2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.4 整式的乘法同步分层训练提升题
一、选择题
1．如果长方形的长为(宽为(2a+1)，那么这个长方形的面积为（ ）
A．8a3-4a2+2a-1 B．8a3+4a2-2a-1
C．8a3-1 D．8a3+1
2．（2023八上·朔州月考）课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了：，则“”处应填写的式子是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019七下·合浦期中）已知： ，则p，q的值分别为（ ）
A．5，3 B．5， 3 C． 5，3 D． 5， 3
4．（2024八上·讷河期末）下列运算正确的是（ ）
A．m+3m＝3m2 B．3m2 2m3＝6m6
C．（3m）2＝9m2 D．m6÷m6＝m
5．（2024八上·遵义期末）若展开后不含的一次项，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·德惠期末）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□.□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．1 B． C． D．
7．通过计算和比较图1，2 中阴影部分的面积，可以验证的等式为 （ ）
A．a(b-x)=ab-ax B．b(a-x)=ab-bx
C．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx D．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x
8．如图，现有正方形卡片 A类，B类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为（a+3b）、宽为（a+2b）的大长方形，那么需要C类卡片 （ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
二、填空题
9．（2024九上·都江堰期末）若，则 ．
10．若（-2x+a）（x-1）的展开式中不含x的一次项，则a的值为 .
11．（2019八上·陵县月考）因式分解 ，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为 ．
12．（2023八上·长沙期中）图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据（长度单位：），则阴影部分的面积为 （结果用含的式子表示）．
13．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为(2a+b)，宽为(a+ b)的长方形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张．
三、解答题
14．已知．三角形的底边长为（2x+1）cm，高是（x﹣2）cm，若把底边和高各增加5厘米，那么三角形面积增加了多少？并求出x=3时三角形增加的面积．
15．甲、乙两人分别计算(3x+a)(4x+b).甲抄错了a的符号，得到的结果是(乙漏抄了第二个括号中x的系数，得到的结果是
（1）求a，b的值.
（2）请计算这道题的正确结果.
四、综合题
16．（2023七下·宣化期末）
（1）你能求出（a-1）（+a+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．
（a-1）（a+1）＝ ；
（a-1）（+a+1）＝ ；
（a-1）（+a+1）＝ ；
由此我们可以得到：（a-1）（+…+a+1）＝ ．
（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：
+2+1．
17．（2023七下·盐田期末）（1）计算：
①；
②．
（2）分别求的值：
①；
②．
（3）已知，、为正整数，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵长方形的长为宽为(2a+1)，
∴长方形的面积为：
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则和长方形的面积计算公式，计算即可.
2．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】由题意可得，
去括号得
故答案为：C.
【分析】将式子进行去括号、移项、合并同类项，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由于 =2x2-6x+x-3=2 x2-5x-3= ，
则p=-5，q=-3，
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式法则，可得 =2 x2-5x-3，利用等式性质可得出p、q的值.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 m+3m＝4m，故不符合题意；
B、3m2 2m3＝6m5，故不符合题意；
C、（3m）2＝9m2 ，正确，故符合题意；
D、 m6÷m6＝1，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方及同底数幂的除法分别计算，再判断即可.
5．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
∵展开后不含的一次项，
∴3p+q=0，
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则计算 ，再根据展开后不含的一次项，求出3p+q=0即可作答。
6．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意左边式子曲括号-3xy（4y-2x-1）=-12xy2+6x2y+3xy，右边式子=-12xy2+6x2y+□，□内应写3xy。
故答案为：B.
【分析】根据题意左边式子为单项式乘多项式，根据相乘法则m（a+b+c）=am+bm+cm，进行计算即可。
7．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积为：(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2；
图2中阴影部分的面积为：ab-ax-bx+x2，
∴(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2.
故答案为：D.
【分析】用含x的式子表示出图1中阴影矩形的长与宽，进而根据矩形面积计算公式列出式子表示出阴影部分的面积，进而根据多项式乘以多项式法则展开括号；图2中，根据阴影部分的面积=整个大矩形的面积-宽为x，长为a、b的两条道路的面积+长为x的正方形的面积，列出式子，从而比较即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（a+3b）（a+2b）=a2+2ab+3ab+6b2=a2+5ab+6b2，
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故答案为：C.
【分析】根据多项式与多项式的运算法则求出长方形的面积，即可求解.
9．【答案】11
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵，，
∴a=5，b=6，
∴，
故答案为：11.
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法可得，再利用待定系数法求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可.
10．【答案】-2
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（-2x+a）（x-1）
=-2x2+（a+2）x-a
∵展开式中不含x的一次项，
∴a+2=0，
∴a=-2，
故答案为：-2.
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则将多项式展开，令x的一次项系数等于0，即可求解.
11．【答案】(x-6)(x+2)
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】甲错了a的值， ，
，
乙看错了b的值， ，
．
分解因式正确的结果： ．
故答案为 ．
【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式.
12．【答案】
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】
【分析】直接利用大长方形的面积-两个小长方形的面积即可求解.
13．【答案】3；3；1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： 由图形知：1个A类卡片面积a2，1个B类卡片面积ab，1个C类卡片面积b2，
长为(2a+b)，宽为(a+ b)的长方形的面积=(2a+b)(a+ b)=3a2+3ab+b2，
∴需要3张A类卡片，3张B类卡片，1张C类卡片.
故答案为：3，3，1.
【分析】利用矩形的面积=长×宽，求出长方形的面积，根据结果及各类卡片的面积即可求解.
14．【答案】解：根据题意，面积增加 （2x+1+5）（x﹣2+5）﹣ （2x+1）（x﹣2）
= （2x2+6x+6x+18）﹣ （2x2﹣4x+x﹣2）
=x2+6x+9﹣（x2﹣ x﹣1）
= x+10，
当x=3时，原式= ×3+10=32.5（cm2）．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据题意可得面积增加 （2x+1+5）（x﹣2+5）﹣ （2x+1）（x﹣2）= x+10，将x的值代入求解可得．
15．【答案】（1）解：
∵甲抄错了a的符号，得到的结果是
∴
∴
∴
∵乙漏抄了第二个括号中x的系数，
∴
∴
∴.
（2）解：原式=.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据甲的结果求出正确的b的值，根据乙的结果求出正确的a的值，即可求解；
（2）将正确的a和b的值代入原式计算即可.
16．【答案】（1）；；；
（2）解：+2+1
=（2-1）×（+2+1）
=
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式乘法的规律填空即可求解；
（2）根据（1）的结论，原式乘以（2-1），进而即可求解．
17．【答案】（1）解：①原式；
②原式
（2）解：①，
，．
，．
②，
，．
，．
（3）解：由题意得，，
，．
，为正整数，
，；，；，；，；，；，；
，；，；，．
满足题意的为：37，20，15，13，12．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）①利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项；②利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项.
（2）①将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，然后求出m，n的值；②将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，然后求出m，n的值.
（3）将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于p，q，n的方程组，再根据P，q为正整数，可得到符合题意的n的值.
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一、选择题
1．如果长方形的长为(宽为(2a+1)，那么这个长方形的面积为（ ）
A．8a3-4a2+2a-1 B．8a3+4a2-2a-1
C．8a3-1 D．8a3+1
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵长方形的长为宽为(2a+1)，
∴长方形的面积为：
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则和长方形的面积计算公式，计算即可.
2．（2023八上·朔州月考）课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了：，则“”处应填写的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】由题意可得，
去括号得
故答案为：C.
【分析】将式子进行去括号、移项、合并同类项，即可求解.
3．（2019七下·合浦期中）已知： ，则p，q的值分别为（ ）
A．5，3 B．5， 3 C． 5，3 D． 5， 3
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由于 =2x2-6x+x-3=2 x2-5x-3= ，
则p=-5，q=-3，
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式法则，可得 =2 x2-5x-3，利用等式性质可得出p、q的值.
4．（2024八上·讷河期末）下列运算正确的是（ ）
A．m+3m＝3m2 B．3m2 2m3＝6m6
C．（3m）2＝9m2 D．m6÷m6＝m
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 m+3m＝4m，故不符合题意；
B、3m2 2m3＝6m5，故不符合题意；
C、（3m）2＝9m2 ，正确，故符合题意；
D、 m6÷m6＝1，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方及同底数幂的除法分别计算，再判断即可.
5．（2024八上·遵义期末）若展开后不含的一次项，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
∵展开后不含的一次项，
∴3p+q=0，
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则计算 ，再根据展开后不含的一次项，求出3p+q=0即可作答。
6．（2024八上·德惠期末）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□.□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意左边式子曲括号-3xy（4y-2x-1）=-12xy2+6x2y+3xy，右边式子=-12xy2+6x2y+□，□内应写3xy。
故答案为：B.
【分析】根据题意左边式子为单项式乘多项式，根据相乘法则m（a+b+c）=am+bm+cm，进行计算即可。
7．通过计算和比较图1，2 中阴影部分的面积，可以验证的等式为 （ ）
A．a(b-x)=ab-ax B．b(a-x)=ab-bx
C．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx D．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积为：(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2；
图2中阴影部分的面积为：ab-ax-bx+x2，
∴(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2.
故答案为：D.
【分析】用含x的式子表示出图1中阴影矩形的长与宽，进而根据矩形面积计算公式列出式子表示出阴影部分的面积，进而根据多项式乘以多项式法则展开括号；图2中，根据阴影部分的面积=整个大矩形的面积-宽为x，长为a、b的两条道路的面积+长为x的正方形的面积，列出式子，从而比较即可得出答案.
8．如图，现有正方形卡片 A类，B类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为（a+3b）、宽为（a+2b）的大长方形，那么需要C类卡片 （ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（a+3b）（a+2b）=a2+2ab+3ab+6b2=a2+5ab+6b2，
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故答案为：C.
【分析】根据多项式与多项式的运算法则求出长方形的面积，即可求解.
二、填空题
9．（2024九上·都江堰期末）若，则 ．
【答案】11
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵，，
∴a=5，b=6，
∴，
故答案为：11.
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法可得，再利用待定系数法求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可.
10．若（-2x+a）（x-1）的展开式中不含x的一次项，则a的值为 .
【答案】-2
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（-2x+a）（x-1）
=-2x2+（a+2）x-a
∵展开式中不含x的一次项，
∴a+2=0，
∴a=-2，
故答案为：-2.
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则将多项式展开，令x的一次项系数等于0，即可求解.
11．（2019八上·陵县月考）因式分解 ，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为 ．
【答案】(x-6)(x+2)
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】甲错了a的值， ，
，
乙看错了b的值， ，
．
分解因式正确的结果： ．
故答案为 ．
【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式.
12．（2023八上·长沙期中）图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据（长度单位：），则阴影部分的面积为 （结果用含的式子表示）．
【答案】
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】
【分析】直接利用大长方形的面积-两个小长方形的面积即可求解.
13．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为(2a+b)，宽为(a+ b)的长方形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张．
【答案】3；3；1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： 由图形知：1个A类卡片面积a2，1个B类卡片面积ab，1个C类卡片面积b2，
长为(2a+b)，宽为(a+ b)的长方形的面积=(2a+b)(a+ b)=3a2+3ab+b2，
∴需要3张A类卡片，3张B类卡片，1张C类卡片.
故答案为：3，3，1.
【分析】利用矩形的面积=长×宽，求出长方形的面积，根据结果及各类卡片的面积即可求解.
三、解答题
14．已知．三角形的底边长为（2x+1）cm，高是（x﹣2）cm，若把底边和高各增加5厘米，那么三角形面积增加了多少？并求出x=3时三角形增加的面积．
【答案】解：根据题意，面积增加 （2x+1+5）（x﹣2+5）﹣ （2x+1）（x﹣2）
= （2x2+6x+6x+18）﹣ （2x2﹣4x+x﹣2）
=x2+6x+9﹣（x2﹣ x﹣1）
= x+10，
当x=3时，原式= ×3+10=32.5（cm2）．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据题意可得面积增加 （2x+1+5）（x﹣2+5）﹣ （2x+1）（x﹣2）= x+10，将x的值代入求解可得．
15．甲、乙两人分别计算(3x+a)(4x+b).甲抄错了a的符号，得到的结果是(乙漏抄了第二个括号中x的系数，得到的结果是
（1）求a，b的值.
（2）请计算这道题的正确结果.
【答案】（1）解：
∵甲抄错了a的符号，得到的结果是
∴
∴
∴
∵乙漏抄了第二个括号中x的系数，
∴
∴
∴.
（2）解：原式=.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据甲的结果求出正确的b的值，根据乙的结果求出正确的a的值，即可求解；
（2）将正确的a和b的值代入原式计算即可.
四、综合题
16．（2023七下·宣化期末）
（1）你能求出（a-1）（+a+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．
（a-1）（a+1）＝ ；
（a-1）（+a+1）＝ ；
（a-1）（+a+1）＝ ；
由此我们可以得到：（a-1）（+…+a+1）＝ ．
（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：
+2+1．
【答案】（1）；；；
（2）解：+2+1
=（2-1）×（+2+1）
=
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式乘法的规律填空即可求解；
（2）根据（1）的结论，原式乘以（2-1），进而即可求解．
17．（2023七下·盐田期末）（1）计算：
①；
②．
（2）分别求的值：
①；
②．
（3）已知，、为正整数，求的值．
【答案】（1）解：①原式；
②原式
（2）解：①，
，．
，．
②，
，．
，．
（3）解：由题意得，，
，．
，为正整数，
，；，；，；，；，；，；
，；，；，．
满足题意的为：37，20，15，13，12．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）①利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项；②利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项.
（2）①将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，然后求出m，n的值；②将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，然后求出m，n的值.
（3）将等式左边先去括号，再合并同类项，利用对应项的系数相等，可得到关于p，q，n的方程组，再根据P，q为正整数，可得到符合题意的n的值.
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