2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 31.4 用列举法求简单事件的概率同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2018九上·海原期中）一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（2023·黔东南模拟） 某校某班开展一次演讲比赛，甲、乙、丙三名同学通过抽象决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲乙丙的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·历下期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·花溪月考）一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·龙岗月考）小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·从江期中）如图所示的是两个可以自由转动的均匀转盘A和B，转盘A，B分别被均匀地分成三等份和四等份，同时自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针各指向一个数字(如果指针恰好在分格线上，那么重转一次，直至指针指向某一数字为止)，则两个数字的积为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·朝阳月考）将分别标有“孔”、“孟”、“乏”、“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口集中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为14，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·黔南期末）如图，开关和处于断开状态，随机闭合开关和中的两个，两盏灯同时发光的概率为 ．
10．（2023九上·贵阳月考）从数-2，-1，4，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b，若k=ab，则正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是 .
11．（2021九上·顺德月考）如图所示的电路图中，当随机闭合 ， ， ， 中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 ．
12．（2023·大庆）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 ．
13．（2023九上·青羊月考）有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 ．
三、解答题
14．（2024九上·曲靖期末）为了调动学生的积极性，班内组织开展“数学小老师”讲题比赛，下面是四张背面看上去无差别的卡片A，B， C， D每张卡片的正面是四位“数学小老师”利用判别式判断一元二次方程根的情况的解题过程（如图）把四张卡片背面朝上放在桌子上．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是
（2）从四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，在随机抽取一张，用画树状图或列表法的方法求出抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率．
15．（2023·丹东）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀，良好，一般，不合格，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 ；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有名学生，估计该校学生答题成绩为等和等共有多少人；
（4）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
四、综合题
16．（2023·邗江模拟）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，至今已有几百种证明方法，在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释并创制了一幅“勾股圆方图”；后刘徽用“出入相补”原理证明了勾股定理；清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法．
（1）某学校数学活动室进行文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用1幅，恰好选中的画像是刘徽的概率 ；
（2）在某次数学活动中，有一个不透明的信封内装有三根长度分别为4cm，6cm和8cm的细木棒，木棒露出纸袋外的部分长度相等，小亮手中有一根长度为cm的细木棒，现从信封内随机取出两根细木棒与小亮手中的细木棒首尾相接放在一起，求抽出的细木棒能与小亮手中的细木棒构成直角三角形的概率（用画树状图或列表的方法求解）
17．（2023·随州）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两个都是女孩的有1种情况，
∴两个都是女孩的概率是： .
故答案为：C.
【分析】利用树状图列举出共有4种等可能的结果，两个都是女孩的有1种情况，利用概率公式计算即可.
2．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：树状图如下：
共有6中等可能结果，出场顺序恰好是甲乙丙的情形只有1种，
∴出场顺序恰好是甲乙丙的概率是
故答案为：A．
【分析】画树状图求概率即可求解．
3．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】根据题意可作出如图所示的树状图：
∴共有9种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有5种，
∴P（ 两次摸到相同颜色的棋子 ）=，
故答案为：C.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由题意，画树状图，
通过树状图可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有3种情况，
所以，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是.
故答案为：A.
【分析】通过画树状图求出p、q的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.
5．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为 ．
故答案为：C．
【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.
6．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】先作出如图所示的树状图：
∴共有12种等可能的情况数，其中两个数字的积为偶数的情况数是8，
∴P（两个数字的积为偶数）=，
故答案为：B.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
7．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：树状图分析如下：
由树状图知，所有机会均等的结果为12种，其中两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的 有两种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的 概率是：.
故答案为：B.
【分析】首先画出树状图进行分析，可以得出所有机会均等的结果总共有12种，其中关注事件的结果为2种，故而求得关注事件两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的 概率是：。
8．【答案】B
【知识点】几何概率；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
由树状图可知：共有20个等可能的结果数，而恰好使该图形为“和谐图形”的结果有4个，
∴恰好使该图形为“和谐图形”的概率为.
故答案为：B.
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可得：共有20个等可能的结果数，而恰好使该图形为“和谐图形”的结果有4个，从而根据概率公式可算出答案.
9．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】根据题意可得如图所示的树状图：
∴共有6种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有2种，
∴P（ 两盏灯同时发光 ）=，
故答案为：.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
10．【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有12种等情况，其中正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的情况有8种，
∴正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是 .
故答案为： .
【分析】画树状图，共有12种等情况，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的情况有8种，再由概率公式求解即可.
11．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：设 、 、 、 分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有12，13，14，21，31，41，6种结果，
能够让灯泡发光的概率为： ，
故答案为： ．
【分析】画出树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：思想政治、地理、化学、生物学分别用A、B、C、D表示，列树状图如下
一共有12种结果数，恰好选择地理和化学的有2种情况，
∴P（ 恰好选择地理和化学的 ）=
故答案为：.
【分析】思想政治、地理、化学、生物学分别用A、B、C、D表示，根据题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图可得到所有的可能的结果数及恰好选择地理和化学的情况数，然后利用概率公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；列表法与树状图法
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为.
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
14．【答案】（1）解：卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根有两张卡片，
∴随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是
（2）解：由题意可得，
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的情况有6种，
∴抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
15．【答案】（1）50；7
（2）解：由（1）知，m=7，
等级为A的有： 50-16-15-7=12（人），
补充完整的条形统计图如图所示，
C等所在扇形圆心角的度数为：；
（3）解：
人，
即估计该校学生答题成绩为等和等共有人；
（4）解：树状图如下所示：
由上可得，一共存在种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有种，
抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）由统计图可得，
这次抽样调查共抽取：16÷32%=50（人），
m=50×14%=7，
故答案为：50；7；
【分析】（1）用B等级的人数除以所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算m的值即可；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出A等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整，用360°乘以C等级的人数所占的百分比可计算出C等所在扇形圆心角的度数；
（3）根据扇形统计图中的数据，用该校学生的总人数乘以A、B等级人数所占的百分比可以计算出该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，由图可知一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，然后可根据概率公式计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
16．【答案】（1）
（2）解：根据题意可得，树状图如下，
总共有6种等可能情况，是勾股数的有2种情况，
∴，
∴抽出的细木棒能与小亮手中的细木棒构成直角三角形的概率为：；
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
有4幅图即有4种等可能的情况，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）先求出有4幅图即有4种等可能的情况，再求概率即可；
（2）先画树状图，再求出总共有6种等可能的情况，是勾股数的有2种情况，最后求概率即可。
17．【答案】（1）80；16；90°
（2）40
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）40÷50%=80，m=80-20-40-4=16，20÷80×100%×360°=90°.
故答案为：80、16、90°.
（2）4÷80×800=40.
故答案为：40.
【分析】（1）利用基本了解的人数除以所占的比例可得总人数，进而可求出m的值，利用非常了解的人数除以总人数，然后乘以360°可得所占扇形圆心角的度数；
（2）利用不了解的人数除以总人数，然后乘以800即可；
（3）画出树状图，找出总情况数以及恰好抽到2名女生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 31.4 用列举法求简单事件的概率同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2018九上·海原期中）一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两个都是女孩的有1种情况，
∴两个都是女孩的概率是： .
故答案为：C.
【分析】利用树状图列举出共有4种等可能的结果，两个都是女孩的有1种情况，利用概率公式计算即可.
2．（2023·黔东南模拟） 某校某班开展一次演讲比赛，甲、乙、丙三名同学通过抽象决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲乙丙的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：树状图如下：
共有6中等可能结果，出场顺序恰好是甲乙丙的情形只有1种，
∴出场顺序恰好是甲乙丙的概率是
故答案为：A．
【分析】画树状图求概率即可求解．
3．（2023九上·历下期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】根据题意可作出如图所示的树状图：
∴共有9种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有5种，
∴P（ 两次摸到相同颜色的棋子 ）=，
故答案为：C.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．（2023九上·花溪月考）一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由题意，画树状图，
通过树状图可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有3种情况，
所以，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是.
故答案为：A.
【分析】通过画树状图求出p、q的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.
5．（2019九上·龙岗月考）小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为 ．
故答案为：C．
【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.
6．（2023九上·从江期中）如图所示的是两个可以自由转动的均匀转盘A和B，转盘A，B分别被均匀地分成三等份和四等份，同时自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针各指向一个数字(如果指针恰好在分格线上，那么重转一次，直至指针指向某一数字为止)，则两个数字的积为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】先作出如图所示的树状图：
∴共有12种等可能的情况数，其中两个数字的积为偶数的情况数是8，
∴P（两个数字的积为偶数）=，
故答案为：B.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
7．（2023九上·朝阳月考）将分别标有“孔”、“孟”、“乏”、“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口集中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：树状图分析如下：
由树状图知，所有机会均等的结果为12种，其中两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的 有两种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的 概率是：.
故答案为：B.
【分析】首先画出树状图进行分析，可以得出所有机会均等的结果总共有12种，其中关注事件的结果为2种，故而求得关注事件两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的 概率是：。
8．在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为14，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
由树状图可知：共有20个等可能的结果数，而恰好使该图形为“和谐图形”的结果有4个，
∴恰好使该图形为“和谐图形”的概率为.
故答案为：B.
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可得：共有20个等可能的结果数，而恰好使该图形为“和谐图形”的结果有4个，从而根据概率公式可算出答案.
二、填空题
9．（2024九上·黔南期末）如图，开关和处于断开状态，随机闭合开关和中的两个，两盏灯同时发光的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】根据题意可得如图所示的树状图：
∴共有6种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有2种，
∴P（ 两盏灯同时发光 ）=，
故答案为：.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
10．（2023九上·贵阳月考）从数-2，-1，4，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b，若k=ab，则正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是 .
【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有12种等情况，其中正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的情况有8种，
∴正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是 .
故答案为： .
【分析】画树状图，共有12种等情况，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的情况有8种，再由概率公式求解即可.
11．（2021九上·顺德月考）如图所示的电路图中，当随机闭合 ， ， ， 中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：设 、 、 、 分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有12，13，14，21，31，41，6种结果，
能够让灯泡发光的概率为： ，
故答案为： ．
【分析】画出树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
12．（2023·大庆）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：思想政治、地理、化学、生物学分别用A、B、C、D表示，列树状图如下
一共有12种结果数，恰好选择地理和化学的有2种情况，
∴P（ 恰好选择地理和化学的 ）=
故答案为：.
【分析】思想政治、地理、化学、生物学分别用A、B、C、D表示，根据题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图可得到所有的可能的结果数及恰好选择地理和化学的情况数，然后利用概率公式进行计算.
13．（2023九上·青羊月考）有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；列表法与树状图法
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为.
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
三、解答题
14．（2024九上·曲靖期末）为了调动学生的积极性，班内组织开展“数学小老师”讲题比赛，下面是四张背面看上去无差别的卡片A，B， C， D每张卡片的正面是四位“数学小老师”利用判别式判断一元二次方程根的情况的解题过程（如图）把四张卡片背面朝上放在桌子上．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是
（2）从四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，在随机抽取一张，用画树状图或列表法的方法求出抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率．
【答案】（1）解：卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根有两张卡片，
∴随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是
（2）解：由题意可得，
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的情况有6种，
∴抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
15．（2023·丹东）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀，良好，一般，不合格，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 ；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有名学生，估计该校学生答题成绩为等和等共有多少人；
（4）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【答案】（1）50；7
（2）解：由（1）知，m=7，
等级为A的有： 50-16-15-7=12（人），
补充完整的条形统计图如图所示，
C等所在扇形圆心角的度数为：；
（3）解：
人，
即估计该校学生答题成绩为等和等共有人；
（4）解：树状图如下所示：
由上可得，一共存在种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有种，
抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）由统计图可得，
这次抽样调查共抽取：16÷32%=50（人），
m=50×14%=7，
故答案为：50；7；
【分析】（1）用B等级的人数除以所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算m的值即可；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出A等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整，用360°乘以C等级的人数所占的百分比可计算出C等所在扇形圆心角的度数；
（3）根据扇形统计图中的数据，用该校学生的总人数乘以A、B等级人数所占的百分比可以计算出该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，由图可知一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，然后可根据概率公式计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
四、综合题
16．（2023·邗江模拟）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，至今已有几百种证明方法，在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释并创制了一幅“勾股圆方图”；后刘徽用“出入相补”原理证明了勾股定理；清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法．
（1）某学校数学活动室进行文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用1幅，恰好选中的画像是刘徽的概率 ；
（2）在某次数学活动中，有一个不透明的信封内装有三根长度分别为4cm，6cm和8cm的细木棒，木棒露出纸袋外的部分长度相等，小亮手中有一根长度为cm的细木棒，现从信封内随机取出两根细木棒与小亮手中的细木棒首尾相接放在一起，求抽出的细木棒能与小亮手中的细木棒构成直角三角形的概率（用画树状图或列表的方法求解）
【答案】（1）
（2）解：根据题意可得，树状图如下，
总共有6种等可能情况，是勾股数的有2种情况，
∴，
∴抽出的细木棒能与小亮手中的细木棒构成直角三角形的概率为：；
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
有4幅图即有4种等可能的情况，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）先求出有4幅图即有4种等可能的情况，再求概率即可；
（2）先画树状图，再求出总共有6种等可能的情况，是勾股数的有2种情况，最后求概率即可。
17．（2023·随州）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】（1）80；16；90°
（2）40
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）40÷50%=80，m=80-20-40-4=16，20÷80×100%×360°=90°.
故答案为：80、16、90°.
（2）4÷80×800=40.
故答案为：40.
【分析】（1）利用基本了解的人数除以所占的比例可得总人数，进而可求出m的值，利用非常了解的人数除以总人数，然后乘以360°可得所占扇形圆心角的度数；
（2）利用不了解的人数除以总人数，然后乘以800即可；
（3）画出树状图，找出总情况数以及恰好抽到2名女生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
1 / 1
