2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.2 二次函数的图像和性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2018·哈尔滨）将抛物线y=-5x +1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．y=-5(x+1)2 -1 B．y=-5(x-1)2 -1
C．y=-5(x+1)2 +3 D．y=-5(x-1)2 +3
2．（2024九上·黔南期末）在同一平面直角坐标系中，函数和是常数，且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·深圳开学考）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
4．（2022九上·即墨期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·从江月考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．abc<0
B．-3a+c<0
C．b2-4ac≥0
D．将该函数图象向左平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为y=ax2+c
6．（2024九下·福州开学考）点和点在二次函数的图象上，且，，则的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．（2024·深圳模拟） 将抛物线 先向左平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位后， 抛物线的解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·清城模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝，有下列结论：①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；
③a＜﹣．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．（2021九上·松江期末）把抛物线y＝x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是 ．
10．（2024九上·曲靖期末）二次函数的顶点坐标为，且开口向上，则的值为 ．
11．如图，抛物线y=ax2+5ax+4与x轴交于C，D两点，与y轴交于点B，过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点A，连结AD，BC.若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则a= .
12．（2020九上·崇左期末）如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=- x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S= .
13．（2023九上·吉林月考）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x+）2+7与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的正方形ABCD的周长为 ．
三、解答题
14．（2024九上·怀化期末）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围）
（2）当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
15．（2024八上·遵义期末）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
原式．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
（1）利用配方法分解因式：；
（2）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知正数满足，求．
四、综合题
16．（2023·株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上
（1）求k的值；
（2）连接，记的面积为S，设，求T的最大值．
17．（2023九下·锡山期中）如图，在矩形中， ，，P是线段边上的任意一点（不含端点A、D），连接，过点P作交于E．
（1）若，则 ；
（2）当点P在上运动时，对应的点E也随之在上运动，求的取值范围；
（3）在线段上是否存在不同于P的点Q，使得？若存在，求线段与之间的数量关系；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将抛物线y=-5x+1向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：y=-5（x+1）2+1
再向下平移2个单位长度得到的抛物线为：y=-5(x-1)+1-2
即y=-5(x+1)-1
故答案为：A
【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。即可求解。
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、由一次函数的图象可得：a<0，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线x=，∴A不正确；
B、由一次函数的图象可得：a<0，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线x=，∴B正确；
C、由一次函数的图象可得：a>0，此时二次函数的图象应该开口向下，∴C不正确；
D、由一次函数的图象可得：a<0，此时二次函数的图象应该开口向上，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用一次函数和二次函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号；
当a、b同为正数时，二次函数y=ax2-2x的开口向上，对称轴在y轴的右侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，故B选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意；
当a、b同为负数时，二次函数y=ax2-2x的开口向下，对称轴在y轴的左侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，故A、D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时图象的两支分布在二、四象限；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，当a、b同号时图象的对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，图象的对称轴在y轴的右侧，当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象经过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴，据此逐个判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移3个单位得，再向上平移5个单位得；
故答案为：D．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图像可知：开口向下，a<0；对称轴在y轴右侧，a、b异号，则b>0，
函数图象交于y轴的负半轴，c<0，abc>0，A错误；
B、由图可知：对称轴，，再根据图像可知当x=1时，函数值小于零，
即：a+b+c<0，把b=-4a代入得：a-4a+c<0，即-3a+c<0，B正确；
C、由图像图像可知，抛物线与x轴有两个交点，，C错误；
D、将抛物线的一般式转换为顶点式可得： y=ax2+bx+c=，
对称轴，抛物线的表达式为，
向左平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为，D错误.
【分析】根据开口方向可得a<0，利用同左异右可得b>0，再根据函数图象交于y轴的负半轴，判定c<0，即可判断A选项；根据对称轴表示出a与b的数量关系，再取特殊值x=1即可判断B选项；根据抛物线与x轴的交点个数即可判断C选项；先将一般式转换为顶点式，再根据左加右减即可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点在二次函数的图象上，
∴将y=3代入得x2+2x-4=3，
解得：
∴
∴
则原式=
故答案为：C.
【分析】根据二次函数上点的坐标特征得到：进而根据平面内两点间的距离公式可求出a的值，然后代入计算即可.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将抛物线 先向左平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位后， 抛物线的解析式为y=-（x-1+2）+4-3即y=-（x+1）+1.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为，则点关于直线对称的坐标为
∴
∴抛物线开口向下，
∴
由题意得：
∴则①错误，
∵抛物线开口向下，且与x轴有两个交点，
∴顶点在x轴上方，
∵
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根，则②正确，
由题意得：
∴
即则③正确，
综上所述，正确的有2个，
故答案为：C.
【分析】根据题意判断出抛物线开口向下，根据抛物线的对称轴为，判断出a、b、c的符号即可判断①；根据题意判断出抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；根据题意得到：进而即可判断③.
9．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
【分析】根据平移的性质先求出，再求解即可。
10．【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴a2-9=0，，
解得：a1=3，a2=-3，b=0，
∵二次函数的开口向上，
∴a<0，
∴a=3，
∴，
故答案为：3.
【分析】利用二次函数的顶点坐标为（0，0）可得a2-9=0，，求出a、b的值，再结合二次函数的开口方向求出a的值，最后将其代入a+b计算即可.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当y=4时，则y=ax2+5ax+4=4，
解得x=0或-5，
∴A（-5，4），
过点A作AE⊥x轴，则AE=4，
∵AB∥x轴，
∴∠ABD=∠BDC，
∵ 点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上 ，
∴∠ADB=∠BDO，即∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB=5，
∴ED==3，
∴OD=ED+OE=3+5=8，
∴D（-8，0），
把D（-8，0）代入y=ax2+5ax+4中，得a=.
故答案为：y=ax2+5ax+4.
【分析】先求出A的坐标，过点A作AE⊥x轴，则AE=4，由对称性及平行线可得∠ABD=∠ADB，利用等角对等边可得AD=AB=5，由勾股定理求出ED的长，即得点D的坐标，再将点D坐标代入解析式中即可求出a值.
12．【答案】4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4.
故答案是：4.
【分析】根据平移的性质得出阴影部分即为平行四边形的面积.
13．【答案】12
【知识点】正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A是抛物线 y＝a（x+）2+7与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，
∴点A、B关于对称轴x=对称，
∴，
∴点B的横坐标为3，
∴AB=3，即正方形的边长为3，
∴C正方形ABCD=3×4=12，
故答案为：12.
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x=，再结合点A的横坐标为0求出点B的横坐标可得AB=3，即正方形的边长为3，再利用正方形的周长公式求解即可.
14．【答案】（1）解：由题意得，
；
故答案为：；
（2）解：当时，
，
解得：．
答：当销售单价为25元或43元时，厂商每月获得的利润为350万元．
，
当销售单价定为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=单个利润×销售量，代入代数式化简即可得到利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式.
（2）把月利润=350万代入函数表达式中，解一元二次方程即可；根据（1）中的表达式，利用配方即可求得利润的最大值.
15．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
此时，即，
那么当时，多项式有最小值，最小值为；
（3）解：，
则，
即，
，
，．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次函数的最值；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可；
（2）利用配方法求出 ， 再求解即可；
（3）利用完全平方公式求出 ， 再求出a，b和c的值，最后代入计算求解即可。
16．【答案】（1）解：∵点在函数的图像上，
∴，
∴，
即k的值为2；
（2）解：∵点在x轴负半轴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，轴，
∴的面积为，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，T的最大值是1．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的最值；正方形的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数将点P代入即可求解；
（2）先根据题意得到，再根据正方形的性质结合三角形的面积公式即可得到，进而得到T，再根据二次函数的最值即可求解。
17．【答案】（1）
（2）解：由（1）得：，
，
设，，
，
，
整理得：，
，
当时，，
，
此时的最小值为，
又E在上运动，
，
．
（3）解：如图，假设存在这样的点Q，
由（1）可得：，
同理可得：，
，
，
整理得：，
不同于点，
，
即：不是的中点，
，
∴当P不是的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时．
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=6，BC=AD=9，
∴∠AEP+∠APE=90°.
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠CPD.
∵∠AEP=∠CPD，∠A=∠D=90°，
∴△PAE∽△CDP，
∴，
∴，
∴AE=.
故答案为：.
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，AB=CD=6，BC=AD=9，由同角的余角相等可得∠AEP=∠CPD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△PAE∽△CDP，然后由相似三角形的性质进行计算；
（2）由相似三角形的性质可得AE·DC=AP·DP，设AP=x，AE=y，则DP=9-x，代入并整理可得y与x的关系式，由二次函数的性质可得y的最大值以及对应的x的值，然后根据BE=AB-AE可得BE的最小值，根据E在AB上运动可得BE<6，据此可得BE的范围；
（3）假设存在这样的点Q，由（1）可得AE·DC=AP·DP，同理可得AQ·DQ=AE·DC，则AQ·DQ=AP·DP，结合DQ=9-AQ、DP=9-AP可得AP+AQ-9=0，据此解答.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.2 二次函数的图像和性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2018·哈尔滨）将抛物线y=-5x +1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．y=-5(x+1)2 -1 B．y=-5(x-1)2 -1
C．y=-5(x+1)2 +3 D．y=-5(x-1)2 +3
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将抛物线y=-5x+1向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：y=-5（x+1）2+1
再向下平移2个单位长度得到的抛物线为：y=-5(x-1)+1-2
即y=-5(x+1)-1
故答案为：A
【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。即可求解。
2．（2024九上·黔南期末）在同一平面直角坐标系中，函数和是常数，且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、由一次函数的图象可得：a<0，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线x=，∴A不正确；
B、由一次函数的图象可得：a<0，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线x=，∴B正确；
C、由一次函数的图象可得：a>0，此时二次函数的图象应该开口向下，∴C不正确；
D、由一次函数的图象可得：a<0，此时二次函数的图象应该开口向上，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用一次函数和二次函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可.
3．（2024九下·深圳开学考）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号；
当a、b同为正数时，二次函数y=ax2-2x的开口向上，对称轴在y轴的右侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，故B选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意；
当a、b同为负数时，二次函数y=ax2-2x的开口向下，对称轴在y轴的左侧，抛物线经过坐标原点；一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，故A、D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时图象的两支分布在二、四象限；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，当a、b同号时图象的对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，图象的对称轴在y轴的右侧，当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象经过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴，据此逐个判断得出答案.
4．（2022九上·即墨期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移3个单位得，再向上平移5个单位得；
故答案为：D．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
5．（2024九上·从江月考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．abc<0
B．-3a+c<0
C．b2-4ac≥0
D．将该函数图象向左平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为y=ax2+c
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图像可知：开口向下，a<0；对称轴在y轴右侧，a、b异号，则b>0，
函数图象交于y轴的负半轴，c<0，abc>0，A错误；
B、由图可知：对称轴，，再根据图像可知当x=1时，函数值小于零，
即：a+b+c<0，把b=-4a代入得：a-4a+c<0，即-3a+c<0，B正确；
C、由图像图像可知，抛物线与x轴有两个交点，，C错误；
D、将抛物线的一般式转换为顶点式可得： y=ax2+bx+c=，
对称轴，抛物线的表达式为，
向左平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为，D错误.
【分析】根据开口方向可得a<0，利用同左异右可得b>0，再根据函数图象交于y轴的负半轴，判定c<0，即可判断A选项；根据对称轴表示出a与b的数量关系，再取特殊值x=1即可判断B选项；根据抛物线与x轴的交点个数即可判断C选项；先将一般式转换为顶点式，再根据左加右减即可判断D选项.
6．（2024九下·福州开学考）点和点在二次函数的图象上，且，，则的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点在二次函数的图象上，
∴将y=3代入得x2+2x-4=3，
解得：
∴
∴
则原式=
故答案为：C.
【分析】根据二次函数上点的坐标特征得到：进而根据平面内两点间的距离公式可求出a的值，然后代入计算即可.
7．（2024·深圳模拟） 将抛物线 先向左平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位后， 抛物线的解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将抛物线 先向左平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位后， 抛物线的解析式为y=-（x-1+2）+4-3即y=-（x+1）+1.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
8．（2024·清城模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝，有下列结论：①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；
③a＜﹣．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为，则点关于直线对称的坐标为
∴
∴抛物线开口向下，
∴
由题意得：
∴则①错误，
∵抛物线开口向下，且与x轴有两个交点，
∴顶点在x轴上方，
∵
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根，则②正确，
由题意得：
∴
即则③正确，
综上所述，正确的有2个，
故答案为：C.
【分析】根据题意判断出抛物线开口向下，根据抛物线的对称轴为，判断出a、b、c的符号即可判断①；根据题意判断出抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；根据题意得到：进而即可判断③.
二、填空题
9．（2021九上·松江期末）把抛物线y＝x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
【分析】根据平移的性质先求出，再求解即可。
10．（2024九上·曲靖期末）二次函数的顶点坐标为，且开口向上，则的值为 ．
【答案】3
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴a2-9=0，，
解得：a1=3，a2=-3，b=0，
∵二次函数的开口向上，
∴a<0，
∴a=3，
∴，
故答案为：3.
【分析】利用二次函数的顶点坐标为（0，0）可得a2-9=0，，求出a、b的值，再结合二次函数的开口方向求出a的值，最后将其代入a+b计算即可.
11．如图，抛物线y=ax2+5ax+4与x轴交于C，D两点，与y轴交于点B，过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点A，连结AD，BC.若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则a= .
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当y=4时，则y=ax2+5ax+4=4，
解得x=0或-5，
∴A（-5，4），
过点A作AE⊥x轴，则AE=4，
∵AB∥x轴，
∴∠ABD=∠BDC，
∵ 点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上 ，
∴∠ADB=∠BDO，即∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB=5，
∴ED==3，
∴OD=ED+OE=3+5=8，
∴D（-8，0），
把D（-8，0）代入y=ax2+5ax+4中，得a=.
故答案为：y=ax2+5ax+4.
【分析】先求出A的坐标，过点A作AE⊥x轴，则AE=4，由对称性及平行线可得∠ABD=∠ADB，利用等角对等边可得AD=AB=5，由勾股定理求出ED的长，即得点D的坐标，再将点D坐标代入解析式中即可求出a值.
12．（2020九上·崇左期末）如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=- x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S= .
【答案】4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4.
故答案是：4.
【分析】根据平移的性质得出阴影部分即为平行四边形的面积.
13．（2023九上·吉林月考）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x+）2+7与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的正方形ABCD的周长为 ．
【答案】12
【知识点】正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A是抛物线 y＝a（x+）2+7与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，
∴点A、B关于对称轴x=对称，
∴，
∴点B的横坐标为3，
∴AB=3，即正方形的边长为3，
∴C正方形ABCD=3×4=12，
故答案为：12.
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x=，再结合点A的横坐标为0求出点B的横坐标可得AB=3，即正方形的边长为3，再利用正方形的周长公式求解即可.
三、解答题
14．（2024九上·怀化期末）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围）
（2）当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得，
；
故答案为：；
（2）解：当时，
，
解得：．
答：当销售单价为25元或43元时，厂商每月获得的利润为350万元．
，
当销售单价定为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=单个利润×销售量，代入代数式化简即可得到利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式.
（2）把月利润=350万代入函数表达式中，解一元二次方程即可；根据（1）中的表达式，利用配方即可求得利润的最大值.
15．（2024八上·遵义期末）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
原式．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
（1）利用配方法分解因式：；
（2）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知正数满足，求．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
此时，即，
那么当时，多项式有最小值，最小值为；
（3）解：，
则，
即，
，
，．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次函数的最值；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可；
（2）利用配方法求出 ， 再求解即可；
（3）利用完全平方公式求出 ， 再求出a，b和c的值，最后代入计算求解即可。
四、综合题
16．（2023·株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上
（1）求k的值；
（2）连接，记的面积为S，设，求T的最大值．
【答案】（1）解：∵点在函数的图像上，
∴，
∴，
即k的值为2；
（2）解：∵点在x轴负半轴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，轴，
∴的面积为，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，T的最大值是1．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的最值；正方形的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数将点P代入即可求解；
（2）先根据题意得到，再根据正方形的性质结合三角形的面积公式即可得到，进而得到T，再根据二次函数的最值即可求解。
17．（2023九下·锡山期中）如图，在矩形中， ，，P是线段边上的任意一点（不含端点A、D），连接，过点P作交于E．
（1）若，则 ；
（2）当点P在上运动时，对应的点E也随之在上运动，求的取值范围；
（3）在线段上是否存在不同于P的点Q，使得？若存在，求线段与之间的数量关系；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：由（1）得：，
，
设，，
，
，
整理得：，
，
当时，，
，
此时的最小值为，
又E在上运动，
，
．
（3）解：如图，假设存在这样的点Q，
由（1）可得：，
同理可得：，
，
，
整理得：，
不同于点，
，
即：不是的中点，
，
∴当P不是的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时．
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=6，BC=AD=9，
∴∠AEP+∠APE=90°.
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠CPD.
∵∠AEP=∠CPD，∠A=∠D=90°，
∴△PAE∽△CDP，
∴，
∴，
∴AE=.
故答案为：.
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，AB=CD=6，BC=AD=9，由同角的余角相等可得∠AEP=∠CPD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△PAE∽△CDP，然后由相似三角形的性质进行计算；
（2）由相似三角形的性质可得AE·DC=AP·DP，设AP=x，AE=y，则DP=9-x，代入并整理可得y与x的关系式，由二次函数的性质可得y的最大值以及对应的x的值，然后根据BE=AB-AE可得BE的最小值，根据E在AB上运动可得BE<6，据此可得BE的范围；
（3）假设存在这样的点Q，由（1）可得AE·DC=AP·DP，同理可得AQ·DQ=AE·DC，则AQ·DQ=AP·DP，结合DQ=9-AQ、DP=9-AP可得AP+AQ-9=0，据此解答.
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