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11.6一元一次不等式组
分层练习
考查题型一 一元一次不等式组的概念辨析
1．下列各式中不是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
2．下列不等式组是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
考查题型二 解一元一次不等式组
1．求不等式组的解集，下面结果正确的是
A． B． C． D．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
4．解不等式组：．
5．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
6．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
7．解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
考查题型三 已知一元一次不等式组的解集情况求参
1．若不等式组的解集是，则 ．
2．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知关于的不等式组有解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
4．若关于的不等式组有解，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．若关于的不等式组无解，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．若关于的不等式组的解集中任何一个值均不在范围内，则的取值范围为
A．或 B．或 C． D．
7．已知不等式组的解都是关于的不等式的解，则的取值范围是
A． B． C． D．或
8．已知不等式组，要使它的解集中的任意的值都能使不等式成立，则的取值范围是 ．
9．已知不等式组．
（1）若该不等式组的解集为，求的值；
（2）若该不等式组无解，求的取值范围．
考查题型四 构造一元一次不等式组求参或求解
1．若关于的一个一元一次不等式组的解集为、为常数且，则称为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．定义：对于任何实数，符号表示不大于的最大整数．已知，则．例如：若，则．如果，那么的取值范围是 ．
3．已知、满足．
（1）若，求的取值范围；
（2）若、满足，，且，求的取值范围．
4．阅读下面材料：
分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：
根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②，
解不等式组①得：，
解不等式组②得：，
原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
考查题型五 求一元一次不等式组的整数解
1．已知为整数，关于，的二元一次方程组的解满足，则整数值为
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解．
3．解不等式组并求它的所有整数解的和．
4．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，，求正整数的值．
考查题型六 已知一元一次不等式组的整数解（或整数解个数）求参
1．若关于的不等式的最小整数解是2，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
2．关于的不等式组恰好有3个整数解，则满足
A． B． C． D．
3．若关于的不等式组，有且仅有五个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为
A．0 B． C． D．
4．若关于的方程的解为正数，且关于的不等式组，恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是
A． B． C． D．
考查题型七 由实际问题抽象出一元一次不等式组
1．将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有人，则可列不等式组为
A． B．
C． D．
2．用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为
原料 甲 乙
维生素 600单位 100单位
原料价格 8元 4元
A．
B．
C．
D．
考查题型八 用一元一次不等式组解决问题
1．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有 人．
2．新修订的《中华人民共和国森林法》明确每年3月12日为植树节．2024年植树节，某校开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗．已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元．
（1）求购买的甲、乙两种树苗的单价；
（2）经商量，决定用不超过1300元的费用购买甲、乙两种树苗共30棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求购买的甲种树苗数量的取值范围．
3．端午节期间，某商场打算购入，两种粽子礼盒共100件，种粽子礼盒的进价为每件22元，种粽子礼盒的进价为每件15元．在销售过程中，顾客甲买3件和1件共付款150元，顾客乙买1件和2件共付款100元．
（1）请问，两种粽子礼盒的售价各是多少？
（2）若该商店计划，两种礼盒的进货总投入不超过1755元，且全部销售完后总利润不低于1600元，则购进，两种礼盒时，共有哪几种进货方案．
4．每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第28个世界读书日，我市图书馆决定购买甲、乙两种品牌的平板电脑若干组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别2400元和3600元．
（1）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，恰好支出144000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
（2）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过124000元，共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱．
5．某零食店购进、两种网红零食共100件，种零食进价为每件8元，种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件种零食和2件种零食共付款65元，顾客乙买了2件种零食和3件种零食共付款60元．
（1）求、两种零食每件的售价分别是多少元？
（2）若该零食店计划、两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进、两种零食有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
6．淘宝某医用器械药房推出2种口罩进行销售，医用一次性口罩2.5元个，医用外科口罩3元个．
（1）某学校在该药房购进两种口罩25000个，共花费70000元，请问学校购买医用外科口罩多少个？
（2）由于口罩的市场需求量较为旺盛，该药房决定用320000元再次购进一批口罩进行销售．医用一次性口罩100个盒，每盒120元，医用外科口罩50个盒，每盒100元．要求购进的医用外科口罩个数不超过医用一次性口罩的2.6倍，但不低于医用一次性口罩的1.9倍．若这批口罩全部销售完毕，为使获利最
大，该药房应如何进货？最大获利为多少元？
1．已知关于，的方程组中，均大于0．若与正数的和为4，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最小值为
A． B． C． D．6
3．已知非负数，，满足，设，则的最大值与最小值的和为 ．
4．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；
④若它有解，则．
其中正确的结论个数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．关于的不等式组有且只有三个整数解，关于、的方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为
A．15 B．18 C．22 D．25
6．若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的方程的解为负整数，则符合条件的所有整数的和是 ．
7．若定义一种新的取整符号：表示不超过的最大整数．例如：，，则下列结论错误的个数有
①；②或；③方程的解有无数多个；④若，则的取值范围是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．
如：，，，
试解决下列问题：
（1）填空：① ；②若则实数的取值范围为 ．
（2）在关于，的方程组中，若未知数，满足，求的值．
（3）当时，若，求的最小值．
（4）求满足的所有非负实数的值．
9．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．
（1）在方程①，②，③中，其中是不等式组的相伴方程的是 ．（填序号）
（2）解不等式组后，请写出一个相伴方程，并使得它的解是整数．
（3）若方程，都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围．
10．若一元一次不等式（组①的解都是一元一次不等式（组②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”，特别的，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”．不等式组无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”．
根据以上信息，解决下列问题：
（1） 的“覆盖不等式”（填“是”或“不是”）；
（2）若是关于的不等式的“覆盖不等式”，试求的取值范围；
（3）若关于的不等式组被覆盖，试求的取值范围．
11．我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”．
如，，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”关系，是的“子式”．
（1）若关于的不等式，，请问与是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于的不等式，，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围；
（3）已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
11.6一元一次不等式组
分层练习
考查题型一 一元一次不等式组的概念辨析
1．下列各式中不是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
【详解】解：选项中存在两个未知数．
故本题选：．
2．下列不等式组是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
【详解】解：、是二元一次不等式组；
、是一元一次不等式组；
、是一元二次不等式组；
、是二元一次不等式组．
故本题选：．
考查题型二 解一元一次不等式组
1．求不等式组的解集，下面结果正确的是
A． B． C． D．
【详解】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：；
不等式组的解集为：．
故本题选：．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如下：
．
故本题选：．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如下：
．
故本题选：．
4．解不等式组：．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：．
5．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组无解，
将解集表示在数轴上如下：
．
6．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如下：
．
7．解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如下：
故不等式组的解集为：．
考查题型三 已知一元一次不等式组的解集情况求参
1．若不等式组的解集是，则 ．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
，
，即，
．
故本题答案为：．
2．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：由，得：，
不等式组的解集是，
．
故本题选：．
3．已知关于的不等式组有解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组有解，
，解得：．
故本题选：．
4．若关于的不等式组有解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的不等式组有解，
，解得：．
故本题选：．
5．若关于的不等式组无解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式无解，
，
．
故本题选：．
6．若关于的不等式组的解集中任何一个值均不在范围内，则的取值范围为
A．或 B．或 C． D．
【详解】解：由不等式组可得：，
关于的不等式组的解集中任何一个值均不在范围内，
或，解得：或，
故本题选：．
7．已知不等式组的解都是关于的不等式的解，则的取值范围是
A． B． C． D．或
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
解不等式得：，
不等式组的解都是关于的不等式的解，
，解得：．
故本题选：．
8．已知不等式组，要使它的解集中的任意的值都能使不等式成立，则的取值范围是 ．
【详解】解：解不等式组得：，
解不等式得：，
不等式组的解集中的任意的值都能使不等式成立，
，解得：．
故本题答案为：．
9．已知不等式组．
（1）若该不等式组的解集为，求的值；
（2）若该不等式组无解，求的取值范围．
【详解】解：（1）解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
，解得：；
（2）不等式组无解，
，解得：．
考查题型四 构造一元一次不等式组求参或求解
1．若关于的一个一元一次不等式组的解集为、为常数且，则称为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：由可得：，
解方程得：，
解方程得：，
关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，
，解得：．
故本题选：．
2．定义：对于任何实数，符号表示不大于的最大整数．已知，则．例如：若，则．如果，那么的取值范围是 ．
【详解】解：由题意可得：，解得：．
故本题答案为：．
3．已知、满足．
（1）若，求的取值范围；
（2）若、满足，，且，求的取值范围．
【详解】解：（1），
，
，
，解得：；
（2）由题意可得：，
①②得：，解得：，
①②得：，解得：，
原方程组的解为：，
，，
，解得：．
4．阅读下面材料：
分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：
根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②，
解不等式组①得：，
解不等式组②得：，
原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
【详解】解：原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②，
解不等式组①得：；
解不等式组②得：不等式组无解，
原不等式的解集为．
考查题型五 求一元一次不等式组的整数解
1．已知为整数，关于，的二元一次方程组的解满足，则整数值为
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【详解】解：，
①②得：，
，
，
，
，
整数值为2025．
故本题选：．
2．解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式的解集为，
不等式的非负整数解为：0，1．
3．解不等式组并求它的所有整数解的和．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
不等式组的整数解是，，，0，1，和为．
4．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，，求正整数的值．
【详解】解：由可得：，
不等式，，
，解得：，
正整数的值为1，2．
考查题型六 已知一元一次不等式组的整数解（或整数解个数）求参
1．若关于的不等式的最小整数解是2，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：由不等式可得：，
关于的不等式的最小整数解是2，
，解得：．
故本题选：．
2．关于的不等式组恰好有3个整数解，则满足
A． B． C． D．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组恰好有3个整数解，
不等式组的整数解为3、4、5，
，解得：．
故本题选：．
3．若关于的不等式组，有且仅有五个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为
A．0 B． C． D．
【详解】解：由不等式组可得：且，
有且只有5个整数解，
不等式组的整数解为4、3、2、1、0，
，
，
是整数，
，，，，1，2，
所有满足条件的整数之和为．
故本题选：．
4．若关于的方程的解为正数，且关于的不等式组，恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是
A． B． C． D．
【详解】解：由可得：，
关于的方程的解为正数，
，
，
不等式组整理得：，
不等式组恰好有两个偶数解，
不等式组的偶数解为2，0，
，解得：，
，
整数可取的数为：，，，，，
符合条件的所有整数的和为：：．
故本题选：．
考查题型七 由实际问题抽象出一元一次不等式组
1．将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有人，则可列不等式组为
A． B．
C． D．
【详解】解：设有人，则书有本，
由题意可得：．
故本题选：．
2．用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为
原料 甲 乙
维生素 600单位 100单位
原料价格 8元 4元
A．
B．
C．
D．
【详解】解：设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料．
由题意可得：．
故本题选：．
考查题型八 用一元一次不等式组解决问题
1．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有 人．
【详解】解：设安排住宿的房间有间，则学生有人，
由题意可得：，解得：，
又为正整数，
或，
当时，（人），
当时，（人）．
故本题答案为：34或38．
2．新修订的《中华人民共和国森林法》明确每年3月12日为植树节．2024年植树节，某校开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗．已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元．
（1）求购买的甲、乙两种树苗的单价；
（2）经商量，决定用不超过1300元的费用购买甲、乙两种树苗共30棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求购买的甲种树苗数量的取值范围．
【详解】解：设购买甲，乙两种树苗的单价分别为元，元，
由题意可得：，解得：，
购买甲种树苗单价为30元，乙种树苗单价为50元；
（2）设购买甲种树苗棵，则乙种树苗棵，
由题意可得：，解得：，
购买甲种树苗数量的取值范围是．
3．端午节期间，某商场打算购入，两种粽子礼盒共100件，种粽子礼盒的进价为每件22元，种粽子礼盒的进价为每件15元．在销售过程中，顾客甲买3件和1件共付款150元，顾客乙买1件和2件共付款100元．
（1）请问，两种粽子礼盒的售价各是多少？
（2）若该商店计划，两种礼盒的进货总投入不超过1755元，且全部销售完后总利润不低于1600元，则购进，两种礼盒时，共有哪几种进货方案．
【详解】解：（1）设种粽子礼盒的售价是元件，种粽子礼盒的售价是元件，
由题意可得：，解得：，
答：种粽子礼盒的售价是40元件，种粽子礼盒的售价是30元件；
（2）设购进件种粽子礼盒，则购进件种粽子礼盒，
由题意可得：，解得：，
又为正整数，
可以为34，35，36，
该商店共有3种进货方案，
方案1：购进34件种粽子礼盒，66件种粽子礼盒，
方案2：购进35件种粽子礼盒，65件种粽子礼盒，
方案3：购进36件种粽子礼盒，64件种粽子礼盒．
4．每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第28个世界读书日，我市图书馆决定购买甲、乙两种品牌的平板电脑若干组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别2400元和3600元．
（1）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，恰好支出144000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
（2）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过124000元，共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱．
【详解】解：（1）设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，
由题意可得：，解得：，
答：甲种品牌的电脑购买了30台，乙种品牌的电脑购买了20台；
（2）设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，
由题意可得：，解得：，
的整数值为47，48、49，
一共有三种购买方案：甲种品牌的电脑购买47台，乙种品牌的电脑购买3台，
甲种品牌的电脑购买48台，乙种品牌的电脑购买2台，
甲种品牌的电脑购买49台，乙种品牌的电脑购买1台，
甲、乙两种品牌的电脑单价分别2400元和3600元．
甲种品牌的电脑购买49台，乙种品牌的电脑购买1台比较省钱．
5．某零食店购进、两种网红零食共100件，种零食进价为每件8元，种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件种零食和2件种零食共付款65元，顾客乙买了2件种零食和3件种零食共付款60元．
（1）求、两种零食每件的售价分别是多少元？
（2）若该零食店计划、两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进、两种零食有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
【详解】解：（1）设种零食每件的售价是元，种零食每件的售价是元，
由题意可得：，解得：，
答：种零食每件的售价是15元，种零食每件的售价是10元；
（2）设购进种零食件，则购进种零食件，
由题意可得：，解得：，
为整数，
可取50，51，52，
购进、两种零食有3种进货方案：
①购进种零食50件，购进种零食50件，
②购进种零食51件，购进种零食49件，
③购进种零食52件，购进种零食48件；
（3）设获利元，
购进种零食50件，购进种零食50件，（元），
购进种零食51件，购进种零食49件，（元），
购进种零食52件，购进种零食48件，（元），
，
购进种零食52件，购进种零食48件，获利最大，最大利润是604元．
6．淘宝某医用器械药房推出2种口罩进行销售，医用一次性口罩2.5元个，医用外科口罩3元个．
（1）某学校在该药房购进两种口罩25000个，共花费70000元，请问学校购买医用外科口罩多少个？
（2）由于口罩的市场需求量较为旺盛，该药房决定用320000元再次购进一批口罩进行销售．医用一次性口罩100个盒，每盒120元，医用外科口罩50个盒，每盒100元．要求购进的医用外科口罩个数不超过医用一次性口罩的2.6倍，但不低于医用一次性口罩的1.9倍．若这批口罩全部销售完毕，为使获利最
大，该药房应如何进货？最大获利为多少元？
【详解】解：（1）设学校购买医用外科口罩个，则购买医用一次性口罩个，
由题意可得：，解得：．
答：学校购买医用外科口罩15000个；
（2）由题意可得：医用一次性口罩的进价为（元个），
医用外科口罩的进价为（元个），
设购进医用外科口罩个，则共需元，购进医用一次性口罩个，
由题意可得：，解得：，
又为整数，
，且为整数，
设总利润为元，
由题意可得：，
，
随的增大而减少，
当时，最大，最大值为204800元，
此时，购进医用一次性口罩的数量为（个（盒），
购进医用外科口罩（盒），
答：药房应购进医用一次性口罩640盒，购进医用外科口罩2432盒获利最大，最大获利为204800元．
1．已知关于，的方程组中，均大于0．若与正数的和为4，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：，解得：，
，，
，解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
2．已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最小值为
A． B． C． D．6
【详解】解：，，
，，
，
，，是三个非负数，
，解得：，
，解得：．
故本题选：．
3．已知非负数，，满足，设，则的最大值与最小值的和为 ．
【详解】解：设，则，，，
，
，，均为非负实数，
，解得：，
，即，
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为．
故本题答案为：．
4．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；
④若它有解，则．
其中正确的结论个数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
①它的解集是，
，解得：，正确；
②，
，
不等式组无解，故错误；
③它的整数解仅有3个，
，解得：，故错误；
④不等式组有解，
，
，正确；
综上，正确的结论个数是2个．
故本题选：．
5．关于的不等式组有且只有三个整数解，关于、的方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为
A．15 B．18 C．22 D．25
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组有且只有三个整数解，
，解得：，
解方程组得：，
方程组的解为正整数，且，
整数可取的数为：3，4，5，6，
满足条件所有整数的和为：．
故本题选：．
6．若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的方程的解为负整数，则符合条件的所有整数的和是 ．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
数使关于的不等式组的解集为，
，
解方程得：，
关于的方程的解为负整数，
，且为整数，
且为整数，
，
，，
符合条件的所有整数的和为．
故本题答案为：．
7．若定义一种新的取整符号：表示不超过的最大整数．例如：，，则下列结论错误的个数有
①；②或；③方程的解有无数多个；④若，则的取值范围是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：①，正确；
②当为整数时，，当为分数时，，正确；
③当，，，时，方程均成立，正确；
④由可得：，解得：，故错误．
故本题选：．
8．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．
如：，，，
试解决下列问题：
（1）填空：① ；②若则实数的取值范围为 ．
（2）在关于，的方程组中，若未知数，满足，求的值．
（3）当时，若，求的最小值．
（4）求满足的所有非负实数的值．
【详解】解：（1）①，②若则实数的取值范围为，
故本题答案为：3，；
（2），
①②得：，
，
，即，
；
（3），
，即，
，
，
最小值为14；
（4）设 为非负整数），
，
，
，
，
又为非负整数，
，1，2，
当，，
当，，
当，，
综上，的值为0，，．
9．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．
（1）在方程①，②，③中，其中是不等式组的相伴方程的是 ．（填序号）
（2）解不等式组后，请写出一个相伴方程，并使得它的解是整数．
（3）若方程，都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围．
【详解】解：（1），,，方程①的解为，
，，方程②的解为，
，，方程③的解为，
解不等式组得：，
方程①③的解是不等式组的解，
不等式组的相伴方程的是①③，
故本题答案为：①③；
（2）解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，
这个相伴方程可以是（答案不唯一）；
（3）解关于的不等式组得为，
方程，都是关于的不等式组的相伴方程，
，解得：．
10．若一元一次不等式（组①的解都是一元一次不等式（组②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”，特别的，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”．不等式组无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”．
根据以上信息，解决下列问题：
（1） 的“覆盖不等式”（填“是”或“不是”）；
（2）若是关于的不等式的“覆盖不等式”，试求的取值范围；
（3）若关于的不等式组被覆盖，试求的取值范围．
【详解】解：（1）满足必满足，
是的“覆盖不等式”，
故本题答案为：是；
（2）由得：，
是关于的不等式的“覆盖不等式”，
，
；
（3）由不等式组得：，
关于的不等式组被覆盖，
当不等式组无解时，，解得：，
当不等式组有解时，，且，解得：，
的取值范围是或．
11．我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”．
如，，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”关系，是的“子式”．
（1）若关于的不等式，，请问与是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于的不等式，，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围；
（3）已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【详解】解：（1）不等式的解集为，且，
与存在“雅含”关系，是的“子式”；
（2）不等式的解集为，
不等式的解集为，
是的“子式”，
，解得：；
（3）由可得：，
，，
，解得：，
为整数，
的值为，0，1，2，
不等式整理得：；
不等式的解集为，
①当时，不等式的解集是全体实数，
与存在“雅含”关系，且是的“子式”，
②当时，不等式的解集为，
不能满足与存在“雅含”关系，
③当时，不等式的解集为，
与存在“雅含”关系，且是的“子式”，
，且，解得：，
，
综上，的值为0或1．
