2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.2 三角形的内角同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·德惠期末）如图，在中，点、分别在、边上，，点在的延长线上，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥CB，
∴∠ADE=∠B=105°，
∴∠A=140°-105°=35°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到∠ADE=∠B=105°，进而根据三角形外角的性质结合题意即可求解。
2．（2023七下·长沙期末）将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵，，
∴∠FCO=∠A=30°，
∵∠AOF是△CFO的外角，∠F=45°，
∴∠AOF=∠FCO+∠F=30+45°=75°，
故答案为：A.
【分析】先利用平行线的性质可得∠FCO=∠A=30°，再利用三角形外角的性质求出∠AOF=∠FCO+∠F=30+45°=75°即可.
3．（2024八上·临江期末）有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，在△ABC中，，则∠A的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∵，
∴∠DBC+∠DCB+，
即∠ABC+∠ACB=135°，
∴∠A=180°-135°=45°。
故答案为：C。
【分析】首先根据三角形内角和定理求得∠DBC+∠DCB=90°，进而得出∠ABC+∠ACB=135°，再根据三角形内角和，即可求得∠A的度数。
4．（2023九上·南昌月考）如图，绕点顺时针旋转得到，若，当点怡好在上时，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵旋转，
∴∠A=∠OCD，∠AOB=∠COD，OA=OC，
∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，
∴∠AOC=∠BOD，
∵，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOD-∠BOC=80°，
∴∠AOC=∠BOD=×80°=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA==∠OCD，
∴∠BCD=180°-∠OCA-∠OCD=40°.
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得∠A=∠OCD，∠AOB=∠COD，OA=OC，结合已知条件得∠AOC=∠BOD=40°，由三角形的内角和及平角定义即可得出结论.
5．（2023九上·天津市月考）如图，将绕点逆时针旋转得到，交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】将绕点逆时针旋转得到，
故答案为：A.
【分析】利用旋转的性质得到再利用三角形外角性质即可求解.
6．（2023七下·巴州期末）如图，在中，，，点D是AC边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E，当是直角三角形时，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】 解：由折叠的性质可得：∠ABD=∠EBD，∠F=∠A=26°，
①当∠EDF=90°时，可得：∠DEF=90°-∠F=90°-26°=64°，
∴∠ABE=∠DEF-∠F=38°，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABE＝19°，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=45°；
②当∠DEF=90° 时，
如图所示，此时点E与点C重合，
∴∠DEB=90°，且BE，CF共线，
∵∠ABE=90°-∠A=64°，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABE=32°，
∴∠BDC=90°-∠DBE=58°，
综上所述：∠BDC的度数为45°或58°。
故答案为：C.
【分析】 根据折叠的性质求出∠ABD=∠EBD，∠F=∠A=26°，再分类讨论，利用三角形的内角和定理以及三角形的外角等计算求解即可。
7．（2023八上·献县月考）小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵△DEF与△ABC是一幅直角三角尺
∴∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°
∵∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6
∴∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6
∵∠3=∠4，∠5=∠6
∴∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°
∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠3+∠6=30°+90°+90°=210°
故答案为：C
【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，由∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6，可得出∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6，由△DEF与△ABC是一幅直角三角尺可得出∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°，由对顶角相等可知∠3=∠4，∠5=∠6，所以∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°代入∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6即可得出答案.
8．（2023七下·金东期末）如图，直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示放置（），边交直线于点，边交直线于点，边分别交直线于点，在线段上取一点，连结，且有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长EA交直线b于点N，如下图所示：
设∠ADH=α，则∠ADM=α
∵∠HDG+∠ADH+∠ADM=180°
∴∠HDG=180°-∠ADH-∠ADM=180°-2α
由题意得：∠HAD=90°
∵∠HAD是△ADN的外角
∴∠HAD=∠ADM+∠AND
∴∠AND=∠HAD-∠ADM=90°-α
∵直线a∥b
∴∠BEF=∠AND=90°-α
∴.
故答案为：A.
【分析】先设∠ADH=α，结合∠ADH=∠ADM得到∠ADM=α，然后根据∠HDG+∠ADH+∠ADM=180°就可以把∠HDG用α表示出来；由直角三角板ABC可得∠HAD=90°，把∠HAD看成△ADN的外角就可以把∠AND用α表示出来，再根据直线a∥b得到∠BEF=∠AND，从而把∠BEF和∠HDG都用α表示，最后得出答案.
二、填空题
9．（2024八上·德惠期末）如图，五角星的顶点为A，B，C，D，E，则的度数为 .
【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：根据题意设五角星中两个角为∠1和∠2，利用三角形的一个外角等于与他不相邻两个内角的和可得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，因为∠1+∠2+∠E=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=180°。
故答案为：180°.
【分析】 根据题意利用三角形内角为180°以及三角形的一个外角等于与它不相邻其他两个内角的和进行计算即可得出答案。
10．为了响应国家的节能号召，某市公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线的最大夹角为 62°如图，电板 AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，而与此同时电池板 CD 与水平线的夹角为 48°要使 CD/AB，需将电池板 CD绕支点逆时针旋转角a，则 °（0
【答案】20
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可得：EF⊥AB，∠OEF=62°，
故在Rt△OEF中，∠EOF=90°-∠OEF=90°-62°=28°，
∵AB∥CD，
∴∠MQD=∠EOF=28°，
∴α°=48°-∠MQD=48°-28°=20°，
故答案为：20.
【分析】根据题意可得EF⊥AB，∠OEF=62°；根据直角三角形两锐角互补可求得∠EOF=28°；根据两直线平行，同位角相等可得∠MQD=∠EOF=28°；即可求解.
11．（2023七下·高邑期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
【答案】增加；20
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB-180°-50°-60°=70°
∴∠ECD=∠ACB=70°
∵∠DGF=∠DCE+∠E
∴∠DGF=70°+30°=100°
又∵∠EFD=140°，∠EFD=∠DGF+∠D
∴∠D=40°
而图中∠D=20°
∴∠D增加了20°
故答案为：增加，20.
【分析】本题考查了三角形外交性质及其应用。
12．（2023七下·瓯海期中）随着科技的发展，人们使用平板学习已经成为常态，它拥有的智能磁吸键盘和手写笔更是给人们带来无纸化学习新体验，如图1，当平板放在智能磁吸键盘上时，可调整平板角度，研究表明，屏幕中心在直视屏幕视线下方10°：20°时可减少视觉和肌肉骨骼不适．图2为调整示意图，即∠G=90°，∠GED=x°(10°【答案】15；52°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH∥EF，
∵∠3=134°，∠2=67°，
∴∠1=∠3-∠2=67°，
∵EF∥OP，DH∥EF，
∴DH∥EF∥OP，
∴∠EDH=∠FED=38°，∠HDA=∠1=67°，
∴∠EDA=∠EDH+∠HDA=105°，
∴∠GED=∠EDA-∠G=15°，
即x=15；
当平板下沿落在卡槽B时，如图，过点G作GH∥EF，
∵∠3=106°，∠2=53°，
∴∠1=∠3-∠2=53°，
∵EF∥OP，GH∥EF，
∴GH∥EF∥OP，
∴∠FEG=∠EGH，∠HGB=∠1=53°，
∴∠EGH=∠EGB-∠HGB=37°，
∴∠FED=∠FEG+∠GED=52°.
故答案为：15，52°.
【分析】 当平板下沿落在第一个卡槽A时， 过点D作DH∥EF，由三角形外角性质可得∠1=∠3-∠2=67°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得DH∥EF∥OP，由二直线平行，内错角相等得∠EDH=∠FED=38°，∠HDA=∠1=67°，进而根据角的和差及三角形外角性质可得∠GED=∠EDA-∠G=15°，从而得出x的值；当平板下沿落在卡槽B时，过点G作GH∥EF，由三角形外角性质可得∠1=∠3-∠2=53°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得GH∥EF∥OP，由二直线平行，内错角相等得∠FEG=∠EGH，∠HGB=∠1=53°，根据角的和差得∠EGH=∠EGB-∠HGB，∠FED=∠FEG+∠GED代入求解可得答案.
13．（2023七下·温州期末）图1是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆.调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ；现将支撑杆AB调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板DE至，使得，则 .
【答案】42；84°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图2，过点B作BG∥AF，
∵ED∥AF，
∴AF∥BG∥DE，
∴∠A+∠ABG=∠CBG+∠BCE=180°，
∵∠BAF=∠BCE，
∴∠ABG=∠CBG=∠ABC=42°，
∵BG∥DE，
∴∠GBC=∠BCD=42°；
如图3，延长FA交BC于点G，
∵∠BAF=146°，
∴∠BAG=180°-∠BAF=180°-146°=34°，
又∵∠B=84°，
∴∠BGA=180°-∠B-∠BAG=180°-84°-34°=62°，
∵FG∥D'E'，
∴∠BCE'=∠BGA=62°，
∵∠BCE=∠BAF=146°，
∴∠ECE'=∠BCE-∠BCE'=146°-62°=84°，
∴∠DCD'=∠ECE'=84°.
故答案为：42，84°.
【分析】如图2，过点B作BG∥AF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AF∥BG∥DE，由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等可得∠ABG=∠CBG=∠ABC=42°，进而根据二直线平行，内错角相等可得∠BCD的度数；如图3，延长FA交BC于点G，先由邻补角定义算出∠BAG的度数，再根据三角形的内角和定理算出∠BGA的度数，接着由二直线平行，同位角相等，求出∠BCE'的度数，进而根据角的和差及对顶角相等可求出∠DCD'的度数.
三、解答题
14．（2024七上·吉林期末） 将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点、．
（1）如图，若时，点在内，则 度， 度， 度；
（2）如图，改变直角三角板的位置，使点在内，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
（3）如图，改变直角三角板的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出、、三者之间存在的数量关系．
【答案】（1）140；90；50
（2）解：与之间的数量关系为：证明如下：
在中，
在中，
．
．
（3）．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）在中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴；
故答案为：140；90；50；
（3）、、之间的数量关系为：，证明如下：
如图③，设交于点M，
∵，，
∴．
∴．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进而结合题意即可求出和；
（2）先根据角的运算得到，，进而根据即可求解；
（3）如图③，设交于点M，进而结合题意即可得到，从而即可求解。
15．（2023七下·前郭尔罗斯月考）如图，已知直线，直线和直线，分别交于点C和D，直线上有一点P.
（1）如图①，若P点在C，D之间运动时，问，，之间的关系是否发生变化，并说明理由；
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与点C，D不重合，如图②和③），试写出，，之间的关系，并说明理由，（图③只写结论，不写理由）
【答案】（1）证明：不要
.
过点作
∵，∴
∴，.
∴.
（2）解：图②：
证明：.
过点作
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
∴.
图③：.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）证明：不变，.
过点作
∵，
∴
∴，.
∴.
（2）.
理由：过点作
∴
∵，
∴.
∴.
∴.
.
理由：设PB交l1于点H，
∵，
∴∠PHC=∠PBD，
∵PHC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
【分析】（1） 过点作 则 ，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据角的和差即可求解；
（2） 过点作 ，则 ，根据两直线平行，内错角相等可得，
，再根据角的和差即可求解；
设PB交l1于点H，由平行线的性质可得∠PHC=∠PBD，再利用三角形外角的性质可得PHC=∠PAC+∠APB，继而得解.
四、综合题
16．（2020七下·江阴期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°.判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B.若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数.
【答案】（1）36°或18°
（2）解：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”.
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“梦想三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝ .
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°.
故答案为：18°或36°.
【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可.
17．（2023七下·金堂期末）如图1，是一副直角三角板（，，），让两块三角板的直角顶点及直角边分别重合放置，斜边AB，CD交于点M．
（1）求的度数；
（2）若位置保持不变，将绕点O逆时针旋转．
①当旋转至图2所示位置时，恰好，求此时α的度数；
②在旋转过程中，是否存在CD与的一边平行？若存在，请求出α的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，，则，
∴；
（2）解：①由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴；
②由（1）知，
当时，设与交于点，
∵，
∴，
∴，
即：，
当时，
∵，
∴，
即：，
当时，则点与点同在上方或下方，
∵，，
∴点与点不能在同一侧，相互矛盾，故此情况不存在，
综上，当或时，CD与的一边平行．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）由三角板及平角的定义可得∠C=45°，∠BAC=180°-60°=120°，利用三角形外角的性质可得∠AMD=∠C+∠BAC，据此计算即可；
（2）①由可得，从而得出∠AOD=∠COD-∠AOC=30°，继而可得
α=∠BOD=∠AOB-∠AOD=60°；
②分三种情况： 当时，当时和当时， 据此分别画出图形并解答即可.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.2 三角形的内角同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·德惠期末）如图，在中，点、分别在、边上，，点在的延长线上，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·长沙期末）将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·临江期末）有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，在△ABC中，，则∠A的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·南昌月考）如图，绕点顺时针旋转得到，若，当点怡好在上时，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·天津市月考）如图，将绕点逆时针旋转得到，交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·巴州期末）如图，在中，，，点D是AC边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E，当是直角三角形时，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2023八上·献县月考）小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·金东期末）如图，直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示放置（），边交直线于点，边交直线于点，边分别交直线于点，在线段上取一点，连结，且有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八上·德惠期末）如图，五角星的顶点为A，B，C，D，E，则的度数为 .
10．为了响应国家的节能号召，某市公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线的最大夹角为 62°如图，电板 AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，而与此同时电池板 CD 与水平线的夹角为 48°要使 CD/AB，需将电池板 CD绕支点逆时针旋转角a，则 °（011．（2023七下·高邑期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
12．（2023七下·瓯海期中）随着科技的发展，人们使用平板学习已经成为常态，它拥有的智能磁吸键盘和手写笔更是给人们带来无纸化学习新体验，如图1，当平板放在智能磁吸键盘上时，可调整平板角度，研究表明，屏幕中心在直视屏幕视线下方10°：20°时可减少视觉和肌肉骨骼不适．图2为调整示意图，即∠G=90°，∠GED=x°(10°13．（2023七下·温州期末）图1是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆.调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ；现将支撑杆AB调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板DE至，使得，则 .
三、解答题
14．（2024七上·吉林期末） 将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点、．
（1）如图，若时，点在内，则 度， 度， 度；
（2）如图，改变直角三角板的位置，使点在内，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
（3）如图，改变直角三角板的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出、、三者之间存在的数量关系．
15．（2023七下·前郭尔罗斯月考）如图，已知直线，直线和直线，分别交于点C和D，直线上有一点P.
（1）如图①，若P点在C，D之间运动时，问，，之间的关系是否发生变化，并说明理由；
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与点C，D不重合，如图②和③），试写出，，之间的关系，并说明理由，（图③只写结论，不写理由）
四、综合题
16．（2020七下·江阴期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°.判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B.若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数.
17．（2023七下·金堂期末）如图1，是一副直角三角板（，，），让两块三角板的直角顶点及直角边分别重合放置，斜边AB，CD交于点M．
（1）求的度数；
（2）若位置保持不变，将绕点O逆时针旋转．
①当旋转至图2所示位置时，恰好，求此时α的度数；
②在旋转过程中，是否存在CD与的一边平行？若存在，请求出α的度数；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥CB，
∴∠ADE=∠B=105°，
∴∠A=140°-105°=35°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到∠ADE=∠B=105°，进而根据三角形外角的性质结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵，，
∴∠FCO=∠A=30°，
∵∠AOF是△CFO的外角，∠F=45°，
∴∠AOF=∠FCO+∠F=30+45°=75°，
故答案为：A.
【分析】先利用平行线的性质可得∠FCO=∠A=30°，再利用三角形外角的性质求出∠AOF=∠FCO+∠F=30+45°=75°即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∵，
∴∠DBC+∠DCB+，
即∠ABC+∠ACB=135°，
∴∠A=180°-135°=45°。
故答案为：C。
【分析】首先根据三角形内角和定理求得∠DBC+∠DCB=90°，进而得出∠ABC+∠ACB=135°，再根据三角形内角和，即可求得∠A的度数。
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵旋转，
∴∠A=∠OCD，∠AOB=∠COD，OA=OC，
∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，
∴∠AOC=∠BOD，
∵，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOD-∠BOC=80°，
∴∠AOC=∠BOD=×80°=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA==∠OCD，
∴∠BCD=180°-∠OCA-∠OCD=40°.
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得∠A=∠OCD，∠AOB=∠COD，OA=OC，结合已知条件得∠AOC=∠BOD=40°，由三角形的内角和及平角定义即可得出结论.
5．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】将绕点逆时针旋转得到，
故答案为：A.
【分析】利用旋转的性质得到再利用三角形外角性质即可求解.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】 解：由折叠的性质可得：∠ABD=∠EBD，∠F=∠A=26°，
①当∠EDF=90°时，可得：∠DEF=90°-∠F=90°-26°=64°，
∴∠ABE=∠DEF-∠F=38°，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABE＝19°，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=45°；
②当∠DEF=90° 时，
如图所示，此时点E与点C重合，
∴∠DEB=90°，且BE，CF共线，
∵∠ABE=90°-∠A=64°，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABE=32°，
∴∠BDC=90°-∠DBE=58°，
综上所述：∠BDC的度数为45°或58°。
故答案为：C.
【分析】 根据折叠的性质求出∠ABD=∠EBD，∠F=∠A=26°，再分类讨论，利用三角形的内角和定理以及三角形的外角等计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵△DEF与△ABC是一幅直角三角尺
∴∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°
∵∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6
∴∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6
∵∠3=∠4，∠5=∠6
∴∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°
∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠3+∠6=30°+90°+90°=210°
故答案为：C
【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，由∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6，可得出∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6，由△DEF与△ABC是一幅直角三角尺可得出∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°，由对顶角相等可知∠3=∠4，∠5=∠6，所以∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°代入∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长EA交直线b于点N，如下图所示：
设∠ADH=α，则∠ADM=α
∵∠HDG+∠ADH+∠ADM=180°
∴∠HDG=180°-∠ADH-∠ADM=180°-2α
由题意得：∠HAD=90°
∵∠HAD是△ADN的外角
∴∠HAD=∠ADM+∠AND
∴∠AND=∠HAD-∠ADM=90°-α
∵直线a∥b
∴∠BEF=∠AND=90°-α
∴.
故答案为：A.
【分析】先设∠ADH=α，结合∠ADH=∠ADM得到∠ADM=α，然后根据∠HDG+∠ADH+∠ADM=180°就可以把∠HDG用α表示出来；由直角三角板ABC可得∠HAD=90°，把∠HAD看成△ADN的外角就可以把∠AND用α表示出来，再根据直线a∥b得到∠BEF=∠AND，从而把∠BEF和∠HDG都用α表示，最后得出答案.
9．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：根据题意设五角星中两个角为∠1和∠2，利用三角形的一个外角等于与他不相邻两个内角的和可得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，因为∠1+∠2+∠E=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=180°。
故答案为：180°.
【分析】 根据题意利用三角形内角为180°以及三角形的一个外角等于与它不相邻其他两个内角的和进行计算即可得出答案。
10．【答案】20
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可得：EF⊥AB，∠OEF=62°，
故在Rt△OEF中，∠EOF=90°-∠OEF=90°-62°=28°，
∵AB∥CD，
∴∠MQD=∠EOF=28°，
∴α°=48°-∠MQD=48°-28°=20°，
故答案为：20.
【分析】根据题意可得EF⊥AB，∠OEF=62°；根据直角三角形两锐角互补可求得∠EOF=28°；根据两直线平行，同位角相等可得∠MQD=∠EOF=28°；即可求解.
11．【答案】增加；20
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB-180°-50°-60°=70°
∴∠ECD=∠ACB=70°
∵∠DGF=∠DCE+∠E
∴∠DGF=70°+30°=100°
又∵∠EFD=140°，∠EFD=∠DGF+∠D
∴∠D=40°
而图中∠D=20°
∴∠D增加了20°
故答案为：增加，20.
【分析】本题考查了三角形外交性质及其应用。
12．【答案】15；52°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH∥EF，
∵∠3=134°，∠2=67°，
∴∠1=∠3-∠2=67°，
∵EF∥OP，DH∥EF，
∴DH∥EF∥OP，
∴∠EDH=∠FED=38°，∠HDA=∠1=67°，
∴∠EDA=∠EDH+∠HDA=105°，
∴∠GED=∠EDA-∠G=15°，
即x=15；
当平板下沿落在卡槽B时，如图，过点G作GH∥EF，
∵∠3=106°，∠2=53°，
∴∠1=∠3-∠2=53°，
∵EF∥OP，GH∥EF，
∴GH∥EF∥OP，
∴∠FEG=∠EGH，∠HGB=∠1=53°，
∴∠EGH=∠EGB-∠HGB=37°，
∴∠FED=∠FEG+∠GED=52°.
故答案为：15，52°.
【分析】 当平板下沿落在第一个卡槽A时， 过点D作DH∥EF，由三角形外角性质可得∠1=∠3-∠2=67°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得DH∥EF∥OP，由二直线平行，内错角相等得∠EDH=∠FED=38°，∠HDA=∠1=67°，进而根据角的和差及三角形外角性质可得∠GED=∠EDA-∠G=15°，从而得出x的值；当平板下沿落在卡槽B时，过点G作GH∥EF，由三角形外角性质可得∠1=∠3-∠2=53°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得GH∥EF∥OP，由二直线平行，内错角相等得∠FEG=∠EGH，∠HGB=∠1=53°，根据角的和差得∠EGH=∠EGB-∠HGB，∠FED=∠FEG+∠GED代入求解可得答案.
13．【答案】42；84°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图2，过点B作BG∥AF，
∵ED∥AF，
∴AF∥BG∥DE，
∴∠A+∠ABG=∠CBG+∠BCE=180°，
∵∠BAF=∠BCE，
∴∠ABG=∠CBG=∠ABC=42°，
∵BG∥DE，
∴∠GBC=∠BCD=42°；
如图3，延长FA交BC于点G，
∵∠BAF=146°，
∴∠BAG=180°-∠BAF=180°-146°=34°，
又∵∠B=84°，
∴∠BGA=180°-∠B-∠BAG=180°-84°-34°=62°，
∵FG∥D'E'，
∴∠BCE'=∠BGA=62°，
∵∠BCE=∠BAF=146°，
∴∠ECE'=∠BCE-∠BCE'=146°-62°=84°，
∴∠DCD'=∠ECE'=84°.
故答案为：42，84°.
【分析】如图2，过点B作BG∥AF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AF∥BG∥DE，由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等可得∠ABG=∠CBG=∠ABC=42°，进而根据二直线平行，内错角相等可得∠BCD的度数；如图3，延长FA交BC于点G，先由邻补角定义算出∠BAG的度数，再根据三角形的内角和定理算出∠BGA的度数，接着由二直线平行，同位角相等，求出∠BCE'的度数，进而根据角的和差及对顶角相等可求出∠DCD'的度数.
14．【答案】（1）140；90；50
（2）解：与之间的数量关系为：证明如下：
在中，
在中，
．
．
（3）．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）在中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴；
故答案为：140；90；50；
（3）、、之间的数量关系为：，证明如下：
如图③，设交于点M，
∵，，
∴．
∴．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进而结合题意即可求出和；
（2）先根据角的运算得到，，进而根据即可求解；
（3）如图③，设交于点M，进而结合题意即可得到，从而即可求解。
15．【答案】（1）证明：不要
.
过点作
∵，∴
∴，.
∴.
（2）解：图②：
证明：.
过点作
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
∴.
图③：.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）证明：不变，.
过点作
∵，
∴
∴，.
∴.
（2）.
理由：过点作
∴
∵，
∴.
∴.
∴.
.
理由：设PB交l1于点H，
∵，
∴∠PHC=∠PBD，
∵PHC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
【分析】（1） 过点作 则 ，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据角的和差即可求解；
（2） 过点作 ，则 ，根据两直线平行，内错角相等可得，
，再根据角的和差即可求解；
设PB交l1于点H，由平行线的性质可得∠PHC=∠PBD，再利用三角形外角的性质可得PHC=∠PAC+∠APB，继而得解.
16．【答案】（1）36°或18°
（2）解：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”.
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“梦想三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝ .
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°.
故答案为：18°或36°.
【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可.
17．【答案】（1）解：∵，，，
∴，，则，
∴；
（2）解：①由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴；
②由（1）知，
当时，设与交于点，
∵，
∴，
∴，
即：，
当时，
∵，
∴，
即：，
当时，则点与点同在上方或下方，
∵，，
∴点与点不能在同一侧，相互矛盾，故此情况不存在，
综上，当或时，CD与的一边平行．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）由三角板及平角的定义可得∠C=45°，∠BAC=180°-60°=120°，利用三角形外角的性质可得∠AMD=∠C+∠BAC，据此计算即可；
（2）①由可得，从而得出∠AOD=∠COD-∠AOC=30°，继而可得
α=∠BOD=∠AOB-∠AOD=60°；
②分三种情况： 当时，当时和当时， 据此分别画出图形并解答即可.
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