匀介质的表面会发生折射时，折射后的光线也平行，因此观察图示可知互补，根据互补的两个角的和是180度的性质， ∠3的大小可求。
13．（2024八上·大竹期末）如图，已知，，于点E．则下列结论正确的是，填写正确结论序号 ．
①；②；③；④若，则．
【答案】①②③④
【知识点】平行线的性质；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：
∵AC∥FE，∴∠1+∠3=180°，∵∠1+∠2 =180°，∴∠3=∠2， 序号①正确；
∵∠3=∠2，∴AF∥CD，∴∠FAB=∠4，序号②正确；
∵EF⊥BE，∴∠FEC=90°，∵AC∥FE，∴∠ACB=∠FEC= 90°，序号③正确；
∵∠3=35°，∴∠2=35°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°-35°=55°， 序号④正确.
故答案为： ①②③④.
【分析】两直线平行，同旁内角互补；进而利用平行线的判定、性质进行做答即可.
三、解答题
14．（2024八上·南明期末）如图，已知点、分别在射线和上，，求证：．
【答案】证明：，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质可得 ，等量代换可得 ，进而得到 .
15．已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2=180°，∠1=∠B.
（1）试说明：DE∥BC.
（2）若DE平分∠ADC，∠3=3∠B，求∠2的度数。
【答案】（1）解：∵∠DFE+∠2=180°，∠3+∠2=180°，∴∠DFE=∠3，∴BD∥EF，∴∠1=∠ADE，∵∠1=∠B，
∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.
（2）解：由(1)知，∠ADE=∠B，BD∥EF，∴∠2=∠ADC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADC=2∠ADE=2∠B，∵∠3+∠ADC=180°，∠3=3∠B，∴3∠B+2∠B=180°，
解得∠B =36°，∴∠ADC=72°，∴∠2=72°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由邻补角互补得∠DFE+∠2=180°，等量代换得∠DFE=∠3，由内错角相等，两直线平行得BD∥EF，由两直线平行，内错角相等得∠1=∠ADE，等量代换得∠ADE=∠B，同位角相等，两直线平行，得到DE∥BC；
（2）两直线平行，同位角相等得到∠2=∠ADC，再根据角平分线性质和等量代换得到∠ADC=2∠ADE=2∠B，邻补角互补得到∠3+∠ADC=180°，代入得3∠B+2∠B=180°，即可求出∠B，进而求出∠2.
四、综合题
16．（2023七下·萧山期末）如图，已知，．
（1）试问与相等吗？请说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：与相等，理由如下：
∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，，
，
即．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠1+∠CBE=180°，结合已知可证得∠2=∠CBE，利用内错角相等，两直线平行，可证得EF∥BC，然后利用平行线的性质，可得到∠AFE和∠ABC的大小关系.
（2）利用平行线的性质可证得∠D=∠AEB，结合已知条件可推出∠D=2∠2，再根据∠1+∠2=180°，可求出∠2的度数，据此可求出∠D的度数.
17．（2023七下·五华期末）小明在一组平行线中作角，探究两边与平行线形成的锐角的数量关系．
（1）如图1，他先作出，且点在一条直线上，当时，．点在两条平行线之间，如图2，请用等式表示与的数量关系并证明．
（2）在图3中，，点在两条平行线之间，记与图中一条直线形成的锐角为，若小明作射线，使得，记与图中另一条直线形成的锐角为，请用等式表示与之间的数量关系．
【答案】（1）解：．
理由如下：
如图，过点作射线，使．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：①射线在内部．
如图，过点作射线，使．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
②射线在外部，且．
如图，过点作射线，使．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
③射线在外部，且．
如图，过点作射线，使，延长至．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
综上所述
或或．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1） 过点作射线，使，利用平行线的性质得出 ，再由 ，， 得出MN∥OD，利用平行线的性质得出，从而得出∠1+∠2的度数；
（2）分三种情况讨论， ①射线在内部，过点作射线，使 ，利用平行线的性质得出α=∠AOD，再由 ，， 得出MN∥OD，利用平行线的性质得出β=∠COD，进而得出α与β之间的数量关系； ②射线在外部，且 ，过点作射线，使 ，利用平行线的性质得出α=∠AOD，再由 ，， 得出MN∥OD，利用平行线的性质得出β=∠COD，进而得出α与β之间的数量关系； ③射线在外部，且，过点作射线，使 ， 延长至， 利用平行线的性质得出α=∠AOD，再由 ，， 得出MN∥OD，利用平行线的性质得出β=∠KOD，进而得出α与β之间的数量关系.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.5 平行线的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024七上·公主岭期末）如图，AB∥CD，∠B＝60°，点C在BE上，下列结论中正确的是（ ）
A．∠A＝∠120° B．∠BCD＝120°
C．∠D＝60° D．∠DCE＝120°
2．（2024七上·南关期末）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·武威月考）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·娄底模拟） 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021七上·长沙期末）下列命题中是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行
C．若a∥b，a⊥c，那么b⊥c D．相等的角是对顶角
6．（2023七上·香坊期中）下列命题：
①相等的角是对顶角
②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2023七下·石家庄期末） 将直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，AB∥CD，BC∥EF.若∠1=64°，则∠2 的度数为 °.
10．如图，点E，O，F 在同一条直线上，若AB∥EO，OF∥CD，则∠2+∠3-∠1= °.
11．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点 B，D重合，若固定三角形 AOB，改变三角尺ACD的位置（其中 A 点位置始终不变），当∠BAD= 时，CD∥AB。
12．（2024七上·二道期末）如图，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的．若∠1＝56°，∠2＝112°，则∠3的大小为 度．
13．（2024八上·大竹期末）如图，已知，，于点E．则下列结论正确的是，填写正确结论序号 ．
①；②；③；④若，则．
三、解答题
14．（2024八上·南明期末）如图，已知点、分别在射线和上，，求证：．
15．已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2=180°，∠1=∠B.
（1）试说明：DE∥BC.
（2）若DE平分∠ADC，∠3=3∠B，求∠2的度数。
四、综合题
16．（2023七下·萧山期末）如图，已知，．
（1）试问与相等吗？请说明理由；
（2）若，，求的度数．
17．（2023七下·五华期末）小明在一组平行线中作角，探究两边与平行线形成的锐角的数量关系．
（1）如图1，他先作出，且点在一条直线上，当时，．点在两条平行线之间，如图2，请用等式表示与的数量关系并证明．
（2）在图3中，，点在两条平行线之间，记与图中一条直线形成的锐角为，若小明作射线，使得，记与图中另一条直线形成的锐角为，请用等式表示与之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵AB//CD，∠B=60°，
∴∠ECD=∠B=60°，∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠ECD=∠B=60°，∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°，再逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：AD//BC，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3-90°=20°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质可得∠3=∠1=70°，再利用角的运算求出∠2=180°-∠3-90°=20°即可.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】 是由绕点按逆时针方向旋转得到 ，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】先根据旋转的性质得到，结合已知条件求得利用平行线的性质即可进行求解.
4．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：AB//CD，AC//BD，
∴∠CAB=∠2，∠CAB+∠1=180°，
∵，
∴∠CAB=180°-∠1=180°-122°=58°，
∴∠2=∠CAB=58°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠CAB=∠2，∠CAB+∠1=180°，再求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】A、根据“两直线平行，同旁内角互补”，故是真命题；
B、根据“同位角相等，两直线平行”，故是真命题；
C、根据平行公理可直接判断是真命题；
D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，如：“同角的余角相等”，故是假命题.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定及性质，对顶角的性质进行逐一判断即可.
6．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：相等的角不一定是对顶角，如角平分线也存在两个相等的角，故①错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误；
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故④正确；
在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤错误
故答案为：A.
【分析】对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两直线相交，对顶角相等；
平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
平行线的性质：两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等；
点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离；
垂线的性质：在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
根据这些定义和性质依次判定即可.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，
由题意得∠4=30°，a//b.
∴∠1=∠3=70°
∵∠3=∠4+∠5，∠2=∠5
∴∠2=∠3-∠4=70°-30°=40°.
故答案为：C.
【分析】根据平行的性质可以求出∠3的度数，再根据三角形外角定理可以求出∠5的度数，最后再根据对顶角相等，即可求出∠2的度数.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质可得，再将数据代入求出的度数即可.
9．【答案】116
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：116.
【分析】先根据两直线平行内错角相等得到然后根据两直线平行同位角相等得到进而可计算出∠2的度数.
10．【答案】180
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：180.
【分析】根据平行线的性质得到进而根据平角的定义得到进而即可求解.
11．【答案】150°或30°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图①所示，
当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图②所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，150°.
故答案为150°或30°.
【分析】分两种情况，根据平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
12．【答案】68
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意
光线在水中也是平行的
故答案为：68
【分析】平行光入射在不同均匀介质的表面会发生折射时，折射后的光线也平行，因此观察图示可知互补，根据互补的两个角的和是180度的性质， ∠3的大小可求。
13．【答案】①②③④
【知识点】平行线的性质；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：
∵AC∥FE，∴∠1+∠3=180°，∵∠1+∠2 =180°，∴∠3=∠2， 序号①正确；
∵∠3=∠2，∴AF∥CD，∴∠FAB=∠4，序号②正确；
∵EF⊥BE，∴∠FEC=90°，∵AC∥FE，∴∠ACB=∠FEC= 90°，序号③正确；
∵∠3=35°，∴∠2=35°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°-35°=55°， 序号④正确.
故答案为： ①②③④.
【分析】两直线平行，同旁内角互补；进而利用平行线的判定、性质进行做答即可.
14．【答案】证明：，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质可得 ，等量代换可得 ，进而得到 .
15．【答案】（1）解：∵∠DFE+∠2=180°，∠3+∠2=180°，∴∠DFE=∠3，∴BD∥EF，∴∠1=∠ADE，∵∠1=∠B，
∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.
（2）解：由(1)知，∠ADE=∠B，BD∥EF，∴∠2=∠ADC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADC=2∠ADE=2∠B，∵∠3+∠ADC=180°，∠3=3∠B，∴3∠B+2∠B=180°，
解得∠B =36°，∴∠ADC=72°，∴∠2=72°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由邻补角互补得∠DFE+∠2=180°，等量代换得∠DFE=∠3，由内错角相等，两直线平行得BD∥EF，由两直线平行，内错角相等得∠1=∠ADE，等量代换得∠ADE=∠B，同位角相等，两直线平行，得到DE∥BC；
（2）两直线平行，同位角相等得到∠2=∠ADC，再根据角平分线性质和等量代换得到∠ADC=2∠ADE=2∠B，邻补角互补得到∠3+∠ADC=180°，代入得3∠B+2∠B=180°，即可求出∠B，进而求出∠2.
16．【答案】（1）解：与相等，理由如下：
∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，，
，
即．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠1+∠CBE=180°，结合已知可证得∠2=∠CBE，利用内错角相等，两直线平行，可证得EF∥BC，然后利用平行线的性质，可得到∠AFE和∠ABC的大小关系.
（2）利用平行线的性质可证得∠D=∠AEB，结合已知条件可推出∠D=2∠2，再根据∠1+∠2=180°，可求出∠2的度数，据此可求出∠D的度数.
17．【答案】（1）解：．
理由如下：
如图，过点作射线，使．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：①射线在内部．
如图，过点作射线，使．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
②射线在外部，且．
如图，过点作射线，使．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
③射线在外部，且．
如图，过点作射线，使，延长至．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
综上所述
或或．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1） 过点作射线，使，利用平行线的性质得出 ，再由 ，， 得出MN∥OD，利用平行线的性质得出，从而得出∠1+∠2的度数；
（2）分三种情况讨论， ①射线在内部，过点作射线，使 ，利用平行线的性质得出α=∠AOD，再由 ，， 得出MN∥OD，利用平行线的性质得出β=∠COD，进而得出α与β之间的数量关系； ②射线在外部，且 ，过点作射线，使 ，利用平行线的性质得出α=∠AOD，再由 ，， 得出MN∥OD，利用平行线的性质得出β=∠COD，进而得出α与β之间的数量关系； ③射线在外部，且，过点作射线，使 ， 延长至， 利用平行线的性质得出α=∠AOD，再由 ，， 得出MN∥OD，利用平行线的性质得出β=∠KOD，进而得出α与β之间的数量关系.
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