2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.4 切线长定理同步分层训练提升题
一、填空题
1．（2023·恩施模拟）如图， 内切于 ，切点分别为 、 、 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积是 ．
2．（2023·柳北模拟）如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且ABC的三边都与⊙O相切，则AO＝ .
3．（2022·泸州）如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为 .
4．（2022九下·温州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
5．（2022九上·金东期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，DE为以AB为直径的半圆的切线，切点为F，连结CF，则ED的长为 ，CF的长为 .
二、选择题
6．（2023九上·惠阳月考）如图，、切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，⊙O与四边形ABCD的各边都相切，若∠AOB=70°，则∠COD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．（2022九上·广西壮族自治区期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则BD的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
9．（2022·宁波模拟）如图，是外一点，，分别与相切于点，，是上任意一点，过点作的切线，交于点，交于点．若的半径为4，，则的周长为（ ）
A． B．8 C． D．12
10．（2022九下·重庆月考）如图，在Rt△ABC中， ， ， ，以 边上一点 为圆心作 ，恰与边 ， 分别相切于点 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021九上·呼伦贝尔期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，点D是劣弧上的一点，则∠ADB＝（ ）
A．108° B．72° C．54° D．126°
12．（2021九上·鄞州期末）直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
13．（2021九上·虎林期末）如图PA、PB分别与⊙O相切于A．B两点，点C为⊙O上一点，连接AC．BC，若∠ACB=60°，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
三、解答题
14．（2021九上·阳信期中）如图， 和 是⊙ 的两条切线，A，B是切点．C是 上任意一点，过点C画⊙ 的切线，分别交 和 于D，E两点，已知 ，求 的周长．
15．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷A）如图，已知E为圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．求证：EF=FG．
四、综合题
16．（2022九上·宿豫开学考）如图，是的直径，直线、分别是过上点、的切线．
（1）若，则 ；
（2）若，求．
17．（2022·兰溪模拟）如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BE＝，BF＝6，求CD的长．
答案解析部分
1．【答案】4-π
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE、OF，
∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，AD=4，BD=6，
∴AE=4，BF=6.
设⊙O的半径为r，
∵△ABC是直角三角形，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴EC=CF=r，
∴AC=4+r，BC=6+r，
∴(r+4)2+(r+6)2=100，
解得r=2，
∴S阴影=S正方形OECF-S扇形OEF=2×2-=4-π.
故答案为：4-π.
【分析】连接OE、OF，由切线长定理可得AE=AD=4，BF=BD=6，设⊙O的半径为r，则EC=CF=r，AC=4+r，BC=6+r，由勾股定理可求出r的值，然后根据S阴影=S正方形OECF-S扇形OEF结合正方形、扇形的面积公式进行计算.
2．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：设⊙O与△ABC的三边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF、OC、BO，
则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，OD=OE=OF，
由勾股定理得，，
∴×AC×BC=×AC×OD+×BC×OE+×AB×OF，即×6×8=×（6+8+10）×OD，
解得，OD=2，
设AD=x，则CD=6-x，
根据切线长定理得，AF=AD=x，CE=6-x，则BE=8-（6-x）=2+x，
∴BF=BE=2+x，
则x+2+x=10，
解得，x=4，
在Rt△AOD中，，
故答案为：.
【分析】设⊙O与△ABC的三边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF、OC、BO，根据切线的性质可得OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，OD=OE=OF；首先根据勾股定理算出AB的长，根据三角形的面积由S△ABC=S△ACO+S△ABO+S△BCO建立方程可求出该圆的半径OD的长；设AD=x，则CD=6-x，根据切线长定理得，AF=AD=x，CE=6-x，则BE=8-（6-x）=2+x，BF=BE=2+x，进而根据AE+BE=AB建立方程，求出x的值，最后在Rt△AOD中，利用勾股定理算出AO的长即可.
3．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设直线AO交于M点（M在O点右边），则点A到上的点的距离的最大值为AM的长度，当与AB、BC相切时，AM最长
设切点分别为D、F，连接OB，如图
∵，，
∴，
∴
∵与AB、BC相切
∴
∵的半径为1
∴
∴
∴
∴
∴
∴点到上的点的距离的最大值为.
故答案为：.
【分析】设直线AO交⊙O于M点（M在O点右边），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为AM的长度，当⊙O与AB、BC相切时，AM最长，设切点分别为D、F，连接OB，求出tanB的值，可得∠B=60°，根据勾股定理可得AB的值，根据切线的性质可得∠OBD=30°，根据三角函数的概念可得BD，由AD=AB-DB可得AD，利用勾股定理求出OA，然后根据AM=OA+OM进行计算.
4．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝
，
∴DM＝6+
＝
.
故答案为：
.
【分析】连接OE，OF，ON，OG，根据矩形性质得∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，由切线性质可得∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，可证明四边形AFOE，FBGO是正方形，得AF＝BF＝AE＝BG＝4，进而求得DE＝6；根据切线长定理可得DN＝DE＝6，MN＝MG，可求得CM＝6﹣MN，再在Rt△DMC中，由勾股定理得DM2＝CD2+CM2，即（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，求得NM＝ ，进而可求出DM的长.
5．【答案】5；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB
∵以AB为直径的半圆
∴BE、AD也是半圆的切线
∵DE为以AB为直径的半圆的切线，
∴EB=EF、DA=DF=4
∴EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF
在Rt△DCE中，
∴
解得
∴DE=DF+EF=4+EF=5
过F作FG⊥DC于G，如图
∴
∴
∴
解得
∴
∴在Rt△CFG中，
故答案为：5，
【分析】由正方形的性质可得CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB，由切线长定理可得EB=EF、DA=DF=4，从而可得EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF，在Rt△DCE中利用勾股定理可求出EF=1，从而求出DE=5，过F作FG⊥DC于G，证明 ，利用相似三角形的性质可求出GF、DG，从而求出CG，在Rt△CFG中，利用勾股定理求出CF即可.
6．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解： 、切于点A、B，直线切于点E，
∴
的周长
∴的周长是.
故答案为：D．
【分析】、切于点A、B，直线切于点E，根据切线长定理，得，代入周长公式，计算求解即可．
7．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵是四边形ABCD的内切圆，
∴∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA ，
∵∠OAB+∠OAD+∠ODA+∠ODC+∠OCD+∠OCB+∠OBC+∠OBA=360°，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】由四边形的内角和定理得：∠OAB+∠OAD+∠ODA+∠ODC+∠OCD+∠OCB+∠OBC+∠OBA=360°，由切线长定理得∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA ，据此可推出∠OAB+∠ODC+∠OCD+∠OBA=360°，又知∠AOB=70°，，，代入数据可求出∠COD.
8．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB-AP=4-3=1.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可得AC=AP，BP=BD，利用BD=PB=AB-AP即可求解.
9．【答案】C
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：，分别与相切于点，，
，
是的切线，切点为P，
，
的周长，
，
，
中，
，
，
，
的周长=.
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理可得AB=AC，PM=MB，PN=NC，∠BAO=∠CAO，由切线的性质可得∠ABO=90°，则△AMN的周长可转化为2AB，易得∠BAO=30°，根据三角函数的概念可得AB，据此计算.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：连结OC，
∵以AB边上一点O为圆心作 ，恰与边AC ，BC分别相切于点A， D ，
∴DC=AC，OC平分∠ACD，
∵ ， ，
∴∠ACD=90°-∠B=60°，
∴∠OCD=∠OCA= =30°，
在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3× ，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°= ，
∴OD=OA=1，DC=AC= ，
∴ ， ，
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，
∴ ，
S阴影= .
故答案为：A.
【分析】连结OC，利用切线长定理可证得DC=AC，OC平分∠ACD，从而可求∠B，∠ACD，∠OCD的度数；在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长；在Rt△AOC中，利用解直角三角形求出AO的长，即可得到OD，DC的长；利用三角形的面积公式求出△AOC和△OCD的面积，同时可求出∠AOD的度数；利用扇形的面积公式求出扇形AOD的面积，然后求出阴影部分的面积即可.
11．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB+∠P=180°，
∴∠AOB=180°-72°=108°，
∴，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-54°=126°，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出∠AOB+∠P=180°，再求出∠ACB+∠ADB=180°，最后计算求解即可。
12．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD=CF=1，
由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB=6=AE+BE=BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14.
故答案为：B.
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，易得四边形CDIF是正方形，根据正方形的性质得CD=CF=1，由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，根据外接圆与内切圆的半径可得AB=6=AE+BE=BF+AD，据此不难求出△ABC的周长.
13．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB =120°，
又∵PA．PB分别与相切于A．B两点，
∴，
∴∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°，
故答案为：A．
【分析】连接OA，OB，先利用圆周角的性质可得∠AOB=2∠ACB =120°，再利用四边形的内角和可得∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°。
14．【答案】解：∵DA、DC是圆O的切线，
∴DA=DC，
同理可得EC=EB，
∴C△PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据 DA、DC是圆O的切线， 得出DA=DC，同理可得EC=EB，再根据周长公式求解即可。
15．【答案】解：连接EF，
∵EF∥CB，
∴∠BCD=∠FED，又∠BCD=∠BAD，
∴∠BAD=∠FED，又∠EFD=∠EFD，
∴△FED∽△FAE，
∴ = ，
∴EF2=FD FA，
∵FG切圆于G，
∴GF2=FD FA，
∴EF=FG．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】 连接EF， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠BCD=∠FED，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BCD=∠BAD， 故 ∠BAD=∠FED，从而判断出 △FED∽△FAE， 根据相似三角形对应边成比例得出 EF2=FD FA， 根据切割线定理得出 GF2=FD FA， 从而得出结论。
16．【答案】（1）2
（2）解：连接，．
，分别是过上点，的切线，
，，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）直线、分别是过上点、的切线，
.
故答案为：2；
【分析】（1）根据切线长定理可得CD=BD，据此解答；
（2）连接OC、BC，根据切线的性质可得∠OCD=∠OBD=90°，根据四边形内角和为360°可得∠BOC=50°，由圆周角定理可得∠A=∠BOC，据此计算.
17．【答案】（1）证明：连接AB，OA．
∵BC是的直径，
∴．
∵DB是的切线，
∴，
∴，
在中，E是斜边BD的中线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵AO是的半径，
∴AF是的切线；
（2）解：在中，，，
∴，
∵FA、DB是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵E是BD的中点，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；切线长定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接AB，OA，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，根据切线的性质可得∠DBO=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AE=DE=BE，根据等腰三角形的性质可得∠EAB=∠EBA，∠OAB=∠OBA，推出∠EAO=∠DBO=90°，据此证明；
（2）利用勾股定理可得EF，根据切线长定理可得EA=EB，则AF=EF+EA=9，然后根据AF2=FB·FC可得FC，由BC=FC-FB可得BC，根据中点的概念可得BD=2BE=5，然后利用勾股定理进行计算.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.4 切线长定理同步分层训练提升题
一、填空题
1．（2023·恩施模拟）如图， 内切于 ，切点分别为 、 、 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】4-π
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE、OF，
∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，AD=4，BD=6，
∴AE=4，BF=6.
设⊙O的半径为r，
∵△ABC是直角三角形，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴EC=CF=r，
∴AC=4+r，BC=6+r，
∴(r+4)2+(r+6)2=100，
解得r=2，
∴S阴影=S正方形OECF-S扇形OEF=2×2-=4-π.
故答案为：4-π.
【分析】连接OE、OF，由切线长定理可得AE=AD=4，BF=BD=6，设⊙O的半径为r，则EC=CF=r，AC=4+r，BC=6+r，由勾股定理可求出r的值，然后根据S阴影=S正方形OECF-S扇形OEF结合正方形、扇形的面积公式进行计算.
2．（2023·柳北模拟）如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且ABC的三边都与⊙O相切，则AO＝ .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：设⊙O与△ABC的三边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF、OC、BO，
则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，OD=OE=OF，
由勾股定理得，，
∴×AC×BC=×AC×OD+×BC×OE+×AB×OF，即×6×8=×（6+8+10）×OD，
解得，OD=2，
设AD=x，则CD=6-x，
根据切线长定理得，AF=AD=x，CE=6-x，则BE=8-（6-x）=2+x，
∴BF=BE=2+x，
则x+2+x=10，
解得，x=4，
在Rt△AOD中，，
故答案为：.
【分析】设⊙O与△ABC的三边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF、OC、BO，根据切线的性质可得OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，OD=OE=OF；首先根据勾股定理算出AB的长，根据三角形的面积由S△ABC=S△ACO+S△ABO+S△BCO建立方程可求出该圆的半径OD的长；设AD=x，则CD=6-x，根据切线长定理得，AF=AD=x，CE=6-x，则BE=8-（6-x）=2+x，BF=BE=2+x，进而根据AE+BE=AB建立方程，求出x的值，最后在Rt△AOD中，利用勾股定理算出AO的长即可.
3．（2022·泸州）如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设直线AO交于M点（M在O点右边），则点A到上的点的距离的最大值为AM的长度，当与AB、BC相切时，AM最长
设切点分别为D、F，连接OB，如图
∵，，
∴，
∴
∵与AB、BC相切
∴
∵的半径为1
∴
∴
∴
∴
∴
∴点到上的点的距离的最大值为.
故答案为：.
【分析】设直线AO交⊙O于M点（M在O点右边），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为AM的长度，当⊙O与AB、BC相切时，AM最长，设切点分别为D、F，连接OB，求出tanB的值，可得∠B=60°，根据勾股定理可得AB的值，根据切线的性质可得∠OBD=30°，根据三角函数的概念可得BD，由AD=AB-DB可得AD，利用勾股定理求出OA，然后根据AM=OA+OM进行计算.
4．（2022九下·温州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝
，
∴DM＝6+
＝
.
故答案为：
.
【分析】连接OE，OF，ON，OG，根据矩形性质得∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，由切线性质可得∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，可证明四边形AFOE，FBGO是正方形，得AF＝BF＝AE＝BG＝4，进而求得DE＝6；根据切线长定理可得DN＝DE＝6，MN＝MG，可求得CM＝6﹣MN，再在Rt△DMC中，由勾股定理得DM2＝CD2+CM2，即（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，求得NM＝ ，进而可求出DM的长.
5．（2022九上·金东期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，DE为以AB为直径的半圆的切线，切点为F，连结CF，则ED的长为 ，CF的长为 .
【答案】5；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB
∵以AB为直径的半圆
∴BE、AD也是半圆的切线
∵DE为以AB为直径的半圆的切线，
∴EB=EF、DA=DF=4
∴EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF
在Rt△DCE中，
∴
解得
∴DE=DF+EF=4+EF=5
过F作FG⊥DC于G，如图
∴
∴
∴
解得
∴
∴在Rt△CFG中，
故答案为：5，
【分析】由正方形的性质可得CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB，由切线长定理可得EB=EF、DA=DF=4，从而可得EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF，在Rt△DCE中利用勾股定理可求出EF=1，从而求出DE=5，过F作FG⊥DC于G，证明 ，利用相似三角形的性质可求出GF、DG，从而求出CG，在Rt△CFG中，利用勾股定理求出CF即可.
二、选择题
6．（2023九上·惠阳月考）如图，、切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解： 、切于点A、B，直线切于点E，
∴
的周长
∴的周长是.
故答案为：D．
【分析】、切于点A、B，直线切于点E，根据切线长定理，得，代入周长公式，计算求解即可．
7．如图，⊙O与四边形ABCD的各边都相切，若∠AOB=70°，则∠COD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵是四边形ABCD的内切圆，
∴∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA ，
∵∠OAB+∠OAD+∠ODA+∠ODC+∠OCD+∠OCB+∠OBC+∠OBA=360°，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】由四边形的内角和定理得：∠OAB+∠OAD+∠ODA+∠ODC+∠OCD+∠OCB+∠OBC+∠OBA=360°，由切线长定理得∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA ，据此可推出∠OAB+∠ODC+∠OCD+∠OBA=360°，又知∠AOB=70°，，，代入数据可求出∠COD.
8．（2022九上·广西壮族自治区期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则BD的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB-AP=4-3=1.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可得AC=AP，BP=BD，利用BD=PB=AB-AP即可求解.
9．（2022·宁波模拟）如图，是外一点，，分别与相切于点，，是上任意一点，过点作的切线，交于点，交于点．若的半径为4，，则的周长为（ ）
A． B．8 C． D．12
【答案】C
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：，分别与相切于点，，
，
是的切线，切点为P，
，
的周长，
，
，
中，
，
，
，
的周长=.
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理可得AB=AC，PM=MB，PN=NC，∠BAO=∠CAO，由切线的性质可得∠ABO=90°，则△AMN的周长可转化为2AB，易得∠BAO=30°，根据三角函数的概念可得AB，据此计算.
10．（2022九下·重庆月考）如图，在Rt△ABC中， ， ， ，以 边上一点 为圆心作 ，恰与边 ， 分别相切于点 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：连结OC，
∵以AB边上一点O为圆心作 ，恰与边AC ，BC分别相切于点A， D ，
∴DC=AC，OC平分∠ACD，
∵ ， ，
∴∠ACD=90°-∠B=60°，
∴∠OCD=∠OCA= =30°，
在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3× ，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°= ，
∴OD=OA=1，DC=AC= ，
∴ ， ，
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，
∴ ，
S阴影= .
故答案为：A.
【分析】连结OC，利用切线长定理可证得DC=AC，OC平分∠ACD，从而可求∠B，∠ACD，∠OCD的度数；在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长；在Rt△AOC中，利用解直角三角形求出AO的长，即可得到OD，DC的长；利用三角形的面积公式求出△AOC和△OCD的面积，同时可求出∠AOD的度数；利用扇形的面积公式求出扇形AOD的面积，然后求出阴影部分的面积即可.
11．（2021九上·呼伦贝尔期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，点D是劣弧上的一点，则∠ADB＝（ ）
A．108° B．72° C．54° D．126°
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB+∠P=180°，
∴∠AOB=180°-72°=108°，
∴，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-54°=126°，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出∠AOB+∠P=180°，再求出∠ACB+∠ADB=180°，最后计算求解即可。
12．（2021九上·鄞州期末）直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD=CF=1，
由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB=6=AE+BE=BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14.
故答案为：B.
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，易得四边形CDIF是正方形，根据正方形的性质得CD=CF=1，由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，根据外接圆与内切圆的半径可得AB=6=AE+BE=BF+AD，据此不难求出△ABC的周长.
13．（2021九上·虎林期末）如图PA、PB分别与⊙O相切于A．B两点，点C为⊙O上一点，连接AC．BC，若∠ACB=60°，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB =120°，
又∵PA．PB分别与相切于A．B两点，
∴，
∴∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°，
故答案为：A．
【分析】连接OA，OB，先利用圆周角的性质可得∠AOB=2∠ACB =120°，再利用四边形的内角和可得∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°。
三、解答题
14．（2021九上·阳信期中）如图， 和 是⊙ 的两条切线，A，B是切点．C是 上任意一点，过点C画⊙ 的切线，分别交 和 于D，E两点，已知 ，求 的周长．
【答案】解：∵DA、DC是圆O的切线，
∴DA=DC，
同理可得EC=EB，
∴C△PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据 DA、DC是圆O的切线， 得出DA=DC，同理可得EC=EB，再根据周长公式求解即可。
15．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷A）如图，已知E为圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．求证：EF=FG．
【答案】解：连接EF，
∵EF∥CB，
∴∠BCD=∠FED，又∠BCD=∠BAD，
∴∠BAD=∠FED，又∠EFD=∠EFD，
∴△FED∽△FAE，
∴ = ，
∴EF2=FD FA，
∵FG切圆于G，
∴GF2=FD FA，
∴EF=FG．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】 连接EF， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠BCD=∠FED，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BCD=∠BAD， 故 ∠BAD=∠FED，从而判断出 △FED∽△FAE， 根据相似三角形对应边成比例得出 EF2=FD FA， 根据切割线定理得出 GF2=FD FA， 从而得出结论。
四、综合题
16．（2022九上·宿豫开学考）如图，是的直径，直线、分别是过上点、的切线．
（1）若，则 ；
（2）若，求．
【答案】（1）2
（2）解：连接，．
，分别是过上点，的切线，
，，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）直线、分别是过上点、的切线，
.
故答案为：2；
【分析】（1）根据切线长定理可得CD=BD，据此解答；
（2）连接OC、BC，根据切线的性质可得∠OCD=∠OBD=90°，根据四边形内角和为360°可得∠BOC=50°，由圆周角定理可得∠A=∠BOC，据此计算.
17．（2022·兰溪模拟）如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BE＝，BF＝6，求CD的长．
【答案】（1）证明：连接AB，OA．
∵BC是的直径，
∴．
∵DB是的切线，
∴，
∴，
在中，E是斜边BD的中线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵AO是的半径，
∴AF是的切线；
（2）解：在中，，，
∴，
∵FA、DB是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵E是BD的中点，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；切线长定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接AB，OA，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，根据切线的性质可得∠DBO=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AE=DE=BE，根据等腰三角形的性质可得∠EAB=∠EBA，∠OAB=∠OBA，推出∠EAO=∠DBO=90°，据此证明；
（2）利用勾股定理可得EF，根据切线长定理可得EA=EB，则AF=EF+EA=9，然后根据AF2=FB·FC可得FC，由BC=FC-FB可得BC，根据中点的概念可得BD=2BE=5，然后利用勾股定理进行计算.
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