2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.5 二次函数与一元二次方程的关系同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九上·黔东南期末）抛物线与x轴的公共点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2018-2019学年数学人教版九年级上册22.2.2 图象法求一元二次方程的近似根 同步训练）根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28
3．已知二次函数y=a2-bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc0；③4a+2b+c>0；④2a+b=0；⑤b2>4ac.其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2024九上·香坊期末）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023九上·忻州期中）下表是二次函数的几组对应值：
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.06
根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·临平月考）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 …
A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4
C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.6
7．（北师大版数学九年级下册第二章第五节《二次函数与一元二次方程》同步试卷）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．9
8．（2023九上·天河期中）如图，已知二次函数（）的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023九上·滨江开学考）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ．
10．（2024九上·长春期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是 ．
11．（2023九上·南关月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴正半轴于点C，交y轴于点A，轴交抛物线于点B，则△ABC的面积是 ．
12．（2024九下·哈尔滨开学考）抛物线与轴的交点坐标是 ．
13．（2024九上·从江月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，其中点A，C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是
三、解答题
14．（2024九上·长春期末） 已知，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．
（1）直接写出、、三点的坐标；
（2）当时，求的最大值与最小值之差．
15．（2023九上·南浔月考）已知二次函数的图象与直线相交于轴上的点轴上的点．顶点为．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）现将抛物线向左平移个单位，当抛物线与有且只有一个公共点时，求的值．
四、综合题
16．（2023·武功模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2023·孝义模拟）综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；
（2）当是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；
（3）直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】将y=0代入可得，
∵△=b2-4ac=42-4×（-1）×（-4）=16-16=0，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴抛物线与x轴的公共点个数是1个，
故答案为：B.
【分析】将二次函数与x轴的交点个数的问题转换为一元二次方程根的判别式分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．
故答案为：B．
【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，且与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x==1，
∴b＞0， -b=2a ，
∴ abc<0， 2a+b=0 ，故①④正确；
由图象知：当x=-1时，y=a-b+c＜0，则y=a+2a+c＜0，即 3a+c＜0 ，故②错误；
当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故③正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2-4ac＞0，即b2>4ac，故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的开口、对称轴及抛物线与y轴的交点位置、与x轴交点的个数逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴又∵抛物线的 称轴为直线 ，∴即根据抛物线的图像可知抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，则故即 ① 错误，根据抛物线的图像知抛物线与x轴存在两个交点，∴，故 ② 正确，由上知则，故 ③ 正确，∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线 ，∴抛物线与x轴的另外一个交点为：将其代入抛物线的解析式可得：，
故 ④ 正确，综上所述正确的结论共有3个.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查抛物图像的抛物线系数的关系，根据抛物的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得到：从而可以判定出①③，再根据抛物线与x轴交点的个数可以判定②，结合已知条件及利用抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另外一个交点为：将其点入解析式即可判定④.
5．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由表格可知：当x=6.18时，y=-0.01
当x=6.19时，y=0.02
∴当y=0时介于-0.01与0.02之间
∴x的取值介于6.18与6.19之间
即：6.18＜x＜6.19
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次方程的近似值，根据表格信息求函数值的范围是解题关键.由表格可知：当y=0时介于-0.01与0.02之间，可得出x的取值介于6.18与6.19之间，即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：
由表中数据可知，当y=0时， 对应的x值在1.4和1.5之间。
故答案为：C.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的 解即二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） 中y=0时x的值。结合表中数据根据y=0时所在的范围确定x的范围。
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（法1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0， =﹣3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3．
（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
可以理解为y=ax2+bx和y=﹣m有交点，
可见﹣m≥﹣3，
∴m≤3，
∴m的最大值为3．
故选B．
【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由图象可知：当x=0时，y=c=0，
∴abc=0，故①正确；
∵图象开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴在y轴的左边，
∴，
∴b<0，
∴a+b+c<0，故②错误；
∵，
∴b=3a，
∵b<0， a<0，
∴a>b，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac>0，
∴4ac-b2<0，故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的相关性质，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，由此结合所给的图象就可以得到a的正负；二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为，由此判断b的正负与a、b的关系，结合函数与y轴的交点纵坐标为c的值，即可对结论①②③作出判断；接下来根据二次函数与x轴有两个不同的交点时，△>0，由此可以判断④.
9．【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：函数的图象与坐标轴只有两个交点 ，①当m=0时，函数方程为：该直线与坐标轴必有两个交点，②当且二次函数与x轴只有一个交点时，解得：此时二次函数的方程为：，与y轴有一个交点符合题意，③当且二次函数与x轴有两个交点时，则二次函数一定经过原点，则即m=2.综上所述m的值为或或.
故答案为：或或.
【分析】本题主要考查二次函数的图象的基本性质，根据分①m=0，②当且二次函数与x轴只有一个交点，③当且二次函数与x轴有两个交点时，则二次函数一定经过原点三种情况进行求解即可.
10．【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由x2﹣x﹣2＝0可得，x1＝﹣1，x2＝2，
观察函数图象可知，当x≤﹣1或x≥2时，函数值y≥0．
故答案为：x≤﹣1或x≥2．
【分析】指的是函数图象在x轴上方的部分，确定这部分图象对应的x的取值范围即可。
11．【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴，
抛物线的对称轴为，
又轴交抛物线于点B，
∴，
∴的面积是．
故答案为：2．
【分析】先求出点A的坐标和抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性求出点B的坐标，最后根据三角形的面积公式求解即可．
12．【答案】（0，-2）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：将x=0代入 得：y=-3（0-1）2+1=-3+1=-2
故答案为：（0，-2）
【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，把x=0代入即可.
13．【答案】x1=-2，x2=1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：点C的坐标为，
二次函数的对称轴为：，
A（-2，0），且点B是点A关于的对称点，
点B坐标为（1，0），
一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-2，x2=1.
故答案为：x1=-2，x2=1.
【分析】由点B是点A关于的对称点，求出点B的坐标，即可得到一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
14．【答案】（1），
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
在范围当时，；
当时，，
的最大值与最小值之差为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
【分析】（1）分别令x＝0和y＝0，代入函数解析式求解即可；
（2）先确定抛物线的对称轴和开口方向，再确定范围内y的最大值和最小值，据此求解。
15．【答案】（1）解：解：∵，令，则，
令，则，
∵与x轴交点，与y轴交点，
∴经过，
∴ ，
解得，
∴二次函数的解析式为：
（2）解：∵
∴抛物线向左平移m个单位的新抛物线解析式为：，
∵新抛物线与有且只有一个公共点，
∴经过点，
∴
∴ （舍去），，
即
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平移的性质；用坐标表示平移
【解析】【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式、函数的平移问题.
（1）通过AB直线的方程，求得直线与轴的交点与y轴的交点的坐标，然后再代入抛物线的方程，解出b、c即可求解;
（2）通过（1）知道抛物线的解析式，将其配成顶点式然后根据平移法则“左加右减，上加下减”得到函数平移后的解析式，新抛物线与有且只有一个公共点则必过点B再将点B的坐标代入即可求解.
16．【答案】（1）解：对于 ，令 ，得
解得，
∵点A在点B的左侧，
∴ ，
又
∴ ；
（2）解：∵对称轴l交x轴于点D，顶点C（4，-1），
∴ D（4，0），CD=1，
∵B（6，0），
∴ BD=2，
∵ 轴，
∴
分两种情况讨论：
①当△PMN≌△BDC时，PM=BD=2，MN=DC=1，
∴点P的横坐标为2或 -2 ；
当 时， ，
∴
∴
∴
当 时， ，
∴
∴
∵
∴
②当 时，PM=CD=1，MN=BD=2，
∴点P的横坐标为1或 -1 ；
当 时， ，
∴
∴
∵
∴
当 时， ，
∴
∴
∴
综上所述，点P和点N的坐标分别为： 或 或 或 ．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等及其性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）令抛物线解析式中的y=0，算出对应的x的值，再结合图象可得点A、B的坐标，将所给抛物线的解析式配成顶点式可得顶点C的坐标；
（2）易得D（4，0），CD=1，结合点B的坐标得BD=2，由垂直的定义得∠PMN=∠BDC=90°，分类讨论：①当△PMN≌△BDC时，由全等三角形对应边相等得PM=BD=2，MN=DC=1，则点P的横坐标为2或 -2 ，从而将2与-2分别代入抛物线的解析式算出对应的函数y的值，可得点P的坐标，再结合题意可得点M、N的坐标；②当△PMN≌△CDB时，由全等三角形的对应边相等得PM=CD=1，MN=BD=2，则点P的横坐标为1或 -1 ，从而将1与-1分别代入抛物线的解析式算出对应的函数y的值，可得点P的坐标，再结合题意可得点M、N的坐标，综上即可得出答案.
17．【答案】（1）解：令，则，
∴，
令，则，
∴，
解得：，，
∴，；
直线为，直线为：；
（2）解：如图，以为直径作圆，与对称轴交于点，连接，，，则，
将直线沿射线方向向下平移个单位，解析式为：，
∵抛物线的对称轴为：直线，
∴，
∴，
∵，，
∴，圆心，
∴，
解得：，（不合题意舍去）
∴．
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；菱形的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：（3）当 为边时，如图，过 作 于 ，结合菱形 可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，则 ，即 ，
由平移的性质结合菱形的性质可得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的横坐标为： ，
∴ 的纵坐标为： ，
由 可得： ，
解得： ，
∴ ．
如图，当 为对角线时，
由菱形的对角线的性质可得： ；
综上： 或 ．
【分析】（1）在 中，令x=0，可求得点C的坐标；令y=0，即可求得点A、B的坐标；然后利用待定系数法，即可求得直线AC和BC的解析式；
（2）由（1）知直线BC的解析式为： ，可得出将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位后的解析式为：，可求得抛物线的对称轴为：x=3，因为点D是直线FD和对称轴的交点，所以可得， 然后可根据勾股定理，得出关于n的方程，解方程求得n的值即可；
（3）可以分类讨论：①当 为边时，如图，过 作 于 ，结合菱形 可得 ，首先根据抛物线的对称轴，及BC的解析式，可求得点E的坐标为（3，），再根据平移的性质得出，进一步求得点，进一步可得F的横坐标为：，根据直线AC的解析式y=3x+6，即可求得点F的纵坐标为：12-，然后根据菱形的边长为n，即可得出PF=n，从而得出关于n的方程，解方程即可得出n的值，进一步即可求得点P的坐标；②当 为对角线时，如图，此时点P与点B重合，坐标为（8，0）；综上即可得出点P的坐标。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.5 二次函数与一元二次方程的关系同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九上·黔东南期末）抛物线与x轴的公共点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】将y=0代入可得，
∵△=b2-4ac=42-4×（-1）×（-4）=16-16=0，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴抛物线与x轴的公共点个数是1个，
故答案为：B.
【分析】将二次函数与x轴的交点个数的问题转换为一元二次方程根的判别式分析求解即可.
2．（2018-2019学年数学人教版九年级上册22.2.2 图象法求一元二次方程的近似根 同步训练）根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．
故答案为：B．
【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。
3．已知二次函数y=a2-bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc0；③4a+2b+c>0；④2a+b=0；⑤b2>4ac.其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，且与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x==1，
∴b＞0， -b=2a ，
∴ abc<0， 2a+b=0 ，故①④正确；
由图象知：当x=-1时，y=a-b+c＜0，则y=a+2a+c＜0，即 3a+c＜0 ，故②错误；
当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故③正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2-4ac＞0，即b2>4ac，故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的开口、对称轴及抛物线与y轴的交点位置、与x轴交点的个数逐一判断即可.
4．（2024九上·香坊期末）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴又∵抛物线的 称轴为直线 ，∴即根据抛物线的图像可知抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，则故即 ① 错误，根据抛物线的图像知抛物线与x轴存在两个交点，∴，故 ② 正确，由上知则，故 ③ 正确，∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线 ，∴抛物线与x轴的另外一个交点为：将其代入抛物线的解析式可得：，
故 ④ 正确，综上所述正确的结论共有3个.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查抛物图像的抛物线系数的关系，根据抛物的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得到：从而可以判定出①③，再根据抛物线与x轴交点的个数可以判定②，结合已知条件及利用抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另外一个交点为：将其点入解析式即可判定④.
5．（2023九上·忻州期中）下表是二次函数的几组对应值：
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.06
根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由表格可知：当x=6.18时，y=-0.01
当x=6.19时，y=0.02
∴当y=0时介于-0.01与0.02之间
∴x的取值介于6.18与6.19之间
即：6.18＜x＜6.19
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次方程的近似值，根据表格信息求函数值的范围是解题关键.由表格可知：当y=0时介于-0.01与0.02之间，可得出x的取值介于6.18与6.19之间，即可得出答案.
6．（2023九上·临平月考）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 …
A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4
C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.6
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：
由表中数据可知，当y=0时， 对应的x值在1.4和1.5之间。
故答案为：C.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的 解即二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） 中y=0时x的值。结合表中数据根据y=0时所在的范围确定x的范围。
7．（北师大版数学九年级下册第二章第五节《二次函数与一元二次方程》同步试卷）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．9
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（法1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0， =﹣3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3．
（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
可以理解为y=ax2+bx和y=﹣m有交点，
可见﹣m≥﹣3，
∴m≤3，
∴m的最大值为3．
故选B．
【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
8．（2023九上·天河期中）如图，已知二次函数（）的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由图象可知：当x=0时，y=c=0，
∴abc=0，故①正确；
∵图象开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴在y轴的左边，
∴，
∴b<0，
∴a+b+c<0，故②错误；
∵，
∴b=3a，
∵b<0， a<0，
∴a>b，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac>0，
∴4ac-b2<0，故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的相关性质，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，由此结合所给的图象就可以得到a的正负；二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为，由此判断b的正负与a、b的关系，结合函数与y轴的交点纵坐标为c的值，即可对结论①②③作出判断；接下来根据二次函数与x轴有两个不同的交点时，△>0，由此可以判断④.
二、填空题
9．（2023九上·滨江开学考）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ．
【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：函数的图象与坐标轴只有两个交点 ，①当m=0时，函数方程为：该直线与坐标轴必有两个交点，②当且二次函数与x轴只有一个交点时，解得：此时二次函数的方程为：，与y轴有一个交点符合题意，③当且二次函数与x轴有两个交点时，则二次函数一定经过原点，则即m=2.综上所述m的值为或或.
故答案为：或或.
【分析】本题主要考查二次函数的图象的基本性质，根据分①m=0，②当且二次函数与x轴只有一个交点，③当且二次函数与x轴有两个交点时，则二次函数一定经过原点三种情况进行求解即可.
10．（2024九上·长春期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由x2﹣x﹣2＝0可得，x1＝﹣1，x2＝2，
观察函数图象可知，当x≤﹣1或x≥2时，函数值y≥0．
故答案为：x≤﹣1或x≥2．
【分析】指的是函数图象在x轴上方的部分，确定这部分图象对应的x的取值范围即可。
11．（2023九上·南关月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴正半轴于点C，交y轴于点A，轴交抛物线于点B，则△ABC的面积是 ．
【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴，
抛物线的对称轴为，
又轴交抛物线于点B，
∴，
∴的面积是．
故答案为：2．
【分析】先求出点A的坐标和抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性求出点B的坐标，最后根据三角形的面积公式求解即可．
12．（2024九下·哈尔滨开学考）抛物线与轴的交点坐标是 ．
【答案】（0，-2）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：将x=0代入 得：y=-3（0-1）2+1=-3+1=-2
故答案为：（0，-2）
【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，把x=0代入即可.
13．（2024九上·从江月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，其中点A，C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是
【答案】x1=-2，x2=1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：点C的坐标为，
二次函数的对称轴为：，
A（-2，0），且点B是点A关于的对称点，
点B坐标为（1，0），
一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-2，x2=1.
故答案为：x1=-2，x2=1.
【分析】由点B是点A关于的对称点，求出点B的坐标，即可得到一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
三、解答题
14．（2024九上·长春期末） 已知，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．
（1）直接写出、、三点的坐标；
（2）当时，求的最大值与最小值之差．
【答案】（1），
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
在范围当时，；
当时，，
的最大值与最小值之差为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
【分析】（1）分别令x＝0和y＝0，代入函数解析式求解即可；
（2）先确定抛物线的对称轴和开口方向，再确定范围内y的最大值和最小值，据此求解。
15．（2023九上·南浔月考）已知二次函数的图象与直线相交于轴上的点轴上的点．顶点为．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）现将抛物线向左平移个单位，当抛物线与有且只有一个公共点时，求的值．
【答案】（1）解：解：∵，令，则，
令，则，
∵与x轴交点，与y轴交点，
∴经过，
∴ ，
解得，
∴二次函数的解析式为：
（2）解：∵
∴抛物线向左平移m个单位的新抛物线解析式为：，
∵新抛物线与有且只有一个公共点，
∴经过点，
∴
∴ （舍去），，
即
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平移的性质；用坐标表示平移
【解析】【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式、函数的平移问题.
（1）通过AB直线的方程，求得直线与轴的交点与y轴的交点的坐标，然后再代入抛物线的方程，解出b、c即可求解;
（2）通过（1）知道抛物线的解析式，将其配成顶点式然后根据平移法则“左加右减，上加下减”得到函数平移后的解析式，新抛物线与有且只有一个公共点则必过点B再将点B的坐标代入即可求解.
四、综合题
16．（2023·武功模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：对于 ，令 ，得
解得，
∵点A在点B的左侧，
∴ ，
又
∴ ；
（2）解：∵对称轴l交x轴于点D，顶点C（4，-1），
∴ D（4，0），CD=1，
∵B（6，0），
∴ BD=2，
∵ 轴，
∴
分两种情况讨论：
①当△PMN≌△BDC时，PM=BD=2，MN=DC=1，
∴点P的横坐标为2或 -2 ；
当 时， ，
∴
∴
∴
当 时， ，
∴
∴
∵
∴
②当 时，PM=CD=1，MN=BD=2，
∴点P的横坐标为1或 -1 ；
当 时， ，
∴
∴
∵
∴
当 时， ，
∴
∴
∴
综上所述，点P和点N的坐标分别为： 或 或 或 ．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等及其性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）令抛物线解析式中的y=0，算出对应的x的值，再结合图象可得点A、B的坐标，将所给抛物线的解析式配成顶点式可得顶点C的坐标；
（2）易得D（4，0），CD=1，结合点B的坐标得BD=2，由垂直的定义得∠PMN=∠BDC=90°，分类讨论：①当△PMN≌△BDC时，由全等三角形对应边相等得PM=BD=2，MN=DC=1，则点P的横坐标为2或 -2 ，从而将2与-2分别代入抛物线的解析式算出对应的函数y的值，可得点P的坐标，再结合题意可得点M、N的坐标；②当△PMN≌△CDB时，由全等三角形的对应边相等得PM=CD=1，MN=BD=2，则点P的横坐标为1或 -1 ，从而将1与-1分别代入抛物线的解析式算出对应的函数y的值，可得点P的坐标，再结合题意可得点M、N的坐标，综上即可得出答案.
17．（2023·孝义模拟）综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；
（2）当是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；
（3）直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令，则，
∴，
令，则，
∴，
解得：，，
∴，；
直线为，直线为：；
（2）解：如图，以为直径作圆，与对称轴交于点，连接，，，则，
将直线沿射线方向向下平移个单位，解析式为：，
∵抛物线的对称轴为：直线，
∴，
∴，
∵，，
∴，圆心，
∴，
解得：，（不合题意舍去）
∴．
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；菱形的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：（3）当 为边时，如图，过 作 于 ，结合菱形 可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，则 ，即 ，
由平移的性质结合菱形的性质可得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的横坐标为： ，
∴ 的纵坐标为： ，
由 可得： ，
解得： ，
∴ ．
如图，当 为对角线时，
由菱形的对角线的性质可得： ；
综上： 或 ．
【分析】（1）在 中，令x=0，可求得点C的坐标；令y=0，即可求得点A、B的坐标；然后利用待定系数法，即可求得直线AC和BC的解析式；
（2）由（1）知直线BC的解析式为： ，可得出将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位后的解析式为：，可求得抛物线的对称轴为：x=3，因为点D是直线FD和对称轴的交点，所以可得， 然后可根据勾股定理，得出关于n的方程，解方程求得n的值即可；
（3）可以分类讨论：①当 为边时，如图，过 作 于 ，结合菱形 可得 ，首先根据抛物线的对称轴，及BC的解析式，可求得点E的坐标为（3，），再根据平移的性质得出，进一步求得点，进一步可得F的横坐标为：，根据直线AC的解析式y=3x+6，即可求得点F的纵坐标为：12-，然后根据菱形的边长为n，即可得出PF=n，从而得出关于n的方程，解方程即可得出n的值，进一步即可求得点P的坐标；②当 为对角线时，如图，此时点P与点B重合，坐标为（8，0）；综上即可得出点P的坐标。
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