2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.3 切线的性质和判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·鸡西月考）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．19 B．17 C．22 D．20
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：设内切圆切三边于点、、，连接、、，∴四边形是正方形，
在中，，，，
由勾股定理得：，
由切线长定理可知，，，
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故答案为：D．
【分析】设内切圆切三边于点、、，连接、、，∴四边形是正方形，根据勾股定理可得，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
2．（2024·清城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】C
【知识点】切线的性质；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OE，OD如图，
∵圆分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴
∵O为BC中点，
∴OD为中位线，
∴
∴
同理得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接OE，OD，根据切线的性质得到：然后根据题意可知OD为中位线，即进而可得到圆的半径，最后利用弧长计算公式即可求解.
3．（2024九上·福州期末）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图象经过点C，则k的值为（ ）
A． B．8 C．16 D．32
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，过点C作CD⊥x轴于点D，延长AO交CD于点E，如图：
∴
∵A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．
∴OB⊥x轴，OA⊥y轴，
∴OA∥x轴，
∴
∴四边形OABF为正方形，
∵
∴
∴
∵CD⊥x轴，OB⊥x轴，OA⊥OB，
∴四边形BDEO为矩形，
∴
∵C为优弧的中点，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接OA、OB、OC，过点C作CD⊥x轴于点D，延长AO交CD于点E，根据切线的性质，等弧所对的圆周角相等，易证为等腰直角三角形，四边形OABF为正方形，四边形BDEO为矩形，求出点C坐标即可求解.
4．（2024九上·黔南期末）如图，是的弦，切于点经过圆心．若．则（ ）
A．65° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OA，如图所示：
∵AC是的切线，
∴∠OAC=90°，
∵∠B=25°，OB=OA，
∴∠AOC=∠B+∠BAO=25°+25°=50°，
在△AOC中，∠C=180°-∠OAC-∠AOC=180°-90°-50°=40°，
故答案为：D.
【分析】先利用切线的性质可得∠OAC=90°，再利用等边对等角的性质及三角形外角的性质求出∠AOC=∠B+∠BAO=25°+25°=50°，最后利用三角形的内角和求出∠C的度数即可.
5．如图，是一张周长为的三角形纸片，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线MN剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，设E、F、H分别是⊙O的切点，
∵D、H、E分别是⊙O的切点，
∴BH=BD，CH=CE，DM=MF，FN=EN，
∴BD+CE=BH+CH=BC=5cm，
∵△ABC的周长=18cm，BC=5cm，
∴AB+AC=18-5=13cm，
∴△AMN的周长=AM+MF+FN+AN=AM+DM+EN+AN=AB-BD+AC-CE=（AB+AC）-（BD+CE）=13-5=8cm.
故答案为：B．
【分析】根据内切圆和切线长定理可得到BH=BD，CH=CE，DM=MF，FN=EN，再进行线段之间的转化得出答案.
6．如图，在四边形ABCD中，，以为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为.若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接DB、DE，设AB=x，
∵，
∴CD=3AB=3x，
由题意可知AB是⊙D的切线，
∴EB=AB=x，∠CBD=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠CBD=∠BDC，
∴CB=CD=3x，
∴CE=CB-EB=2x，DE==，
∴sinC=，
故答案为：B．
【分析】设AB=x，则CD=3x，根据切线长定理可知EB=AB，∠CBD=∠ABD，而∠ABD=∠BDC（两直线平行，内错角相等），推出∠CBD=∠BDC，从而算出DE，得出答案.
7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E.若∠A=30°，则sinE的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵CE是⊙O的切线，∴ ∠OCE=90°，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴ ∠ACO=30°，
∴∠ COB=60°，
在△COE中，∠ E =180°-∠OCE-∠ COB=30°，
∴.
故答案为：A.
【分析】先根据CE是⊙O的切线得到∠OCE=90°，再根据等腰三角形的外角求出∠ COB，进而得到∠E，然后根据特殊的三角函数值求得即可.
8．（2024九上·凤山期末）如图，PA、PB是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，若，则的周长为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴PA=PB=1，（切线长定理）
同理可知：DA=DC，EC=EB．
∴△PDE的周长=PD+PE+DE
=PD+PE+DC+EC
=PD+PE+DA+EB
=PD+DA+PE+EB
=PA+PB
=2PA
=2．
故答案为：B．
【分析】根据切线长定理，可知PA=PB，DA=DC，EC=EB，从而可以将△PDE的周长转换成只跟PA有关.
二、填空题
9．（2024九上·潮南期末）如图，是外一点，、分别和相切于点，，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于点、，若，则的周长为 .
【答案】24
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵、分别和相切于点，，且
∴
∵过作的切线分别交、于点、，
∴
∴
∴的周长为：24，
故答案为：24.
【分析】根据切线长定理得到：进而即可求解.
10．如图，在菱形ABCD中，E，F是AD，BC上的点，BC，连结DF，与过B，E，F三点的相切于点.已知，则 .
【答案】15°
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE，OF，
∵∠BFE=90°，
∴BE是直径；
∵AE=FC，四边形ABCD是菱形，
∴ED=BF，ED∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵OF⊥FD，
∴OF⊥BE，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠BFB=∠EDF=45°，
∵∠A=120°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠ADF=∠ADC-∠EDF=60°-45°=15°，
故答案为：15°.
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可判断出BE经过圆心，再证明四边形DEBF是平行四边形，从而根据平行四边形的性质可推出OF⊥BE，算出∠OBF=∠BFB=∠EDF=45°，从而得到答案.
11．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD相交于点P.若∠P=120°，⊙O的半径为6 cm，则图中的长为 cm（结果保留π）.
【答案】2π
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵AC， BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
∴∠COD=360°-∠OCP-∠ODP-∠CPD
=360°-90°-90°-120°
=60°．
∴==2π.
故答案为：2π.
【分析】根据切线的性质的四边形的内角和公式可求出∠COD，再利用弧长公式可求出答案.
12．中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“--块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切，如图所示）”问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N（点N在点M的右上方）.若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为 丈.
【答案】
【知识点】正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如图：
由题意可知OC=OM=ON=2丈，∠OCA=90°，
∵∠OAC=45°，
∴OA=OC=丈，
∴BN=AB-OA-ON=10--2=8-丈，
故答案为：8-.
【分析】根据切线性质可知∠OCA=90°，通过正方形的性质可知∠OAC=45°，从而可得出OA的长度，BN就用AB-OA-ON可得出答案.
13．（2021九上·苏州月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AD＝5，BE＝12，则△ABC的周长为 .
【答案】40
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接EO，DO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，BF＝BE＝12，AD＝AF＝5，EC＝CD，
又∵∠C＝90°，
∴四边形ECDO是矩形，
又∵EO＝DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2
故（x+12）2+（x+5）2＝172，
解得：x＝3（负值已舍），
∴△ABC的周长＝8+15+17＝40.
故答案为：40.
【分析】连接EO，DO，利用切线的性质及切线长定理可推出四边形ECDO是矩形，同时可求出AF，BF的长及EC=DC，可得到矩形OECD是正方形，设EO=x，可表示出EC，CD的长；利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到△ABC的周长.
三、解答题
14．（2024九上·黔南期末）如图，在中，，以为直径的交于点是上一点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接OE．
图1
，．
又，．
，，
，，是的切线．
（2）解：如图2，连接．
图2
，．
是的直径，，是的切线．
又是的切线，，．
在中，．
设．
在中，；
在中，，
，解得，．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出可得，再结合OE是圆的半径，即可证出ED是的切线；
（2）设，先利用勾股定理可得，，再列出方程求出x的值，最后求出AC的长即可.
15．（2024九上·潮南期末）如图，矩形中，经过点，且与边相切于点，过边上的点，且.
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：连接，，，
，，，，
与相切于，，，
，，
又是的半径，与相切；
（2）解：过点作于，连接，
，，
四边形是矩形，，
又，四边形是矩形，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OM、ON、MN，根据等腰三角形的性质得到：然后根据切线的性质得到，，进而得到：，进而即可求证；
（2）过点作于，连接，证明四边形是矩形，得到：，，利用勾股定理求出OG的长度，即再证明四边形是矩形，即可求解.
四、综合题
16．（2024九下·阎良开学考）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，求的长．
【答案】（1）证明：连接，则．
，
，则．
，
，
，即，
是的切线；
（2）解：，
，
4，
，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠ECD=∠BOC，根据角的构成和垂线的定义可得∠OCE=90°，根据圆的切线的判定可得CE是⊙O的切线；
（2）由垂径定理可得CH=DH=CD，在Rt△OCH中，用勾股定理可求出OH的值，然后根据线段的构成AH=OA+OH求出AH的值，在Rt△ACH中，用勾股定理即可求解.
17．（2024九下·淮滨开学考）如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交边于点E，F。
（1）求证：平分；
（2）若，求的长。
【答案】（1）证明：如图，连接．
∵是的切线，是的半径，D是切点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接，
∵在中，，，
∴，
∴．
∵是直径，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，由圆的切线的性质和平行线性质并结合等腰三角形的性质得∠OAD=∠CAD，然后根据角平分线的定义可求解；
（2）连接DE，在Rt△ACD中，用锐角三角函数tan∠CAD=并结合已知可求得CD的值，用勾股定理可求得AD的值，根据（1）的结论由“有两个角相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ACD，于是可得比例式求解.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.3 切线的性质和判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·鸡西月考）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．19 B．17 C．22 D．20
2．（2024·清城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（ ）
A． B． C． D．π
3．（2024九上·福州期末）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图象经过点C，则k的值为（ ）
A． B．8 C．16 D．32
4．（2024九上·黔南期末）如图，是的弦，切于点经过圆心．若．则（ ）
A．65° B．60° C．50° D．40°
5．如图，是一张周长为的三角形纸片，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线MN剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
6．如图，在四边形ABCD中，，以为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为.若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E.若∠A=30°，则sinE的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·凤山期末）如图，PA、PB是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，若，则的周长为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
二、填空题
9．（2024九上·潮南期末）如图，是外一点，、分别和相切于点，，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于点、，若，则的周长为 .
10．如图，在菱形ABCD中，E，F是AD，BC上的点，BC，连结DF，与过B，E，F三点的相切于点.已知，则 .
11．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD相交于点P.若∠P=120°，⊙O的半径为6 cm，则图中的长为 cm（结果保留π）.
12．中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“--块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切，如图所示）”问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N（点N在点M的右上方）.若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为 丈.
13．（2021九上·苏州月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AD＝5，BE＝12，则△ABC的周长为 .
三、解答题
14．（2024九上·黔南期末）如图，在中，，以为直径的交于点是上一点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
15．（2024九上·潮南期末）如图，矩形中，经过点，且与边相切于点，过边上的点，且.
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长.
四、综合题
16．（2024九下·阎良开学考）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，求的长．
17．（2024九下·淮滨开学考）如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交边于点E，F。
（1）求证：平分；
（2）若，求的长。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：设内切圆切三边于点、、，连接、、，∴四边形是正方形，
在中，，，，
由勾股定理得：，
由切线长定理可知，，，
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故答案为：D．
【分析】设内切圆切三边于点、、，连接、、，∴四边形是正方形，根据勾股定理可得，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
2．【答案】C
【知识点】切线的性质；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OE，OD如图，
∵圆分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴
∵O为BC中点，
∴OD为中位线，
∴
∴
同理得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接OE，OD，根据切线的性质得到：然后根据题意可知OD为中位线，即进而可得到圆的半径，最后利用弧长计算公式即可求解.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，过点C作CD⊥x轴于点D，延长AO交CD于点E，如图：
∴
∵A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．
∴OB⊥x轴，OA⊥y轴，
∴OA∥x轴，
∴
∴四边形OABF为正方形，
∵
∴
∴
∵CD⊥x轴，OB⊥x轴，OA⊥OB，
∴四边形BDEO为矩形，
∴
∵C为优弧的中点，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接OA、OB、OC，过点C作CD⊥x轴于点D，延长AO交CD于点E，根据切线的性质，等弧所对的圆周角相等，易证为等腰直角三角形，四边形OABF为正方形，四边形BDEO为矩形，求出点C坐标即可求解.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OA，如图所示：
∵AC是的切线，
∴∠OAC=90°，
∵∠B=25°，OB=OA，
∴∠AOC=∠B+∠BAO=25°+25°=50°，
在△AOC中，∠C=180°-∠OAC-∠AOC=180°-90°-50°=40°，
故答案为：D.
【分析】先利用切线的性质可得∠OAC=90°，再利用等边对等角的性质及三角形外角的性质求出∠AOC=∠B+∠BAO=25°+25°=50°，最后利用三角形的内角和求出∠C的度数即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，设E、F、H分别是⊙O的切点，
∵D、H、E分别是⊙O的切点，
∴BH=BD，CH=CE，DM=MF，FN=EN，
∴BD+CE=BH+CH=BC=5cm，
∵△ABC的周长=18cm，BC=5cm，
∴AB+AC=18-5=13cm，
∴△AMN的周长=AM+MF+FN+AN=AM+DM+EN+AN=AB-BD+AC-CE=（AB+AC）-（BD+CE）=13-5=8cm.
故答案为：B．
【分析】根据内切圆和切线长定理可得到BH=BD，CH=CE，DM=MF，FN=EN，再进行线段之间的转化得出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接DB、DE，设AB=x，
∵，
∴CD=3AB=3x，
由题意可知AB是⊙D的切线，
∴EB=AB=x，∠CBD=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠CBD=∠BDC，
∴CB=CD=3x，
∴CE=CB-EB=2x，DE==，
∴sinC=，
故答案为：B．
【分析】设AB=x，则CD=3x，根据切线长定理可知EB=AB，∠CBD=∠ABD，而∠ABD=∠BDC（两直线平行，内错角相等），推出∠CBD=∠BDC，从而算出DE，得出答案.
7．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵CE是⊙O的切线，∴ ∠OCE=90°，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴ ∠ACO=30°，
∴∠ COB=60°，
在△COE中，∠ E =180°-∠OCE-∠ COB=30°，
∴.
故答案为：A.
【分析】先根据CE是⊙O的切线得到∠OCE=90°，再根据等腰三角形的外角求出∠ COB，进而得到∠E，然后根据特殊的三角函数值求得即可.
8．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴PA=PB=1，（切线长定理）
同理可知：DA=DC，EC=EB．
∴△PDE的周长=PD+PE+DE
=PD+PE+DC+EC
=PD+PE+DA+EB
=PD+DA+PE+EB
=PA+PB
=2PA
=2．
故答案为：B．
【分析】根据切线长定理，可知PA=PB，DA=DC，EC=EB，从而可以将△PDE的周长转换成只跟PA有关.
9．【答案】24
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵、分别和相切于点，，且
∴
∵过作的切线分别交、于点、，
∴
∴
∴的周长为：24，
故答案为：24.
【分析】根据切线长定理得到：进而即可求解.
10．【答案】15°
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE，OF，
∵∠BFE=90°，
∴BE是直径；
∵AE=FC，四边形ABCD是菱形，
∴ED=BF，ED∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵OF⊥FD，
∴OF⊥BE，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠BFB=∠EDF=45°，
∵∠A=120°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠ADF=∠ADC-∠EDF=60°-45°=15°，
故答案为：15°.
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可判断出BE经过圆心，再证明四边形DEBF是平行四边形，从而根据平行四边形的性质可推出OF⊥BE，算出∠OBF=∠BFB=∠EDF=45°，从而得到答案.
11．【答案】2π
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵AC， BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
∴∠COD=360°-∠OCP-∠ODP-∠CPD
=360°-90°-90°-120°
=60°．
∴==2π.
故答案为：2π.
【分析】根据切线的性质的四边形的内角和公式可求出∠COD，再利用弧长公式可求出答案.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如图：
由题意可知OC=OM=ON=2丈，∠OCA=90°，
∵∠OAC=45°，
∴OA=OC=丈，
∴BN=AB-OA-ON=10--2=8-丈，
故答案为：8-.
【分析】根据切线性质可知∠OCA=90°，通过正方形的性质可知∠OAC=45°，从而可得出OA的长度，BN就用AB-OA-ON可得出答案.
13．【答案】40
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接EO，DO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，BF＝BE＝12，AD＝AF＝5，EC＝CD，
又∵∠C＝90°，
∴四边形ECDO是矩形，
又∵EO＝DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2
故（x+12）2+（x+5）2＝172，
解得：x＝3（负值已舍），
∴△ABC的周长＝8+15+17＝40.
故答案为：40.
【分析】连接EO，DO，利用切线的性质及切线长定理可推出四边形ECDO是矩形，同时可求出AF，BF的长及EC=DC，可得到矩形OECD是正方形，设EO=x，可表示出EC，CD的长；利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到△ABC的周长.
14．【答案】（1）证明：如图1，连接OE．
图1
，．
又，．
，，
，，是的切线．
（2）解：如图2，连接．
图2
，．
是的直径，，是的切线．
又是的切线，，．
在中，．
设．
在中，；
在中，，
，解得，．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出可得，再结合OE是圆的半径，即可证出ED是的切线；
（2）设，先利用勾股定理可得，，再列出方程求出x的值，最后求出AC的长即可.
15．【答案】（1）证明：连接，，，
，，，，
与相切于，，，
，，
又是的半径，与相切；
（2）解：过点作于，连接，
，，
四边形是矩形，，
又，四边形是矩形，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OM、ON、MN，根据等腰三角形的性质得到：然后根据切线的性质得到，，进而得到：，进而即可求证；
（2）过点作于，连接，证明四边形是矩形，得到：，，利用勾股定理求出OG的长度，即再证明四边形是矩形，即可求解.
16．【答案】（1）证明：连接，则．
，
，则．
，
，
，即，
是的切线；
（2）解：，
，
4，
，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠ECD=∠BOC，根据角的构成和垂线的定义可得∠OCE=90°，根据圆的切线的判定可得CE是⊙O的切线；
（2）由垂径定理可得CH=DH=CD，在Rt△OCH中，用勾股定理可求出OH的值，然后根据线段的构成AH=OA+OH求出AH的值，在Rt△ACH中，用勾股定理即可求解.
17．【答案】（1）证明：如图，连接．
∵是的切线，是的半径，D是切点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接，
∵在中，，，
∴，
∴．
∵是直径，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，由圆的切线的性质和平行线性质并结合等腰三角形的性质得∠OAD=∠CAD，然后根据角平分线的定义可求解；
（2）连接DE，在Rt△ACD中，用锐角三角函数tan∠CAD=并结合已知可求得CD的值，用勾股定理可求得AD的值，根据（1）的结论由“有两个角相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ACD，于是可得比例式求解.
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