2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.2 三角形的内角同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2021八上·徐闻期中）在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°-40°=50°．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形两个锐角互余列式计算即可得解。
2．（2023八上·肇庆月考）如图，在中，D是BC延长线上一点，，，则等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，计算求解即可．
3．一个三角形的三个内角中，至少有（ ）
A．一个锐角 B．两个锐角 C．一个钝角 D．一个直角
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理判断即可。
三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角，如有则内角和大于180°，
故选B．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握三角形的三个内角和是180°．
4．（2024八上·防城期末）在中，若，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据三角形的内角和为，可得
，
是直角三角形，
故答案为：B.
【分析】由三角形的内角和为，计算可得，可判断三角形为直角三角形.
5．（2023八上·东阳月考）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题知是一副三角板，则可得∠AEB=45°，∠B=60°，
∴∠α=180°－∠AEB－∠B=180°－45°－60°=75°．
故答案为：D．
【分析】 首先利用三角板的特殊角求出∠AEB=45°，∠B=60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠α的度数即可解答.
6．（2020·桐乡模拟）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设三角形ABC的三个内角分别为x，y，z（y＞z）
∴x=y-z且x+y+z=180°
∴y-z+y+z=180°，
解之：y=90°.
∴必有一个内角等于90°.
故答案为：D.
【分析】根据设三角形ABC的三个内角分别为x，y，z（y＞z），根据题意及三角形内角和定理建立方程组，就可求出一个内角为90°。
7．（2024八上·深圳期末） 某次数学综合实践课上，小明将一副三角板摆成如图4所示的样子，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
图中是一副三角板，且∠CAB=30°，∠ABC=45°，∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠CAB+ABC=30°+45°=75°.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角板的性质求出∠CAB和∠ABC的度数，再利用三角形外角性质解答即可.三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和.
二、填空题
8．（2023八上·花垣期中） 如图，在中，的度数是 度．
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：40．
【分析】根据三角形内角和定理建立方程求解即可。
9．（2024八上·蔡甸期末）如图，，，则 度．
【答案】90
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠1+∠ADE=180°，∠A+∠B+∠C=180°，∠1=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠C=90°，
∴∠ADE=90°；
故答案为：90.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠A+∠1+∠ADE=180°，∠A+∠B+∠C=180°，求得∠ADE=∠C，即可求解.
10．（2024八上·南明期末）已知中，三个内角的度数比为：：：：，则中最大的内角度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ：：：： ，
设，则，，
，
解得：，
最大的内角度数是.
故答案为：.
【分析】根据三个内角的度数比设，则，，再根据三角形内角和定理解得，进而求得最大的内角为.
11．（2024八上·安乡县期末）如图，点是线段上一点， ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意得∠BCA=180°-∠A-∠B
∵∠A=50°，∠B=70°
∴∠BCA=60°
又∵∠BCA=∠D+∠DEC，∠D=35°
∴∠DEC=∠BCA-∠D=25°
故答案为：25°
【分析】根据三角形内角和180°可得∠BCA=180°-∠A-∠B，求出∠BCA=60°，根据三角形外角和定理可得∠BCA=∠D+∠DEC，由此即可得出答案.
12．为了响应国家的节能号召，某市公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线的最大夹角为 62°如图，电板 AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，而与此同时电池板 CD 与水平线的夹角为 48°要使 CD/AB，需将电池板 CD绕支点逆时针旋转角a，则 °（0
【答案】20
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可得：EF⊥AB，∠OEF=62°，
故在Rt△OEF中，∠EOF=90°-∠OEF=90°-62°=28°，
∵AB∥CD，
∴∠MQD=∠EOF=28°，
∴α°=48°-∠MQD=48°-28°=20°，
故答案为：20.
【分析】根据题意可得EF⊥AB，∠OEF=62°；根据直角三角形两锐角互补可求得∠EOF=28°；根据两直线平行，同位角相等可得∠MQD=∠EOF=28°；即可求解.
三、解答题
13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=33°，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF.
（1）求∠E的度数.
（2）若AE=9cm，DB=2cm，求CF的长.
【答案】（1）解：∵在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，∠A=33° ，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=57°，
∵ 将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF ，
∴∠E=∠ABC=57°；
（2）解：∵ 将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF ，
∴AD=BE=CF，
∵ AE=9cm，DB=2cm，
∴AD=BE=(AE-BD)÷2=(9-2)÷2=3.5cm.
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【分析】（1）首先由三角形的内角和定理算出∠ABC=57°，由平移的性质可得∠E=∠ABC=57°；
（2）由平移的性质得AD=BE=CF，进而根据线段间的关系，由AD=BE=(AE-BD)÷2可求出答案.
14．如图，AB⊥AC，∠1与∠B互余.
（1）AD 与 BC 平行吗？ 为什么？
（2）若∠B=∠D，则 AB 与 CD 平行吗？ 为什么？
【答案】（1）结论：AD∥BC.
理由：∵
∴
∵∠1与∠B互余，
∴
∴
∴.
（2）结论：AB∥CD.
理由：∵
∴
∴
∴.
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和已知条件得到最后根据"内错角相等，两直线平行"，进而即可求解；
（2）根据已知条件得到最后根据"内错角相等，两直线平行"，进而即可求解.
四、综合题
15．（2019七下·新罗期末）如图，已知△ABC，∠A＝∠B＝70°．请按如下要求操作并解答：
（1）在图中，过点A画直线MP∥BC，过点C画直线NP⊥AB，直线MP与NP交于点P，求∠APC的度数；
（2）在（1）的前提下，直线PM上存在点D，且∠ABD＝∠ADB，求直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数．
【答案】（1）解：如图所示，∵PC⊥AB，
∴∠CNB＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BCN＝20°，
∵MP∥BC，
∴∠APC＝∠BCN＝20°
（2）解：∵MP∥BC，
∴∠ADB+∠CBD＝180°，
∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝70°，
∴∠ABD＝∠ADB＝55°，
∵∠BNE＝90°，
∴∠BEN＝90°﹣55°＝35°，
∴直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数为35°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠CNB＝90°，利用三角形内角和可求出∠BCN＝20°，根据两直线平行内错角相等，可得∠APC＝∠BCN＝20° .
（2）根据两直线平行同旁内角互补，可得∠ADB+∠CBD＝180°，由ABD＝∠ADB可得∠ABD＝∠ADB＝55°，利用直角三角形两锐角互余可得∠BEN＝35°，据此即得结论.
16．（2021八上·交城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，求证：AE=FE．
【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=40°，
∴∠BAD=∠CAD=90°-40°=50°；
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合等边对等角，求出答案即可；
（2）根据等边对等角以及平行线的性质，求出AE=FE。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.2 三角形的内角同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2021八上·徐闻期中）在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
2．（2023八上·肇庆月考）如图，在中，D是BC延长线上一点，，，则等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．一个三角形的三个内角中，至少有（ ）
A．一个锐角 B．两个锐角 C．一个钝角 D．一个直角
4．（2024八上·防城期末）在中，若，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
5．（2023八上·东阳月考）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·桐乡模拟）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
7．（2024八上·深圳期末） 某次数学综合实践课上，小明将一副三角板摆成如图4所示的样子，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023八上·花垣期中） 如图，在中，的度数是 度．
9．（2024八上·蔡甸期末）如图，，，则 度．
10．（2024八上·南明期末）已知中，三个内角的度数比为：：：：，则中最大的内角度数是 ．
11．（2024八上·安乡县期末）如图，点是线段上一点， ．
12．为了响应国家的节能号召，某市公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线的最大夹角为 62°如图，电板 AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，而与此同时电池板 CD 与水平线的夹角为 48°要使 CD/AB，需将电池板 CD绕支点逆时针旋转角a，则 °（0三、解答题
13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=33°，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF.
（1）求∠E的度数.
（2）若AE=9cm，DB=2cm，求CF的长.
14．如图，AB⊥AC，∠1与∠B互余.
（1）AD 与 BC 平行吗？ 为什么？
（2）若∠B=∠D，则 AB 与 CD 平行吗？ 为什么？
四、综合题
15．（2019七下·新罗期末）如图，已知△ABC，∠A＝∠B＝70°．请按如下要求操作并解答：
（1）在图中，过点A画直线MP∥BC，过点C画直线NP⊥AB，直线MP与NP交于点P，求∠APC的度数；
（2）在（1）的前提下，直线PM上存在点D，且∠ABD＝∠ADB，求直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数．
16．（2021八上·交城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，求证：AE=FE．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°-40°=50°．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形两个锐角互余列式计算即可得解。
2．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，计算求解即可．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理判断即可。
三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角，如有则内角和大于180°，
故选B．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握三角形的三个内角和是180°．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据三角形的内角和为，可得
，
是直角三角形，
故答案为：B.
【分析】由三角形的内角和为，计算可得，可判断三角形为直角三角形.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题知是一副三角板，则可得∠AEB=45°，∠B=60°，
∴∠α=180°－∠AEB－∠B=180°－45°－60°=75°．
故答案为：D．
【分析】 首先利用三角板的特殊角求出∠AEB=45°，∠B=60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠α的度数即可解答.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设三角形ABC的三个内角分别为x，y，z（y＞z）
∴x=y-z且x+y+z=180°
∴y-z+y+z=180°，
解之：y=90°.
∴必有一个内角等于90°.
故答案为：D.
【分析】根据设三角形ABC的三个内角分别为x，y，z（y＞z），根据题意及三角形内角和定理建立方程组，就可求出一个内角为90°。
7．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
图中是一副三角板，且∠CAB=30°，∠ABC=45°，∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠CAB+ABC=30°+45°=75°.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角板的性质求出∠CAB和∠ABC的度数，再利用三角形外角性质解答即可.三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和.
8．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：40．
【分析】根据三角形内角和定理建立方程求解即可。
9．【答案】90
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠1+∠ADE=180°，∠A+∠B+∠C=180°，∠1=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠C=90°，
∴∠ADE=90°；
故答案为：90.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠A+∠1+∠ADE=180°，∠A+∠B+∠C=180°，求得∠ADE=∠C，即可求解.
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ：：：： ，
设，则，，
，
解得：，
最大的内角度数是.
故答案为：.
【分析】根据三个内角的度数比设，则，，再根据三角形内角和定理解得，进而求得最大的内角为.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意得∠BCA=180°-∠A-∠B
∵∠A=50°，∠B=70°
∴∠BCA=60°
又∵∠BCA=∠D+∠DEC，∠D=35°
∴∠DEC=∠BCA-∠D=25°
故答案为：25°
【分析】根据三角形内角和180°可得∠BCA=180°-∠A-∠B，求出∠BCA=60°，根据三角形外角和定理可得∠BCA=∠D+∠DEC，由此即可得出答案.
12．【答案】20
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可得：EF⊥AB，∠OEF=62°，
故在Rt△OEF中，∠EOF=90°-∠OEF=90°-62°=28°，
∵AB∥CD，
∴∠MQD=∠EOF=28°，
∴α°=48°-∠MQD=48°-28°=20°，
故答案为：20.
【分析】根据题意可得EF⊥AB，∠OEF=62°；根据直角三角形两锐角互补可求得∠EOF=28°；根据两直线平行，同位角相等可得∠MQD=∠EOF=28°；即可求解.
13．【答案】（1）解：∵在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，∠A=33° ，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=57°，
∵ 将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF ，
∴∠E=∠ABC=57°；
（2）解：∵ 将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF ，
∴AD=BE=CF，
∵ AE=9cm，DB=2cm，
∴AD=BE=(AE-BD)÷2=(9-2)÷2=3.5cm.
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【分析】（1）首先由三角形的内角和定理算出∠ABC=57°，由平移的性质可得∠E=∠ABC=57°；
（2）由平移的性质得AD=BE=CF，进而根据线段间的关系，由AD=BE=(AE-BD)÷2可求出答案.
14．【答案】（1）结论：AD∥BC.
理由：∵
∴
∵∠1与∠B互余，
∴
∴
∴.
（2）结论：AB∥CD.
理由：∵
∴
∴
∴.
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和已知条件得到最后根据"内错角相等，两直线平行"，进而即可求解；
（2）根据已知条件得到最后根据"内错角相等，两直线平行"，进而即可求解.
15．【答案】（1）解：如图所示，∵PC⊥AB，
∴∠CNB＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BCN＝20°，
∵MP∥BC，
∴∠APC＝∠BCN＝20°
（2）解：∵MP∥BC，
∴∠ADB+∠CBD＝180°，
∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝70°，
∴∠ABD＝∠ADB＝55°，
∵∠BNE＝90°，
∴∠BEN＝90°﹣55°＝35°，
∴直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数为35°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠CNB＝90°，利用三角形内角和可求出∠BCN＝20°，根据两直线平行内错角相等，可得∠APC＝∠BCN＝20° .
（2）根据两直线平行同旁内角互补，可得∠ADB+∠CBD＝180°，由ABD＝∠ADB可得∠ABD＝∠ADB＝55°，利用直角三角形两锐角互余可得∠BEN＝35°，据此即得结论.
16．【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=40°，
∴∠BAD=∠CAD=90°-40°=50°；
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合等边对等角，求出答案即可；
（2）根据等边对等角以及平行线的性质，求出AE=FE。
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