2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023·合肥模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法法则，幂的乘方，积的乘方法则计算求解即可。
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 a2、a3两项不是同类项无法合并，则本项不符合题意；
B、 本项符合题意；
C、 ，则本项不符合题意；
D、 则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方运算法则逐项计算即可.
3．若3x=4，9y=7，则3x+2y的值为（ ）
A． B． C．28 D．196
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：当3x=4，9y=7时，
3x+2y
=3x×32y
=3x×9y
=4×7
=28；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加和幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，代入计算即可
4．（2023八上·大余月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
故答案为：A.
【分析】根据积的乘方的逆运用进行求解即可.
5．（2023七上·盂县期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A：＝-4，＝4，两式数值不相等，A不符合；
B：＝8，＝9，两式数值不相等，B不符合；
C：＝-27，＝-27，两式数值相等，C符合；
D：＝36，＝-36，两式数值不相等，D不符合。
故答案为：C
【分析】分别计算各式，再根据所得结果判断即可。计算时要注意负数的乘方计算。
6．（2023八上·巴东月考）若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（ ）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】因为 且，，
所以，，整理可得：，
所以，，
所以，，
所以，，
因为x，y均为正整数，满足条件的有，x=2，y=2，x=4，y=1，
所以x+y的值有，2+2=4，或4+1=5，
故选项A、B、D不符合题意，故选项C符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及负指数幂等相关知识点。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；(am)÷（an）=a(m-n)；
幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)；
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)。
7．已知关于xy的方程组则代数式4x8y(2y)2=（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得4x+10y=8，
∴2x-5y=4，
4x8y(2y)2=22x·23y·22y=22x+5y =24=16.
故答案为：C.
【分析】将方程组中两方程相加可得2x-5y=4，利用幂的乘方及同底数幂的乘法可将原化为22x+5y ，再代入计算即可.
8．从棱长为4a的正方体中，挖去一个棱长为2a的小正方体，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的体积是（ ）
A．4a3 B．8a3 C．56a3 D．58a3
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：根据该几何体的体积=大正方体的体积-小正方体的体积可得，
（4a）3-（2a）3=64a3-8a3=56a3；
故答案为：C.
【分析】结合题意和正方体的体积公式即可列出代数式，根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘和幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，将代数式化简计算即可求解.
二、填空题
9．（2017七下·惠山期中）计算：（﹣2x2y）3= ．
【答案】﹣8x6y3
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：（﹣2x2y）3=﹣8x6y3．
故答案为：﹣8x6y3．
【分析】根据幂的乘方（底数不变，指数相乘）与积的乘方（把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）的性质求解即可求得答案．
10．（2021八上·长春月考）计算： ．
【答案】-8
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：
【分析】利用积的乘方法则计算求解即可。
11．如果a，b，c满足2a=3，2b=5，2c=135，那么a，b，c满足的等式为 .
【答案】3a+b=c
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵2a=3，2b=5，2c=135，
则135=33×5=（2a）3·2b=（23）a·2b=23a+b，
∴2c=23a+b ，
∴3a+b=c；
故答案为：3a+b=c.
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行换算即可.
12．（2021七下·姑苏月考）已知 ， ，则 与 的大小关系为 .
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵ = = =b，
∴a、b的大小关系是：a=b.
故答案为a=b.
【分析】根据积的乘方法则、同底数幂的乘法法则可得a=，据此可判断a与b的关系.
13．填空：
（1）[(-1)2020]2021= ．
（2）x12=[x（ ）]3=[x2]（ ）．
（3）[(2x-3y)n-1]4= .
（4）2(-a3)6-3(-a2·a4)3+(-a9)2-4a2·(-a2)2·(-a3)4= ．
【答案】（1）1
（2）4；6
（3）(2x-3y)4n-4
（4）3a18
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1）原式=12021=1；
故答案为：1.
（2） x12=[x（4 ）]3=[x2]（ 6）．
故答案为：4，6.
（3）原式= (2x-3y)4n-4，
故答案为： (2x-3y)4n-4.
（4）原式=2a18+3a18-a18-a18=3a18.
故答案为：3a18.
【分析】（1）利用有理数的乘方进行计算即可；
（2）利用幂的乘方进行解答即可；
（3）利用幂的乘方进行解答即可；
（4）利用幂的乘方及同底数幂的乘法先计算，再合并即可.
三、解答题
14．（2023八上·太和月考）已知，用含a，b的式子表示下列代数式：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：；
（2）解：
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则求解。同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；
（2）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运算求解。am+n=am.an，amn=(am)n。
15．已知关于 的方程 和 的解相同．
（1）求 的值．
（2）求式子 的值．
【答案】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵两个方程的解相同， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ； （ ）求式子 的值． 解：原式=（-2）2017×（1- ）2016 =（-2）×（-2）2016×（- ）2016 =-2×[(-2)×(- )]2016 =-2
（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵两个方程的解相同，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
（2）解：原式=（-2）2017×（1- ）2016=（-2）×（-2）2016×（- ）2016=-2×[(-2)×(- )]2016
=-2
【知识点】一元一次方程的解；积的乘方
【解析】【分析】(1)因为两个关于x的方程解相同，所以通过4x+2m=3x+1即可用m表示出解x，将解代入另外一个方程即可得到m的数值。
(2)将m的数值代入两个式子中，进行化简，根据有理数积的乘方等于乘方的积，可以进行化简求值。
四、综合题
16．（2021八上·内江开学考）
（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m 16n的值；
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【答案】（1）解：∵m+4n=3
∴2m 16n=2m 24n=2m+4n=23=8；
（2）解：∵ x2n＝4
∴ （x3n）2﹣2（x2）2n=（x2n）3-2（x2n）2=43-2×42=64-32=32.
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用已知可得到m+4n=3，再将代数式转化为2m+4n；然后整体代入求值.
（2）将代数式转化为（x2n）3-2（x2n）2，再整体代入进行计算即可.
17．（2023七下·宿州月考）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框：
小明的作业 计算：． 解： ．
请你参考小明的方法解答下列问题．
计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】积的乘方
【解析】【分析】（1）利用积的乘方的计算方法求解即可；
（2）将代数式变形为，再计算即可。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023·合肥模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若3x=4，9y=7，则3x+2y的值为（ ）
A． B． C．28 D．196
4．（2023八上·大余月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七上·盂县期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．（2023八上·巴东月考）若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（ ）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
7．已知关于xy的方程组则代数式4x8y(2y)2=（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
8．从棱长为4a的正方体中，挖去一个棱长为2a的小正方体，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的体积是（ ）
A．4a3 B．8a3 C．56a3 D．58a3
二、填空题
9．（2017七下·惠山期中）计算：（﹣2x2y）3= ．
10．（2021八上·长春月考）计算： ．
11．如果a，b，c满足2a=3，2b=5，2c=135，那么a，b，c满足的等式为 .
12．（2021七下·姑苏月考）已知 ， ，则 与 的大小关系为 .
13．填空：
（1）[(-1)2020]2021= ．
（2）x12=[x（ ）]3=[x2]（ ）．
（3）[(2x-3y)n-1]4= .
（4）2(-a3)6-3(-a2·a4)3+(-a9)2-4a2·(-a2)2·(-a3)4= ．
三、解答题
14．（2023八上·太和月考）已知，用含a，b的式子表示下列代数式：
（1）．
（2）．
15．已知关于 的方程 和 的解相同．
（1）求 的值．
（2）求式子 的值．
四、综合题
16．（2021八上·内江开学考）
（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m 16n的值；
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
17．（2023七下·宿州月考）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框：
小明的作业 计算：． 解： ．
请你参考小明的方法解答下列问题．
计算：
（1）；
（2）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法法则，幂的乘方，积的乘方法则计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 a2、a3两项不是同类项无法合并，则本项不符合题意；
B、 本项符合题意；
C、 ，则本项不符合题意；
D、 则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方运算法则逐项计算即可.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：当3x=4，9y=7时，
3x+2y
=3x×32y
=3x×9y
=4×7
=28；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加和幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，代入计算即可
4．【答案】A
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
故答案为：A.
【分析】根据积的乘方的逆运用进行求解即可.
5．【答案】C
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A：＝-4，＝4，两式数值不相等，A不符合；
B：＝8，＝9，两式数值不相等，B不符合；
C：＝-27，＝-27，两式数值相等，C符合；
D：＝36，＝-36，两式数值不相等，D不符合。
故答案为：C
【分析】分别计算各式，再根据所得结果判断即可。计算时要注意负数的乘方计算。
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】因为 且，，
所以，，整理可得：，
所以，，
所以，，
所以，，
因为x，y均为正整数，满足条件的有，x=2，y=2，x=4，y=1，
所以x+y的值有，2+2=4，或4+1=5，
故选项A、B、D不符合题意，故选项C符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及负指数幂等相关知识点。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am)·（an）=a(m+n)；
同底数幂相除，底数不变，指数相减；(am)÷（an）=a(m-n)；
幂的乘方， 底数不变，指数相乘；(am)n=a(mn)；
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)n=(an)(bn)。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得4x+10y=8，
∴2x-5y=4，
4x8y(2y)2=22x·23y·22y=22x+5y =24=16.
故答案为：C.
【分析】将方程组中两方程相加可得2x-5y=4，利用幂的乘方及同底数幂的乘法可将原化为22x+5y ，再代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：根据该几何体的体积=大正方体的体积-小正方体的体积可得，
（4a）3-（2a）3=64a3-8a3=56a3；
故答案为：C.
【分析】结合题意和正方体的体积公式即可列出代数式，根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘和幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，将代数式化简计算即可求解.
9．【答案】﹣8x6y3
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：（﹣2x2y）3=﹣8x6y3．
故答案为：﹣8x6y3．
【分析】根据幂的乘方（底数不变，指数相乘）与积的乘方（把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）的性质求解即可求得答案．
10．【答案】-8
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：
【分析】利用积的乘方法则计算求解即可。
11．【答案】3a+b=c
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵2a=3，2b=5，2c=135，
则135=33×5=（2a）3·2b=（23）a·2b=23a+b，
∴2c=23a+b ，
∴3a+b=c；
故答案为：3a+b=c.
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行换算即可.
12．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵ = = =b，
∴a、b的大小关系是：a=b.
故答案为a=b.
【分析】根据积的乘方法则、同底数幂的乘法法则可得a=，据此可判断a与b的关系.
13．【答案】（1）1
（2）4；6
（3）(2x-3y)4n-4
（4）3a18
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1）原式=12021=1；
故答案为：1.
（2） x12=[x（4 ）]3=[x2]（ 6）．
故答案为：4，6.
（3）原式= (2x-3y)4n-4，
故答案为： (2x-3y)4n-4.
（4）原式=2a18+3a18-a18-a18=3a18.
故答案为：3a18.
【分析】（1）利用有理数的乘方进行计算即可；
（2）利用幂的乘方进行解答即可；
（3）利用幂的乘方进行解答即可；
（4）利用幂的乘方及同底数幂的乘法先计算，再合并即可.
14．【答案】（1）解：；
（2）解：
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则求解。同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；
（2）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运算求解。am+n=am.an，amn=(am)n。
15．【答案】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵两个方程的解相同， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ； （ ）求式子 的值． 解：原式=（-2）2017×（1- ）2016 =（-2）×（-2）2016×（- ）2016 =-2×[(-2)×(- )]2016 =-2
（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵两个方程的解相同，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
（2）解：原式=（-2）2017×（1- ）2016=（-2）×（-2）2016×（- ）2016=-2×[(-2)×(- )]2016
=-2
【知识点】一元一次方程的解；积的乘方
【解析】【分析】(1)因为两个关于x的方程解相同，所以通过4x+2m=3x+1即可用m表示出解x，将解代入另外一个方程即可得到m的数值。
(2)将m的数值代入两个式子中，进行化简，根据有理数积的乘方等于乘方的积，可以进行化简求值。
16．【答案】（1）解：∵m+4n=3
∴2m 16n=2m 24n=2m+4n=23=8；
（2）解：∵ x2n＝4
∴ （x3n）2﹣2（x2）2n=（x2n）3-2（x2n）2=43-2×42=64-32=32.
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用已知可得到m+4n=3，再将代数式转化为2m+4n；然后整体代入求值.
（2）将代数式转化为（x2n）3-2（x2n）2，再整体代入进行计算即可.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】积的乘方
【解析】【分析】（1）利用积的乘方的计算方法求解即可；
（2）将代数式变形为，再计算即可。
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