2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.4 整式的乘法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021七下·青岛期中）若展开后不含的一次项，则的值等于（ ）
A．6 B． C．0 D．
2． 设A=(x-3)(x-7)，B=(x-2)(x-8)，则A，B的大小关系为 （ ）
A．A>B B．A3．已知多项式ax+b与的乘积展开式中不含 x的一次项，且常数项为4，则 的值为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
4．（2024八上·松原期末）若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为（ ）
A．3x3－4x2 B．6x2－8x C．6x3－8x2 D．6x3－8x
5．有下列各式：①(3a+b)(- 2b+a)=3a2-5ab+2b2；②(x+y)(x-y)=x2-y2；③(x+2)(3x+6)=3x2+6x+12；④(x-3)(x+2)=x2-x-6．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图1，有边长分别为a和b（a>b）的A类和B类正方形纸片、长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张，要拼一个边长为a+b的正方形（如图2所示），则需要1张A类纸片、1张B类纸片和⒉张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2018八上·宽城月考）若 的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
8．（2021七上·沙坪坝期末）如图1的8张宽为a，长为 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知x2+mx+n=(x-3)(x+5)，则3m-n= .
10．已知单项式9am+1bn+1与-2a2m-1b2n-1的积与5a3b6是同类项，则mn= .
11．已知A是关于x的三次多项式，B是关于x的四次多项式，则下列结论：①A+B是七次式；②A-B是一次式；③AB是七次式；④A-B是四次式，其中正确的是 （填序号）.
12．（2023八上·衡阳月考）已知的展开式中不含和项，则 ．
13．（2021七下·昌平期末）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为 ， 的正方形和长为 宽为 的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为： ．
（1）图3可以解释为等式： ；
（2）要拼出一个两边长为 ， 的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论；
块， 块， 块
（3）如图4，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若用 ， （ ）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是 （填序号）．① ；② ；③ ；④ ．
三、解答题
14．（2023八上·东西湖月考）如图1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋13；如图2的长方形的两边长分别为m＋5，m＋7．（其中m为正整数）
（1）写出并计算两个长方形的面积，，并比较，的大小；
（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于、之间（不包括、）且面积为整数，这样的整数有且只有19个，求m的值
15．（2023八下·锦州期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释如图，有足够多的，，三种纸片：种是边长为的正方形，种是边长为的正方形，种是宽为，长为的长方形用种纸片张，种纸片张，种纸片张可以拼出不重不漏如图所示的正方形根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法，反过来也可以解释多项式，因式分解的结果为，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：
（1）若多项式表示分别由，，张，，三种纸片拼出如图所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式进行因式分解；
（2）我们可以借助图再拼出一个更大的长方形，使该长方形刚好由张种纸片，张种纸片，张种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式 ，据此可得到该多项式因式分解的结果为 ．
四、综合题
16．（2022七下·石景山期末）我们知道，根据几何图形的面积关系可以说明一些等式的成立．
例如：可以用图1的面积关系来说明．
（1）根据图2写出一个等式 ；
（2）请你再举一个例子，写出等式并在图3空白处画出一个相应的几何图形加以说明 （注：不必证明，用代数式标出各部分面积即可）．
17．（2023七下·即墨期末）
（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ．
（4）扩展与应用： ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】∵=
，展开后不含
的一次项，
∴6-a=0
解得a=6
故答案为：A
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法展开，再根据“展开后不含
的一次项”，可得6-a=0，再求出a的值即可。
2．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ∵A=(x-3)(x-7)=x2-7x-3x+21=x2-10x+21， B=(x-2)(x-8)=x2-8x-2x+16=x2-10x+16，
∴A-B=x2-10x+21-(x2-10x+16)=x2-10x+21-x2+10x-16=5＞0，
∴A＞B.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：多形式乘以多项式，用一个多形式的每一项去乘以另一个多形式的每一项，再把所得的积相加，分别算出A、B的值，然后利用整式减法法则求出A-B的值，进而由A-B＞0可得A＞B.
3．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(ax+b)(2x2-x+2)=2ax3-ax2+2ax+2bx2-bx+2b=2ax3+(2b-a)x2+(2a-b)x+2b，
又∵ax+b与2x2-x+2 的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为4，
∴2a-b=0，2b=4，
∴a=1，b=2，
∴ab=12=1.
故答案为：C.
【分析】 先根据多项式与多项式的乘法法则求出ax+b与2x2-x+2 的乘积，再根据ax+b与2x2-x+2 的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为4，可得2a-b=0，2b=4，求解得出a、b的值，进而根据有理数的乘方运算法则即可计算.
4．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，
∴长方体的体积为：2x·x·（3x－4）=6x3－8x2.
故答案为：C.
【分析】基本关系：长方体的体积=长×宽×高，用整式的乘法计算即可。
5．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：①（3a+b）（-2b+a）=-6ab+3a2-2b2+ab=3a2-5ab-2b2，①错误；
②（x+y）（x-y）=x2-y2，②正确；
③（x+2）（3x+6）=3x2+6x+6x+12=3x2+12x+12，③错误；
④（x-3）（x+2）=x2+2x-3x-6=x2 -x-6，④正确；
综上所述，其中正确的有2个；
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵A类正方形的边长为a，B类正方形的边长为b，C类长方形的边长分别为a和b
∴A类正方形的面积为a2，B类正方形的面积为b2，C类长方形的边面积分别为ab
∴要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形的面积为(3a+b)(2a+2b)=
∴需要C类纸片8张。
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积公式列出式子，再根据多项式乘以多项式法则展开，最后合并同类项化简，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】 =x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
【分析】先利用多项式乘以多项式的法则展开，得到x2-x+mx-m，再把m看作常数合并关于x的同类项，得到x2+(m-1)x-m，根据结果不含x项，令x的系数为0，得到关于m的方程，求出m的值即可.
8．【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的面积为 ，右下角的阴影部分的面积为 ，
S1=（BC-3 ）× ，S2=（BC- ）×5
=（BC -3 ）× -(BC- ）×5 .
=
=
当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变，
，
.
故答案为： .
【分析】 分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即与BC无关，则可求得a与b的数量关系．
9．【答案】21
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵
又x2+mx+n=(x-3)(x+5)
∴
∴
故答案为：21.
【分析】利用多项式乘以多项式的计算法则计算，最后根据多项式的系数和次数即可求解.
10．【答案】2
【知识点】单项式乘单项式；同类项的概念
【解析】【解答】解：解：9am+1bn+1·（-2a2m-1b2n-1）=-18am+1+2m-1bn+1+2n-1=-18a3mb3n，
根据题意得-18a3mb3n与5a3b6是同类项，则
3m=3，3n=6，
解得：m=1，n=2，
所以mn=1×2=2；
故答案为：2.
【分析】先根据单项式与单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法运算法则计算求出积；根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同可求出m、n的值，即可求解.
11．【答案】③④
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，那么A+B和A-B是四次多项式，AB是一个七次多项式.
综上，正确的 ③④ .
故答案为：③④ .
【分析】根据多项式乘多项式的法则和整式的加减法则分别求出A+B、A-B和AB最高次项，即可作答.
12．【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∴m-3=0，2-3m+n=0
∴m=3，n=7
∴m+n=10
故答案为：10.
【分析】本题考查整式乘法的计算方法，熟知整式乘法中多项式乘以多项式计算法则是解题关键，根据多项式乘以多项式计算法则展开合并，结合展开式中不含，可得m-3=0，2-3m+n=0解得m，n的值，即可得出答案.
13．【答案】（1）2a2+5ab+2b2
（2）3；4；1
（3）①③
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1） =2a2+5ab+2b2，故答案为：2a2+5ab+2b2（2）因为 =3a2+4ab+b2，所以需要a×a的3块，a×b的4块，b×b的1块，
故答案为：3，4，1．（3）由图4可知，m=x+y，n=x-y，所以①正确；
因为m2-n2= =2x 2y=4xy，所以②不正确；
因为mn= =x2-y2，所以③正确；
因为 ，所以④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【分析】（1）图3是长为（a+2b），宽为（2a+b）的矩形，根据矩形面积可得出等式；
（2）计算出（a+b）（3a+b）的结果，即可得出答案；
（3）根据图4得出 ，n=x-y，再依据公式进行恒等变形即可。
14．【答案】（1）解：∵，
，
∴，
∴；
（2）解：该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数，理由如下：
∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等，
∴正方形的边长为m＋8，
∴正方形的面积，
∴
＝25，
∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数；
（3）解：由（1）得，，
∴当19＜4m＋4≤20时，
∴，
∵m为正整数，
m＝4.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式，计算可得 S1，S2 ，再利用作差法比大小，即可得解；
（2）由题意得，正方形的边长为m＋8，根据正方形面积公式计算，最后求出两个图形的面积差可得答案；
（3）由（1）得，，由题意得19＜4m＋4≤20，计算求解即可．
15．【答案】（1）解：根据图形可知这个长方形的长是，宽是，
；
（2）；
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（2） 根据长方形刚好由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，
则这个长方形的面积可以表示为多项式3m2+7mn+2n2，
∴3m2+7mn+2n2=（m+2n）（3m+n），
故答案为：3m2+7mn+2n2，（m+2n）（3m+n）．
【分析】 （1）根据A，B，C三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积求法进行因式分解；
（2）根据长方形由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，求出这个长方形的面积，然后进行因式分解．
16．【答案】（1）
（2）解：例如∶可以用下面的图形的面积关系来说明∶
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(1)；
【分析】（1）根据所给的图形求出即可作答；
（2）根据多项式乘以多项式法则，结合题意计算求解即可。
17．【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：；；；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，
则，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）
故答案为：．
【分析】
（1）根据整式的运算法则和公式进行计算即可。
（2）运用（1）中规律，推导出结果。
（3）（4）根据（2）中规律，运用添项法求出（3）、（4）结果。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.4 整式的乘法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021七下·青岛期中）若展开后不含的一次项，则的值等于（ ）
A．6 B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】∵=
，展开后不含
的一次项，
∴6-a=0
解得a=6
故答案为：A
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法展开，再根据“展开后不含
的一次项”，可得6-a=0，再求出a的值即可。
2． 设A=(x-3)(x-7)，B=(x-2)(x-8)，则A，B的大小关系为 （ ）
A．A>B B．A【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ∵A=(x-3)(x-7)=x2-7x-3x+21=x2-10x+21， B=(x-2)(x-8)=x2-8x-2x+16=x2-10x+16，
∴A-B=x2-10x+21-(x2-10x+16)=x2-10x+21-x2+10x-16=5＞0，
∴A＞B.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：多形式乘以多项式，用一个多形式的每一项去乘以另一个多形式的每一项，再把所得的积相加，分别算出A、B的值，然后利用整式减法法则求出A-B的值，进而由A-B＞0可得A＞B.
3．已知多项式ax+b与的乘积展开式中不含 x的一次项，且常数项为4，则 的值为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(ax+b)(2x2-x+2)=2ax3-ax2+2ax+2bx2-bx+2b=2ax3+(2b-a)x2+(2a-b)x+2b，
又∵ax+b与2x2-x+2 的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为4，
∴2a-b=0，2b=4，
∴a=1，b=2，
∴ab=12=1.
故答案为：C.
【分析】 先根据多项式与多项式的乘法法则求出ax+b与2x2-x+2 的乘积，再根据ax+b与2x2-x+2 的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为4，可得2a-b=0，2b=4，求解得出a、b的值，进而根据有理数的乘方运算法则即可计算.
4．（2024八上·松原期末）若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为（ ）
A．3x3－4x2 B．6x2－8x C．6x3－8x2 D．6x3－8x
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，
∴长方体的体积为：2x·x·（3x－4）=6x3－8x2.
故答案为：C.
【分析】基本关系：长方体的体积=长×宽×高，用整式的乘法计算即可。
5．有下列各式：①(3a+b)(- 2b+a)=3a2-5ab+2b2；②(x+y)(x-y)=x2-y2；③(x+2)(3x+6)=3x2+6x+12；④(x-3)(x+2)=x2-x-6．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：①（3a+b）（-2b+a）=-6ab+3a2-2b2+ab=3a2-5ab-2b2，①错误；
②（x+y）（x-y）=x2-y2，②正确；
③（x+2）（3x+6）=3x2+6x+6x+12=3x2+12x+12，③错误；
④（x-3）（x+2）=x2+2x-3x-6=x2 -x-6，④正确；
综上所述，其中正确的有2个；
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案.
6．如图1，有边长分别为a和b（a>b）的A类和B类正方形纸片、长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张，要拼一个边长为a+b的正方形（如图2所示），则需要1张A类纸片、1张B类纸片和⒉张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵A类正方形的边长为a，B类正方形的边长为b，C类长方形的边长分别为a和b
∴A类正方形的面积为a2，B类正方形的面积为b2，C类长方形的边面积分别为ab
∴要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形的面积为(3a+b)(2a+2b)=
∴需要C类纸片8张。
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积公式列出式子，再根据多项式乘以多项式法则展开，最后合并同类项化简，即可得出答案.
7．（2018八上·宽城月考）若 的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】 =x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
【分析】先利用多项式乘以多项式的法则展开，得到x2-x+mx-m，再把m看作常数合并关于x的同类项，得到x2+(m-1)x-m，根据结果不含x项，令x的系数为0，得到关于m的方程，求出m的值即可.
8．（2021七上·沙坪坝期末）如图1的8张宽为a，长为 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的面积为 ，右下角的阴影部分的面积为 ，
S1=（BC-3 ）× ，S2=（BC- ）×5
=（BC -3 ）× -(BC- ）×5 .
=
=
当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变，
，
.
故答案为： .
【分析】 分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即与BC无关，则可求得a与b的数量关系．
二、填空题
9．已知x2+mx+n=(x-3)(x+5)，则3m-n= .
【答案】21
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵
又x2+mx+n=(x-3)(x+5)
∴
∴
故答案为：21.
【分析】利用多项式乘以多项式的计算法则计算，最后根据多项式的系数和次数即可求解.
10．已知单项式9am+1bn+1与-2a2m-1b2n-1的积与5a3b6是同类项，则mn= .
【答案】2
【知识点】单项式乘单项式；同类项的概念
【解析】【解答】解：解：9am+1bn+1·（-2a2m-1b2n-1）=-18am+1+2m-1bn+1+2n-1=-18a3mb3n，
根据题意得-18a3mb3n与5a3b6是同类项，则
3m=3，3n=6，
解得：m=1，n=2，
所以mn=1×2=2；
故答案为：2.
【分析】先根据单项式与单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法运算法则计算求出积；根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同可求出m、n的值，即可求解.
11．已知A是关于x的三次多项式，B是关于x的四次多项式，则下列结论：①A+B是七次式；②A-B是一次式；③AB是七次式；④A-B是四次式，其中正确的是 （填序号）.
【答案】③④
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，那么A+B和A-B是四次多项式，AB是一个七次多项式.
综上，正确的 ③④ .
故答案为：③④ .
【分析】根据多项式乘多项式的法则和整式的加减法则分别求出A+B、A-B和AB最高次项，即可作答.
12．（2023八上·衡阳月考）已知的展开式中不含和项，则 ．
【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∴m-3=0，2-3m+n=0
∴m=3，n=7
∴m+n=10
故答案为：10.
【分析】本题考查整式乘法的计算方法，熟知整式乘法中多项式乘以多项式计算法则是解题关键，根据多项式乘以多项式计算法则展开合并，结合展开式中不含，可得m-3=0，2-3m+n=0解得m，n的值，即可得出答案.
13．（2021七下·昌平期末）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为 ， 的正方形和长为 宽为 的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为： ．
（1）图3可以解释为等式： ；
（2）要拼出一个两边长为 ， 的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论；
块， 块， 块
（3）如图4，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若用 ， （ ）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是 （填序号）．① ；② ；③ ；④ ．
【答案】（1）2a2+5ab+2b2
（2）3；4；1
（3）①③
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1） =2a2+5ab+2b2，故答案为：2a2+5ab+2b2（2）因为 =3a2+4ab+b2，所以需要a×a的3块，a×b的4块，b×b的1块，
故答案为：3，4，1．（3）由图4可知，m=x+y，n=x-y，所以①正确；
因为m2-n2= =2x 2y=4xy，所以②不正确；
因为mn= =x2-y2，所以③正确；
因为 ，所以④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【分析】（1）图3是长为（a+2b），宽为（2a+b）的矩形，根据矩形面积可得出等式；
（2）计算出（a+b）（3a+b）的结果，即可得出答案；
（3）根据图4得出 ，n=x-y，再依据公式进行恒等变形即可。
三、解答题
14．（2023八上·东西湖月考）如图1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋13；如图2的长方形的两边长分别为m＋5，m＋7．（其中m为正整数）
（1）写出并计算两个长方形的面积，，并比较，的大小；
（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于、之间（不包括、）且面积为整数，这样的整数有且只有19个，求m的值
【答案】（1）解：∵，
，
∴，
∴；
（2）解：该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数，理由如下：
∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等，
∴正方形的边长为m＋8，
∴正方形的面积，
∴
＝25，
∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数；
（3）解：由（1）得，，
∴当19＜4m＋4≤20时，
∴，
∵m为正整数，
m＝4.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式，计算可得 S1，S2 ，再利用作差法比大小，即可得解；
（2）由题意得，正方形的边长为m＋8，根据正方形面积公式计算，最后求出两个图形的面积差可得答案；
（3）由（1）得，，由题意得19＜4m＋4≤20，计算求解即可．
15．（2023八下·锦州期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释如图，有足够多的，，三种纸片：种是边长为的正方形，种是边长为的正方形，种是宽为，长为的长方形用种纸片张，种纸片张，种纸片张可以拼出不重不漏如图所示的正方形根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法，反过来也可以解释多项式，因式分解的结果为，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：
（1）若多项式表示分别由，，张，，三种纸片拼出如图所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式进行因式分解；
（2）我们可以借助图再拼出一个更大的长方形，使该长方形刚好由张种纸片，张种纸片，张种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式 ，据此可得到该多项式因式分解的结果为 ．
【答案】（1）解：根据图形可知这个长方形的长是，宽是，
；
（2）；
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（2） 根据长方形刚好由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，
则这个长方形的面积可以表示为多项式3m2+7mn+2n2，
∴3m2+7mn+2n2=（m+2n）（3m+n），
故答案为：3m2+7mn+2n2，（m+2n）（3m+n）．
【分析】 （1）根据A，B，C三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积求法进行因式分解；
（2）根据长方形由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，求出这个长方形的面积，然后进行因式分解．
四、综合题
16．（2022七下·石景山期末）我们知道，根据几何图形的面积关系可以说明一些等式的成立．
例如：可以用图1的面积关系来说明．
（1）根据图2写出一个等式 ；
（2）请你再举一个例子，写出等式并在图3空白处画出一个相应的几何图形加以说明 （注：不必证明，用代数式标出各部分面积即可）．
【答案】（1）
（2）解：例如∶可以用下面的图形的面积关系来说明∶
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(1)；
【分析】（1）根据所给的图形求出即可作答；
（2）根据多项式乘以多项式法则，结合题意计算求解即可。
17．（2023七下·即墨期末）
（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ．
（4）扩展与应用： ．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：；；；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，
则，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）
故答案为：．
【分析】
（1）根据整式的运算法则和公式进行计算即可。
（2）运用（1）中规律，推导出结果。
（3）（4）根据（2）中规律，运用添项法求出（3）、（4）结果。
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