2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 31.3 用频率估计概率同步分层训练提升题
一、选择题
1．在一个不透明的盒子中，红色、白色、黑色的球共有40个，除颜色外其他完全相同，老师在课堂上组织同学通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，则盒子中黑色球的个数可能是（ ）.
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】 ∵通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，∴摸到盒子中黑色球的概率为1-45%-15%=40%，∴盒子中黑色球的个数为40×40%=16．故选A．
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．由于通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，由此可以确定摸到盒子中黑色球的概率，然后就可以求出盒子中黑色球的个数．
2．（2015九上·龙华期末）一个口袋中有红球、黄球共20个，这些除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋，不断重复这一过程，共摸了200次，发现其中有161次摸到红球．则这个口袋中红球数大约有（ ）
A．4个 B．10个 C．16个 D．20个
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：因为共摸了200次，有161次摸到红球，所以摸到红球的频率==0.805，由此可根据摸到红球的概率为0.805，所以可估计这个口袋中红球的数量为0.805×20≈16（个），
故选C．
【分析】先计算出摸到红球的频率为0.805，根据利用频率估计概率得到摸到红球的概率为0.805，然后根据概率公式可估计这个口袋中红球的数量，再计算白球的数量．
3．（2024九上·广州期末）随机抛掷一枚瓶盖1000次，经过统计得到“正面朝上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为（ ）
A．0.22 B．0.42 C．0.50 D．0.58
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵抛掷一枚瓶盖1000次，经过统计得到“正面朝上”的次数为420次
∴出现“反面朝上”的次数为1000-420=580次
∴抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率==0.58
故答案为：D.
【分析】根据概率的定义，抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率=即可算出.
4．（2023九上·泗县月考）在一个不透明的口袋中，装有除颜色外其他都相同的4个白球和n个黄球，某同学进行如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色，放回、摇匀，为一次摸球试验，记录摸球的次数与摸出白球的次数的列表如下：
摸球试验的次数 100 200 500 1000
摸出白球的次数 21 39 102 199
根据列表可以估计出n的值为（ ）
A．16 B．4 C．20 D．24
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵由表格知，摸到白球的频率稳定于0.2，
∴0.2，
解得：n=16.
故答案为：A.
【分析】利用大量重复试验，事件发生的频率在某个固定位置摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以利用频率来估计概率，再利用概率公式列式并求解.
5．（2023·深圳模拟）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形线”内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：随着次数越来越多，频率越来越稳定在0.50附近，
故估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50
故答案为：B.
【分析】利用大量重复实验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，作答即可.
6．（2022七下·清苑期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
频率 0.60 0.30 0.50 0.36 0.42 0.38 0.41 0.39 0.40 0.40
A．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为：，不符合题意；
、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意；
、不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，符合题意；
、三张扑克牌，分别是、、，背面朝上洗均后，随机抽出一张是5的概率为，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据概率公式分别求出各个选项中事件发生的概率，由频率估计概率的知识可得概率为0.4，据此判断.
7．（2023九上·小店期中） 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．先后两次掷一枚之地均匀的硬币，一次正面朝上一次反面朝上
B．先后两次掷一枚之地均匀的硬币，两次都出现反面朝上
C．掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是偶数
D．掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是2或4
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、先后两次掷一枚之地均匀的硬币，一次正面朝上一次反面朝上的概率为，不符合题意；
B、先后两次掷一枚之地均匀的硬币，两次都出现反面朝上的概率为，不符合题意；
C、掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
D、掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是2或4的概率为，符合题意。
故选：D。
【分析】根据统计图可得试验结果在0.33附近波动，得出概率P=0.33，计算四个选项的概率，得出概率为0.33即可。
8．如图显示了用计算机模拟随机投掷-枚图钉的某次试验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308， 所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．
其中合理的是（ ）．
A．① B．② C．①② D．①③
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，不符合题意；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.6 18附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确，符合题意；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000 时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故错误，不符合题意；
综上符合题意的只有②.
故答案为：B.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此逐项判断得出答案.
二、填空题
9．（2024九上·凤山期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中8环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中8环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是 .
【答案】0.82
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率是0.82．
故答案为：0.82．
【分析】本题考的是利用频率估计概率，频率稳定在哪个数值，概率就是多少.
10．（2024九上·揭阳期末）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则摸到红色幸运星颗数约为 颗.
【答案】35
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋子中红色幸运星有x颗，
根据题意得：=0.5，
解得：x=35，
经检验：x=35是原分式方程的解.
故答案为：35.
【分析】设袋子中红色幸运星有x颗，根据“ 摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右 ”，利用概率公式列出方程并解之即可.
11．（2023九上·市南区期中）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
根据数据，估计袋中黑球有 个．
【答案】8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从表格可知：摸到白球的频率约为0.6，摸到黑球的频率约为0.4，则可估计袋中黑球有20×0.4=8
【分析】本题考查用频率估算概率， 通过大量试验，当试验频率趋于稳定，可用事件发生的频率来估计概率。从表格可知摸到白球的频率约为0.6，摸到黑球的频率约为0.4，可得结论。
12．某学习小组做抛掷一枚纪念币的试验，整理同学们获得的试验数据，如下表：
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
“正面向上”的频率 0.38 0.38 0.34 0.336 0.349 0.3535 0.3563 0.35 0.3494
下面有三个推断：①在用频率估计概率时，用试验5000次时的频率0.3494一定比用试验4000次时的频率0.35更准确；②如果再次做此试验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；③通过上述试验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．其中说法正确的是 ．（填序号）
【答案】②③
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由试验数据可知，1000次，2000次，3000次，4000次，5000次时，正面向上的频率为0.35左右，所以② 正确；若纪念币质地相同，正面向上的频率应该在0.5，故纪念币有很大的可能性不是质地均匀的，所以 ③正确；试验5000次的频率与试验4000次的频率的准确性无法比较，都是用频率估计概率，所以① 错误.
故答案为：②③.
【分析】根据概率公式和图表中的实验数据对各项进行判断，即可求得.
13．（2023九上·长春月考）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 .（精确到0.001）
【答案】0.618
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图象可知，频率总在0.618附近，
∴ '钉尖向上'的概率是0.618。
故答案为：0.618.
【分析】 根据随着试验次数的增加， 频率会逐步稳定在某一个数据附近，我们可以用这个频率去估计该事件的概率，即可得出'钉尖向上'的概率是0.618。
三、解答题
14．（2023九上·花溪月考）一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的.将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面 朝上频数 14 a 38 47 52 66 78 88
相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 b 0.56 0.55
（1）请直接写出a，b的值.
（2）如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少.
（3）如果做这种试验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少
【答案】（1）解：a=18，b=0.55.
（2）解：根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55，稳定在 0.55 左右，
故估计概率的大小为0.55.
（3）解：2000×0.55=1100(次).
∴“兵”字面朝上的次数大约是1100次.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1） a=40×0.45=18，b=66÷120=0.55
【分析】（1）根据频率的定义进行计算即可求解.
（2）多次重复实验得到的频率即是概率.
（3）直接用2000乘以0.55即可求解.
15．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
（1）请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近 (结果精确到0.1)，假如你摸一次，你摸到白球的概率为
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个．
（3）在(2)的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）0.5；0.5
（2）解：40×0.5=20(个)，40-20=20(个)；
答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）解：设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：
，
解得：x=10；
经检验x=10是原方程的根，也符合题意，
∴需要往盒子里再放入10个白球.
【知识点】频数（率）分布折线图；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由折线统计图可得： 当n足够大时，摸到白球的频率将会接近0.5； 假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5；
故答案为：0.5，0.5；
【分析】（1）观察折线统计图即可得出第一空答案，进而根据频率的稳定性，估计概率可得第二空的答案；
（2）用盒子中小球的总个数乘以从盒子中任意摸出一个球是白球的概率即可求出盒子中白色小球的总个数，进而求差即可算出盒子中黑色小球的总个数；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式建立方程，求解可得答案.
四、综合题
16．（2023七下·子洲期末）某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如表所示：
射门次数n 20 50 100 200 500 800
踢进球门的频数m 13 a 58 104 255 400
踢进球门的频率 b
根据表格中的数据解答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）这名足球运动员在同一条件下再射门一次，估计他踢进球门的概率（结果精确到）
【答案】（1）35；
（2）解：随着射门次数逐渐增大，踢进球门的频率稳定在左右，
所以估计概率为
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)；.
故答案为：35；0.51.
【分析】(1)根据表格中所给的数据，利用频率的计算公式分别求得a、b的值.
(2)通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
17．（2023七下·成都期末）第31届世界大学生夏季运动会将在四川成都举行．小明和哥哥都很想去观看羽毛球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）．
（1）求小明去观看羽毛球比赛的概率；
（2）你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
【答案】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，
（小明去观看羽毛球比赛）；
（2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，
（小明去观看羽毛球比赛）；
（哥哥去观看羽毛球比赛）；
（小明去观看羽毛球比赛）（哥哥去观看羽毛球比赛），
游戏公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率计算公式计算出小明去观看羽毛球比赛的概率即可；
（2）分别计算小明和哥哥去观看羽毛球比赛的概率，然后比较概率大小，概率一样，说明游戏公平。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 31.3 用频率估计概率同步分层训练提升题
一、选择题
1．在一个不透明的盒子中，红色、白色、黑色的球共有40个，除颜色外其他完全相同，老师在课堂上组织同学通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，则盒子中黑色球的个数可能是（ ）.
A．16 B．18 C．20 D．22
2．（2015九上·龙华期末）一个口袋中有红球、黄球共20个，这些除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋，不断重复这一过程，共摸了200次，发现其中有161次摸到红球．则这个口袋中红球数大约有（ ）
A．4个 B．10个 C．16个 D．20个
3．（2024九上·广州期末）随机抛掷一枚瓶盖1000次，经过统计得到“正面朝上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为（ ）
A．0.22 B．0.42 C．0.50 D．0.58
4．（2023九上·泗县月考）在一个不透明的口袋中，装有除颜色外其他都相同的4个白球和n个黄球，某同学进行如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色，放回、摇匀，为一次摸球试验，记录摸球的次数与摸出白球的次数的列表如下：
摸球试验的次数 100 200 500 1000
摸出白球的次数 21 39 102 199
根据列表可以估计出n的值为（ ）
A．16 B．4 C．20 D．24
5．（2023·深圳模拟）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形线”内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61
6．（2022七下·清苑期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
频率 0.60 0.30 0.50 0.36 0.42 0.38 0.41 0.39 0.40 0.40
A．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
7．（2023九上·小店期中） 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．先后两次掷一枚之地均匀的硬币，一次正面朝上一次反面朝上
B．先后两次掷一枚之地均匀的硬币，两次都出现反面朝上
C．掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是偶数
D．掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是2或4
8．如图显示了用计算机模拟随机投掷-枚图钉的某次试验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308， 所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．
其中合理的是（ ）．
A．① B．② C．①② D．①③
二、填空题
9．（2024九上·凤山期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中8环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中8环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是 .
10．（2024九上·揭阳期末）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则摸到红色幸运星颗数约为 颗.
11．（2023九上·市南区期中）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
根据数据，估计袋中黑球有 个．
12．某学习小组做抛掷一枚纪念币的试验，整理同学们获得的试验数据，如下表：
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
“正面向上”的频率 0.38 0.38 0.34 0.336 0.349 0.3535 0.3563 0.35 0.3494
下面有三个推断：①在用频率估计概率时，用试验5000次时的频率0.3494一定比用试验4000次时的频率0.35更准确；②如果再次做此试验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；③通过上述试验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．其中说法正确的是 ．（填序号）
13．（2023九上·长春月考）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 .（精确到0.001）
三、解答题
14．（2023九上·花溪月考）一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的.将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面 朝上频数 14 a 38 47 52 66 78 88
相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 b 0.56 0.55
（1）请直接写出a，b的值.
（2）如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少.
（3）如果做这种试验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少
15．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
（1）请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近 (结果精确到0.1)，假如你摸一次，你摸到白球的概率为
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个．
（3）在(2)的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
四、综合题
16．（2023七下·子洲期末）某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如表所示：
射门次数n 20 50 100 200 500 800
踢进球门的频数m 13 a 58 104 255 400
踢进球门的频率 b
根据表格中的数据解答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）这名足球运动员在同一条件下再射门一次，估计他踢进球门的概率（结果精确到）
17．（2023七下·成都期末）第31届世界大学生夏季运动会将在四川成都举行．小明和哥哥都很想去观看羽毛球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）．
（1）求小明去观看羽毛球比赛的概率；
（2）你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】 ∵通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，∴摸到盒子中黑色球的概率为1-45%-15%=40%，∴盒子中黑色球的个数为40×40%=16．故选A．
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．由于通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，由此可以确定摸到盒子中黑色球的概率，然后就可以求出盒子中黑色球的个数．
2．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：因为共摸了200次，有161次摸到红球，所以摸到红球的频率==0.805，由此可根据摸到红球的概率为0.805，所以可估计这个口袋中红球的数量为0.805×20≈16（个），
故选C．
【分析】先计算出摸到红球的频率为0.805，根据利用频率估计概率得到摸到红球的概率为0.805，然后根据概率公式可估计这个口袋中红球的数量，再计算白球的数量．
3．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵抛掷一枚瓶盖1000次，经过统计得到“正面朝上”的次数为420次
∴出现“反面朝上”的次数为1000-420=580次
∴抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率==0.58
故答案为：D.
【分析】根据概率的定义，抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率=即可算出.
4．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵由表格知，摸到白球的频率稳定于0.2，
∴0.2，
解得：n=16.
故答案为：A.
【分析】利用大量重复试验，事件发生的频率在某个固定位置摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以利用频率来估计概率，再利用概率公式列式并求解.
5．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：随着次数越来越多，频率越来越稳定在0.50附近，
故估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50
故答案为：B.
【分析】利用大量重复实验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，作答即可.
6．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为：，不符合题意；
、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意；
、不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，符合题意；
、三张扑克牌，分别是、、，背面朝上洗均后，随机抽出一张是5的概率为，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据概率公式分别求出各个选项中事件发生的概率，由频率估计概率的知识可得概率为0.4，据此判断.
7．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、先后两次掷一枚之地均匀的硬币，一次正面朝上一次反面朝上的概率为，不符合题意；
B、先后两次掷一枚之地均匀的硬币，两次都出现反面朝上的概率为，不符合题意；
C、掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
D、掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是2或4的概率为，符合题意。
故选：D。
【分析】根据统计图可得试验结果在0.33附近波动，得出概率P=0.33，计算四个选项的概率，得出概率为0.33即可。
8．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，不符合题意；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.6 18附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确，符合题意；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000 时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故错误，不符合题意；
综上符合题意的只有②.
故答案为：B.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此逐项判断得出答案.
9．【答案】0.82
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率是0.82．
故答案为：0.82．
【分析】本题考的是利用频率估计概率，频率稳定在哪个数值，概率就是多少.
10．【答案】35
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋子中红色幸运星有x颗，
根据题意得：=0.5，
解得：x=35，
经检验：x=35是原分式方程的解.
故答案为：35.
【分析】设袋子中红色幸运星有x颗，根据“ 摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右 ”，利用概率公式列出方程并解之即可.
11．【答案】8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从表格可知：摸到白球的频率约为0.6，摸到黑球的频率约为0.4，则可估计袋中黑球有20×0.4=8
【分析】本题考查用频率估算概率， 通过大量试验，当试验频率趋于稳定，可用事件发生的频率来估计概率。从表格可知摸到白球的频率约为0.6，摸到黑球的频率约为0.4，可得结论。
12．【答案】②③
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由试验数据可知，1000次，2000次，3000次，4000次，5000次时，正面向上的频率为0.35左右，所以② 正确；若纪念币质地相同，正面向上的频率应该在0.5，故纪念币有很大的可能性不是质地均匀的，所以 ③正确；试验5000次的频率与试验4000次的频率的准确性无法比较，都是用频率估计概率，所以① 错误.
故答案为：②③.
【分析】根据概率公式和图表中的实验数据对各项进行判断，即可求得.
13．【答案】0.618
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图象可知，频率总在0.618附近，
∴ '钉尖向上'的概率是0.618。
故答案为：0.618.
【分析】 根据随着试验次数的增加， 频率会逐步稳定在某一个数据附近，我们可以用这个频率去估计该事件的概率，即可得出'钉尖向上'的概率是0.618。
14．【答案】（1）解：a=18，b=0.55.
（2）解：根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55，稳定在 0.55 左右，
故估计概率的大小为0.55.
（3）解：2000×0.55=1100(次).
∴“兵”字面朝上的次数大约是1100次.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1） a=40×0.45=18，b=66÷120=0.55
【分析】（1）根据频率的定义进行计算即可求解.
（2）多次重复实验得到的频率即是概率.
（3）直接用2000乘以0.55即可求解.
15．【答案】（1）0.5；0.5
（2）解：40×0.5=20(个)，40-20=20(个)；
答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）解：设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：
，
解得：x=10；
经检验x=10是原方程的根，也符合题意，
∴需要往盒子里再放入10个白球.
【知识点】频数（率）分布折线图；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由折线统计图可得： 当n足够大时，摸到白球的频率将会接近0.5； 假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5；
故答案为：0.5，0.5；
【分析】（1）观察折线统计图即可得出第一空答案，进而根据频率的稳定性，估计概率可得第二空的答案；
（2）用盒子中小球的总个数乘以从盒子中任意摸出一个球是白球的概率即可求出盒子中白色小球的总个数，进而求差即可算出盒子中黑色小球的总个数；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式建立方程，求解可得答案.
16．【答案】（1）35；
（2）解：随着射门次数逐渐增大，踢进球门的频率稳定在左右，
所以估计概率为
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)；.
故答案为：35；0.51.
【分析】(1)根据表格中所给的数据，利用频率的计算公式分别求得a、b的值.
(2)通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
17．【答案】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，
（小明去观看羽毛球比赛）；
（2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，
（小明去观看羽毛球比赛）；
（哥哥去观看羽毛球比赛）；
（小明去观看羽毛球比赛）（哥哥去观看羽毛球比赛），
游戏公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率计算公式计算出小明去观看羽毛球比赛的概率即可；
（2）分别计算小明和哥哥去观看羽毛球比赛的概率，然后比较概率大小，概率一样，说明游戏公平。
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