2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·昆明期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，符合条件；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
2．计算32013 （ ）2015的结果是（ ）
A．9 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：32013 （ ）2015
=32013 （ ）2013 （ ）2
=（3× ）2013
=1×
= ．
故选：D．
【分析】首先根据积的乘方的运算方法，求出32013 （ ）2013的值是多少；然后用它乘（ ）2，求出32013 （ ）2015的结果是多少即可．
3．（2024八上·凤山期末）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则，进行计算求解即可．
4．若x=2m+1，y=3+4m，则用含x的代数式表示y为（ ）
A．3+ B．3+x2 C．3+ D．3+4x2
【答案】C
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵ x=2m+1=2m·2，
∴2m=x，
∴y=3+4m=3+（2m）2=3+（x）2=x2+3.
即y=x2+3.
故答案为：C.
【分析】 由x=2m+1得2m=x，再由y=3+4m=3+（2m）2，然后代入计算即可.
5．若3×9m×27m=321，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=321，
所以1+2m+3m=21，
解得：m=4.
故答案为：B
【分析】将等式的左边利用幂的运算性质转化为31+2m+3m，再建立关于m的方程，求解即可。
6．（2023七下·顺义期中）已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式
=2a×4b =5×7 =35
故选：A
【分析】 根据同底数幂的乘法法则原式可得，再根据幂的乘方可得，代值计算即可。
7．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）
A．a
【答案】C
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，
295<299<2100，
c故答案为：C.
【分析】观察a、b、c所表示的幂，底数均为2的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以2为底数的幂，再比较大小即可.
8．当x=-6，y=时，x2018y2019的值为（ ）
A． B．- C．6 D．-6
【答案】A
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵x2018y2019=x2018y2018y，x=-6，y=，
∴原式=（xy）2018y=（-6×）2018 ×=，
故答案为：A.
【分析】先根据同底数幂乘方的逆运算将y2019转化为y2018y，再利用积的乘方的逆运算将原式变形为（xy）2018y，代入已知条件求解即可.
二、填空题
9．计算 .
【答案】-1
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：
故答案为：-1.
【分析】利用乘方运算法则计算即可.
10．已知2a=k，2b=2k，2c=2k2(k为常数)，则a，b，c之间满足的等量关系是 .
【答案】c=a+b
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵2b=2k，2c=2k2，
则2b-1=k，2c-1=k2，
∵k2=k×k=2a·2b-1=2a+b-1，
故2c-1==2a+b-1，
即c-1=a+b-1，
∴c=a+b；
故答案为：c=a+b.
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可得2b-1=k，2c-1=k2；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可推得2c-1==2a+b-1，即可求解.
11．填空：
（1） ( )2=-8a6．
（2）()200·(-3)200= ．
（3）[()2] 6×(23)2=
【答案】（1）(-2a2)3
（2）1
（3）1
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1） (-2a2)3=-8a6．
故答案为： (-2a2)3.
（2）原式=[×（-3）]200=1.
故答案为：1.
（3） [()2]6 ×(23)2=()12 ×26=（×2）18=1.
故答案为：1.
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方进行解答即可；
（2）利用积的乘方变形再计算即可；
（3）先算幂的乘方，再利用积的乘方进行计算即可.
12．（2019七下·奉贤期末）计算 ．
【答案】
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】根据乘方的运算，即可得到答案.
13．（2023七上·浦东期中）已知，，求的值是 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ， ，
.
，
.
3n=2m-1，m=2n，
m=2，n=1，
故答案为：3.
【分析】先将两个等式中的幂化同底，再根据指数关系建立关于m，n的方程组，求出m，n即可.
三、解答题
14．已知16m=4×22n﹣2，27n=9×3m+3，求（n﹣m）2010的值．
【答案】解：∵16m=4×22n﹣2，
∴（24）m=22×22n﹣2，
∴24m=22n﹣2+2，
∴2n﹣2+2=4m，
∴n=2m①，
∵27n=9×3m+3，
∴（33）n=9×3m+3，
∴（33）n=32×3m+3，
∴33n=3m+5，
∴3n=m+5②，
由①②得：
解得：m=1，n=2，
∴（n﹣m）2010
=（2﹣1）2010
=1
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【分析】根据已知得出方程n=2m，3n=m+5，求出方程组的解，最后代入求出即可．
15．已知α，β为整数，有如下两个代数式22α，
（1）当α=﹣1，β=0时，求各个代数式的值；
（2）问它们能否相等？若能，则给出一组相应的α，β的值；若不能，则说明理由．
【答案】解：（1）把α=﹣1代入代数式，得：22α=，
把β=0代入代数式，得：=2，
（2）不能．理由如下：
=，
∵α，β为整数，
∴（1﹣2β）为奇数，2α为偶数，
∴1﹣2β≠2α，
∴22α≠．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【分析】（1）把α=﹣1，β=0代入代数式计算即可；
（2）由（1）分析得出不能，再整理得出理由．
四、综合题
16．（2023七下·石阡期中）阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
（1）比较，，的大小；
（2）比较，，的大小．
【答案】（1）解：∵，
，
，
∵，
∴；
（2）解：∵，
，
，
∵，
∴．
【知识点】幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方计算求解即可；
（2）利用幂的乘方计算求解即可。
17．运用所学知识，完成下列题目.
（1）若 ，直接说出a，b，c之间的数量关系： .
（2）若 ，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 ，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）a+c=2b
（2）解：a，b，c之间的数量关系为：4c=6b-3a，理由如下：
∵，
∴，
∴
∴.
（3）解：a，b，c之间的数量关系为： ，理由如下：∵ ，
∴ .
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；幂的乘方
【解析】【解答】解：(1)∵ ，
∴ ，即a+c=2b，故答案为：a+c=2b.
(2) a
【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则，结合3×12=6×6，建立等量关系，即可求解；
(2)根据幂的乘法法则和同底数幂的乘法法则推出，结合得出等式，最后等式两边指数相同建立等式，即可求解.
(3)根据同底数幂的乘法法则，结合72=23×32，建立等量关系，再根据幂的乘方法则将等式两边指数化为相同，即可求解.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.2 幂的乘方与积的乘方同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·昆明期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算32013 （ ）2015的结果是（ ）
A．9 B． C．2 D．
3．（2024八上·凤山期末）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
4．若x=2m+1，y=3+4m，则用含x的代数式表示y为（ ）
A．3+ B．3+x2 C．3+ D．3+4x2
5．若3×9m×27m=321，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023七下·顺义期中）已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）
A．a8．当x=-6，y=时，x2018y2019的值为（ ）
A． B．- C．6 D．-6
二、填空题
9．计算 .
10．已知2a=k，2b=2k，2c=2k2(k为常数)，则a，b，c之间满足的等量关系是 .
11．填空：
（1） ( )2=-8a6．
（2）()200·(-3)200= ．
（3）[()2] 6×(23)2=
12．（2019七下·奉贤期末）计算 ．
13．（2023七上·浦东期中）已知，，求的值是 ．
三、解答题
14．已知16m=4×22n﹣2，27n=9×3m+3，求（n﹣m）2010的值．
15．已知α，β为整数，有如下两个代数式22α，
（1）当α=﹣1，β=0时，求各个代数式的值；
（2）问它们能否相等？若能，则给出一组相应的α，β的值；若不能，则说明理由．
四、综合题
16．（2023七下·石阡期中）阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
（1）比较，，的大小；
（2）比较，，的大小．
17．运用所学知识，完成下列题目.
（1）若 ，直接说出a，b，c之间的数量关系： .
（2）若 ，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 ，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，符合条件；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：32013 （ ）2015
=32013 （ ）2013 （ ）2
=（3× ）2013
=1×
= ．
故选：D．
【分析】首先根据积的乘方的运算方法，求出32013 （ ）2013的值是多少；然后用它乘（ ）2，求出32013 （ ）2015的结果是多少即可．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则，进行计算求解即可．
4．【答案】C
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵ x=2m+1=2m·2，
∴2m=x，
∴y=3+4m=3+（2m）2=3+（x）2=x2+3.
即y=x2+3.
故答案为：C.
【分析】 由x=2m+1得2m=x，再由y=3+4m=3+（2m）2，然后代入计算即可.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=321，
所以1+2m+3m=21，
解得：m=4.
故答案为：B
【分析】将等式的左边利用幂的运算性质转化为31+2m+3m，再建立关于m的方程，求解即可。
6．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式
=2a×4b =5×7 =35
故选：A
【分析】 根据同底数幂的乘法法则原式可得，再根据幂的乘方可得，代值计算即可。
7．【答案】C
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，
295<299<2100，
c故答案为：C.
【分析】观察a、b、c所表示的幂，底数均为2的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以2为底数的幂，再比较大小即可.
8．【答案】A
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵x2018y2019=x2018y2018y，x=-6，y=，
∴原式=（xy）2018y=（-6×）2018 ×=，
故答案为：A.
【分析】先根据同底数幂乘方的逆运算将y2019转化为y2018y，再利用积的乘方的逆运算将原式变形为（xy）2018y，代入已知条件求解即可.
9．【答案】-1
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：
故答案为：-1.
【分析】利用乘方运算法则计算即可.
10．【答案】c=a+b
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵2b=2k，2c=2k2，
则2b-1=k，2c-1=k2，
∵k2=k×k=2a·2b-1=2a+b-1，
故2c-1==2a+b-1，
即c-1=a+b-1，
∴c=a+b；
故答案为：c=a+b.
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可得2b-1=k，2c-1=k2；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可推得2c-1==2a+b-1，即可求解.
11．【答案】（1）(-2a2)3
（2）1
（3）1
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：（1） (-2a2)3=-8a6．
故答案为： (-2a2)3.
（2）原式=[×（-3）]200=1.
故答案为：1.
（3） [()2]6 ×(23)2=()12 ×26=（×2）18=1.
故答案为：1.
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方进行解答即可；
（2）利用积的乘方变形再计算即可；
（3）先算幂的乘方，再利用积的乘方进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】根据乘方的运算，即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ， ，
.
，
.
3n=2m-1，m=2n，
m=2，n=1，
故答案为：3.
【分析】先将两个等式中的幂化同底，再根据指数关系建立关于m，n的方程组，求出m，n即可.
14．【答案】解：∵16m=4×22n﹣2，
∴（24）m=22×22n﹣2，
∴24m=22n﹣2+2，
∴2n﹣2+2=4m，
∴n=2m①，
∵27n=9×3m+3，
∴（33）n=9×3m+3，
∴（33）n=32×3m+3，
∴33n=3m+5，
∴3n=m+5②，
由①②得：
解得：m=1，n=2，
∴（n﹣m）2010
=（2﹣1）2010
=1
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【分析】根据已知得出方程n=2m，3n=m+5，求出方程组的解，最后代入求出即可．
15．【答案】解：（1）把α=﹣1代入代数式，得：22α=，
把β=0代入代数式，得：=2，
（2）不能．理由如下：
=，
∵α，β为整数，
∴（1﹣2β）为奇数，2α为偶数，
∴1﹣2β≠2α，
∴22α≠．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【分析】（1）把α=﹣1，β=0代入代数式计算即可；
（2）由（1）分析得出不能，再整理得出理由．
16．【答案】（1）解：∵，
，
，
∵，
∴；
（2）解：∵，
，
，
∵，
∴．
【知识点】幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方计算求解即可；
（2）利用幂的乘方计算求解即可。
17．【答案】（1）a+c=2b
（2）解：a，b，c之间的数量关系为：4c=6b-3a，理由如下：
∵，
∴，
∴
∴.
（3）解：a，b，c之间的数量关系为： ，理由如下：∵ ，
∴ .
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则；幂的乘方
【解析】【解答】解：(1)∵ ，
∴ ，即a+c=2b，故答案为：a+c=2b.
(2) a
【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则，结合3×12=6×6，建立等量关系，即可求解；
(2)根据幂的乘法法则和同底数幂的乘法法则推出，结合得出等式，最后等式两边指数相同建立等式，即可求解.
(3)根据同底数幂的乘法法则，结合72=23×32，建立等量关系，再根据幂的乘方法则将等式两边指数化为相同，即可求解.
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