2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 31.4 用列举法求简单事件的概率同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九下·江油月考）小明、小颖和小凡都想去影院看电影，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（ ）
A．三人获胜的概率相同 B．小明获胜的概率大
C．小颖获胜的概率大 D．小凡获胜的概率大
2．（2022九下·淮北月考）如图所示，方格纸中是小天设计的跳棋线路图，每个小方格的边长为一个单位长度，有一枚棋子P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么棋子P经过3次跳动后恰好是沿着小天设计的路线到达点B的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九下·江岸月考）2022年冬奥会古祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”.如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个不透明的口袋中，装有a个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，摸到黄球的概率是0.2，则a的值是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．30
5．一枚质地均匀的正方体骰子六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6．掷四次骰子，依次得到朝上的面上的数字分别为a，b，c，d，则在a，a+b，a+b+c，a+b+c+d中存在一个数等于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在我校读书月活动中，小玲在书城买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐的摆放在书架上，恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023九下·西湖月考）甲、乙、丙三位同学做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他两人中的某一人，则第二次传球后球回到甲手里的概率是 .
8．（2023九下·武汉模拟）某乒乓球队共有7位选手，其中甲、乙、丙三人为右手持拍的选手，丁、戊两人为左手持拍的选手，而己、庚两人为左右手皆可持拍的选手，现在需要派出两名选手参加双打，若比赛规定必须由一名可以右手持拍的选手与一名可以左手持拍的选手搭配，则可能的搭配方式共有 种．
9．（2022九下·重庆市期中）现有三张正面分别标有数字-5，-2，6的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同.将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，卡片上的数字记为a，然后放回摇匀后再随机取出一张，卡片上的数字记为b.则满足a+b<0的概率是 .
10．同时掷两枚普通的骰子，“出现数字之积为奇数”与“出现数字之积为偶数”的概率分别是 ， ．
11．在平面直角坐标系中,作OOAB,其中三个顶点分别是O(0,0),B(1,1),A( , ),其中点A,O,B不在同一直线上且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2, , 均为整数，则所作OOAB为直角三角形的概率是 .
三、解答题
12．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为.
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）现制订这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问：这样的游戏规则公平吗 请你用概率的知识解释.
13．（2023九上·深圳月考）“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40－70分钟以内完成”，C表示“70－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）这次调查的总人数是 人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 °；C类扇形所占的百分比是 ．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
四、综合题
14．（2022·阳泉模拟）某校组织了九年级学生进行“汉字听写大赛”，据统计，所有学生的比赛成绩均超过60分，最高分为100分．比赛的成绩分以下四个等级：A（），B（），C（），D（）（单位：分）．现随机抽取了九年级若干名学生的比赛成绩，绘制出如下不完整的统计图．请你结合以上信息，解答下列问题：
（1）请补全比赛成绩直方图；
（2）针对本次统计结果，以下三位同学做出如下判断：
小强认为：中位数落在B组；
小明认为：众数落在C组；
小亮认为：若C组有a人，则可估算平均成绩约为：．
以上判断中有一位同学是错误的，这位同学是 （填“小强”、“小明”或“小亮”）；
（3）若该校九年级共1000名学生，测试成绩高于80分记为“优秀”，请你估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数．
（4）学校要求，各班需推荐一男一女两名学生参加总决赛，九年级（2）班班主任要在本班前五名同学（包括两名男生和三名女生）中进行推选，请用列表或树状图求恰好能按要求推选的概率是多少？
15．（2022·孝义模拟）2022年3月23日15：40，“天宫课堂”第二课开讲，本次太空授课活动同样采取天地对话方式进行，在约45分钟的授课中，神舟十三号飞行乘组生动演示了微重力环境下太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校组织全体学生观看了本次授课活动，并让同学们选出自己最感兴趣的实验．学校教务处随机抽取了部分学生对授课活动最感兴趣的实验进行了问卷调查，具体问卷如下：
将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）
请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为 人；在扇形统计图中，“太空抛物实验”的圆心角是 度．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）若该校有3600名学生，请你估计选择太空“冰雪”实验的有多少人．
（4）为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量，学校教务处决定开展
“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：A．书写观后感；B．演示科学实验；C．绘制手抄报；D．开展主题班会．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，然后背面朝上放置，搅匀后要求先由七年级派一名代表从中随机抽取一张，记下标号后放回，再由八年级派一名代表从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验（B）的概率．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列树状图如下，
一共有4种结果数，两枚正面朝上的只有1种情况，一枚正面朝上，一枚反面朝上的有2种情况，
∴P（小颖获胜）=，P（小凡获胜）=，
∵，
∴小凡获胜的概率大.
故答案为：D
【分析】根据题意列出树状图，根据树状图可得到一共有4种结果数，两枚正面朝上的只有1种情况，一枚正面朝上，一枚反面朝上的有2种情况，再利用概率公式分别求出两人获胜的概率，然后比较大小，可得答案.
2．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，
则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），
（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），正确的只有（下，下，右）这1种，
所以棋子P经过3次跳动后恰好是沿着小天设计的路线到达点B的概率为P＝，
故答案为：B．
【分析】先列举出共8种不同的跳法，其中恰好是沿着小天设计的路线到达点B只有1种，然后利用概率公式计算即可.
3．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，
根据题意画树状图如下：
共有6个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有2个，
则P（抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）= = .
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可知此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图可得到所有的等可能的结果数及抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的情况数，然后利用概率公式进行计算.
4．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意得 =0.2，
解得a=16．
即a的值为16．
故选A．
【分析】利用概率公式得到 =0.2，然后利用比例性质求出a即可．
5．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的正方体骰子四次共有6×6×6×6=1296种等可能结果，
依次得到朝上的面上的数字分别为a，b，c，d，
当a=4时，此时共有6×6×6=216种可能结果，
当a+b=4，即第1、2次抛掷的结果分别为1、3或2、2或3、1时，其结果数为6×6+6×6+6×6=108种，
当a+b+c=4时，即第1、2、3次抛掷的结果分别为1、1、2或1、2、1或2、1、1时，其结果数为6+6+6=18种，
当a+b+c+d=4时，即第1、2、3、4抛掷的结果均为1点，其结果数只有1种，
综上，在a，a+b，a+b+c，a+b+c+d中存在一个数等于4的共有216+108+18+1=343，
则在a，a+b，a+b+c，a+b+c+d中存在一个数等于4的概率为 ，
故选：C．
【分析】根据题意得出当a=4时，共有6×6×6=216种可能结果；当a+b=4，即第1、2次抛掷的结果分别为1、3或2、2或3、1时，其结果数为6×6+6×6+6×6=108种；当a+b+c=4时，即第1、2、3次抛掷的结果分别为1、1、2或1、2、1或2、1、1时，其结果数为6+6+6=18种；当a+b+c+d=4时，即第1、2、3、4抛掷的结果均为1点，其结果数只有1种，根据概率公式求解可得．
6．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中摆成“上、中、下”顺序的结果数为1，
所以摆成“上、中、下”顺序的概率是 ．
故选C．
【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出摆成“上、中、下”顺序的结果数，然后根据概率公式求解．
7．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列树状图如下，
一共有4种结果数，第二次传球后球回到甲手里的有2种情况，
∴P（第二次传球后球回到甲手里）=.
故答案为：
【分析】根据题意列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及第二次传球后球回到甲手里的情况数，再利用概率公式进行计算.
8．【答案】34
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解∶列表如下：
甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲) (戊，甲) (己，甲) (庚，甲)
乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙) (戊，乙) (己，乙) (庚，乙)
丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙) (戊，丙) (己，丙) (庚，丙)
丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁) (戊，丁) (己，丁) (庚，丁)
戊 (甲，戊) (乙，戊) (丙，戊) (丁，戊) (己，戊) (庚，戊)
己 (甲，己) (乙，己) (丙，己) (丁，己) (戊，己) (庚，己)
庚 (甲，庚) (乙，庚) (丙，庚) (丁，庚) (戊，庚) (己，庚)
由上表可知，共有42种等可能结果，其中一名可以右手持拍的选手与一名可以左手持拍的选手搭配有34种，
故答案为：34．
【分析】根据列表法，列出所有可能性的结果即可得解．
9．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中满足a+b<0的有4种结果，
所以满足a+b<0的概率为.
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及满足a+b<0的情况数，然后根据概率公式进行计算.
10．【答案】；
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】根据题意，列树状图如下，
由树状图可知，一共会出现 情况，在36中情况中，通过乘法计算可以得出“出现数字之积为奇数”的数目共有9个，“出现数字之积为偶数的有27个”，从而得出其概率分别为、。
【分析】本题第一步一定要找出所有可能出现的搭配结果，再找出符合题意的情况，最终利用概率计算公式得出相应的概率值。
11．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解： ∵A（x，y）且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2 ，
∴A的坐标可以为：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2），
（0，-2），（0，-1），（0，1），（0，2），
（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，2），
（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）.
则以O、A、B为顶点的三角形共有20个.
当点A的坐标为：（0，2），（0，1），（1，0），（2，0），（1，-1），（-1，1），（2，-2），（-2，2）时，△OAB为直角三角形，一共有8种情况，
∴△OAB为直角三角形的概率是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件列举出所有A点的坐标，然后求出△OAB为直角三角形时点A的个数，最后利用概率公式计算即可.
12．【答案】（1）解：画树状图如下，
由树状图可知：（a，b）所有可能的结果数为：，，，，，，（1，1），（1，3），（1，2）共9种；
（2）解：不公平，理由如下：
∵所选出的a、b能使ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即b2-4a＞0，
而当a=，b=1时，b2-4a=-1＜0，
当a=，b=3时，b2-4a=7＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=2＞0，
当a=，b=1时，b2-4a=0，
当a=，b=3时，b2-4a=8＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=3＞0，
当a=1，b=1时，b2-4a=-3＜0，
当a=1，b=3时，b2-4a=5＞0，
当a=1，b=2时，b2-4a=0，
∴(甲获胜)，P(乙获胜)，
而，所以这样的游戏规则对甲有利，不公平.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由树状图可知所有等可能结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式即可求出甲、乙获胜的概率，再比较概率大小，即可确定这样的游戏规则是否公平.
13．【答案】（1）40；108；45%
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） 根据统计图可知，A类的人数为12人，A类扇形所占的百分比是15％，
∴这次调查的总人数是 6÷15％=40（人）.
根据条形统计图可知，B类的人数为12人，
∴扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 360°×108°.
根据条形统计图可知，C类的人数为 40 -6-12-4=18（人），
∴C类扇形所占的百分比是100％=45％.
【分析】（1）首先根据统计图中A类的人数和A类扇形所占的百分比，求出调查的总人数；然后用360°乘以B类的人数所占百分比，得到B类扇形的圆心角；先求出C类的人数，最后再求出C类扇形所占的百分比.
（2）根据题意，画出树状图，判断有12种等可能结果，再由概率公式求解即可.
14．【答案】（1）解：由直方图和扇形统计图数据可得总人数为（人），
组人数为（人），
补全直方图如下：
（2）小明
（3）解：根据样本中“优秀”学生占比来估算九年级总体学生中“优秀”人数，由于样本总数为50人，组有20人，
测试成绩高于80分记为“优秀”的人数为20+4=24人，
估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数为（人），
答：估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数为480人；
（4）解：根据题意，列表如下：
① ② 男1 男2 男3 女1 女2
男1 （男2，男1） （男3，男1） （女1，男1） （女2，男1）
男2 （男1，男2） （男3，男2） （女1，男2） （女2，男2）
男3 （男1，男3） （男2，男3） （女1，男3） （女2，男3）
女1 （男1，女1） （男2，女1） （男3，女1） （女2，女1）
女2 （男1，女2） （男2，女2） （男3，女2） （女1，女2）
由上表可知，共有20种等可能的结果，其中恰好出现“一男一女”的结果有12种，故：．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】(2)解：根据题意，中位数落在组，
若C组有a人，根据平均数计算公式可得：，
故小强3001小亮的说法是正确的，判断错误的是小明，
故答案为：小明；
【分析】（1）先利用“B”的频数和百分比可得总人数，再求出“C”的频数并作出条形统计图即可；
（2）根据众数、中位数和平均数的计算方法逐个判断即可；
（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以1000可得答案；
（4）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
15．【答案】（1）120；72
（2）解：“水油分离实验”的人数为120-20-36-24=40（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：人，
答：估计选择太空“冰雪”实验的约有600人
（4）解：列表如下：
八年级 七年级 A B C D
A A，A A，B A，C A，D
B B，A B，B B，C B，D
C C，A C，B C，C C，D
D D，A D，B D，C D，D
由表可得，可能出现的结果有16种，并且他们出现的可能性相等，两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验（B）的结果有7种，所以．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：参与本次问卷调查的总人数为36÷30%=120（人），
“太空抛物实验”的圆心角是360°×=72°，
故答案为：120，72；
【分析】（1）利用“液桥演示实验”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“太空抛物实验”的圆心角即可；
（2）先求出“水油分离实验”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“冰雪”的百分比，再乘以3600可得答案；
（4）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 31.4 用列举法求简单事件的概率同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九下·江油月考）小明、小颖和小凡都想去影院看电影，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（ ）
A．三人获胜的概率相同 B．小明获胜的概率大
C．小颖获胜的概率大 D．小凡获胜的概率大
【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列树状图如下，
一共有4种结果数，两枚正面朝上的只有1种情况，一枚正面朝上，一枚反面朝上的有2种情况，
∴P（小颖获胜）=，P（小凡获胜）=，
∵，
∴小凡获胜的概率大.
故答案为：D
【分析】根据题意列出树状图，根据树状图可得到一共有4种结果数，两枚正面朝上的只有1种情况，一枚正面朝上，一枚反面朝上的有2种情况，再利用概率公式分别求出两人获胜的概率，然后比较大小，可得答案.
2．（2022九下·淮北月考）如图所示，方格纸中是小天设计的跳棋线路图，每个小方格的边长为一个单位长度，有一枚棋子P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么棋子P经过3次跳动后恰好是沿着小天设计的路线到达点B的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，
则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），
（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），正确的只有（下，下，右）这1种，
所以棋子P经过3次跳动后恰好是沿着小天设计的路线到达点B的概率为P＝，
故答案为：B．
【分析】先列举出共8种不同的跳法，其中恰好是沿着小天设计的路线到达点B只有1种，然后利用概率公式计算即可.
3．（2022九下·江岸月考）2022年冬奥会古祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”.如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，
根据题意画树状图如下：
共有6个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有2个，
则P（抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）= = .
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可知此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图可得到所有的等可能的结果数及抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的情况数，然后利用概率公式进行计算.
4．在一个不透明的口袋中，装有a个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，摸到黄球的概率是0.2，则a的值是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．30
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意得 =0.2，
解得a=16．
即a的值为16．
故选A．
【分析】利用概率公式得到 =0.2，然后利用比例性质求出a即可．
5．一枚质地均匀的正方体骰子六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6．掷四次骰子，依次得到朝上的面上的数字分别为a，b，c，d，则在a，a+b，a+b+c，a+b+c+d中存在一个数等于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的正方体骰子四次共有6×6×6×6=1296种等可能结果，
依次得到朝上的面上的数字分别为a，b，c，d，
当a=4时，此时共有6×6×6=216种可能结果，
当a+b=4，即第1、2次抛掷的结果分别为1、3或2、2或3、1时，其结果数为6×6+6×6+6×6=108种，
当a+b+c=4时，即第1、2、3次抛掷的结果分别为1、1、2或1、2、1或2、1、1时，其结果数为6+6+6=18种，
当a+b+c+d=4时，即第1、2、3、4抛掷的结果均为1点，其结果数只有1种，
综上，在a，a+b，a+b+c，a+b+c+d中存在一个数等于4的共有216+108+18+1=343，
则在a，a+b，a+b+c，a+b+c+d中存在一个数等于4的概率为 ，
故选：C．
【分析】根据题意得出当a=4时，共有6×6×6=216种可能结果；当a+b=4，即第1、2次抛掷的结果分别为1、3或2、2或3、1时，其结果数为6×6+6×6+6×6=108种；当a+b+c=4时，即第1、2、3次抛掷的结果分别为1、1、2或1、2、1或2、1、1时，其结果数为6+6+6=18种；当a+b+c+d=4时，即第1、2、3、4抛掷的结果均为1点，其结果数只有1种，根据概率公式求解可得．
6．在我校读书月活动中，小玲在书城买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐的摆放在书架上，恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中摆成“上、中、下”顺序的结果数为1，
所以摆成“上、中、下”顺序的概率是 ．
故选C．
【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出摆成“上、中、下”顺序的结果数，然后根据概率公式求解．
二、填空题
7．（2023九下·西湖月考）甲、乙、丙三位同学做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他两人中的某一人，则第二次传球后球回到甲手里的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列树状图如下，
一共有4种结果数，第二次传球后球回到甲手里的有2种情况，
∴P（第二次传球后球回到甲手里）=.
故答案为：
【分析】根据题意列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数及第二次传球后球回到甲手里的情况数，再利用概率公式进行计算.
8．（2023九下·武汉模拟）某乒乓球队共有7位选手，其中甲、乙、丙三人为右手持拍的选手，丁、戊两人为左手持拍的选手，而己、庚两人为左右手皆可持拍的选手，现在需要派出两名选手参加双打，若比赛规定必须由一名可以右手持拍的选手与一名可以左手持拍的选手搭配，则可能的搭配方式共有 种．
【答案】34
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解∶列表如下：
甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲) (戊，甲) (己，甲) (庚，甲)
乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙) (戊，乙) (己，乙) (庚，乙)
丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙) (戊，丙) (己，丙) (庚，丙)
丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁) (戊，丁) (己，丁) (庚，丁)
戊 (甲，戊) (乙，戊) (丙，戊) (丁，戊) (己，戊) (庚，戊)
己 (甲，己) (乙，己) (丙，己) (丁，己) (戊，己) (庚，己)
庚 (甲，庚) (乙，庚) (丙，庚) (丁，庚) (戊，庚) (己，庚)
由上表可知，共有42种等可能结果，其中一名可以右手持拍的选手与一名可以左手持拍的选手搭配有34种，
故答案为：34．
【分析】根据列表法，列出所有可能性的结果即可得解．
9．（2022九下·重庆市期中）现有三张正面分别标有数字-5，-2，6的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同.将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，卡片上的数字记为a，然后放回摇匀后再随机取出一张，卡片上的数字记为b.则满足a+b<0的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中满足a+b<0的有4种结果，
所以满足a+b<0的概率为.
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及满足a+b<0的情况数，然后根据概率公式进行计算.
10．同时掷两枚普通的骰子，“出现数字之积为奇数”与“出现数字之积为偶数”的概率分别是 ， ．
【答案】；
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】根据题意，列树状图如下，
由树状图可知，一共会出现 情况，在36中情况中，通过乘法计算可以得出“出现数字之积为奇数”的数目共有9个，“出现数字之积为偶数的有27个”，从而得出其概率分别为、。
【分析】本题第一步一定要找出所有可能出现的搭配结果，再找出符合题意的情况，最终利用概率计算公式得出相应的概率值。
11．在平面直角坐标系中,作OOAB,其中三个顶点分别是O(0,0),B(1,1),A( , ),其中点A,O,B不在同一直线上且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2, , 均为整数，则所作OOAB为直角三角形的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解： ∵A（x，y）且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2 ，
∴A的坐标可以为：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2），
（0，-2），（0，-1），（0，1），（0，2），
（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，2），
（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）.
则以O、A、B为顶点的三角形共有20个.
当点A的坐标为：（0，2），（0，1），（1，0），（2，0），（1，-1），（-1，1），（2，-2），（-2，2）时，△OAB为直角三角形，一共有8种情况，
∴△OAB为直角三角形的概率是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件列举出所有A点的坐标，然后求出△OAB为直角三角形时点A的个数，最后利用概率公式计算即可.
三、解答题
12．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为.
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）现制订这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问：这样的游戏规则公平吗 请你用概率的知识解释.
【答案】（1）解：画树状图如下，
由树状图可知：（a，b）所有可能的结果数为：，，，，，，（1，1），（1，3），（1，2）共9种；
（2）解：不公平，理由如下：
∵所选出的a、b能使ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即b2-4a＞0，
而当a=，b=1时，b2-4a=-1＜0，
当a=，b=3时，b2-4a=7＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=2＞0，
当a=，b=1时，b2-4a=0，
当a=，b=3时，b2-4a=8＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=3＞0，
当a=1，b=1时，b2-4a=-3＜0，
当a=1，b=3时，b2-4a=5＞0，
当a=1，b=2时，b2-4a=0，
∴(甲获胜)，P(乙获胜)，
而，所以这样的游戏规则对甲有利，不公平.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由树状图可知所有等可能结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式即可求出甲、乙获胜的概率，再比较概率大小，即可确定这样的游戏规则是否公平.
13．（2023九上·深圳月考）“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40－70分钟以内完成”，C表示“70－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）这次调查的总人数是 人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 °；C类扇形所占的百分比是 ．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40；108；45%
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） 根据统计图可知，A类的人数为12人，A类扇形所占的百分比是15％，
∴这次调查的总人数是 6÷15％=40（人）.
根据条形统计图可知，B类的人数为12人，
∴扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 360°×108°.
根据条形统计图可知，C类的人数为 40 -6-12-4=18（人），
∴C类扇形所占的百分比是100％=45％.
【分析】（1）首先根据统计图中A类的人数和A类扇形所占的百分比，求出调查的总人数；然后用360°乘以B类的人数所占百分比，得到B类扇形的圆心角；先求出C类的人数，最后再求出C类扇形所占的百分比.
（2）根据题意，画出树状图，判断有12种等可能结果，再由概率公式求解即可.
四、综合题
14．（2022·阳泉模拟）某校组织了九年级学生进行“汉字听写大赛”，据统计，所有学生的比赛成绩均超过60分，最高分为100分．比赛的成绩分以下四个等级：A（），B（），C（），D（）（单位：分）．现随机抽取了九年级若干名学生的比赛成绩，绘制出如下不完整的统计图．请你结合以上信息，解答下列问题：
（1）请补全比赛成绩直方图；
（2）针对本次统计结果，以下三位同学做出如下判断：
小强认为：中位数落在B组；
小明认为：众数落在C组；
小亮认为：若C组有a人，则可估算平均成绩约为：．
以上判断中有一位同学是错误的，这位同学是 （填“小强”、“小明”或“小亮”）；
（3）若该校九年级共1000名学生，测试成绩高于80分记为“优秀”，请你估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数．
（4）学校要求，各班需推荐一男一女两名学生参加总决赛，九年级（2）班班主任要在本班前五名同学（包括两名男生和三名女生）中进行推选，请用列表或树状图求恰好能按要求推选的概率是多少？
【答案】（1）解：由直方图和扇形统计图数据可得总人数为（人），
组人数为（人），
补全直方图如下：
（2）小明
（3）解：根据样本中“优秀”学生占比来估算九年级总体学生中“优秀”人数，由于样本总数为50人，组有20人，
测试成绩高于80分记为“优秀”的人数为20+4=24人，
估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数为（人），
答：估计该校九年级学生中汉字听写比赛成绩达到“优秀”的人数为480人；
（4）解：根据题意，列表如下：
① ② 男1 男2 男3 女1 女2
男1 （男2，男1） （男3，男1） （女1，男1） （女2，男1）
男2 （男1，男2） （男3，男2） （女1，男2） （女2，男2）
男3 （男1，男3） （男2，男3） （女1，男3） （女2，男3）
女1 （男1，女1） （男2，女1） （男3，女1） （女2，女1）
女2 （男1，女2） （男2，女2） （男3，女2） （女1，女2）
由上表可知，共有20种等可能的结果，其中恰好出现“一男一女”的结果有12种，故：．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】(2)解：根据题意，中位数落在组，
若C组有a人，根据平均数计算公式可得：，
故小强3001小亮的说法是正确的，判断错误的是小明，
故答案为：小明；
【分析】（1）先利用“B”的频数和百分比可得总人数，再求出“C”的频数并作出条形统计图即可；
（2）根据众数、中位数和平均数的计算方法逐个判断即可；
（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以1000可得答案；
（4）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
15．（2022·孝义模拟）2022年3月23日15：40，“天宫课堂”第二课开讲，本次太空授课活动同样采取天地对话方式进行，在约45分钟的授课中，神舟十三号飞行乘组生动演示了微重力环境下太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校组织全体学生观看了本次授课活动，并让同学们选出自己最感兴趣的实验．学校教务处随机抽取了部分学生对授课活动最感兴趣的实验进行了问卷调查，具体问卷如下：
将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）
请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为 人；在扇形统计图中，“太空抛物实验”的圆心角是 度．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）若该校有3600名学生，请你估计选择太空“冰雪”实验的有多少人．
（4）为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量，学校教务处决定开展
“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：A．书写观后感；B．演示科学实验；C．绘制手抄报；D．开展主题班会．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，然后背面朝上放置，搅匀后要求先由七年级派一名代表从中随机抽取一张，记下标号后放回，再由八年级派一名代表从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验（B）的概率．
【答案】（1）120；72
（2）解：“水油分离实验”的人数为120-20-36-24=40（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：人，
答：估计选择太空“冰雪”实验的约有600人
（4）解：列表如下：
八年级 七年级 A B C D
A A，A A，B A，C A，D
B B，A B，B B，C B，D
C C，A C，B C，C C，D
D D，A D，B D，C D，D
由表可得，可能出现的结果有16种，并且他们出现的可能性相等，两个年级代表抽到的主题卡片中有演示科学实验（B）的结果有7种，所以．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：参与本次问卷调查的总人数为36÷30%=120（人），
“太空抛物实验”的圆心角是360°×=72°，
故答案为：120，72；
【分析】（1）利用“液桥演示实验”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“太空抛物实验”的圆心角即可；
（2）先求出“水油分离实验”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“冰雪”的百分比，再乘以3600可得答案；
（4）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
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