2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·东阳月考）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2） D．（2，1）
2．（2023九上·澧县月考）抛物线的对称轴为直线，y的最大值为，且与的图象开口大小相同，则这条抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·珠海期中）若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过），则二次函数的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2022九上·杭州月考）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过，，三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为 D．最小值为
5．（2022九上·苍南期中）已知如图， 在正方形中， 点的坐标分别是， 点在抛物线 的图像上， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·海淀期中）二次函数的x与y的部分对应值如下表：
-1 0 1 2 3 4
2 1 2 5 10
则的值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
7．（2022·瓯海模拟）已知y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），该函数在1≤x≤4的取值范围，下列说法正确的是（ ）．
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值-1，有最大值3
C．有最小值-3，有最大值4 D．有最小值-1，有最大值4
8．（2022·汕尾模拟）在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·滨江开学考）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ．
10．（2019·徐州）已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为 .
11．（2023九上·咸丰期中）若抛物线与抛物线的形状相同，且经过点，则它的解析式为 ．
12．（2023九上·合肥月考）抛物线的顶点坐标是
13．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解为 .
三、解答题
14．（2023九上·凉州月考） 已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P．
（1） 求此抛物线的顶点P的坐标．
（2） 将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．
15．（2024九下·深圳开学考）深圳市某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，获得数据如表：
x（米） 0 0.5 2 3.5 5
y（米） 2.25 3 2.25 0
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象；
（2）直接写出水流最高点距离地面的高度为 米；
（3）求该抛物线的表达式；（结果用一般式表示）
（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为 米．（结果精确到0.1米）
四、综合题
16．（2023九上·仓山月考）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上，且．
（1）若，求抛物线解析式；
（2）若该抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点，则命题“对于任意一个，都存在，使得”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例；
（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过，点的对应点为，当时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．
17．（2023·潍坊）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
（1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，
∴
∴
∴二次函数解析式为：
A、则本项符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项不符合题意；
D、，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据题意利用待定系数法求出二次函数的解析式，最后逐项计算即可求解.
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，y的最大值为，且与的图象开口大小相同，
∴这条抛物线的解析式为，
故答案为：B
【分析】先根据“抛物线的对称轴为直线，y的最大值为，且与的图象开口大小相同”结合二次函数的图象与性质即可写出解析式，进而即可求解。
3．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），
∴可设解析式为：y=a(x-2)2-1，
∵抛物线过点（0，3），
∴3=a(0-2)2-1，
解得a=1，
∴二次函数的解析式为：y=(x-2)2-1.
故答案为：A.
【分析】由已知的二次函数的顶点坐标可设解析式为顶点式：y=a(x-2)2-1，再把点（0，3）代入解析式可得关于a的方程，解方程即可求解.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或点A，点C，
①若经过点A和点B
把A（2，1），B（4，3）代入得
解得
∵
∴二次函数的图象不能经过点A，B；
②若经过点A、点C，则有
解得，
∴
当时，
则点A（2，1）是的顶点
此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，纵坐标为-1，故D不符合题意；
经过平移，顶点始终在直线上，
故平移后函数表达式为，其中c为沿x轴正方向平移的单位，c取实数，
当x=0时，
当时，y有最大值，为：
故答案为：C.
【分析】由题意得：二次函数的图象经过点A，B或点A，点C，分别将A、B或A、C的坐标代入求出a、b的值，得到二次函数的解析式，求出顶点坐标，此时二次函数的顶点在y=x-1上，且与y轴交点纵坐标为-1，据此判断D；根据二次函数图象的几何变换可得平移后函数表达式为y=(x-2-c)2+c+1，令x=0，表示出y，结合二次函数的性质可得y的最大值，据此判断.
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，
∴∠E=∠CFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF
在△ADE和△DCF中
∴△ADE≌△DCF（AAS）
∴DE=CF，AE=DF，
设点D（a，b），
∵点A（-3，9），点C（2，0），
∴AE=a+3，DF=b，DE=9-b，CF=a-2，
解之：
∴点D（4，7），
∵点在抛物线 的图像上，
∴
解之：.
故答案为：A
【分析】过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，利用垂直的定义和正方形的性质可证得∠E=∠CFD=90°，AD=CD，∠ADC=90°，利用余角的性质可推出∠ADE=∠DCF；再利用AAS证明△ADE≌△DCF，利用全等三角形的性质可得到DE=CF，AE=DF，设点D（a，b），利用点A，C的坐标可表示出AE，DF，DE，CF的长，由此可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到点D的坐标；然后将点D的坐标代入二次函数解析式，可求出k的值.
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：有表格可知，当，，当，，
由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为，
∴时的值与时的值相等，
∴时的值为5，即的值为5，
故答案为：C．
【分析】先求出抛物线的对称轴为，再求出时的值与时的值相等，最后求解即可。
7．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，-1），当x=4时，y=3，
令y=0，则x2-4x+3=0，
解得x=1或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴当1≤x≤4时，抛物线有最小值-1，有最大值3.
故答案为：B.
【分析】先求出抛物线的解析式，得出抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，-1），与x轴的交点为（1，0），（3，0），当x=4时，y=3，再根据二次函数的性质即可得出当1≤x≤4时，抛物线有最小值-1，有最大值3.
8．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
最大为，
故答案为：A．
【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a<0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可。
9．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点为上的点，则点M关于原点的对称点为，又点在抛物线上，则即抛物线的方程为：.
故答案为：.
【分析】本题主要考查抛物线的对称问题，将抛物线的对称问题转换为点的对称问题进行求解即可.
10．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设原来的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 ，
故原来的抛物线解析式是： ，
设平移后的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 (舍去)或 ，
所以平移后抛物线的解析式是： 。
故答案是： 。
【分析】利用待定系数法求出原来的抛物线的解析式，设向右平移了b个单位，根据点的坐标的平移的规律得出平移后新抛物线的顶点坐标（-b，0），由于平移不会改变原抛物线的开口方向及大小，故二次项的系数不会发生变化，从而设出平移后新抛物线的顶点式，再代入点P的坐标，求解并检验即可求出b的值，从而得出答案。
11．【答案】或
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴
∵经过点，
∴或
∴
∴解析式为：或，
故答案为：或.
【分析】根据抛物线与抛物线的形状相同，得到进而利用待定系数法求出c，即可求解.
12．【答案】
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：由顶点式公式即可得出答案为：(0，-9)
故答案为（0，-9）
【分析】由顶点公式求解即可。
13．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将点A代入抛物线的解析式，可得a=1；
将点A和B代入直线，可得，
解得；
∴所求方程为，即，
解得x=-2或1.
故答案为：.
【分析】根据抛物线图象上点的坐标 特点，将点A的坐标代入，可得a的值；根据待定系数法解一次函数，可得b和c的值；根据因式分解法解一元二次方程，即可解题.
14．【答案】（1）解：将点代入得
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴此抛物线的顶点P的坐标为；
（2）解：由题意得平移后的抛物线的表达式为，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
∵顶点落在直线上，
∴，
解得，
∴平移后新抛物线的表达式为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点代入求得a的值，进而求得抛物线的表达式，从而求解；
（2）根据二次函数图象的平移变换得到平移后的表达式和顶点坐标为 ，结合顶点落在直线上，将点代入直线求得m的值，从而求解.
15．【答案】（1）解：描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（2）3.0
（3）解：设抛物线解析式为y＝a（x-2）2+3，
将（5，0）代入解析式得，9a+3＝0，
解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x-2）2+3＝；
（4）2.7
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（2）由图象可得水流最高点距离地面的高度为3m；
（4）由图象可得大理石雕塑的高度约为 2.7m.
【分析】（1）根据列表、描点、连线求解即可；
（2）观察图象即可求解；
（3）设抛物线解析式为y＝a（x-2）2+3，将点（5，0）代入函数表达式求得a的值即可求解；
（4）观察函数图象即可求解.
16．【答案】（1）解：把代入，可得，
解，可得，，
∴；
（2）解：不正确，
理由：由，得．
对于，
当时，．
抛物线的对称轴为直线．
所以，，
因为，
所以，，
当时，由得，此时不合题意．
所以对于任意的，不一定存在，使得；
（3）由平移前的抛物线，可得
，即．
因为平移后的对应点为
可知，抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为，
即．
把代入，得
．
．
．
所以．
①当时，（不合题意，舍去）；
②当时，，
因为，所以．
所以，
所以平移后的抛物线解析式为．
即顶点为，
设，即．
因为，所以当时，随的增大而增大．
因为，
所以当时，取最大值为，
此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）由（1）知：，即可得到抛物线的对称轴为进而得到点B和点C的坐标，即可求出OC和OB的长度，即可求解；
（3）根据抛物线的几何变化得到，然后根据平移的性质得到平移后的抛物线解析式为，把点A代入解析式得到，进而分两种情况，①当时，②当时，分别求出m，最后根据题意即可得到b的取值范围，进而得到平移后的抛物线解析式为，则顶点为，设，即，进而得到随的增大而增大，即可求出p可取的最大值，即可求解.
17．【答案】（1）解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，
将，代入，得，
解得，
∴；
场景B中随变化的函数关系为，
将，代入，得，解得，
∴；
（2）解：场景A中当时，；
场景B中，将代入，得，解得，
∵，
∴该化学试剂在场景B下发挥作用的时间更长．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出x=24，最后判断求解即可。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·东阳月考）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2） D．（2，1）
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，
∴
∴
∴二次函数解析式为：
A、则本项符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项不符合题意；
D、，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据题意利用待定系数法求出二次函数的解析式，最后逐项计算即可求解.
2．（2023九上·澧县月考）抛物线的对称轴为直线，y的最大值为，且与的图象开口大小相同，则这条抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，y的最大值为，且与的图象开口大小相同，
∴这条抛物线的解析式为，
故答案为：B
【分析】先根据“抛物线的对称轴为直线，y的最大值为，且与的图象开口大小相同”结合二次函数的图象与性质即可写出解析式，进而即可求解。
3．（2023九上·珠海期中）若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过），则二次函数的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），
∴可设解析式为：y=a(x-2)2-1，
∵抛物线过点（0，3），
∴3=a(0-2)2-1，
解得a=1，
∴二次函数的解析式为：y=(x-2)2-1.
故答案为：A.
【分析】由已知的二次函数的顶点坐标可设解析式为顶点式：y=a(x-2)2-1，再把点（0，3）代入解析式可得关于a的方程，解方程即可求解.
4．（2022九上·杭州月考）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过，，三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为 D．最小值为
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或点A，点C，
①若经过点A和点B
把A（2，1），B（4，3）代入得
解得
∵
∴二次函数的图象不能经过点A，B；
②若经过点A、点C，则有
解得，
∴
当时，
则点A（2，1）是的顶点
此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，纵坐标为-1，故D不符合题意；
经过平移，顶点始终在直线上，
故平移后函数表达式为，其中c为沿x轴正方向平移的单位，c取实数，
当x=0时，
当时，y有最大值，为：
故答案为：C.
【分析】由题意得：二次函数的图象经过点A，B或点A，点C，分别将A、B或A、C的坐标代入求出a、b的值，得到二次函数的解析式，求出顶点坐标，此时二次函数的顶点在y=x-1上，且与y轴交点纵坐标为-1，据此判断D；根据二次函数图象的几何变换可得平移后函数表达式为y=(x-2-c)2+c+1，令x=0，表示出y，结合二次函数的性质可得y的最大值，据此判断.
5．（2022九上·苍南期中）已知如图， 在正方形中， 点的坐标分别是， 点在抛物线 的图像上， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，
∴∠E=∠CFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF
在△ADE和△DCF中
∴△ADE≌△DCF（AAS）
∴DE=CF，AE=DF，
设点D（a，b），
∵点A（-3，9），点C（2，0），
∴AE=a+3，DF=b，DE=9-b，CF=a-2，
解之：
∴点D（4，7），
∵点在抛物线 的图像上，
∴
解之：.
故答案为：A
【分析】过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，利用垂直的定义和正方形的性质可证得∠E=∠CFD=90°，AD=CD，∠ADC=90°，利用余角的性质可推出∠ADE=∠DCF；再利用AAS证明△ADE≌△DCF，利用全等三角形的性质可得到DE=CF，AE=DF，设点D（a，b），利用点A，C的坐标可表示出AE，DF，DE，CF的长，由此可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到点D的坐标；然后将点D的坐标代入二次函数解析式，可求出k的值.
6．（2022九上·海淀期中）二次函数的x与y的部分对应值如下表：
-1 0 1 2 3 4
2 1 2 5 10
则的值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：有表格可知，当，，当，，
由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为，
∴时的值与时的值相等，
∴时的值为5，即的值为5，
故答案为：C．
【分析】先求出抛物线的对称轴为，再求出时的值与时的值相等，最后求解即可。
7．（2022·瓯海模拟）已知y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），该函数在1≤x≤4的取值范围，下列说法正确的是（ ）．
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值-1，有最大值3
C．有最小值-3，有最大值4 D．有最小值-1，有最大值4
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，-1），当x=4时，y=3，
令y=0，则x2-4x+3=0，
解得x=1或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴当1≤x≤4时，抛物线有最小值-1，有最大值3.
故答案为：B.
【分析】先求出抛物线的解析式，得出抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，-1），与x轴的交点为（1，0），（3，0），当x=4时，y=3，再根据二次函数的性质即可得出当1≤x≤4时，抛物线有最小值-1，有最大值3.
8．（2022·汕尾模拟）在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
最大为，
故答案为：A．
【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a<0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可。
二、填空题
9．（2023九上·滨江开学考）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点为上的点，则点M关于原点的对称点为，又点在抛物线上，则即抛物线的方程为：.
故答案为：.
【分析】本题主要考查抛物线的对称问题，将抛物线的对称问题转换为点的对称问题进行求解即可.
10．（2019·徐州）已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设原来的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 ，
故原来的抛物线解析式是： ，
设平移后的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 (舍去)或 ，
所以平移后抛物线的解析式是： 。
故答案是： 。
【分析】利用待定系数法求出原来的抛物线的解析式，设向右平移了b个单位，根据点的坐标的平移的规律得出平移后新抛物线的顶点坐标（-b，0），由于平移不会改变原抛物线的开口方向及大小，故二次项的系数不会发生变化，从而设出平移后新抛物线的顶点式，再代入点P的坐标，求解并检验即可求出b的值，从而得出答案。
11．（2023九上·咸丰期中）若抛物线与抛物线的形状相同，且经过点，则它的解析式为 ．
【答案】或
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴
∵经过点，
∴或
∴
∴解析式为：或，
故答案为：或.
【分析】根据抛物线与抛物线的形状相同，得到进而利用待定系数法求出c，即可求解.
12．（2023九上·合肥月考）抛物线的顶点坐标是
【答案】
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：由顶点式公式即可得出答案为：(0，-9)
故答案为（0，-9）
【分析】由顶点公式求解即可。
13．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解为 .
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将点A代入抛物线的解析式，可得a=1；
将点A和B代入直线，可得，
解得；
∴所求方程为，即，
解得x=-2或1.
故答案为：.
【分析】根据抛物线图象上点的坐标 特点，将点A的坐标代入，可得a的值；根据待定系数法解一次函数，可得b和c的值；根据因式分解法解一元二次方程，即可解题.
三、解答题
14．（2023九上·凉州月考） 已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P．
（1） 求此抛物线的顶点P的坐标．
（2） 将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．
【答案】（1）解：将点代入得
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴此抛物线的顶点P的坐标为；
（2）解：由题意得平移后的抛物线的表达式为，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
∵顶点落在直线上，
∴，
解得，
∴平移后新抛物线的表达式为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点代入求得a的值，进而求得抛物线的表达式，从而求解；
（2）根据二次函数图象的平移变换得到平移后的表达式和顶点坐标为 ，结合顶点落在直线上，将点代入直线求得m的值，从而求解.
15．（2024九下·深圳开学考）深圳市某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，获得数据如表：
x（米） 0 0.5 2 3.5 5
y（米） 2.25 3 2.25 0
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象；
（2）直接写出水流最高点距离地面的高度为 米；
（3）求该抛物线的表达式；（结果用一般式表示）
（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为 米．（结果精确到0.1米）
【答案】（1）解：描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（2）3.0
（3）解：设抛物线解析式为y＝a（x-2）2+3，
将（5，0）代入解析式得，9a+3＝0，
解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x-2）2+3＝；
（4）2.7
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（2）由图象可得水流最高点距离地面的高度为3m；
（4）由图象可得大理石雕塑的高度约为 2.7m.
【分析】（1）根据列表、描点、连线求解即可；
（2）观察图象即可求解；
（3）设抛物线解析式为y＝a（x-2）2+3，将点（5，0）代入函数表达式求得a的值即可求解；
（4）观察函数图象即可求解.
四、综合题
16．（2023九上·仓山月考）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上，且．
（1）若，求抛物线解析式；
（2）若该抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点，则命题“对于任意一个，都存在，使得”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例；
（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过，点的对应点为，当时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．
【答案】（1）解：把代入，可得，
解，可得，，
∴；
（2）解：不正确，
理由：由，得．
对于，
当时，．
抛物线的对称轴为直线．
所以，，
因为，
所以，，
当时，由得，此时不合题意．
所以对于任意的，不一定存在，使得；
（3）由平移前的抛物线，可得
，即．
因为平移后的对应点为
可知，抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为，
即．
把代入，得
．
．
．
所以．
①当时，（不合题意，舍去）；
②当时，，
因为，所以．
所以，
所以平移后的抛物线解析式为．
即顶点为，
设，即．
因为，所以当时，随的增大而增大．
因为，
所以当时，取最大值为，
此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）由（1）知：，即可得到抛物线的对称轴为进而得到点B和点C的坐标，即可求出OC和OB的长度，即可求解；
（3）根据抛物线的几何变化得到，然后根据平移的性质得到平移后的抛物线解析式为，把点A代入解析式得到，进而分两种情况，①当时，②当时，分别求出m，最后根据题意即可得到b的取值范围，进而得到平移后的抛物线解析式为，则顶点为，设，即，进而得到随的增大而增大，即可求出p可取的最大值，即可求解.
17．（2023·潍坊）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
（1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，
将，代入，得，
解得，
∴；
场景B中随变化的函数关系为，
将，代入，得，解得，
∴；
（2）解：场景A中当时，；
场景B中，将代入，得，解得，
∵，
∴该化学试剂在场景B下发挥作用的时间更长．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出x=24，最后判断求解即可。
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