2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.5 乘法公式同步分层训练提升题
一、选择题
1．计算(-a-b)2的正确结果是（ ）
A．-a2-2ab+b2 B．a2-2ab+b2 C．a2+ 2ab+b2 D．a2-2ab-b2
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．(3a+2)(3b-2)=9ab-4 B．
C． D．
3．计算（x+3y）2-（3x+y）2的结果是（ ）
A．8x2-8y2 B．8y2-8x2 C．8（x+y）2 D．8（x-y）2
4．（2017七上·醴陵期末）如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）
5．（2023七下·济南高新技术产业开发期末）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·江津期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
7．如图是一个正方形被分成四部分，其面积分别是a ， ab， ab，b ，则原正方形的边长为 （ ）
A． B．a+b C．a-b D．a -b
8．（2024八上·遵义期末）如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，，现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为．设面积为的长方形一条边为．若无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，此时的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、填空题
9．（2022七下·沈北新期中）已知 ．
10．（2021九上·南海期末）已知．则 ．
11．两个相同的小长方形按如图1所示的方式摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S.四个相同的小长方形按如图2所示的方式摆放，左上角形成的是边长为b的正方形阴影，此阴影部分的面积为 S ，另一阴影部分的面积为S ，则S，S ，S 之间的数量关系为
12．如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分的面积= .
13．（2024八上·长春期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是
三、解答题
14．如图，某市有一块长为(3a+b)m、宽为(2a+b)m的长方形地块，管理部门计划将阴影部分进行绿化，再在中间长宽均为(a+b)m的空白处修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米 求出当a=6，b=4时的绿化面积.
15．（2024八上·遵义期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系．
（3）已知a+b＝8，ab＝7，求图②中阴影部分正方形的边长．
四、综合题
16．（2022七上·通榆期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形．
（1）请你用含有a，b的式子表示阴影部分的面积．
（2）当a=7米，b=2米时，求阴影部分的面积．
17．（2021八上·南部期中）如图，某区有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为的空白的正方形地块将修建一个凉亭．
（1）用含有、的式子表示绿化总面积；
（2）若，，求出此时的绿化总面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，故C正确.
故答案为：C.
【分析】变形后利用完全平方公式计算即可.
2．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、原式=9ab-6a+6b-4≠9ab-4；此选项不符合题意；
B、原式=9x2-6x+1≠9x2-1；此选项不符合题意；
C、原式=9a2-4≠3a2-4；此选项不符合题意；
D、原式=4a2-9；此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”可求解；
B、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”计算即可求解；
C、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”计算即可求解；
D、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”计算即可求解.
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式，进行展开计算，得出结果。
4．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】正方形中，S阴影=a -b ；
梯形中，S阴影= （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a -b =（a+b）（a-b）．故答案为：C．
【分析】利用两种方法表示同一图形面积，即公式法和作差法，二者相等，构建等式，这就是面积法.
5．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得：
左边阴影部分的面积为：
右边阴影部分的面积为：
则
故答案为：A
【分析】分别表示出两边阴影部分的面积，两边面积相等，即可求出答案。
6．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：甲图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即 ，
乙图中阴影部分长方形的长为 ，宽为 ，阴影部分的面积为 ，
根据两个图形中阴影部分的面积相等可得 .
故答案为：A.
【分析】分别表示出甲乙图形中阴影部分的面积，根据面积相等可得结论.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：正方形的面积=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
∴ 原正方形的边长为a+b.
故答案为：B.
【分析】由大正方形的面积=四部分面积之和列出式子，然后将所得式子利用完全平方公式分解因式，根据正方形的面积等于边长的平方求出其边长即可.
8．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵的长为m，宽为1，的长为3，宽为（x+2-m），
∴，，
∴，
∵无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，
∴m-3=0，
解得：m=3，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出，再求出m-3=0，最后计算求解即可。
9．【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴原式＝，
故答案为：49．
【分析】将代数式变形为，再将代入计算即可。
10．【答案】
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵．
∴ ，且 ，
∴ ，
∴，
∴，
即 ，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据，再利用等式的性质化简可得，再利用完全平方公式可得，再展开计算即可得到。
11．【答案】S=S +S
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图1中，阴影部分是边长为的正方形，
∴
图2中，两个阴影部分的面积之和等于边长为的正方形面积减去6个小长方形的面积，
∴
故答案为：S=S +S .
【分析】根据图1用含a、b的代数式表示出S，根据图2用含a、b的代数式表示出S1，S2，进而即可求解.
12．【答案】12.5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题可得：
即
故答案为：12.5.
【分析】根据长方形的周长为16，面积为15.75，得到结合图形用含a，b的式子表示S1，S2，S3，利用完全平方公式计算出的值，从而求解.
13．【答案】
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1得，，
图2得，，
∴.
故答案为：.
【分析】分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式.
14．【答案】解：绿化面积为：(3a+b)(2a+b)-(a+b)2
=6a2+3ab+2ab+b2-a2-2ab-b2
=(5a2+3ab)m2；
当a=6，b=4时的绿化面积为：5×62+3×6×4=252m2.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据大长方形的面积减去中间小正方形的面积=阴影部分的面积列出式子，进而根据多项式乘以多项式及完全平方公式分别去括号，再合并同类项化简，最后将a、b的值代入化简结果计算可得答案.
15．【答案】（1）a+b；a-b
（2）解：方法一：∵S阴影＝图2中大正方形的面积﹣4×图①中长方形的面积，
∴S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
方法二：∵S阴影＝图2中小正方形的面积，
∴S阴影＝（a﹣b）2，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）解：∵a+b＝8，ab＝7，
∴82﹣4×7＝（a﹣b）2；
即（a﹣b）2＝36，
∵a﹣b＞0
∴a﹣b＝6．
∴阴影部分正方形的边长为6．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）根据题意可得：大正方形的边长是 （a+b），阴影部分正方形的边长是（a-b），
故答案为：a+b；a-b。
【分析】（1）利用线段的和差求出边长即可；
（2）利用不同的表示方法求出阴影部分的面积即可得到（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）先根据a+b＝8，ab＝7求出（a﹣b）2＝36，再求出a﹣b＝6即可.
16．【答案】（1）解：（2a+b）（a+b）-a2=a2+3ab+b2，
∴阴影部分的面积为a2+3ab+b2；
（2）解： 当a=7米，b=2米时，
阴影部分的面积=72+3×7×2+22=85米2.
【知识点】代数式求值；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用阴影部分的面积=矩形的面积-正方形的面积，列式进行计算，即可得出答案；
（2）把a=7米，b=2米代入（1）中的结果，进行计算，即可得出答案.
17．【答案】（1）解：，
答：绿化总面积是．
（2）解：，，
，
答：此时绿化总面积是．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绿化的面积=长方形的面积-空白正方形的面积列出算式，再根据整式混合运算方法化简即可；
（2）将a、b值代入（1）结论即可求值.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.5 乘法公式同步分层训练提升题
一、选择题
1．计算(-a-b)2的正确结果是（ ）
A．-a2-2ab+b2 B．a2-2ab+b2 C．a2+ 2ab+b2 D．a2-2ab-b2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，故C正确.
故答案为：C.
【分析】变形后利用完全平方公式计算即可.
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．(3a+2)(3b-2)=9ab-4 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、原式=9ab-6a+6b-4≠9ab-4；此选项不符合题意；
B、原式=9x2-6x+1≠9x2-1；此选项不符合题意；
C、原式=9a2-4≠3a2-4；此选项不符合题意；
D、原式=4a2-9；此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”可求解；
B、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”计算即可求解；
C、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”计算即可求解；
D、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”计算即可求解.
3．计算（x+3y）2-（3x+y）2的结果是（ ）
A．8x2-8y2 B．8y2-8x2 C．8（x+y）2 D．8（x-y）2
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式，进行展开计算，得出结果。
4．（2017七上·醴陵期末）如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】正方形中，S阴影=a -b ；
梯形中，S阴影= （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a -b =（a+b）（a-b）．故答案为：C．
【分析】利用两种方法表示同一图形面积，即公式法和作差法，二者相等，构建等式，这就是面积法.
5．（2023七下·济南高新技术产业开发期末）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得：
左边阴影部分的面积为：
右边阴影部分的面积为：
则
故答案为：A
【分析】分别表示出两边阴影部分的面积，两边面积相等，即可求出答案。
6．（2021八上·江津期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：甲图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即 ，
乙图中阴影部分长方形的长为 ，宽为 ，阴影部分的面积为 ，
根据两个图形中阴影部分的面积相等可得 .
故答案为：A.
【分析】分别表示出甲乙图形中阴影部分的面积，根据面积相等可得结论.
7．如图是一个正方形被分成四部分，其面积分别是a ， ab， ab，b ，则原正方形的边长为 （ ）
A． B．a+b C．a-b D．a -b
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：正方形的面积=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
∴ 原正方形的边长为a+b.
故答案为：B.
【分析】由大正方形的面积=四部分面积之和列出式子，然后将所得式子利用完全平方公式分解因式，根据正方形的面积等于边长的平方求出其边长即可.
8．（2024八上·遵义期末）如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，，现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为．设面积为的长方形一条边为．若无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，此时的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵的长为m，宽为1，的长为3，宽为（x+2-m），
∴，，
∴，
∵无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，
∴m-3=0，
解得：m=3，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出，再求出m-3=0，最后计算求解即可。
二、填空题
9．（2022七下·沈北新期中）已知 ．
【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴原式＝，
故答案为：49．
【分析】将代数式变形为，再将代入计算即可。
10．（2021九上·南海期末）已知．则 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵．
∴ ，且 ，
∴ ，
∴，
∴，
即 ，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据，再利用等式的性质化简可得，再利用完全平方公式可得，再展开计算即可得到。
11．两个相同的小长方形按如图1所示的方式摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S.四个相同的小长方形按如图2所示的方式摆放，左上角形成的是边长为b的正方形阴影，此阴影部分的面积为 S ，另一阴影部分的面积为S ，则S，S ，S 之间的数量关系为
【答案】S=S +S
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图1中，阴影部分是边长为的正方形，
∴
图2中，两个阴影部分的面积之和等于边长为的正方形面积减去6个小长方形的面积，
∴
故答案为：S=S +S .
【分析】根据图1用含a、b的代数式表示出S，根据图2用含a、b的代数式表示出S1，S2，进而即可求解.
12．如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分的面积= .
【答案】12.5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题可得：
即
故答案为：12.5.
【分析】根据长方形的周长为16，面积为15.75，得到结合图形用含a，b的式子表示S1，S2，S3，利用完全平方公式计算出的值，从而求解.
13．（2024八上·长春期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是
【答案】
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1得，，
图2得，，
∴.
故答案为：.
【分析】分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式.
三、解答题
14．如图，某市有一块长为(3a+b)m、宽为(2a+b)m的长方形地块，管理部门计划将阴影部分进行绿化，再在中间长宽均为(a+b)m的空白处修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米 求出当a=6，b=4时的绿化面积.
【答案】解：绿化面积为：(3a+b)(2a+b)-(a+b)2
=6a2+3ab+2ab+b2-a2-2ab-b2
=(5a2+3ab)m2；
当a=6，b=4时的绿化面积为：5×62+3×6×4=252m2.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据大长方形的面积减去中间小正方形的面积=阴影部分的面积列出式子，进而根据多项式乘以多项式及完全平方公式分别去括号，再合并同类项化简，最后将a、b的值代入化简结果计算可得答案.
15．（2024八上·遵义期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系．
（3）已知a+b＝8，ab＝7，求图②中阴影部分正方形的边长．
【答案】（1）a+b；a-b
（2）解：方法一：∵S阴影＝图2中大正方形的面积﹣4×图①中长方形的面积，
∴S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
方法二：∵S阴影＝图2中小正方形的面积，
∴S阴影＝（a﹣b）2，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）解：∵a+b＝8，ab＝7，
∴82﹣4×7＝（a﹣b）2；
即（a﹣b）2＝36，
∵a﹣b＞0
∴a﹣b＝6．
∴阴影部分正方形的边长为6．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）根据题意可得：大正方形的边长是 （a+b），阴影部分正方形的边长是（a-b），
故答案为：a+b；a-b。
【分析】（1）利用线段的和差求出边长即可；
（2）利用不同的表示方法求出阴影部分的面积即可得到（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）先根据a+b＝8，ab＝7求出（a﹣b）2＝36，再求出a﹣b＝6即可.
四、综合题
16．（2022七上·通榆期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形．
（1）请你用含有a，b的式子表示阴影部分的面积．
（2）当a=7米，b=2米时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：（2a+b）（a+b）-a2=a2+3ab+b2，
∴阴影部分的面积为a2+3ab+b2；
（2）解： 当a=7米，b=2米时，
阴影部分的面积=72+3×7×2+22=85米2.
【知识点】代数式求值；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用阴影部分的面积=矩形的面积-正方形的面积，列式进行计算，即可得出答案；
（2）把a=7米，b=2米代入（1）中的结果，进行计算，即可得出答案.
17．（2021八上·南部期中）如图，某区有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为的空白的正方形地块将修建一个凉亭．
（1）用含有、的式子表示绿化总面积；
（2）若，，求出此时的绿化总面积．
【答案】（1）解：，
答：绿化总面积是．
（2）解：，，
，
答：此时绿化总面积是．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绿化的面积=长方形的面积-空白正方形的面积列出算式，再根据整式混合运算方法化简即可；
（2）将a、b值代入（1）结论即可求值.
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