2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.5 正多边形与圆同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2021九上·滨江期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n，
由题意可得： ＝72°，
∴n＝5.
故答案为：B.
【分析】设正多边形的边数为n，根据周角除以边数=圆心角的度数即可求出多边形的边数.
2．（2024九上·福州期末）如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过A作AC⊥OB于点C，如图：
∵圆的内接正十二边形的圆心角为：
∴
∴
∴这个圆内接正十二边形的面积为：
故答案为：B.
【分析】过A作AC⊥OB于点C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为30°，最后根据三角形面积计算公式即可求解.
3．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到的圆周率π的近似值为3..1416.如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计， 可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，作AM⊥OB于M，
∵∠AOB=360°÷12=30°，
∴AM=OA=
∴S△AOB=OB·AM=，
∴S正十二边形=12×=3，
∴3=π·12，
∴π=3，
∴故答案为：C.
【分析】先算出正十二边形中一个三角形的面积，正十二边形的面积则是三角形的面积的12倍，根据题意圆内接正多边形的面积可估计圆的面积，所以将正十二边形的面积=π·r2可求出π的值.
4．（2024九下·定海开学考）如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，
∵正六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，
∴∠ABC=∠DEF=120°，OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=2，
∵OG⊥AB，
∴AG=AB=1，
∴GO=，
∴S阴影=S正六边形ABCDEF-2S扇形BAC=.
故答案为：D.
【分析】连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，由圆内接正六边形性质得∠ABC=∠DEF=120°，OA=OB=2，∠AOB=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得AB=AO=2，由垂径定理得AG=1，再由勾股定理得GO=，最后根据S阴影=S正六边形ABCDEF-2S扇形BAC结合扇形面积计算方法列式计算即可.
5．（2023·金东模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，，点O在对角线AD上，，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AF于点M，N．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OM、ON，过点B作BH⊥AO，垂足为H，
在正六边形ABCDEF中 ，∠BAF=120°，∴∠OAB=∠OAF=60°，
∵， ∴∠BOA=∠AOF=45°，
∴∠ABO=∠AFO=180°-60°-45°=75°，
∵OB=OM=OF=ON，∴∠MBO=∠BMO=∠ONF=∠OFN=75°，
∴∠BOM=∠NOF=30°，∴MON=∠BOF-∠BOM-∠NOF=30°，
在Rt△ABH中，∠HAB=60°，AB=BC=2，
∴BH=AB=，
在Rt△OBH中，∠BOA=45°，∴OM=BH=，
∴的长=；
故答案为：D.
【分析】连接OM、ON，过点B作BH⊥AO，垂足为H，由正六边形的性质及垂直的定义可求出∠OAB=∠OAF=60°，∠BOA=∠AOF=45°，利用三角形的内角和求出∠ABO=∠AFO=75°，由等腰三角形的性质及三角形内角和可得∠BOM=∠NOF=30°，从而得出MON=30°，利用解直角三角形先求出BH=AB=，再求出OM=BH=，最后利用弧长公式计算即可.
6．（2023·锦江模拟）如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OG，在优弧BAG上任取一点M，连接BM、GM，在劣弧BG上取点N，连接BN、GN，
由题意得∠AOG=，∠AOB=，
∴∠BOG=∠AOG-∠AOB=30°，
∴∠BMG=∠BOG=15°，
∵∠BMG+∠BNG=180°，
∴∠BNG=165°.
∴弦BG所对的圆周角的度数为15°或165°.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB、OG，在优弧BAG上任取一点M，连接BM、GM，在劣弧BG上取点N，连接BN、GN，先根据中心角的计算方法求出∠AOG=90°，∠AOB=60°，由角的和差得∠BOG=30°，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半算出∠BMG的度数，最后根据圆内接四边形的对角互补算出∠BNG的度数.
7．（2022九上·南宁月考）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．abc B．bac C．acb D．cba
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，
如图，
由为圆内接正三角形，
则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R.
如图，四边形为圆的内接正方形，
四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，
如图，六边形为圆的正内接六边形，
正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R.
∵RRR，
∴＜b＜，
故答案为：A.
【分析】根据三角函数分别求出a、b、c的值，再比较即可.
8．（2023九上·宁波期末）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（ ）cm．
A． B． C．7 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，QM，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，
∴∠OGQ=∠OHB=90°
∵图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，
∴∠OQG=∠ABO=60°，∠GOQ=30°
设QG=x，则，
∵小正六边形的面积为
∴
解之：（取正），
∴小正六边形的边长为，，
∴；
∵OG⊥PM，
∴，
在Rt△OPG中
，
设BH=m，PH=5-m，
∵∠HOB=90°-60°=30°，
∴OB=2m，
∵OH2=OB2-BH2=OP2-PH2，
∴4m2-m2=72-（5-m）2，
解之：m1=4，m2=（舍去）
∴该圆的半径为2×4=8.
故答案为：D
【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，QM，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，利用垂直的定义可得到∠OGQ=∠OHB=90°，利用正六边形的性质可证得∠OQG=∠ABO=60°，∠GOQ=30°，设QG=x，利用解直角三角形表示出OG的长，利用三角形的面积公式，根据小正六边形的面积，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到小正六边形的边长，即可求出PM的长，利用垂径定理求出PG的长；在Rt△OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设BH=m，PH=5-m，可表示出OB的长，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可求出圆的半径.
二、填空题
9．（2022·威宁模拟）如图，正方形的边长为，为射线上一动点，以为边在正方形外作正方形，连接，，两直线，相交于点，连接，当线段的长为整数时，的长为 ．
【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：四边形和四边形为正方形，
，，
在和中
，
≌，
，
而，
，
连接，如图所示：
点在以为直径的圆上，即点在正方形的外接圆上，
为此外接圆的弦，
，
，
当线段的长为整数时，的长为或．
故答案为：或
【分析】先根据正方形的性质得到，，进而根据三角形全等的判定与性质证明≌即可得到，连接，进而即可得到点在以为直径的圆上，即点在正方形的外接圆上，再根据圆的弦结合题意即可得到AP的取值范围，进而即可求解。
10．（2024九上·望奎期末）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是 ．
【答案】1：
【知识点】正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图：
设圆的半径为R，
∴CD=OD=R，
∴内接正方形的边长为R，AB=OB=R，
∴外切正方形的边长为2R，
∴圆的内接正方形和外切正方形的边长之比为：R：2R=1：.
故答案为：1：.
【分析】根据题意画出图形，设圆的半径为R，由正方形的性质和勾股定理分别将圆的内接正方形和外切正方形的边长用含R的代数式表示出来，然后求比值即可求解.
11．（2023·重庆）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，
在△BCD中，由勾股定理得，
∴圆的半径，
∴，
故答案为：
【分析】连接BD，先根据矩形的性质得到∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，再根据勾股定理即可求出圆的直径，进而即可得到圆的半径，再根据即可求解。
12．（2023·临渭模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB，
由题意得∠AOB=360°÷8=45°，
∵，
∴，
∵∴S1=8××OB×AD=8××2×=，S=，
∴S-S1=.
故答案为：.
【分析】根据正多边形的中心角的定义可求出∠AOB=45°，进而根据∠AOB的正弦函数的定义求出AD的长，然后根据三角形的面积计算公式及圆的面积计算公式分别算出S与S1，最后求差即可.
13．（2023·南关模拟）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣“，早在多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为，则这个圆的内接正十二边形的面积为 ．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，
圆的内接正十二边形的圆心角为360°÷30=30°，
在Rt△AOC中，OA=1，∠O=30°，
∴AC=OA=，
∴圆的内接正十二边形的面积=12S△OAB=12××1×=3；
故答案为：3.
【分析】过点A作AC⊥OB于点C，先求出圆的内接正十二边形的圆心角的度数，即得∠O=30°，利用直角三角形的性质可得AC=OA=，根据圆的内接正十二边形的面积=12S△OAB即可求解.
三、解答题
14．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
15．（2020·黄石模拟）试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。例如，相同点：正方形的对角线相等，正五边形的。对角线也相等；不同点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形。
相同点：① ；②
不同点：① ；② .
【答案】都有相等的边；都有相等的内角；边数不同；内角的度数不同
【知识点】圆内接正多边形；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】相同点：①都有相等的边；②都有相等的内角；③都有外接圆和内切圆；④都是轴对称图形；⑤对称轴都交于一点.（写出两条即可）
不同点：①边数不同：②内角的度数不同；③内角和不同；④对角线的条数不同；⑤对称轴的条数不同.（写出两条即可）
【分析】此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形.根据正多边形的性质进行分析它们的相同和不同之处.
四、综合题
16．（2020九上·临江期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2）；
（3）
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出 ，再由圆周角定理即可求出∠MON的度数；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答。
17．（2020·新疆模拟）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形.如图1， 与 的三边 分别相切于点 则 叫做 的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形.如图2， 与四边形ABCD的边 分别相切于点 则四边形 叫做 的外切四边形.
（1）如图2，试探究圆外切四边形 的两组对边 与 之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；
（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；
（3）用文字叙述上面证明的结论： ；
（4）若圆外切四边形的周长为 相邻的三条边的比为 ，求此四边形各边的长.
【答案】（1）=
（2）解：已知：四边形 的四边 分别与 相切于点
求证：
证明： 与 相切，
同理：
（3）圆外切四边形的对边之和相等
（4）解： 相邻的三条边的比为 ，
设此三边为
根据圆外切四边形的性质得：第四边的长为：
圆外切四边形的周长为 ，
解得
此四边形的四边长分别为： .
【知识点】圆内接正多边形；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，
∴猜想AB+CD=AD+BC，
故答案为：=.
（ 3 ）由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等.
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
【分析】（1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论；（2）根据切线长定理即可得出结论；（3）由（2）可得出答案；（4）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.5 正多边形与圆同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2021九上·滨江期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024九上·福州期末）如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B．3 C． D．
3．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到的圆周率π的近似值为3..1416.如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计， 可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2024九下·定海开学考）如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·金东模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，，点O在对角线AD上，，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AF于点M，N．则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·锦江模拟）如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2022九上·南宁月考）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．abc B．bac C．acb D．cba
8．（2023九上·宁波期末）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（ ）cm．
A． B． C．7 D．8
二、填空题
9．（2022·威宁模拟）如图，正方形的边长为，为射线上一动点，以为边在正方形外作正方形，连接，，两直线，相交于点，连接，当线段的长为整数时，的长为 ．
10．（2024九上·望奎期末）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是 ．
11．（2023·重庆）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
12．（2023·临渭模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
13．（2023·南关模拟）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣“，早在多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为，则这个圆的内接正十二边形的面积为 ．
三、解答题
14．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
15．（2020·黄石模拟）试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。例如，相同点：正方形的对角线相等，正五边形的。对角线也相等；不同点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形。
相同点：① ；②
不同点：① ；② .
四、综合题
16．（2020九上·临江期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
17．（2020·新疆模拟）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形.如图1， 与 的三边 分别相切于点 则 叫做 的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形.如图2， 与四边形ABCD的边 分别相切于点 则四边形 叫做 的外切四边形.
（1）如图2，试探究圆外切四边形 的两组对边 与 之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；
（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；
（3）用文字叙述上面证明的结论： ；
（4）若圆外切四边形的周长为 相邻的三条边的比为 ，求此四边形各边的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n，
由题意可得： ＝72°，
∴n＝5.
故答案为：B.
【分析】设正多边形的边数为n，根据周角除以边数=圆心角的度数即可求出多边形的边数.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过A作AC⊥OB于点C，如图：
∵圆的内接正十二边形的圆心角为：
∴
∴
∴这个圆内接正十二边形的面积为：
故答案为：B.
【分析】过A作AC⊥OB于点C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为30°，最后根据三角形面积计算公式即可求解.
3．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，作AM⊥OB于M，
∵∠AOB=360°÷12=30°，
∴AM=OA=
∴S△AOB=OB·AM=，
∴S正十二边形=12×=3，
∴3=π·12，
∴π=3，
∴故答案为：C.
【分析】先算出正十二边形中一个三角形的面积，正十二边形的面积则是三角形的面积的12倍，根据题意圆内接正多边形的面积可估计圆的面积，所以将正十二边形的面积=π·r2可求出π的值.
4．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，
∵正六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，
∴∠ABC=∠DEF=120°，OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=2，
∵OG⊥AB，
∴AG=AB=1，
∴GO=，
∴S阴影=S正六边形ABCDEF-2S扇形BAC=.
故答案为：D.
【分析】连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，由圆内接正六边形性质得∠ABC=∠DEF=120°，OA=OB=2，∠AOB=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得AB=AO=2，由垂径定理得AG=1，再由勾股定理得GO=，最后根据S阴影=S正六边形ABCDEF-2S扇形BAC结合扇形面积计算方法列式计算即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OM、ON，过点B作BH⊥AO，垂足为H，
在正六边形ABCDEF中 ，∠BAF=120°，∴∠OAB=∠OAF=60°，
∵， ∴∠BOA=∠AOF=45°，
∴∠ABO=∠AFO=180°-60°-45°=75°，
∵OB=OM=OF=ON，∴∠MBO=∠BMO=∠ONF=∠OFN=75°，
∴∠BOM=∠NOF=30°，∴MON=∠BOF-∠BOM-∠NOF=30°，
在Rt△ABH中，∠HAB=60°，AB=BC=2，
∴BH=AB=，
在Rt△OBH中，∠BOA=45°，∴OM=BH=，
∴的长=；
故答案为：D.
【分析】连接OM、ON，过点B作BH⊥AO，垂足为H，由正六边形的性质及垂直的定义可求出∠OAB=∠OAF=60°，∠BOA=∠AOF=45°，利用三角形的内角和求出∠ABO=∠AFO=75°，由等腰三角形的性质及三角形内角和可得∠BOM=∠NOF=30°，从而得出MON=30°，利用解直角三角形先求出BH=AB=，再求出OM=BH=，最后利用弧长公式计算即可.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OG，在优弧BAG上任取一点M，连接BM、GM，在劣弧BG上取点N，连接BN、GN，
由题意得∠AOG=，∠AOB=，
∴∠BOG=∠AOG-∠AOB=30°，
∴∠BMG=∠BOG=15°，
∵∠BMG+∠BNG=180°，
∴∠BNG=165°.
∴弦BG所对的圆周角的度数为15°或165°.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB、OG，在优弧BAG上任取一点M，连接BM、GM，在劣弧BG上取点N，连接BN、GN，先根据中心角的计算方法求出∠AOG=90°，∠AOB=60°，由角的和差得∠BOG=30°，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半算出∠BMG的度数，最后根据圆内接四边形的对角互补算出∠BNG的度数.
7．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，
如图，
由为圆内接正三角形，
则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R.
如图，四边形为圆的内接正方形，
四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，
如图，六边形为圆的正内接六边形，
正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R.
∵RRR，
∴＜b＜，
故答案为：A.
【分析】根据三角函数分别求出a、b、c的值，再比较即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，QM，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，
∴∠OGQ=∠OHB=90°
∵图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，
∴∠OQG=∠ABO=60°，∠GOQ=30°
设QG=x，则，
∵小正六边形的面积为
∴
解之：（取正），
∴小正六边形的边长为，，
∴；
∵OG⊥PM，
∴，
在Rt△OPG中
，
设BH=m，PH=5-m，
∵∠HOB=90°-60°=30°，
∴OB=2m，
∵OH2=OB2-BH2=OP2-PH2，
∴4m2-m2=72-（5-m）2，
解之：m1=4，m2=（舍去）
∴该圆的半径为2×4=8.
故答案为：D
【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，QM，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，利用垂直的定义可得到∠OGQ=∠OHB=90°，利用正六边形的性质可证得∠OQG=∠ABO=60°，∠GOQ=30°，设QG=x，利用解直角三角形表示出OG的长，利用三角形的面积公式，根据小正六边形的面积，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到小正六边形的边长，即可求出PM的长，利用垂径定理求出PG的长；在Rt△OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设BH=m，PH=5-m，可表示出OB的长，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可求出圆的半径.
9．【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：四边形和四边形为正方形，
，，
在和中
，
≌，
，
而，
，
连接，如图所示：
点在以为直径的圆上，即点在正方形的外接圆上，
为此外接圆的弦，
，
，
当线段的长为整数时，的长为或．
故答案为：或
【分析】先根据正方形的性质得到，，进而根据三角形全等的判定与性质证明≌即可得到，连接，进而即可得到点在以为直径的圆上，即点在正方形的外接圆上，再根据圆的弦结合题意即可得到AP的取值范围，进而即可求解。
10．【答案】1：
【知识点】正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图：
设圆的半径为R，
∴CD=OD=R，
∴内接正方形的边长为R，AB=OB=R，
∴外切正方形的边长为2R，
∴圆的内接正方形和外切正方形的边长之比为：R：2R=1：.
故答案为：1：.
【分析】根据题意画出图形，设圆的半径为R，由正方形的性质和勾股定理分别将圆的内接正方形和外切正方形的边长用含R的代数式表示出来，然后求比值即可求解.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，
在△BCD中，由勾股定理得，
∴圆的半径，
∴，
故答案为：
【分析】连接BD，先根据矩形的性质得到∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，再根据勾股定理即可求出圆的直径，进而即可得到圆的半径，再根据即可求解。
12．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB，
由题意得∠AOB=360°÷8=45°，
∵，
∴，
∵∴S1=8××OB×AD=8××2×=，S=，
∴S-S1=.
故答案为：.
【分析】根据正多边形的中心角的定义可求出∠AOB=45°，进而根据∠AOB的正弦函数的定义求出AD的长，然后根据三角形的面积计算公式及圆的面积计算公式分别算出S与S1，最后求差即可.
13．【答案】3
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，
圆的内接正十二边形的圆心角为360°÷30=30°，
在Rt△AOC中，OA=1，∠O=30°，
∴AC=OA=，
∴圆的内接正十二边形的面积=12S△OAB=12××1×=3；
故答案为：3.
【分析】过点A作AC⊥OB于点C，先求出圆的内接正十二边形的圆心角的度数，即得∠O=30°，利用直角三角形的性质可得AC=OA=，根据圆的内接正十二边形的面积=12S△OAB即可求解.
14．【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
15．【答案】都有相等的边；都有相等的内角；边数不同；内角的度数不同
【知识点】圆内接正多边形；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】相同点：①都有相等的边；②都有相等的内角；③都有外接圆和内切圆；④都是轴对称图形；⑤对称轴都交于一点.（写出两条即可）
不同点：①边数不同：②内角的度数不同；③内角和不同；④对角线的条数不同；⑤对称轴的条数不同.（写出两条即可）
【分析】此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形.根据正多边形的性质进行分析它们的相同和不同之处.
16．【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2）；
（3）
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出 ，再由圆周角定理即可求出∠MON的度数；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答。
17．【答案】（1）=
（2）解：已知：四边形 的四边 分别与 相切于点
求证：
证明： 与 相切，
同理：
（3）圆外切四边形的对边之和相等
（4）解： 相邻的三条边的比为 ，
设此三边为
根据圆外切四边形的性质得：第四边的长为：
圆外切四边形的周长为 ，
解得
此四边形的四边长分别为： .
【知识点】圆内接正多边形；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，
∴猜想AB+CD=AD+BC，
故答案为：=.
（ 3 ）由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等.
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
【分析】（1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论；（2）根据切线长定理即可得出结论；（3）由（2）可得出答案；（4）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.
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