2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.1 三角形的边同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·花溪月考） 下列长度的各组线段，可以组成三角形的是（ ）
A．5，5，11 B．7，8，15 C．7，2，4 D．13，12，20
2．（2022七下·长春期末）已知三角形的两边长分别为5和9，则此三角形的第三边长可能为（ ）
A．3 B．4 C．10 D．14
3．（2023七下·梅州期末）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为4、5、6、9，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
4．（2023七下·本溪期末）已知a，b，c是的三条边，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．0
5．（2023七下·横山期末）如图，直线与相交于点，点在直线上，点在直线上．下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·宽城期末）如图，数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．8
7．（2023七下·清远期末）小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框.现有4根木棒供他选择，其长度分别为、、、.小明可以选择的木棒长度为（ ）
A．和 B． C．和 D．
8．（2023七下·西城期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
二、填空题
9．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 ．
10．（2023七下·苏州期末）若一个三角形的三边长分别是，，，则x的取值范围是 ．
11．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
12．（2021·西安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点O是AB的中点，以BC为直角边向外作等腰Rt△BCD，连接OD，当OD取最大值时，则∠ODB的度数是 .
13．（2019·九龙坡模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE=2，BF=EG，DG>AE，则DI的最小值为 .
三、解答题
14．如图，P为△ABC中任意一点．延长AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于D、E、F．求证：AD+BE+CF> (AB+BC+CA)．
15．如图，图中A、B、C、D四点是某厂的四个生产车间，现在要厂里建一个仓库，使仓库到A、B、c、D四个生产车间的距离的和最小．问仓库应建在何处
四、综合题
16．（2023七下·通川期末）已知a，b，c是的三条边长，且a，b，c是正整数．
（1）若a，b，c满足，且，求的周长；
（2）若a，b，c满足，且的周长是偶数，求c的值
17．（2021七上·禅城期末）如图，在同一平面内，点D、E是△ABC外的两点，请按要求完成下列问题．（此题作图不要求写出画法）
（1）请你判断线段与AC的数量关系是 ，理由是 ．
（2）连接线段CD，作射线BE、直线DE，在四边形BCDE的边BC、CD、DE、EB上任取一点，分别为点K、L、M、N并顺次连接它们，则四边形KLMN的周长与四边形BCDE周长哪一个大，直接写出结果（不用说出理由）．
（3）在四边形KLMN内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和最小（作图找到点即可）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，5，5，11 不能组成三角形，A错误；
B、，7，8，15 不能组成三角形，B错误；
C、，7，2，4不能组成三角形，C错误；
D、，13，12，20能组成三角形，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据三角形构成的条件为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算每个选项中三边的关系即可判断.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的第三边长为x，
则，
即，
∴10能作为第三边长，
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系可得答案。
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：调整木条的夹角不破坏此木框，当木框为三角形时，任意两颗螺丝的距离最大；
①4和5合起来为一条边，4+5=9，三条边为6，9，9，9-6<9<9+6，可以构成三角形，此时任意两颗螺丝的最大距离为9；
②5和6合起来为一条边，5+6=11，三条边为4，9，11，11-4<9<11+4，可以构成三角形，此时任意两颗螺丝的最大距离为11；
③4和9合起来为一条边，4+9=13，三条边为5，6，13，5+6<13，不可以构成三角形；
④6和9合起来为一条边，6+9=15，三条边为4，5，15，4+5<15，不可以构成三角形.
所以，任意两颗螺丝的最大距离为11.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分类讨论可以构成三角形的情况，解题即可.
4．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
得a+b-c>0，c-a-b<0，
∴|a+b-c|-|c-a-b|=a+b-c+c-a-b=0．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质可得a+b-c>0，c-a-b<0，再根据绝对值的意义去掉绝对值算出结果.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、PA+PQ＞QA，故A不符合题意；
B、PQ+PB＞QB，故B不符合题意；
C、PA+PB＜QA+QB，故C符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，观察图形，可对各选项逐一判断.
6．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得三角形的两边长为3和4，
∴1＜第三边长＜7，
∴第三边长可能为4，
故答案为：B
【分析】先根据数轴得到两边长，进而根据三角形三边关系即可求解。
7．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵7-4<另一边<4+7，
∴3<另一边<11，
∴小明可以选择的木棒长度为6cm.
故答案为：B.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边的范围，进而判断.
8．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意可得：l1=OB+AB，l2=OC+CD+AD∴l1＞l2，
∵将线段EF平移可得到线段BG，将线段FG平移可得到线段BE，
∴BE=FG，EF=BG，
∴l3=OE+EF+FG+AG=OE+BE+BG+AG=OB+BA=l1，
综上所述： ，，的大小关系为： 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出l1＞l2，再根据平移求出BE=FG，EF=BG，最后判断求解即可。
9．【答案】4
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4．
故答案为：4．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
10．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：依题意有：
解得：2故答案为：2【分析】根据三角形的三边关系定理列出不等式组，再解不等式组即可.
11．【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答.
12．【答案】22.5°
【知识点】三角形三边关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，
∵将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，
∴OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°
∵CE≤OC+OE
∴当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，
∵BE＝OB，∠ABE＝90°
∴∠BOE＝45°
∵点O是AB中点，∠ACB＝90°
∴CO＝BO
∴∠ECB＝∠CBO，
∵∠EOB＝∠ECB+∠OBC＝45°
∴∠ECB＝22.5°＝∠BDO
故答案为：22.5°
【分析】将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，由旋转的性质可得OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°，由三角形三边关系可得CE≤OC＋OE，即当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，由直角三角形的性质可求解．
13．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，则∠EMG=∠EMD=90°。
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠A=∠D=∠EMD=90°，AB∥CD
∴四边形ADME是矩形
∴EM=AD=AB=6
∵BF=EG
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）
∴∠ABF=∠MEG，∠AFB=∠MGE
在Rt△BAF中，∠ABF+∠AFB=90°
∴∠MEG+∠MGE=90°
∵AB∥CD
∴∠MGE=∠BEG
∴∠MEG+∠BEG=90°
∴∠EIB=90°
∵O是BE中点
∴OI=OE=BE=（AB-AE）=2
∴OA=AE+OE=2+2=4
∵OD-OI≤DI
∴当O、D、I共线时，DI有最小值，且ID=OD-OI
在Rt△AOD中，OD==
∴ID=OD-OI=
即DI的最小值为-2.
故答案为：-2.
【分析】作EM⊥CD，取BE的中点O，连接OI、OD。先根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF=∠MEG，再利用余角关系得∠EIF=90°，继而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=OE=BE=2，从而得AO=4，利用勾股定理得OD=.然后由OD-OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值.
14．【答案】证明：∵在△APF中，AP+PF＞AF，
在△BPF中，PF+BP＞BF，
在△BPD中，BP+PD＞BD，
在△CPD中，PD+PC＞CD，
在△CPE中，PC+PE＞CE，
在△APE中，PE+AP＞AE，
∴AP+PF+PF+BP+BP+PD+PD+PC+PC+PE+PE+AP＞AF+BF+BD+CD+CE+AE，
2AP+2PF+2BP+2PD+2PC+2PE＞AB+BC+CA，
2（AD+BE+CF）＞AB+BC+CA，
∴AD+BE+CF＞（AB+BC+CA）.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，再将所有式子相加、计算即可得证.
15．【答案】解：如图，仓库应建在对角线AD与BC的交点P处．下面证明PA+PB+PC+PD是最小的．
设点 P′ 异于P点，要证明，
PA+PB+PC+PD< P′A+ P′B+ P′C+ P′D，
在△ P′ BC中，BC< P′C+ P′B，即
PB+PC< P′C+ P′B．
在△ P′AD中，AD< P′A+ P′D，即
PA+PD< P′A+ P′D．
相加得，
PA+PB+PC+PD< P′ A+ P′B+ P′C+ P′D．
所以P点是所求的点．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系
【解析】【分析】仓库应建在对角线AD与BC的交点P处．证明PA+PB+PC+PD是最小，设点 P ′ 异于P点，此题实质就是证明PA+PB+PC+PD< P′A+P′ B+ P′C+ P′D，根据三角形三边的关系可以得出BC< P′C+ P′B，AD< P′A+ P′D，即PB+PC< P′C+ P′B．PA+PD< P′A+ P′D，两式相加即可得出答案。
16．【答案】（1）解：∵，
∴a+b＝17，ab＝60，
∵a，b，c是正整数，
∴a＝12，b＝5，或a＝5，b＝12，
∵＝169，
∴c＝13或c＝-13（不合题意，舍去），
∴c＝13，
∴△ABC的周长为5+12+13＝30；
（2）解：∵，
∴，
解得b＝3，a＝2b＝6，
∴6－3＜c＜6＋3，
∴3＜c＜9，
∵△ABC的周长是偶数，且a+b＝9是奇数，
∴c是奇数，
∴c＝5或7．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）先求出 a+b＝17，ab＝60， 再利用勾股定理求出 c＝13， 最后求解即可；
（2）利用完全平方公式求出 ， 再求出 b＝3，a＝2b＝6， 最后利用三角形的三边关系计算求解即可。
17．【答案】（1）AB+BC＞AC；三角形的两边之和之和大于第三边
（2）解：如图，线段CD，射线BE，直线DE，四边形KLMN即为所求．四边形KLMN的周长小于四边形BCDE周长．
理由是：在△EMN和△BNK和△DLM和△CLK中，
EM+EN＞MN，BN+BK＞KN，DM+DL＞ML，CK+CL＞KL，
∴EN+EM+DM+DL+BN+BK+CL+CK＞MN+NK+ML+KL，
即四边形KLMN的周长小于四边形BCDE周长．
（3）解：如图，连接NL，MK，交于点O，点O即为所求，
根据两点之间，线段最短可得：NL≥ON+OL，MK≥MO+KO，
∴点O到四个顶点的距离最短．
【知识点】三角形三边关系；作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）AB+BC＞AC（三角形的两边之和之和大于第三边），
故答案为：AB+BC＞AC，三角形的两边之和之和大于第三边；
【分析】（1）根据三角形的两边之和大于第三边判断即可；
（2）根据直线、射线、线段的大于以及题目要求做出图形即可；
（3）连接NL，MK，交于点O，点O即为所求。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.1 三角形的边同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·花溪月考） 下列长度的各组线段，可以组成三角形的是（ ）
A．5，5，11 B．7，8，15 C．7，2，4 D．13，12，20
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，5，5，11 不能组成三角形，A错误；
B、，7，8，15 不能组成三角形，B错误；
C、，7，2，4不能组成三角形，C错误；
D、，13，12，20能组成三角形，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据三角形构成的条件为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算每个选项中三边的关系即可判断.
2．（2022七下·长春期末）已知三角形的两边长分别为5和9，则此三角形的第三边长可能为（ ）
A．3 B．4 C．10 D．14
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的第三边长为x，
则，
即，
∴10能作为第三边长，
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系可得答案。
3．（2023七下·梅州期末）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为4、5、6、9，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：调整木条的夹角不破坏此木框，当木框为三角形时，任意两颗螺丝的距离最大；
①4和5合起来为一条边，4+5=9，三条边为6，9，9，9-6<9<9+6，可以构成三角形，此时任意两颗螺丝的最大距离为9；
②5和6合起来为一条边，5+6=11，三条边为4，9，11，11-4<9<11+4，可以构成三角形，此时任意两颗螺丝的最大距离为11；
③4和9合起来为一条边，4+9=13，三条边为5，6，13，5+6<13，不可以构成三角形；
④6和9合起来为一条边，6+9=15，三条边为4，5，15，4+5<15，不可以构成三角形.
所以，任意两颗螺丝的最大距离为11.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分类讨论可以构成三角形的情况，解题即可.
4．（2023七下·本溪期末）已知a，b，c是的三条边，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
得a+b-c>0，c-a-b<0，
∴|a+b-c|-|c-a-b|=a+b-c+c-a-b=0．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质可得a+b-c>0，c-a-b<0，再根据绝对值的意义去掉绝对值算出结果.
5．（2023七下·横山期末）如图，直线与相交于点，点在直线上，点在直线上．下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、PA+PQ＞QA，故A不符合题意；
B、PQ+PB＞QB，故B不符合题意；
C、PA+PB＜QA+QB，故C符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，观察图形，可对各选项逐一判断.
6．（2023七下·宽城期末）如图，数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得三角形的两边长为3和4，
∴1＜第三边长＜7，
∴第三边长可能为4，
故答案为：B
【分析】先根据数轴得到两边长，进而根据三角形三边关系即可求解。
7．（2023七下·清远期末）小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框.现有4根木棒供他选择，其长度分别为、、、.小明可以选择的木棒长度为（ ）
A．和 B． C．和 D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵7-4<另一边<4+7，
∴3<另一边<11，
∴小明可以选择的木棒长度为6cm.
故答案为：B.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边的范围，进而判断.
8．（2023七下·西城期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意可得：l1=OB+AB，l2=OC+CD+AD∴l1＞l2，
∵将线段EF平移可得到线段BG，将线段FG平移可得到线段BE，
∴BE=FG，EF=BG，
∴l3=OE+EF+FG+AG=OE+BE+BG+AG=OB+BA=l1，
综上所述： ，，的大小关系为： 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出l1＞l2，再根据平移求出BE=FG，EF=BG，最后判断求解即可。
二、填空题
9．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 ．
【答案】4
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4．
故答案为：4．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
10．（2023七下·苏州期末）若一个三角形的三边长分别是，，，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：依题意有：
解得：2故答案为：2【分析】根据三角形的三边关系定理列出不等式组，再解不等式组即可.
11．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答.
12．（2021·西安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点O是AB的中点，以BC为直角边向外作等腰Rt△BCD，连接OD，当OD取最大值时，则∠ODB的度数是 .
【答案】22.5°
【知识点】三角形三边关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，
∵将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，
∴OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°
∵CE≤OC+OE
∴当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，
∵BE＝OB，∠ABE＝90°
∴∠BOE＝45°
∵点O是AB中点，∠ACB＝90°
∴CO＝BO
∴∠ECB＝∠CBO，
∵∠EOB＝∠ECB+∠OBC＝45°
∴∠ECB＝22.5°＝∠BDO
故答案为：22.5°
【分析】将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，由旋转的性质可得OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°，由三角形三边关系可得CE≤OC＋OE，即当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，由直角三角形的性质可求解．
13．（2019·九龙坡模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE=2，BF=EG，DG>AE，则DI的最小值为 .
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，则∠EMG=∠EMD=90°。
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠A=∠D=∠EMD=90°，AB∥CD
∴四边形ADME是矩形
∴EM=AD=AB=6
∵BF=EG
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）
∴∠ABF=∠MEG，∠AFB=∠MGE
在Rt△BAF中，∠ABF+∠AFB=90°
∴∠MEG+∠MGE=90°
∵AB∥CD
∴∠MGE=∠BEG
∴∠MEG+∠BEG=90°
∴∠EIB=90°
∵O是BE中点
∴OI=OE=BE=（AB-AE）=2
∴OA=AE+OE=2+2=4
∵OD-OI≤DI
∴当O、D、I共线时，DI有最小值，且ID=OD-OI
在Rt△AOD中，OD==
∴ID=OD-OI=
即DI的最小值为-2.
故答案为：-2.
【分析】作EM⊥CD，取BE的中点O，连接OI、OD。先根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF=∠MEG，再利用余角关系得∠EIF=90°，继而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=OE=BE=2，从而得AO=4，利用勾股定理得OD=.然后由OD-OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值.
三、解答题
14．如图，P为△ABC中任意一点．延长AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于D、E、F．求证：AD+BE+CF> (AB+BC+CA)．
【答案】证明：∵在△APF中，AP+PF＞AF，
在△BPF中，PF+BP＞BF，
在△BPD中，BP+PD＞BD，
在△CPD中，PD+PC＞CD，
在△CPE中，PC+PE＞CE，
在△APE中，PE+AP＞AE，
∴AP+PF+PF+BP+BP+PD+PD+PC+PC+PE+PE+AP＞AF+BF+BD+CD+CE+AE，
2AP+2PF+2BP+2PD+2PC+2PE＞AB+BC+CA，
2（AD+BE+CF）＞AB+BC+CA，
∴AD+BE+CF＞（AB+BC+CA）.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，再将所有式子相加、计算即可得证.
15．如图，图中A、B、C、D四点是某厂的四个生产车间，现在要厂里建一个仓库，使仓库到A、B、c、D四个生产车间的距离的和最小．问仓库应建在何处
【答案】解：如图，仓库应建在对角线AD与BC的交点P处．下面证明PA+PB+PC+PD是最小的．
设点 P′ 异于P点，要证明，
PA+PB+PC+PD< P′A+ P′B+ P′C+ P′D，
在△ P′ BC中，BC< P′C+ P′B，即
PB+PC< P′C+ P′B．
在△ P′AD中，AD< P′A+ P′D，即
PA+PD< P′A+ P′D．
相加得，
PA+PB+PC+PD< P′ A+ P′B+ P′C+ P′D．
所以P点是所求的点．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系
【解析】【分析】仓库应建在对角线AD与BC的交点P处．证明PA+PB+PC+PD是最小，设点 P ′ 异于P点，此题实质就是证明PA+PB+PC+PD< P′A+P′ B+ P′C+ P′D，根据三角形三边的关系可以得出BC< P′C+ P′B，AD< P′A+ P′D，即PB+PC< P′C+ P′B．PA+PD< P′A+ P′D，两式相加即可得出答案。
四、综合题
16．（2023七下·通川期末）已知a，b，c是的三条边长，且a，b，c是正整数．
（1）若a，b，c满足，且，求的周长；
（2）若a，b，c满足，且的周长是偶数，求c的值
【答案】（1）解：∵，
∴a+b＝17，ab＝60，
∵a，b，c是正整数，
∴a＝12，b＝5，或a＝5，b＝12，
∵＝169，
∴c＝13或c＝-13（不合题意，舍去），
∴c＝13，
∴△ABC的周长为5+12+13＝30；
（2）解：∵，
∴，
解得b＝3，a＝2b＝6，
∴6－3＜c＜6＋3，
∴3＜c＜9，
∵△ABC的周长是偶数，且a+b＝9是奇数，
∴c是奇数，
∴c＝5或7．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）先求出 a+b＝17，ab＝60， 再利用勾股定理求出 c＝13， 最后求解即可；
（2）利用完全平方公式求出 ， 再求出 b＝3，a＝2b＝6， 最后利用三角形的三边关系计算求解即可。
17．（2021七上·禅城期末）如图，在同一平面内，点D、E是△ABC外的两点，请按要求完成下列问题．（此题作图不要求写出画法）
（1）请你判断线段与AC的数量关系是 ，理由是 ．
（2）连接线段CD，作射线BE、直线DE，在四边形BCDE的边BC、CD、DE、EB上任取一点，分别为点K、L、M、N并顺次连接它们，则四边形KLMN的周长与四边形BCDE周长哪一个大，直接写出结果（不用说出理由）．
（3）在四边形KLMN内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和最小（作图找到点即可）．
【答案】（1）AB+BC＞AC；三角形的两边之和之和大于第三边
（2）解：如图，线段CD，射线BE，直线DE，四边形KLMN即为所求．四边形KLMN的周长小于四边形BCDE周长．
理由是：在△EMN和△BNK和△DLM和△CLK中，
EM+EN＞MN，BN+BK＞KN，DM+DL＞ML，CK+CL＞KL，
∴EN+EM+DM+DL+BN+BK+CL+CK＞MN+NK+ML+KL，
即四边形KLMN的周长小于四边形BCDE周长．
（3）解：如图，连接NL，MK，交于点O，点O即为所求，
根据两点之间，线段最短可得：NL≥ON+OL，MK≥MO+KO，
∴点O到四个顶点的距离最短．
【知识点】三角形三边关系；作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）AB+BC＞AC（三角形的两边之和之和大于第三边），
故答案为：AB+BC＞AC，三角形的两边之和之和大于第三边；
【分析】（1）根据三角形的两边之和大于第三边判断即可；
（2）根据直线、射线、线段的大于以及题目要求做出图形即可；
（3）连接NL，MK，交于点O，点O即为所求。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.1 三角形的边同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·花溪月考） 下列长度的各组线段，可以组成三角形的是（ ）
A．5，5，11 B．7，8，15 C．7，2，4 D．13，12，20
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，5，5，11 不能组成三角形，A错误；
B、，7，8，15 不能组成三角形，B错误；
C、，7，2，4不能组成三角形，C错误；
D、，13，12，20能组成三角形，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据三角形构成的条件为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算每个选项中三边的关系即可判断.
2．（2022七下·长春期末）已知三角形的两边长分别为5和9，则此三角形的第三边长可能为（ ）
A．3 B．4 C．10 D．14
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的第三边长为x，
则，
即，
∴10能作为第三边长，
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系可得答案。
3．（2023七下·梅州期末）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为4、5、6、9，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：调整木条的夹角不破坏此木框，当木框为三角形时，任意两颗螺丝的距离最大；
①4和5合起来为一条边，4+5=9，三条边为6，9，9，9-6<9<9+6，可以构成三角形，此时任意两颗螺丝的最大距离为9；
②5和6合起来为一条边，5+6=11，三条边为4，9，11，11-4<9<11+4，可以构成三角形，此时任意两颗螺丝的最大距离为11；
③4和9合起来为一条边，4+9=13，三条边为5，6，13，5+6<13，不可以构成三角形；
④6和9合起来为一条边，6+9=15，三条边为4，5，15，4+5<15，不可以构成三角形.
所以，任意两颗螺丝的最大距离为11.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分类讨论可以构成三角形的情况，解题即可.
4．（2023七下·本溪期末）已知a，b，c是的三条边，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
得a+b-c>0，c-a-b<0，
∴|a+b-c|-|c-a-b|=a+b-c+c-a-b=0．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质可得a+b-c>0，c-a-b<0，再根据绝对值的意义去掉绝对值算出结果.
5．（2023七下·横山期末）如图，直线与相交于点，点在直线上，点在直线上．下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、PA+PQ＞QA，故A不符合题意；
B、PQ+PB＞QB，故B不符合题意；
C、PA+PB＜QA+QB，故C符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，观察图形，可对各选项逐一判断.
6．（2023七下·宽城期末）如图，数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得三角形的两边长为3和4，
∴1＜第三边长＜7，
∴第三边长可能为4，
故答案为：B
【分析】先根据数轴得到两边长，进而根据三角形三边关系即可求解。
7．（2023七下·清远期末）小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框.现有4根木棒供他选择，其长度分别为、、、.小明可以选择的木棒长度为（ ）
A．和 B． C．和 D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵7-4<另一边<4+7，
∴3<另一边<11，
∴小明可以选择的木棒长度为6cm.
故答案为：B.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边的范围，进而判断.
8．（2023七下·西城期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意可得：l1=OB+AB，l2=OC+CD+AD∴l1＞l2，
∵将线段EF平移可得到线段BG，将线段FG平移可得到线段BE，
∴BE=FG，EF=BG，
∴l3=OE+EF+FG+AG=OE+BE+BG+AG=OB+BA=l1，
综上所述： ，，的大小关系为： 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出l1＞l2，再根据平移求出BE=FG，EF=BG，最后判断求解即可。
二、填空题
9．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 ．
【答案】4
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4．
故答案为：4．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
10．（2023七下·苏州期末）若一个三角形的三边长分别是，，，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：依题意有：
解得：2故答案为：2【分析】根据三角形的三边关系定理列出不等式组，再解不等式组即可.
11．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答.
12．（2021·西安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点O是AB的中点，以BC为直角边向外作等腰Rt△BCD，连接OD，当OD取最大值时，则∠ODB的度数是 .
【答案】22.5°
【知识点】三角形三边关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，
∵将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，
∴OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°
∵CE≤OC+OE
∴当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，
∵BE＝OB，∠ABE＝90°
∴∠BOE＝45°
∵点O是AB中点，∠ACB＝90°
∴CO＝BO
∴∠ECB＝∠CBO，
∵∠EOB＝∠ECB+∠OBC＝45°
∴∠ECB＝22.5°＝∠BDO
故答案为：22.5°
【分析】将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，由旋转的性质可得OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°，由三角形三边关系可得CE≤OC＋OE，即当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，由直角三角形的性质可求解．
13．（2019·九龙坡模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE=2，BF=EG，DG>AE，则DI的最小值为 .
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，则∠EMG=∠EMD=90°。
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠A=∠D=∠EMD=90°，AB∥CD
∴四边形ADME是矩形
∴EM=AD=AB=6
∵BF=EG
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）
∴∠ABF=∠MEG，∠AFB=∠MGE
在Rt△BAF中，∠ABF+∠AFB=90°
∴∠MEG+∠MGE=90°
∵AB∥CD
∴∠MGE=∠BEG
∴∠MEG+∠BEG=90°
∴∠EIB=90°
∵O是BE中点
∴OI=OE=BE=（AB-AE）=2
∴OA=AE+OE=2+2=4
∵OD-OI≤DI
∴当O、D、I共线时，DI有最小值，且ID=OD-OI
在Rt△AOD中，OD==
∴ID=OD-OI=
即DI的最小值为-2.
故答案为：-2.
【分析】作EM⊥CD，取BE的中点O，连接OI、OD。先根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF=∠MEG，再利用余角关系得∠EIF=90°，继而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=OE=BE=2，从而得AO=4，利用勾股定理得OD=.然后由OD-OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值.
三、解答题
14．如图，P为△ABC中任意一点．延长AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于D、E、F．求证：AD+BE+CF> (AB+BC+CA)．
【答案】证明：∵在△APF中，AP+PF＞AF，
在△BPF中，PF+BP＞BF，
在△BPD中，BP+PD＞BD，
在△CPD中，PD+PC＞CD，
在△CPE中，PC+PE＞CE，
在△APE中，PE+AP＞AE，
∴AP+PF+PF+BP+BP+PD+PD+PC+PC+PE+PE+AP＞AF+BF+BD+CD+CE+AE，
2AP+2PF+2BP+2PD+2PC+2PE＞AB+BC+CA，
2（AD+BE+CF）＞AB+BC+CA，
∴AD+BE+CF＞（AB+BC+CA）.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，再将所有式子相加、计算即可得证.
15．如图，图中A、B、C、D四点是某厂的四个生产车间，现在要厂里建一个仓库，使仓库到A、B、c、D四个生产车间的距离的和最小．问仓库应建在何处
【答案】解：如图，仓库应建在对角线AD与BC的交点P处．下面证明PA+PB+PC+PD是最小的．
设点 P′ 异于P点，要证明，
PA+PB+PC+PD< P′A+ P′B+ P′C+ P′D，
在△ P′ BC中，BC< P′C+ P′B，即
PB+PC< P′C+ P′B．
在△ P′AD中，AD< P′A+ P′D，即
PA+PD< P′A+ P′D．
相加得，
PA+PB+PC+PD< P′ A+ P′B+ P′C+ P′D．
所以P点是所求的点．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系
【解析】【分析】仓库应建在对角线AD与BC的交点P处．证明PA+PB+PC+PD是最小，设点 P ′ 异于P点，此题实质就是证明PA+PB+PC+PD< P′A+P′ B+ P′C+ P′D，根据三角形三边的关系可以得出BC< P′C+ P′B，AD< P′A+ P′D，即PB+PC< P′C+ P′B．PA+PD< P′A+ P′D，两式相加即可得出答案。
四、综合题
16．（2023七下·通川期末）已知a，b，c是的三条边长，且a，b，c是正整数．
（1）若a，b，c满足，且，求的周长；
（2）若a，b，c满足，且的周长是偶数，求c的值
【答案】（1）解：∵，
∴a+b＝17，ab＝60，
∵a，b，c是正整数，
∴a＝12，b＝5，或a＝5，b＝12，
∵＝169，
∴c＝13或c＝-13（不合题意，舍去），
∴c＝13，
∴△ABC的周长为5+12+13＝30；
（2）解：∵，
∴，
解得b＝3，a＝2b＝6，
∴6－3＜c＜6＋3，
∴3＜c＜9，
∵△ABC的周长是偶数，且a+b＝9是奇数，
∴c是奇数，
∴c＝5或7．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）先求出 a+b＝17，ab＝60， 再利用勾股定理求出 c＝13， 最后求解即可；
（2）利用完全平方公式求出 ， 再求出 b＝3，a＝2b＝6， 最后利用三角形的三边关系计算求解即可。
17．（2021七上·禅城期末）如图，在同一平面内，点D、E是△ABC外的两点，请按要求完成下列问题．（此题作图不要求写出画法）
（1）请你判断线段与AC的数量关系是 ，理由是 ．
（2）连接线段CD，作射线BE、直线DE，在四边形BCDE的边BC、CD、DE、EB上任取一点，分别为点K、L、M、N并顺次连接它们，则四边形KLMN的周长与四边形BCDE周长哪一个大，直接写出结果（不用说出理由）．
（3）在四边形KLMN内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和最小（作图找到点即可）．
【答案】（1）AB+BC＞AC；三角形的两边之和之和大于第三边
（2）解：如图，线段CD，射线BE，直线DE，四边形KLMN即为所求．四边形KLMN的周长小于四边形BCDE周长．
理由是：在△EMN和△BNK和△DLM和△CLK中，
EM+EN＞MN，BN+BK＞KN，DM+DL＞ML，CK+CL＞KL，
∴EN+EM+DM+DL+BN+BK+CL+CK＞MN+NK+ML+KL，
即四边形KLMN的周长小于四边形BCDE周长．
（3）解：如图，连接NL，MK，交于点O，点O即为所求，
根据两点之间，线段最短可得：NL≥ON+OL，MK≥MO+KO，
∴点O到四个顶点的距离最短．
【知识点】三角形三边关系；作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）AB+BC＞AC（三角形的两边之和之和大于第三边），
故答案为：AB+BC＞AC，三角形的两边之和之和大于第三边；
【分析】（1）根据三角形的两边之和大于第三边判断即可；
（2）根据直线、射线、线段的大于以及题目要求做出图形即可；
（3）连接NL，MK，交于点O，点O即为所求。
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