2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 31.2 随机事件的概率同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024九上·扶余期末）在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A．3 B．8 C．5 D．10
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：，
解得：n=8.
故答案为：B。
【分析】根据概率计算公式，直接列式即可得出n值。
2．（2023九下·婺城月考）从正三角形、正方形、正五边形、正六边形中任选一个，选中的恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：在“正三角形、正方形、正五边形、正六边形”中，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的是“正方形、正六边形”，
∴恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概是：.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此可得这几个图形中恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的是“正方形、正六边形”，进而根据概率公式计算即可.
3．（2014九上·宁波月考）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】如图，
C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．
P= ，
故答案为：D．
【分析】根据图形得到有4个点均可与点A和B组成直角三角形，得到△ABC为直角三角形的概率.
4．（2021九上·上城期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（ ）（精确到0.1）
A．0.55 B．0.4 C．0.6 D．0.5
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是 ≈0.5.
故答案为：D.
【分析】利用投中次数之和除以投篮次数之和即可求出投中的概率.
5．（2023九上·嘉兴月考）若实数为不大于的非负整数，则使关于的分式方程的解为整数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：解分式方程，得.
实数a为不大于6的非负整数，
，，，，，，.
解的分子只能是2的倍数，
∴a只能取偶数.
∴当时，；
当时，，方程无解，故舍去；
当时，；
当时，.
使关于的分式方程的解为整数的概率为.
故答案为：．
【分析】先将a作为字母参数解分式方程，用含a的式子表示出x的值，然后根据实数a为不大于6的非负整数，得出使关于x的分式方程的解为整数情况，最后求得概率．
6．（2021九上·六盘水月考）下列说法正确的是（ ）
A．在同一年出生的400名学生中，至少有两人的生日是同一天
B．某种彩票中奖的概率是1%，买100张这种彩票一定会中奖
C．天气预报明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半的时间在下雨
D．抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大
【答案】A
【知识点】可能性的大小；概率的意义
【解析】【解答】解：解：A、根据“抽屉”原理可知，选项A是正确的，因此A符合题意；
B、彩票中奖的机会是1%，买100张彩票也不一定会中奖，因此B不符合题意；
C、天气预报说明天下雨的概率是50%，说明明天下雨的可能性是50%，不代表有一半时间下雨，因此C不符合题意；
D、抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率不一样大，因此D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据一年最多有366天可判断A；概率反映的是事件发生的可能性的大小，概率越大，事件发生的可能性越大，概率越小，事件发生的可能性越小，据此可判断B、C；抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的可能性不同，据此判断D.
7．（2021·南海模拟）将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；概率公式
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，过A作AG⊥BF，垂足为G，如图，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB=BC=CD=DE=EF，
∴
∴
∴
∴由勾股定理得FG= ，
∴BF=
∴
∴白色部分的面积 ，阴影区域的面积是a× a＝ a2，
所以正六边形的面积为
则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
故答案为：B．
【分析】利用阴影部分的面积除以正六边形的面积，求出答案即可。
8．（2015九上·新泰竞赛）准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】设分成的四张纸片中，1和2为一张；3和4为一张；如图：
那么共有12种情况，正好能拼成的占4种，概率是 .
答案为：A．
【分析】把4张扑克符号化，即1、2拼为一张，3、4 拼为一张，任意抽取两张，有12种机会均等的情况，正好一张的有4种情况，代入概率公式，可得概率为.
二、填空题
9．（2022·天津）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子中共有9个小球，其中绿球有7个，
∴摸出一个球是绿球的概率是，
故答案为：．
【分析】利用概率公式求解即可。
10．（2023九上·花溪月考）如图所示，在2×3的正方形网格格点上有两点A，B，在其他格点上随机取一点记为C，能使以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为 .
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意得，网格中格点个数为3×4=12，
在格点上随机取一点记为C，以A、B、C三点为顶点的三角形有12-2=10个，
其中等腰三角形有4个(图中所示)，
∴以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为：.
故答案为：C.
【分析】首先找出可以组成的所有三角形的个数，然后再看其中的等腰三角形的个数，由此可得到所求的概率.
11．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为
【答案】
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
当a=0时，x=1，是分式方程的根，且是正整数解；
当a=-3时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
当a=1时，x=2，不是分式方程的根，是增根；
当a=5时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
∴ 使关于x的分式方程有正整数解的概率为： .
故答案为： .
【分析】先将a作为字母系数解分式方程，再分别求出a=-3、0、1、5的时候方程的根，并找出使分式方程有正整数解的情况数，从而根据概率公式即可算出答案.
12．（2023七下·盐湖期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵①是平行四边形BEGH，
∴①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，
∴P（图钉的钉尖恰好落在①区域）=，
故答案为：.
【分析】先求出①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，再利用几何概率公式求解即可.
13．（2017九上·邯郸期末）如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意，中间正方形中直角三角形的面积为 ，
∴阴影部分的面积为1- ，
∴点P落在图中阴影部分的概率是
【分析】根据观察算出中间正方形中直角三角形的面积，再用 一个小正方形的面积减去三角形的面积即可。
三、解答题
14．（2023九上·德惠月考）两枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6， 同时抛掷这两枚骰子一次，求朝上的面的点数之和为5或9的概率．
【答案】解：
【知识点】概率公式
【解析】【解答】根据题意，没枚骰子共有6种可能，共有6×6=36(种)可能，
其中复合的组合有，和为5：1和4；2和3；4和1；3和2；
和为9：3和6；4和5；6和3；5和4；
∴共有36种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有8种，
∴P（点数之和为5或9）=，
故答案为：.
【分析】根据概率公式分析总可能数和复合条件的情况数即得.
15．如图2-5所示，有四种地砖图案，图案中每个小正方形的边长都是1.我们发现，它们既是中心对称图形，也是轴对称图形.
（1）小亮在图案丁上任意抛掷一个乒乓球，乒乓球停在图案丁中的阴影部分的概率是多少
（2）请你在图2-6中设计一种图案，使乒乓球停在该图中的阴影部分的概率与停在图案丙中的阴影部分的概率一样.阴影部分的概率，再根据概率计算出阴影部分的面积，答案不唯一.
【答案】（1）解： 小亮在图案丁上任意抛掷一个乒乓球，乒乓球停在图案丁中的阴影部分的概率是 ：；
（2）解：图案丙中，乒乓球停在阴影部分的概率.
因此，设计的图案中阴影部分的面积为4.设计方案如图2-7所示.
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）根据几何概率，直接用图中阴影部分的面积比上整个图形的面积，即可求出概率；
（2）可以先算出图案丙中乒乓球停在阴影部分的概率， 再根据概率计算出阴影部分的面积， 设计图案是开放性的命题，只要满足概率一样即可.
【反思】利用图形的面积求概率，需要分清各部分的面积大小.
四、综合题
16．（2022九下·长安月考）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于-6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
（1）经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
（2）从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
（3）从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．
【答案】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4，
故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ，
则P(奇数)=，
∴P(B点移动到4)=；
（2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，
当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，
∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，
当b=0时，3a-30=0，
∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次，
∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21；
（3）解：刚开始AB的距离等于15，
均为偶数时，AB距离缩短3，
均为奇数时，AB距离缩短3，
均为一奇一偶时，AB距离也缩短3，
当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4；
当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6；
∴x的值为4或6．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；概率公式
【解析】【分析】（1）分析B点移动到4的可能性，得出正方体骰子出现数的概率，即可解决问题；
（2）当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，当A点落到原点时，可得b=-6+a-2(12-a)=3a-30=0，求出a值，即可求解；
（3）刚开始AB的距离等于15， 根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即得结论.
17．（2020九上·越城月考）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标）第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为 ，若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理？
【答案】（1）解：依题可得，
由表格可知构成点P的坐标共有16种等可能性的结果，其中（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），这4种情况落在正方形ABCD面上，
∴ P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率P=.
答： P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率为.
（2）解：∵使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，
∴只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12，
∴存在这样的平移：先将正方形ABCD向上平移2个单位，再向右平移1个单位.
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，由表格可知构成点P的坐标的所有等可能性的结果和满足条件的等可能性结果，再由古典概型公式求得答案.
（2）由题意可知使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，可得使点P落在正方形面上的数目为12，从而可得存在这样的平移.
18．（2022·路南模拟）今年疫情期间，为防止疫情扩散，人们见面的机会少了，但是随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查.将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ；其它沟通方式所占的百分比为 ．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果我国有13亿人在使用手机．
①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？
【答案】（1）2000；144°；13%
（2）解：如图：
（3）解：①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
所以在全国使用手机的13亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（亿人）．
②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，
所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是22%．
所以，用频率估计概率，在全国使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是22%．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由统计图可知：20%电话参与调查的人中，喜欢用电话沟通的有400人，占20%，
∴这次参与调查的总人数共有（人）；
∵喜欢用短信沟通的有（人），
∴喜欢用微信沟通的有（人），
故表示“微信”的扇形圆心角的度数为，
喜欢用其他沟通方式所占的百分比为：．
故答案为：2000；144°；13%.
【分析】（1）利用“电话”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“微信”的人数并求出扇形圆心角的度数，再求出“其他”的百分比即可；
（2）先求出“短信”和“微信”的人数并作出条形统计图即可；
（3）①先求出“微信”的百分比，再乘以13亿可得答案；
②利用概率公式求解即可。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 31.2 随机事件的概率同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024九上·扶余期末）在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A．3 B．8 C．5 D．10
2．（2023九下·婺城月考）从正三角形、正方形、正五边形、正六边形中任选一个，选中的恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2014九上·宁波月考）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·上城期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（ ）（精确到0.1）
A．0.55 B．0.4 C．0.6 D．0.5
5．（2023九上·嘉兴月考）若实数为不大于的非负整数，则使关于的分式方程的解为整数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·六盘水月考）下列说法正确的是（ ）
A．在同一年出生的400名学生中，至少有两人的生日是同一天
B．某种彩票中奖的概率是1%，买100张这种彩票一定会中奖
C．天气预报明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半的时间在下雨
D．抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大
7．（2021·南海模拟）将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2015九上·新泰竞赛）准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·天津）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
10．（2023九上·花溪月考）如图所示，在2×3的正方形网格格点上有两点A，B，在其他格点上随机取一点记为C，能使以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为 .
11．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为
12．（2023七下·盐湖期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．
13．（2017九上·邯郸期末）如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为
三、解答题
14．（2023九上·德惠月考）两枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6， 同时抛掷这两枚骰子一次，求朝上的面的点数之和为5或9的概率．
15．如图2-5所示，有四种地砖图案，图案中每个小正方形的边长都是1.我们发现，它们既是中心对称图形，也是轴对称图形.
（1）小亮在图案丁上任意抛掷一个乒乓球，乒乓球停在图案丁中的阴影部分的概率是多少
（2）请你在图2-6中设计一种图案，使乒乓球停在该图中的阴影部分的概率与停在图案丙中的阴影部分的概率一样.阴影部分的概率，再根据概率计算出阴影部分的面积，答案不唯一.
四、综合题
16．（2022九下·长安月考）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于-6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
（1）经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
（2）从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
（3）从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．
17．（2020九上·越城月考）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标）第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为 ，若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理？
18．（2022·路南模拟）今年疫情期间，为防止疫情扩散，人们见面的机会少了，但是随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查.将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ；其它沟通方式所占的百分比为 ．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果我国有13亿人在使用手机．
①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：，
解得：n=8.
故答案为：B。
【分析】根据概率计算公式，直接列式即可得出n值。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：在“正三角形、正方形、正五边形、正六边形”中，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的是“正方形、正六边形”，
∴恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概是：.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此可得这几个图形中恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的是“正方形、正六边形”，进而根据概率公式计算即可.
3．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】如图，
C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．
P= ，
故答案为：D．
【分析】根据图形得到有4个点均可与点A和B组成直角三角形，得到△ABC为直角三角形的概率.
4．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是 ≈0.5.
故答案为：D.
【分析】利用投中次数之和除以投篮次数之和即可求出投中的概率.
5．【答案】D
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：解分式方程，得.
实数a为不大于6的非负整数，
，，，，，，.
解的分子只能是2的倍数，
∴a只能取偶数.
∴当时，；
当时，，方程无解，故舍去；
当时，；
当时，.
使关于的分式方程的解为整数的概率为.
故答案为：．
【分析】先将a作为字母参数解分式方程，用含a的式子表示出x的值，然后根据实数a为不大于6的非负整数，得出使关于x的分式方程的解为整数情况，最后求得概率．
6．【答案】A
【知识点】可能性的大小；概率的意义
【解析】【解答】解：解：A、根据“抽屉”原理可知，选项A是正确的，因此A符合题意；
B、彩票中奖的机会是1%，买100张彩票也不一定会中奖，因此B不符合题意；
C、天气预报说明天下雨的概率是50%，说明明天下雨的可能性是50%，不代表有一半时间下雨，因此C不符合题意；
D、抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率不一样大，因此D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据一年最多有366天可判断A；概率反映的是事件发生的可能性的大小，概率越大，事件发生的可能性越大，概率越小，事件发生的可能性越小，据此可判断B、C；抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的可能性不同，据此判断D.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；概率公式
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，过A作AG⊥BF，垂足为G，如图，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB=BC=CD=DE=EF，
∴
∴
∴
∴由勾股定理得FG= ，
∴BF=
∴
∴白色部分的面积 ，阴影区域的面积是a× a＝ a2，
所以正六边形的面积为
则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
故答案为：B．
【分析】利用阴影部分的面积除以正六边形的面积，求出答案即可。
8．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】设分成的四张纸片中，1和2为一张；3和4为一张；如图：
那么共有12种情况，正好能拼成的占4种，概率是 .
答案为：A．
【分析】把4张扑克符号化，即1、2拼为一张，3、4 拼为一张，任意抽取两张，有12种机会均等的情况，正好一张的有4种情况，代入概率公式，可得概率为.
9．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子中共有9个小球，其中绿球有7个，
∴摸出一个球是绿球的概率是，
故答案为：．
【分析】利用概率公式求解即可。
10．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意得，网格中格点个数为3×4=12，
在格点上随机取一点记为C，以A、B、C三点为顶点的三角形有12-2=10个，
其中等腰三角形有4个(图中所示)，
∴以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为：.
故答案为：C.
【分析】首先找出可以组成的所有三角形的个数，然后再看其中的等腰三角形的个数，由此可得到所求的概率.
11．【答案】
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
当a=0时，x=1，是分式方程的根，且是正整数解；
当a=-3时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
当a=1时，x=2，不是分式方程的根，是增根；
当a=5时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
∴ 使关于x的分式方程有正整数解的概率为： .
故答案为： .
【分析】先将a作为字母系数解分式方程，再分别求出a=-3、0、1、5的时候方程的根，并找出使分式方程有正整数解的情况数，从而根据概率公式即可算出答案.
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵①是平行四边形BEGH，
∴①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，
∴P（图钉的钉尖恰好落在①区域）=，
故答案为：.
【分析】先求出①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，再利用几何概率公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意，中间正方形中直角三角形的面积为 ，
∴阴影部分的面积为1- ，
∴点P落在图中阴影部分的概率是
【分析】根据观察算出中间正方形中直角三角形的面积，再用 一个小正方形的面积减去三角形的面积即可。
14．【答案】解：
【知识点】概率公式
【解析】【解答】根据题意，没枚骰子共有6种可能，共有6×6=36(种)可能，
其中复合的组合有，和为5：1和4；2和3；4和1；3和2；
和为9：3和6；4和5；6和3；5和4；
∴共有36种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有8种，
∴P（点数之和为5或9）=，
故答案为：.
【分析】根据概率公式分析总可能数和复合条件的情况数即得.
15．【答案】（1）解： 小亮在图案丁上任意抛掷一个乒乓球，乒乓球停在图案丁中的阴影部分的概率是 ：；
（2）解：图案丙中，乒乓球停在阴影部分的概率.
因此，设计的图案中阴影部分的面积为4.设计方案如图2-7所示.
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）根据几何概率，直接用图中阴影部分的面积比上整个图形的面积，即可求出概率；
（2）可以先算出图案丙中乒乓球停在阴影部分的概率， 再根据概率计算出阴影部分的面积， 设计图案是开放性的命题，只要满足概率一样即可.
【反思】利用图形的面积求概率，需要分清各部分的面积大小.
16．【答案】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4，
故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ，
则P(奇数)=，
∴P(B点移动到4)=；
（2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，
当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，
∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，
当b=0时，3a-30=0，
∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次，
∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21；
（3）解：刚开始AB的距离等于15，
均为偶数时，AB距离缩短3，
均为奇数时，AB距离缩短3，
均为一奇一偶时，AB距离也缩短3，
当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4；
当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6；
∴x的值为4或6．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；概率公式
【解析】【分析】（1）分析B点移动到4的可能性，得出正方体骰子出现数的概率，即可解决问题；
（2）当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，当A点落到原点时，可得b=-6+a-2(12-a)=3a-30=0，求出a值，即可求解；
（3）刚开始AB的距离等于15， 根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即得结论.
17．【答案】（1）解：依题可得，
由表格可知构成点P的坐标共有16种等可能性的结果，其中（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），这4种情况落在正方形ABCD面上，
∴ P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率P=.
答： P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率为.
（2）解：∵使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，
∴只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12，
∴存在这样的平移：先将正方形ABCD向上平移2个单位，再向右平移1个单位.
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，由表格可知构成点P的坐标的所有等可能性的结果和满足条件的等可能性结果，再由古典概型公式求得答案.
（2）由题意可知使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，可得使点P落在正方形面上的数目为12，从而可得存在这样的平移.
18．【答案】（1）2000；144°；13%
（2）解：如图：
（3）解：①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
所以在全国使用手机的13亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（亿人）．
②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，
所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是22%．
所以，用频率估计概率，在全国使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是22%．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由统计图可知：20%电话参与调查的人中，喜欢用电话沟通的有400人，占20%，
∴这次参与调查的总人数共有（人）；
∵喜欢用短信沟通的有（人），
∴喜欢用微信沟通的有（人），
故表示“微信”的扇形圆心角的度数为，
喜欢用其他沟通方式所占的百分比为：．
故答案为：2000；144°；13%.
【分析】（1）利用“电话”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“微信”的人数并求出扇形圆心角的度数，再求出“其他”的百分比即可；
（2）先求出“短信”和“微信”的人数并作出条形统计图即可；
（3）①先求出“微信”的百分比，再乘以13亿可得答案；
②利用概率公式求解即可。
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