2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.2 三角形的内角同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2020八上·安仁期中）如图，在△ABC中，∠A=70°，直线DE分别与AB，AC交于D，E两点，则∠1+∠2=（ ）
A．110° B．140° C．180° D．250°
2．（2020八上·太谷期末）在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．（2024八上·盘龙期末）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（ ）
A．120° B．60° C．105° D．75°
4．（2024九上·苍溪期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点、分别为点、的对应顶点，若，且于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广西模拟）如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知 AB∥CD，∠BAE=91°，∠DCE=124°，则∠AEC的度数为 （ ）
A．29° B．30° C．31° D．33°
7．（2024八上·揭阳期末）如图，直线于点.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知AB∥FE，∠ABC=75°，∠CDE=130°，则∠BCD的度数为 （ ）
A．80° B．40° C．30° D．25°
二、填空题
9．（2024八上·嘉兴期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，其中点B，E，C三点共线，则的度数为 ．
10．（2023八上·肇庆月考）在如图的五角星中， °
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=120°.若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2= °.
12．如图，一条公路修到湖边时，需要弯折绕湖而过.若第一次弯折的角∠A=110°，第二次弯折的角∠B=145°，则第三次弯折的角∠C= °时，道路CE 恰好与AD 平行.
13．（2024八上·梅里斯期末）将一副三角尺按如图的方式拼摆，则的度数为 ．
三、解答题
14．如图，已知AB∥CD，∠4=3∠3，∠2=80°，求∠1的度数.
15．如图，MN⊥AB于点D，∠ABC=120°，∠BCF=30°，试判断直线 MN 与EF 的位置关系，并说明理由.
四、综合题
16．（2017七下·兴隆期末）如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E在边AB、AC上，CD与BE交于点H．
（1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数．
（2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数．
17．（2023八上·南宁月考）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于180°进行说理.”已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.对∠A+∠B+∠C=180°进行说理.
（1）小明给出如下说理过程，请补全证明过程
证明：过点A作AD∥BC
∵AD∥BC
∴∠1=∠C( )
同理， =
∵∠1+∠2+∠BAC=180°( )
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
（2）听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，∠A+∠B+∠C+∠D=360°”进行说理.请你帮助小亮完成作图并写出推理过程.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A+∠B+∠C=180°，
而∠A=70°，
∴∠B+∠C=110°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=250°．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和等于180°及四边形的内角和等于360°进行作答即可。
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B－∠C＝0，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和及∠A+∠B－∠C＝0，求出∠C的度数即可得到答案。
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠ABC=60°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（60°+45°）=75°，
故答案为：D.
【分析】先求出∠ABC=60°，∠ACB=45°，再利用三角形的内角和求出∠BAC的度数即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转定义可知：∠BAF=45°，∠C=∠E=80°，
∵AD⊥BC于点F，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=10°，
∴∠BAC=∠BAF+∠CAF=45°+10°=55°。
故答案为：B。
【分析】首先根据旋转性质得出∠BAF=45°，∠C=∠E=80°，然后根据三角形内角和定理求得∠CAF=10°，进而即可得出∠BAC=∠BAF+∠CAF°=55°。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如下图：
∵，∴，又∵，∴则
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形的内角和，根据平行线的性质可得：，再根据三角形的内角和定理算出再根据角的和差关系进行求解即可.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长DC，交AE于点M，如图所示：
∴AB∥CD，
∴∠CME＝∠BAE＝91°，
∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CME＝124°﹣91°＝33°．
故答案为：D．
【分析】延长DC，交AE于点M，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠CME的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠AEC的度数．
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长FE交AB于点H，
∵AB∥CD， ，
∴∠GHF=，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴∠BGE=∠GEF-∠GHF=90°-32°=58°.
故答案为：B.
【分析】延长FE交AB于点H，由平行线的性质可得∠GHF=，再利用三角形外角的性质可得∠BGE=∠GEF-∠GHF，据此计算即可.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质和平角的定义得到最后根据三角形外角的性质即可求解.
9．【答案】
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵三角板中，∠ACB=30°，∠DEC=45°， 点B，E，C三点共线， ∠DFC是△EFC的外角，
∴∠DFC=∠ACB＋∠DEC=75°.
故答案为：75°.
【分析】观察发现∠DFC是△EFC的外角，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和即可解决问题.
10．【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
又，
.
故答案为：180．
【分析】利用三角形的外角的性质，得到，，再根据三角形内角和定理得，即可得解．
11．【答案】240
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵ AD∥BC，∠C=120°.
∴∠D=180°-∠C=180°-120°=60°.
∴∠3+∠4=180°-∠C=120°，
∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
∴ ∠1+∠2= 360°-（∠3+∠4）=240°.
故答案为：240.
【分析】由平行线的性质求出∠D的度数，再利用三角形内角和定理可求出∠3+∠4的度数，根据平角的定义即可求解.
12．【答案】145
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长AB，EC，交于点F，如图：
∵AD∥EF，
∴∠F=∠A=110°；
∵∠FBC=180°-∠ABC=180°-145°=35°，
∴∠BCE=∠F+∠FBC=110°+35°=145°，
即第三次拐的角∠C=145°时，道路CE恰好与AD平行.
故答案为：145.
【分析】延长AB，EC，交于点F，根据两直线平行，内错角相等可得∠F=∠A=110°；求出∠FBC=35°；根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解．
13．【答案】105
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角尺的各角的度数，，，
∴
根据三角形外角的性质得：，
故答案为：．
【分析】由题意得，根据三角形外角的性质可得，进而可得答案．
14．【答案】解：如图，
∵AB∥CD， ∠4=3∠3 ，
∴∠2=∠4+∠3=4∠3=80°
∴∠3=20°
∵∠2=∠3+∠5
∴∠5=∠2-∠3=60°，
∴∠1=∠5=60°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠4+∠3，据此并结合已知可求出∠3的度数，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠5的度数，最后根据对顶角相等可求出∠1的度数.
15．【答案】解：MN∥EF.理由如下：
如图，延长AB交EF于D，
∵∠ABC=120°，∠FCB=30°，
∴∠ADC=∠ABC-∠BCD=120°-30°=90°，
又∵MN⊥AB，
∴∠MGD=∠GDC，
∴MN∥EF.
【知识点】垂线；平行线的判定；三角形的外角性质
【解析】【分析】延长AB交EF于D，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠ADC=90°；根据内错角相等，两直线平行即可证明MN∥EF.
16．【答案】（1）解：∵BE⊥AC，∠ACB=70°，
∴∠EBC=90°﹣70°=20°，
∵CD⊥AB，∠ABC=40°，
∴∠DCB=90°﹣40°=50°，
∴∠BHC=180°﹣20°﹣50°=110°．
（2）解：∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠EBC=20°，
∵DC平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴∠DCB=35°，
∴∠BHC=180°﹣20°﹣35°=125°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）欲求∠BHC，根据∠BHC=180°-∠HBC-∠HCB，只要求出∠HBC，∠HCB即可；
（2）先根据角平分线的定义得到∠EBC=20°，∠DCB=35°，再根据三角形的内角即可求得∠BHC的度数.
17．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；∠2；∠B；平角定义
（2）如图，过点A作AE∥BC，交CD于点E，
∵AE∥BC，
∴∠DEA=∠C，∠EAB+∠B=180°，
∵∠DAE+∠AED+∠D=180°，
∴∠EAB+∠B+∠DAE+∠AED+∠D=360°，
∴∠DAB+∠B+∠C+∠D=360°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）证明：过点A作AD∥BC，
∵AD∥BC
∴∠1=∠C（两直线平行，内错角相等），
同理，∠2=∠B，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°（平角定义），
∴∠BAC+∠B+∠C=180°.
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠2；∠B；平角定义；
【分析】（1） 过点A作AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠C，∠2=∠B，再根据平角的定义得出∠1+∠2+∠BAC=180°，从而得出∠BAC+∠B+∠C=180°，即可得出答案；
（2）过点A作AE∥BC，交CD于点E，根据平行线的性质得出∠DEA=∠C，∠EAB+∠B=180°，再根据三角形内角和定理得出∠DAE+∠AED+∠D=180°，从而得出∠EAB+∠B+∠DAE+∠AED+∠D=360°，
即可得出∠DAB+∠B+∠C+∠D=360°.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.2 三角形的内角同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2020八上·安仁期中）如图，在△ABC中，∠A=70°，直线DE分别与AB，AC交于D，E两点，则∠1+∠2=（ ）
A．110° B．140° C．180° D．250°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A+∠B+∠C=180°，
而∠A=70°，
∴∠B+∠C=110°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=250°．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和等于180°及四边形的内角和等于360°进行作答即可。
2．（2020八上·太谷期末）在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B－∠C＝0，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和及∠A+∠B－∠C＝0，求出∠C的度数即可得到答案。
3．（2024八上·盘龙期末）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（ ）
A．120° B．60° C．105° D．75°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠ABC=60°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（60°+45°）=75°，
故答案为：D.
【分析】先求出∠ABC=60°，∠ACB=45°，再利用三角形的内角和求出∠BAC的度数即可.
4．（2024九上·苍溪期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点、分别为点、的对应顶点，若，且于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转定义可知：∠BAF=45°，∠C=∠E=80°，
∵AD⊥BC于点F，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=10°，
∴∠BAC=∠BAF+∠CAF=45°+10°=55°。
故答案为：B。
【分析】首先根据旋转性质得出∠BAF=45°，∠C=∠E=80°，然后根据三角形内角和定理求得∠CAF=10°，进而即可得出∠BAC=∠BAF+∠CAF°=55°。
5．（2024·广西模拟）如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如下图：
∵，∴，又∵，∴则
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形的内角和，根据平行线的性质可得：，再根据三角形的内角和定理算出再根据角的和差关系进行求解即可.
6．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知 AB∥CD，∠BAE=91°，∠DCE=124°，则∠AEC的度数为 （ ）
A．29° B．30° C．31° D．33°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长DC，交AE于点M，如图所示：
∴AB∥CD，
∴∠CME＝∠BAE＝91°，
∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CME＝124°﹣91°＝33°．
故答案为：D．
【分析】延长DC，交AE于点M，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠CME的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠AEC的度数．
7．（2024八上·揭阳期末）如图，直线于点.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长FE交AB于点H，
∵AB∥CD， ，
∴∠GHF=，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴∠BGE=∠GEF-∠GHF=90°-32°=58°.
故答案为：B.
【分析】延长FE交AB于点H，由平行线的性质可得∠GHF=，再利用三角形外角的性质可得∠BGE=∠GEF-∠GHF，据此计算即可.
8．如图，已知AB∥FE，∠ABC=75°，∠CDE=130°，则∠BCD的度数为 （ ）
A．80° B．40° C．30° D．25°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质和平角的定义得到最后根据三角形外角的性质即可求解.
二、填空题
9．（2024八上·嘉兴期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，其中点B，E，C三点共线，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵三角板中，∠ACB=30°，∠DEC=45°， 点B，E，C三点共线， ∠DFC是△EFC的外角，
∴∠DFC=∠ACB＋∠DEC=75°.
故答案为：75°.
【分析】观察发现∠DFC是△EFC的外角，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和即可解决问题.
10．（2023八上·肇庆月考）在如图的五角星中， °
【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
又，
.
故答案为：180．
【分析】利用三角形的外角的性质，得到，，再根据三角形内角和定理得，即可得解．
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=120°.若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2= °.
【答案】240
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵ AD∥BC，∠C=120°.
∴∠D=180°-∠C=180°-120°=60°.
∴∠3+∠4=180°-∠C=120°，
∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
∴ ∠1+∠2= 360°-（∠3+∠4）=240°.
故答案为：240.
【分析】由平行线的性质求出∠D的度数，再利用三角形内角和定理可求出∠3+∠4的度数，根据平角的定义即可求解.
12．如图，一条公路修到湖边时，需要弯折绕湖而过.若第一次弯折的角∠A=110°，第二次弯折的角∠B=145°，则第三次弯折的角∠C= °时，道路CE 恰好与AD 平行.
【答案】145
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长AB，EC，交于点F，如图：
∵AD∥EF，
∴∠F=∠A=110°；
∵∠FBC=180°-∠ABC=180°-145°=35°，
∴∠BCE=∠F+∠FBC=110°+35°=145°，
即第三次拐的角∠C=145°时，道路CE恰好与AD平行.
故答案为：145.
【分析】延长AB，EC，交于点F，根据两直线平行，内错角相等可得∠F=∠A=110°；求出∠FBC=35°；根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解．
13．（2024八上·梅里斯期末）将一副三角尺按如图的方式拼摆，则的度数为 ．
【答案】105
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角尺的各角的度数，，，
∴
根据三角形外角的性质得：，
故答案为：．
【分析】由题意得，根据三角形外角的性质可得，进而可得答案．
三、解答题
14．如图，已知AB∥CD，∠4=3∠3，∠2=80°，求∠1的度数.
【答案】解：如图，
∵AB∥CD， ∠4=3∠3 ，
∴∠2=∠4+∠3=4∠3=80°
∴∠3=20°
∵∠2=∠3+∠5
∴∠5=∠2-∠3=60°，
∴∠1=∠5=60°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠4+∠3，据此并结合已知可求出∠3的度数，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠5的度数，最后根据对顶角相等可求出∠1的度数.
15．如图，MN⊥AB于点D，∠ABC=120°，∠BCF=30°，试判断直线 MN 与EF 的位置关系，并说明理由.
【答案】解：MN∥EF.理由如下：
如图，延长AB交EF于D，
∵∠ABC=120°，∠FCB=30°，
∴∠ADC=∠ABC-∠BCD=120°-30°=90°，
又∵MN⊥AB，
∴∠MGD=∠GDC，
∴MN∥EF.
【知识点】垂线；平行线的判定；三角形的外角性质
【解析】【分析】延长AB交EF于D，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠ADC=90°；根据内错角相等，两直线平行即可证明MN∥EF.
四、综合题
16．（2017七下·兴隆期末）如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E在边AB、AC上，CD与BE交于点H．
（1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数．
（2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数．
【答案】（1）解：∵BE⊥AC，∠ACB=70°，
∴∠EBC=90°﹣70°=20°，
∵CD⊥AB，∠ABC=40°，
∴∠DCB=90°﹣40°=50°，
∴∠BHC=180°﹣20°﹣50°=110°．
（2）解：∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠EBC=20°，
∵DC平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴∠DCB=35°，
∴∠BHC=180°﹣20°﹣35°=125°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）欲求∠BHC，根据∠BHC=180°-∠HBC-∠HCB，只要求出∠HBC，∠HCB即可；
（2）先根据角平分线的定义得到∠EBC=20°，∠DCB=35°，再根据三角形的内角即可求得∠BHC的度数.
17．（2023八上·南宁月考）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于180°进行说理.”已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.对∠A+∠B+∠C=180°进行说理.
（1）小明给出如下说理过程，请补全证明过程
证明：过点A作AD∥BC
∵AD∥BC
∴∠1=∠C( )
同理， =
∵∠1+∠2+∠BAC=180°( )
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
（2）听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，∠A+∠B+∠C+∠D=360°”进行说理.请你帮助小亮完成作图并写出推理过程.
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；∠2；∠B；平角定义
（2）如图，过点A作AE∥BC，交CD于点E，
∵AE∥BC，
∴∠DEA=∠C，∠EAB+∠B=180°，
∵∠DAE+∠AED+∠D=180°，
∴∠EAB+∠B+∠DAE+∠AED+∠D=360°，
∴∠DAB+∠B+∠C+∠D=360°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）证明：过点A作AD∥BC，
∵AD∥BC
∴∠1=∠C（两直线平行，内错角相等），
同理，∠2=∠B，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°（平角定义），
∴∠BAC+∠B+∠C=180°.
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠2；∠B；平角定义；
【分析】（1） 过点A作AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠C，∠2=∠B，再根据平角的定义得出∠1+∠2+∠BAC=180°，从而得出∠BAC+∠B+∠C=180°，即可得出答案；
（2）过点A作AE∥BC，交CD于点E，根据平行线的性质得出∠DEA=∠C，∠EAB+∠B=180°，再根据三角形内角和定理得出∠DAE+∠AED+∠D=180°，从而得出∠EAB+∠B+∠DAE+∠AED+∠D=360°，
即可得出∠DAB+∠B+∠C+∠D=360°.
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