2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.4 二次函数的应用同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2016九上·济源期中）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3）
C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选B．
【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
2．（2024九上·德惠期末）在年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度单位：米与飞行的水平距离单位：米之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据题意
小康的成绩是函数值为0时的x值
即
解得x1=12 x2=-2（不符合题意舍去）
故答案为：B
【分析】二次函数图象是抛物线，可作为实心球飞行轨迹的数学模型，根据建立的坐标系分析出实心球的落地点横坐标就是函数值为0时的自变量x的值。
3．如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：
①AB的长可以为6m；
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m ；
③菜园ABCD面积的最大值为200m .
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AD的长为xm，则AB长为m，
当AB=6m时，=6，
解得x=28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，故①错误；
∵菜园ABCD的面积为192m2，
∴，
整理得x2-40x+384=0，
解得x1=24，x2=16，
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故②正确；
设菜园ABCD的面积为ym2，则，
∵，20＜26，
∴当x=20时， 菜园ABCD面积的最大值为200m2，故③正确，
综上，正确的有②③.
故答案为：C.
【分析】设AD的长为xm，则AB长为m，根据AB=6列出方程，解方程求出x的值，再结合x的取值范围，即可判断①；根据矩形ABCD的面积为192建立方程，求解得出x的值，即可判断②；设菜园ABCD的面积为ym2，根据矩形的面积计算公式建立出y关于x的函数解析式 ，再根据所得函数解性质即可判断③.
4．（2024九上·鹿寨期末）铅球运动员掷铅球的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B．8m C．10m D．12m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解： ，
当y=0时，则，
解得x1=10，x2=-2，
∵x＞0，
∴x=10.
故答案为：C.
【分析】求出抛物线与x轴交点的横坐标，即令y=0求出x的正数值即可.
5．（2024九上·延边期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m，则水管OA的高是（ ）
A．2m B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：设抛物线的关系式为：
由题意可得：顶点坐标为（1，3）
∴b=1，c=3
∵（3，0）在抛物线上，则，解得：
∴抛物线的关系式为：
设点A坐标为（0，y），则
故答案为：B
【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式方程，可得b=1，c=3，再将（3，0）代入抛物线可得抛物线的关系式为：，设点A坐标为（0，y），再代入解析式即可求出答案.
6．（2023九上·蒙城月考）杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ）
A．24元 B．25元 C．28元 D．30元
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设利润为，由题意得，
，，
∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，有最大值，
故答案为：B
【分析】先设利润为，进而根据题意得到，再运用二次函数的图象与性质即可求解。
7．（2023九上·天津市月考）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】AB=36米，
当x=18时，
当水位上升5米时，y=-4，
令y=-4得到
解得：
此时水面宽度CD为24米，
故答案为：C.
【分析】先求出正常水位时的水面宽度，得到当当x=18时， 再根据水位上升5米时y=-4，代入计算即可求解.
8．（2023九上·义乌月考）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，方程20t﹣5t2＝15的两根为t1＝1与t2＝3，下列对正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用4s
D．小球的飞行高度可以达到25m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解： 方程20t﹣5t2＝15的两根为t1＝1与t2＝3，
小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s或3s，3s后高度持续下降，A、B错误；
当h=0时，20t﹣5t2＝0，解得t1＝0，t2=4，故小球从飞出到落地要用4s，C正确；
h＝20t﹣5t2 =-5(t-2)2+20，故当t=2时，飞行高度有最大值20，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据方程20t﹣5t2＝15的两根为t1＝1与t2＝3可得小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s或3s，且3s后高度持续下降，故A、B错误；当h=0时，解得t1＝0，t2=4，故小球从飞出到落地要用4s，C正确；将函数解析式化为顶点式可得当t=2时，飞行高度有最大值20，D错误.
二、填空题
9．（2024九上·杭州月考）以初速度（单位：从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的关系式是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为．若，则 ．
【答案】1.1：1
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当h=0时，可得t=；
∴，；
∴，；
∵
∴=1.21，解得；
∴1.1：1
故答案为：1.1：1.
【分析】根据抛物线的解析式，当h=0时，可得v与时间t的关系式，进而求出和；小球弹起到最大高度时，所用时间为总时间的一半，将总时间的一半代入解析式，可得 和 ；根据高度之比，列比例式，即可求出，进而求出.
10．（2024九上·从江月考）如图所示，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 s.
【答案】36
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图所示：
设小强骑自行车行驶10s时，所在的位置为点A，26s时，所在的位置为点B，
10 s时和26 s时拱梁的高度相同，
点A点B关于对称轴对称，
点A到点B所用时间为26-10=16s，
点A到点D所用的时间为8s，
从点O到点C需要2×（10+8）=36s.
小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36s.
故答案为：36.
【分析】根据小强骑自行车行驶10s时和26s时拱梁的高度相同，可得点A点B关于对称轴对称，据此可求出行驶到中点D处所用的时间，进而可求得OC的长.
11．（2024九上·福州期末）研究抛物线的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），将三角板绕点O旋转任意角度时发现，交点A，B所连线段总经过一个固定的点，则该定点的坐标是 ．
【答案】（0，-2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：作AE⊥x轴，BF⊥y轴，如图：
设
设直线AB的解析式为
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴交点A，B所连线段总经过一个固定的点，
故答案为：.
【分析】作AE⊥x轴，BF⊥y轴，设证明，然后根据相似三角形的性质可知交点A，B所连线段总经过一个固定的点.
12．2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”.如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，已知点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A'，B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 米.
【答案】19
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：以点O为坐标原点，以地面所在的直线为x轴，OH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
∴A（-40，4），B（40，4），H（0，20），
设抛物线的解析式为y=ax2+20，
将点B（40，4）代入可得1600a+20=4，
解得a=，
∴y=x2+20，
∵两辆消防车同时后退10米，
∴抛物线y=x2+20向左平移后的抛物线解析式为y=(x+10)2+20，
令x=0，可得y=19，
∴两条水柱相遇点H'距地面 19米.
故答案为：19.
【分析】以点O为坐标原点，以地面所在的直线为x轴，OH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（-40，4），B（40，4），H（0，20），设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出抛物线左移10米后的解析式，再令解析式中的x=0，算出对应的y的值，即可得出答案.
13．（2023九上·吉林月考）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 m．
【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据二次函数的图象可得：
当x=5时，y=6，
∴点N的坐标为（5，6），
再利用轴对称的性质可得点M的坐标为（-5，6），
∴MN之间的距离为5+5=10，
故答案为：10.
【分析】利用二次函数的解析式求出点M、N的坐标，再利用两点之间的距离公式求出NM的长即可.
三、解答题
14．（2024九上·黔东南期末）（10分）某水果店出售一种水果，该水果的进价为8元/千克，经过往年销售经验可知：以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于进价．设该水果的销售单价为x元/千克（），每天售出水果的总重量为y千克．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设水果店每天的销售利润为w元，试求出w与的函数关系式，并求出当x为何值时，利润W最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：
即()
（2）解：=
∴当时，利润最大，最大利润为361元.
【知识点】列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）根据题意可得：，
故答案为：.
【分析】（1）根据“ 若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克 ”直接列出函数解析式即可；
（2）利用“总利润=每千克的利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
15．（2022·威宁模拟）铁棍山药上有像铁锈一样的痕迹．故得名铁棍山药．某网店购进铁根山药若干箱．物价部门规定其销售单价不高于元箱，经市场调查发现：销件单价定为元箱时，每日销售箱；如调整价格，每降价元箱，每日可多销售箱．
（1）已知某天售出铁棍山药箱，则当天的销售单价为 元箱．
（2）该网店现有员工名．每天支付员工的工资为每人每天元，每天平均支付运费及其他费用元，当某天的销售价为元箱时，收支恰好平衡．
①铁棍山药的进价；
②若网店每天的纯利润收入支出全部用来偿还一笔元的贷款，则至少需多少天才能还清贷款？
【答案】（1）55
（2）解：①设铁棍山药的进价是元，
根据题意得：，
解得，
答：铁棍山药的进价是元箱；
设铁棍山药的售价是元箱，每天的纯利润是元，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，
即网店每天的纯利润最多元，
，
偿还一笔元的贷款，至少需天才能还清贷款．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)根据题意得：某天售出铁棍山药箱，
则当天的销售单价为元，
故答案为：；
【分析】（1）先根据题意得到某天售出铁棍山药箱，进而根据“如调整价格，每降价元箱，每日可多销售箱”结合题意进行计算即可求解；
（2）①设铁棍山药的进价是元，根据“该网店现有员工名．每天支付员工的工资为每人每天元，每天平均支付运费及其他费用元，当某天的销售价为元箱时，收支恰好平衡”“销件单价定为元箱时，每日销售箱；如调整价格，每降价元箱，每日可多销售箱”结合题意即可列出一元一次方程，进而即可求解；
②设铁棍山药的售价是元箱，每天的纯利润是元，根据总利润=单件利润×总件数即可得到w与m的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求解。
四、综合题
16．（2021八下·浦江期末）篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？
【答案】（1）解：由图象可知，抛物线经过点（0，2.25）和（3.5，3.3）
∵抛物线的对称轴为直线x＝2.5，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2.5）2+k
∴
解之：
∴抛物线的解析式为（0≤x≤3.5）
当x=2.5时抛物线有最大值为3.5
∴篮球在运动中离地面的最大高度为3.5.
（2）解：不能
当y=3.05时
解之：x1=1，x2=4，
∵离运动员投篮处水平距离为4.2m
∴4.2-4=0.2或4.2-1=3.2
答：运动员应向前移动0.2米.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）观察函数图象可知抛物线经过点（0，2.25）和（3.5，3.3），利用抛物线的对称轴，设抛物线的解析式为y=a（x-2.5）2+k，将两点坐标代入，可求出a，k的值，由此可得到函数解析式，利用二次函数的性质可求解.
（2）求出当y=3.05时的x的值，根据篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，可作出判断，同时可求出结果.
17．（2020九上·武汉月考）某农场要建一个饲养场（矩形 ）两面靠现有墙（ 位置的墙最大可用长度为21米， 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形 ）的一边 长为x米.
（1）饲养场另一边 米（用含x的代数式表示）；
（2）若饲养场 的面积为180平方米，求x的值；
（3）饲养场 的面积能围成面积比 更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
【答案】（1）（48-3x）
（2）解：由题意得：x（48-3x）=180
解得：x1=6，x2=10，
∵1＜48-3x≤21，1＜x≤15，
∴9≤x≤15，
∴x=10.
（3）能，理由如下，
设饲养场ABCD的面积为S，则有：
S=x（48-3x）
=-3x2+48x
=-3（x-8）2+192，
∵由（2）可知9≤x≤15，
∴由二次函数的性质可知，当x=9时，S有最大值189m2，
∴饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的，其最大面积为189m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）BC的长为：45+1+1+1-3x=（48-3x）米
故答案为：（48-3x）；
【分析】（1）用45米加上三个1米，再减去3x即可；
（2）根据矩形面积等于长乘以宽，列出关于x的一元二次方程并求解，然后根据问题的实际意义作出取舍；
（3）设饲养场ABCD的面积为S，根据题意得出关于x的二次函数并根据二次函数的性质得出答案.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.4 二次函数的应用同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2016九上·济源期中）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3）
C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
2．（2024九上·德惠期末）在年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度单位：米与飞行的水平距离单位：米之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：
①AB的长可以为6m；
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m ；
③菜园ABCD面积的最大值为200m .
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2024九上·鹿寨期末）铅球运动员掷铅球的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B．8m C．10m D．12m
5．（2024九上·延边期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m，则水管OA的高是（ ）
A．2m B． C． D．
6．（2023九上·蒙城月考）杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ）
A．24元 B．25元 C．28元 D．30元
7．（2023九上·天津市月考）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
8．（2023九上·义乌月考）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，方程20t﹣5t2＝15的两根为t1＝1与t2＝3，下列对正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用4s
D．小球的飞行高度可以达到25m
二、填空题
9．（2024九上·杭州月考）以初速度（单位：从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的关系式是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为．若，则 ．
10．（2024九上·从江月考）如图所示，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 s.
11．（2024九上·福州期末）研究抛物线的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），将三角板绕点O旋转任意角度时发现，交点A，B所连线段总经过一个固定的点，则该定点的坐标是 ．
12．2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”.如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，已知点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A'，B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 米.
13．（2023九上·吉林月考）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 m．
三、解答题
14．（2024九上·黔东南期末）（10分）某水果店出售一种水果，该水果的进价为8元/千克，经过往年销售经验可知：以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于进价．设该水果的销售单价为x元/千克（），每天售出水果的总重量为y千克．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设水果店每天的销售利润为w元，试求出w与的函数关系式，并求出当x为何值时，利润W最大，最大利润是多少？
15．（2022·威宁模拟）铁棍山药上有像铁锈一样的痕迹．故得名铁棍山药．某网店购进铁根山药若干箱．物价部门规定其销售单价不高于元箱，经市场调查发现：销件单价定为元箱时，每日销售箱；如调整价格，每降价元箱，每日可多销售箱．
（1）已知某天售出铁棍山药箱，则当天的销售单价为 元箱．
（2）该网店现有员工名．每天支付员工的工资为每人每天元，每天平均支付运费及其他费用元，当某天的销售价为元箱时，收支恰好平衡．
①铁棍山药的进价；
②若网店每天的纯利润收入支出全部用来偿还一笔元的贷款，则至少需多少天才能还清贷款？
四、综合题
16．（2021八下·浦江期末）篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？
17．（2020九上·武汉月考）某农场要建一个饲养场（矩形 ）两面靠现有墙（ 位置的墙最大可用长度为21米， 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形 ）的一边 长为x米.
（1）饲养场另一边 米（用含x的代数式表示）；
（2）若饲养场 的面积为180平方米，求x的值；
（3）饲养场 的面积能围成面积比 更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选B．
【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
2．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据题意
小康的成绩是函数值为0时的x值
即
解得x1=12 x2=-2（不符合题意舍去）
故答案为：B
【分析】二次函数图象是抛物线，可作为实心球飞行轨迹的数学模型，根据建立的坐标系分析出实心球的落地点横坐标就是函数值为0时的自变量x的值。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AD的长为xm，则AB长为m，
当AB=6m时，=6，
解得x=28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，故①错误；
∵菜园ABCD的面积为192m2，
∴，
整理得x2-40x+384=0，
解得x1=24，x2=16，
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故②正确；
设菜园ABCD的面积为ym2，则，
∵，20＜26，
∴当x=20时， 菜园ABCD面积的最大值为200m2，故③正确，
综上，正确的有②③.
故答案为：C.
【分析】设AD的长为xm，则AB长为m，根据AB=6列出方程，解方程求出x的值，再结合x的取值范围，即可判断①；根据矩形ABCD的面积为192建立方程，求解得出x的值，即可判断②；设菜园ABCD的面积为ym2，根据矩形的面积计算公式建立出y关于x的函数解析式 ，再根据所得函数解性质即可判断③.
4．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解： ，
当y=0时，则，
解得x1=10，x2=-2，
∵x＞0，
∴x=10.
故答案为：C.
【分析】求出抛物线与x轴交点的横坐标，即令y=0求出x的正数值即可.
5．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：设抛物线的关系式为：
由题意可得：顶点坐标为（1，3）
∴b=1，c=3
∵（3，0）在抛物线上，则，解得：
∴抛物线的关系式为：
设点A坐标为（0，y），则
故答案为：B
【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式方程，可得b=1，c=3，再将（3，0）代入抛物线可得抛物线的关系式为：，设点A坐标为（0，y），再代入解析式即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设利润为，由题意得，
，，
∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，有最大值，
故答案为：B
【分析】先设利润为，进而根据题意得到，再运用二次函数的图象与性质即可求解。
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】AB=36米，
当x=18时，
当水位上升5米时，y=-4，
令y=-4得到
解得：
此时水面宽度CD为24米，
故答案为：C.
【分析】先求出正常水位时的水面宽度，得到当当x=18时， 再根据水位上升5米时y=-4，代入计算即可求解.
8．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解： 方程20t﹣5t2＝15的两根为t1＝1与t2＝3，
小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s或3s，3s后高度持续下降，A、B错误；
当h=0时，20t﹣5t2＝0，解得t1＝0，t2=4，故小球从飞出到落地要用4s，C正确；
h＝20t﹣5t2 =-5(t-2)2+20，故当t=2时，飞行高度有最大值20，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据方程20t﹣5t2＝15的两根为t1＝1与t2＝3可得小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s或3s，且3s后高度持续下降，故A、B错误；当h=0时，解得t1＝0，t2=4，故小球从飞出到落地要用4s，C正确；将函数解析式化为顶点式可得当t=2时，飞行高度有最大值20，D错误.
9．【答案】1.1：1
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当h=0时，可得t=；
∴，；
∴，；
∵
∴=1.21，解得；
∴1.1：1
故答案为：1.1：1.
【分析】根据抛物线的解析式，当h=0时，可得v与时间t的关系式，进而求出和；小球弹起到最大高度时，所用时间为总时间的一半，将总时间的一半代入解析式，可得 和 ；根据高度之比，列比例式，即可求出，进而求出.
10．【答案】36
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图所示：
设小强骑自行车行驶10s时，所在的位置为点A，26s时，所在的位置为点B，
10 s时和26 s时拱梁的高度相同，
点A点B关于对称轴对称，
点A到点B所用时间为26-10=16s，
点A到点D所用的时间为8s，
从点O到点C需要2×（10+8）=36s.
小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36s.
故答案为：36.
【分析】根据小强骑自行车行驶10s时和26s时拱梁的高度相同，可得点A点B关于对称轴对称，据此可求出行驶到中点D处所用的时间，进而可求得OC的长.
11．【答案】（0，-2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：作AE⊥x轴，BF⊥y轴，如图：
设
设直线AB的解析式为
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴交点A，B所连线段总经过一个固定的点，
故答案为：.
【分析】作AE⊥x轴，BF⊥y轴，设证明，然后根据相似三角形的性质可知交点A，B所连线段总经过一个固定的点.
12．【答案】19
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：以点O为坐标原点，以地面所在的直线为x轴，OH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
∴A（-40，4），B（40，4），H（0，20），
设抛物线的解析式为y=ax2+20，
将点B（40，4）代入可得1600a+20=4，
解得a=，
∴y=x2+20，
∵两辆消防车同时后退10米，
∴抛物线y=x2+20向左平移后的抛物线解析式为y=(x+10)2+20，
令x=0，可得y=19，
∴两条水柱相遇点H'距地面 19米.
故答案为：19.
【分析】以点O为坐标原点，以地面所在的直线为x轴，OH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（-40，4），B（40，4），H（0，20），设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出抛物线左移10米后的解析式，再令解析式中的x=0，算出对应的y的值，即可得出答案.
13．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据二次函数的图象可得：
当x=5时，y=6，
∴点N的坐标为（5，6），
再利用轴对称的性质可得点M的坐标为（-5，6），
∴MN之间的距离为5+5=10，
故答案为：10.
【分析】利用二次函数的解析式求出点M、N的坐标，再利用两点之间的距离公式求出NM的长即可.
14．【答案】（1）解：
即()
（2）解：=
∴当时，利润最大，最大利润为361元.
【知识点】列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）根据题意可得：，
故答案为：.
【分析】（1）根据“ 若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克 ”直接列出函数解析式即可；
（2）利用“总利润=每千克的利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
15．【答案】（1）55
（2）解：①设铁棍山药的进价是元，
根据题意得：，
解得，
答：铁棍山药的进价是元箱；
设铁棍山药的售价是元箱，每天的纯利润是元，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，
即网店每天的纯利润最多元，
，
偿还一笔元的贷款，至少需天才能还清贷款．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)根据题意得：某天售出铁棍山药箱，
则当天的销售单价为元，
故答案为：；
【分析】（1）先根据题意得到某天售出铁棍山药箱，进而根据“如调整价格，每降价元箱，每日可多销售箱”结合题意进行计算即可求解；
（2）①设铁棍山药的进价是元，根据“该网店现有员工名．每天支付员工的工资为每人每天元，每天平均支付运费及其他费用元，当某天的销售价为元箱时，收支恰好平衡”“销件单价定为元箱时，每日销售箱；如调整价格，每降价元箱，每日可多销售箱”结合题意即可列出一元一次方程，进而即可求解；
②设铁棍山药的售价是元箱，每天的纯利润是元，根据总利润=单件利润×总件数即可得到w与m的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求解。
16．【答案】（1）解：由图象可知，抛物线经过点（0，2.25）和（3.5，3.3）
∵抛物线的对称轴为直线x＝2.5，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2.5）2+k
∴
解之：
∴抛物线的解析式为（0≤x≤3.5）
当x=2.5时抛物线有最大值为3.5
∴篮球在运动中离地面的最大高度为3.5.
（2）解：不能
当y=3.05时
解之：x1=1，x2=4，
∵离运动员投篮处水平距离为4.2m
∴4.2-4=0.2或4.2-1=3.2
答：运动员应向前移动0.2米.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）观察函数图象可知抛物线经过点（0，2.25）和（3.5，3.3），利用抛物线的对称轴，设抛物线的解析式为y=a（x-2.5）2+k，将两点坐标代入，可求出a，k的值，由此可得到函数解析式，利用二次函数的性质可求解.
（2）求出当y=3.05时的x的值，根据篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，可作出判断，同时可求出结果.
17．【答案】（1）（48-3x）
（2）解：由题意得：x（48-3x）=180
解得：x1=6，x2=10，
∵1＜48-3x≤21，1＜x≤15，
∴9≤x≤15，
∴x=10.
（3）能，理由如下，
设饲养场ABCD的面积为S，则有：
S=x（48-3x）
=-3x2+48x
=-3（x-8）2+192，
∵由（2）可知9≤x≤15，
∴由二次函数的性质可知，当x=9时，S有最大值189m2，
∴饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的，其最大面积为189m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）BC的长为：45+1+1+1-3x=（48-3x）米
故答案为：（48-3x）；
【分析】（1）用45米加上三个1米，再减去3x即可；
（2）根据矩形面积等于长乘以宽，列出关于x的一元二次方程并求解，然后根据问题的实际意义作出取舍；
（3）设饲养场ABCD的面积为S，根据题意得出关于x的二次函数并根据二次函数的性质得出答案.
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