2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.1 同底数幂的乘法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·无为月考）若，，则的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．54
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法结合题意进行运算即可求解。
2．（2023七下·茶陵期末）若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解即可.
3．（2022八上·晋江月考）在等式x2 （﹣x） （ ）＝x11中，括号内的代数式为（ ）
A．x8 B．（﹣x）8 C．﹣x9 D．﹣x8
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：括号内的式子为：x11÷x2÷（-x）=-x11-2-1=-x8，
故答案为：D．
【分析】首先根据一个因数等于积除以另一个因数，列出算式，再根据同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算.
4．（2022七下·滨湖期中）已知10a=6，10b=2，10c=72，用含有a和b的代数式表示c为（ ）
A．c=a+b B．c=2a+b C．c=2a+2b D．c=2a+3b
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵10a=6，10b=2，10c=72，6×6×2=72，
∴10c=10a×10a×10b，
∴10c=102a+b，
∴c=2a+b.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则结合已知条件可得10c=102a+b，据此可得a、b、c的关系.
5．（2021八上·铜官期末）已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵5×10=50，，，，
∴2a×2b=2c，即：2a+b=2c，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法可得2a×2b=2c，即2a+b=2c，所以。
6．（2023八上·吉林月考）若 则 m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵
∴3m+2=14，
解得：m=4
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法可得3m+2=14，再求出m的值即可.
7．若 ， ，且满足 ，则 的值为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】由 相乘得：y= ，代入其中一式得x=4，故 =
故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查了同底数幂的乘法.观察题目先求出y的值是关键.
8．（2020七上·犍为期中）为了求 的值，可设 ，等式两边同乘以 ，得 ，所以得 ，所以 ，即： ＝ .仿照以上方法求 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：求 的值，
可设s= ，
则5s=5（ ）= ，
=4s=
（ ）-（ ）
= ，
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，模仿给出的示例，可设S=①，可得5s= ② ，利用②-①即可求解.
二、填空题
9．若3x+y-3=0， 则23x·2y= ．
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： ∵3x+y-3=0，
∴ 3x+y=3，
∴23x·2y=23x+y=23=8.
故答案为：8.
【分析】由同底数幂的乘法可得23x·2y=23x+y，再整体代入计算即可.
10．（2023七下·榕城期末）计算的结果是 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先计算-m的平方，再进行同底数幂的乘法运算.易写成是本题的易错点.
11．（2023七下·通州期中）已知，那么的值是 ．
【答案】32
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：32.
【分析】利用同底数幂的乘法公式可得，再将数据代入计算即可.
12．（2018八上·长春月考）已知2a＝5，2b＝10，2c＝100，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
【答案】c＝1+a+b
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵100＝2×5×10，
∴2c＝2×2a×2b＝21+a+b，
则c＝1+a+b，
故答案为：c＝1+a+b．
【分析】欲找 a、b、c之间满足的等量关系 ，可先找等式右边的三个数5、10、100之间满足的等量关系：100=2×5×10，然后再把三个等式代入即可.
三、解答题
13．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
【答案】解：3.75×105×1×1010＝3.75×1015(千克)．
答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】根据镭的重量与每千克的镭释放的热量，可得出释放的总热量，列出式子，根据同底数幂的乘积，底数不变，指数不变，可得出结果。
14．用字母表示同底数幂的乘法法则，并写出推导过程及每一步的依据．
【答案】解：同底数幂的乘法法则：am an=a m+n（m，n是正整数），
推导：
am an × （乘方的意义）
= （乘法结合律）
=am+n（乘方的意义）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】依据乘方的意义以及乘法结合律，即可得到同底数幂的乘法法则．
四、综合题
15．（2022七上·宛城期末）先阅读下列材料，然后解答问题.
探究：用的幂的形式表示am an的结果（m、为正整数）.
分析：根据乘方的意义，am an==am+n.
（1）请根据以上结论填空：36×38= ，52×53×57= ，（a+b）3 （a+b）5= ；
（2）仿照以上的分析过程，用的幂的形式表示（am）n的结果（提示：将am看成一个整体）.
【答案】（1）314；512；（a+b）8
（2）解：.
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：1）36×38=36+8=314；
52×53×57=52+3+7=512；
（a+b）3 （a+b）5=（a+b）3+5=（a+b）8；
故答案为314；512；（a+b）8；
【分析】（1）同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可；
（2）将am看成一个整体，根据乘方的意义即可求解.
16．（2019八上·合肥月考）基本事实：若 （a>0，且a≠1，m，n都是正整数），则m=n.试利用上述基本事实解决下面的两个问题：
（1）如果 ，求x的值．
（2）如果 ，求x的值．
【答案】（1）解： ，
，
2＋7x=22 ，
x=3
（2）解： ，
，
，
x=2 .
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x=222，得出1+7x=22，求解即可；②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x=4，求解即可．
17．（2022七下·江阴期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a =27=32·3b.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的 光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC .
【答案】（1）解：∵a、b满足3a =27=32·3b，
∴3a =33=32+b，
∴a=3，2+b=3，
∴b=1.
（2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线转到AN之前，
3t=（20+t）×1
解得t=10；
②在灯A射线转到AN之后，
3t﹣3×60+（20+t）×1=180°，
解得t=85
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）2：3
【知识点】同底数幂的乘法；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
又∠ACD=90°
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BCD：∠BAC=2：3
【分析】（1）由a、b满足的等式和同底数幂的乘法法则可得3a=33=32×3b=32+b，根据等式的性质可得关于a、b的方程，解之可求解；
（2） 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，根据平行线的性质可得关于t的方程，解之可求解；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，由角的构成∠BAC=∠BAN-∠CAN可将∠BAC用含t的代数式表示出来，由平行线的性质和角的构成∠BCA=∠CBD+∠CAN可将∠BCA用含t的代数式表示出来，由角的构成∠BCD=∠ACD-∠BCA可将∠BCD用含t的代数式表示出来，然后代入∠BCD：∠BAC计算可求解.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.1 同底数幂的乘法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·无为月考）若，，则的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．54
2．（2023七下·茶陵期末）若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八上·晋江月考）在等式x2 （﹣x） （ ）＝x11中，括号内的代数式为（ ）
A．x8 B．（﹣x）8 C．﹣x9 D．﹣x8
4．（2022七下·滨湖期中）已知10a=6，10b=2，10c=72，用含有a和b的代数式表示c为（ ）
A．c=a+b B．c=2a+b C．c=2a+2b D．c=2a+3b
5．（2021八上·铜官期末）已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八上·吉林月考）若 则 m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若 ， ，且满足 ，则 的值为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
8．（2020七上·犍为期中）为了求 的值，可设 ，等式两边同乘以 ，得 ，所以得 ，所以 ，即： ＝ .仿照以上方法求 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若3x+y-3=0， 则23x·2y= ．
10．（2023七下·榕城期末）计算的结果是 ．
11．（2023七下·通州期中）已知，那么的值是 ．
12．（2018八上·长春月考）已知2a＝5，2b＝10，2c＝100，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
三、解答题
13．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
14．用字母表示同底数幂的乘法法则，并写出推导过程及每一步的依据．
四、综合题
15．（2022七上·宛城期末）先阅读下列材料，然后解答问题.
探究：用的幂的形式表示am an的结果（m、为正整数）.
分析：根据乘方的意义，am an==am+n.
（1）请根据以上结论填空：36×38= ，52×53×57= ，（a+b）3 （a+b）5= ；
（2）仿照以上的分析过程，用的幂的形式表示（am）n的结果（提示：将am看成一个整体）.
16．（2019八上·合肥月考）基本事实：若 （a>0，且a≠1，m，n都是正整数），则m=n.试利用上述基本事实解决下面的两个问题：
（1）如果 ，求x的值．
（2）如果 ，求x的值．
17．（2022七下·江阴期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a =27=32·3b.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的 光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法结合题意进行运算即可求解。
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：括号内的式子为：x11÷x2÷（-x）=-x11-2-1=-x8，
故答案为：D．
【分析】首先根据一个因数等于积除以另一个因数，列出算式，再根据同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵10a=6，10b=2，10c=72，6×6×2=72，
∴10c=10a×10a×10b，
∴10c=102a+b，
∴c=2a+b.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则结合已知条件可得10c=102a+b，据此可得a、b、c的关系.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵5×10=50，，，，
∴2a×2b=2c，即：2a+b=2c，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法可得2a×2b=2c，即2a+b=2c，所以。
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵
∴3m+2=14，
解得：m=4
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法可得3m+2=14，再求出m的值即可.
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】由 相乘得：y= ，代入其中一式得x=4，故 =
故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查了同底数幂的乘法.观察题目先求出y的值是关键.
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：求 的值，
可设s= ，
则5s=5（ ）= ，
=4s=
（ ）-（ ）
= ，
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，模仿给出的示例，可设S=①，可得5s= ② ，利用②-①即可求解.
9．【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： ∵3x+y-3=0，
∴ 3x+y=3，
∴23x·2y=23x+y=23=8.
故答案为：8.
【分析】由同底数幂的乘法可得23x·2y=23x+y，再整体代入计算即可.
10．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先计算-m的平方，再进行同底数幂的乘法运算.易写成是本题的易错点.
11．【答案】32
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：32.
【分析】利用同底数幂的乘法公式可得，再将数据代入计算即可.
12．【答案】c＝1+a+b
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵100＝2×5×10，
∴2c＝2×2a×2b＝21+a+b，
则c＝1+a+b，
故答案为：c＝1+a+b．
【分析】欲找 a、b、c之间满足的等量关系 ，可先找等式右边的三个数5、10、100之间满足的等量关系：100=2×5×10，然后再把三个等式代入即可.
13．【答案】解：3.75×105×1×1010＝3.75×1015(千克)．
答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】根据镭的重量与每千克的镭释放的热量，可得出释放的总热量，列出式子，根据同底数幂的乘积，底数不变，指数不变，可得出结果。
14．【答案】解：同底数幂的乘法法则：am an=a m+n（m，n是正整数），
推导：
am an × （乘方的意义）
= （乘法结合律）
=am+n（乘方的意义）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】依据乘方的意义以及乘法结合律，即可得到同底数幂的乘法法则．
15．【答案】（1）314；512；（a+b）8
（2）解：.
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：1）36×38=36+8=314；
52×53×57=52+3+7=512；
（a+b）3 （a+b）5=（a+b）3+5=（a+b）8；
故答案为314；512；（a+b）8；
【分析】（1）同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可；
（2）将am看成一个整体，根据乘方的意义即可求解.
16．【答案】（1）解： ，
，
2＋7x=22 ，
x=3
（2）解： ，
，
，
x=2 .
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x=222，得出1+7x=22，求解即可；②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x=4，求解即可．
17．【答案】（1）解：∵a、b满足3a =27=32·3b，
∴3a =33=32+b，
∴a=3，2+b=3，
∴b=1.
（2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线转到AN之前，
3t=（20+t）×1
解得t=10；
②在灯A射线转到AN之后，
3t﹣3×60+（20+t）×1=180°，
解得t=85
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）2：3
【知识点】同底数幂的乘法；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
又∠ACD=90°
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BCD：∠BAC=2：3
【分析】（1）由a、b满足的等式和同底数幂的乘法法则可得3a=33=32×3b=32+b，根据等式的性质可得关于a、b的方程，解之可求解；
（2） 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，根据平行线的性质可得关于t的方程，解之可求解；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，由角的构成∠BAC=∠BAN-∠CAN可将∠BAC用含t的代数式表示出来，由平行线的性质和角的构成∠BCA=∠CBD+∠CAN可将∠BCA用含t的代数式表示出来，由角的构成∠BCD=∠ACD-∠BCA可将∠BCD用含t的代数式表示出来，然后代入∠BCD：∠BAC计算可求解.
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