2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.3 三角形的角平分线、中线和高同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·德州月考）如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·娄底期末）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．三角形的高和中线
3．（2023八上·肇庆月考）如图，中，CD是中线，，的周长为25cm，的周长是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
4．（2023八上·肇庆月考）下列是四个同学画△ABC的高，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·从江月考）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
6．（2024八上·盘龙期末）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，已知EF=8，BE=3，CG=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12.5 B．19.5 C．32 D．45.5
8．（2019·赤峰）如图，点 是反比例函数 的图象上任意一点，过点 作 轴，垂足为 ．若 的面积等于2，则 的值等于（ ）．
A．-4 B．4 C．-2 D．2
二、填空题
9．（2023八上·大兴期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的中点，若△ADE的面积是2，则△ABC的面积是 ．
10．如图所示.
（1）在△ABC中，BC边上的高线是 .
（2）在△AEC中，AE边上的高线是 .
11．（2024八上·从江月考）如图所示，△ABC中，AB=AC=2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC=1，则PE+PF= .
12．（2024七上·东阳期末）如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15．点A到直线BC的距离 ．C到直线AB的距离是 ．
13．（2023八上·义乌月考）如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F．若S△ABC＝24，BD＝4，则EF长为
三、解答题
14．（2018八上·达孜期中）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数。
15．（2024八上·浏阳期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．解：，，即．又，．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）若，，求的值；
（3）两个正方形、如图摆放，面积和为，，求图中阴影部分面积．
四、综合题
16．如图
（1）如图1，在中，于点D，AE平分，你能找出与，之间的数量关系吗？并说明理由.
（2）如图2，平分为AE上一点，于点，这时与，之间又有何数量关系？并说明理由.
17．（2021八上·赵县月考）在 ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点．
（1）如图1，若 ＝1cm2，求 BEF的面积．
（2）如图2，若 ＝1cm2，则 ＝ ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】
A：BE不是 的高 ，不合题意；
B：BE不是 的高 ，不合题意；
C：BE不是 的高 ，不合题意；
D：BE是 的高 ，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查三角形的高。三角形的高，从顶点到对边的垂线段，是三角形的高。锐角三角形的三条高在三角形的内部，直角三角形的两条高在直角边，斜边上的高在内部，钝角三角形的一条高在内部，钝角边的高在外部。
2．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的两条高在三角形的外部。
故答案为：C
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义解答。
3．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：是中线，
，
的周长为，
的周长为
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中线的定义可得，然后根据三角形的周长的定义求出，计算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、线段DB⊥BC，不垂直于AC，所以BD不是△ABC的高，故此选项不符合题意；
B、线段DB垂直于AC，所以BD是△ABC的高，故此选项符合题意；
C、线段DB⊥AB，不垂直于AC，所以BD不是△ABC的高，故此选项不符合题意；
D、线段DB⊥BC，不垂直于AC，所以BD不是△ABC的高，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义：过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得解.
5．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】BD、CE是两条高，
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理求得再根据高线的定义得到从而求解.
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、∵CF是△ABC的中线，∴AF=BF，∴，∴A正确，不符合题意；
B、∵CE是△ABC的角平分线，∴，∴B正确，不符合题意；
C、∵CF是△ABC的中线，∴AB=2BF，∵BF≠BE，∴AB≠2BE，∴C不正确，符合题意；
D、∵CD是△ABC的高线，∴CD⊥BE，∴D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形中线、角平分线和高线的定义及性质逐项分析判断即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：∵将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，
∴
∴
∴
∵
∴
∴图中阴影部分的面积为：
故答案为：B.
【分析】根据平移的性质得到进而利用梯形面积计算公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ 的面积等于2，
∴ ，
而 ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形POM的面积计算得到k的值。
9．【答案】8
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】 【解答】解：∵点D、E分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出，，进而根据已知条件代入，即可求解．
10．【答案】（1）AB
（2）CD
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：（1）在△ABC中，BC⊥AB，且AB过BC所对顶点A，
所以BC边上的高线是AB；
故答案为：AB；
（2）在△AEC中，AD⊥CD于AE的延长线上的点D，且CD过AE所对顶点C，
所以AE边上的高线是CD.
故答案为：CD.
【分析】（1）（2）三角形的高，即从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高线，据此可求解.
11．【答案】1
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】由题可得：
AB=AC=2，
PE+PF= 1，
故答案为：1.
【分析】根据PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，结合S△ABC=1， 利用，代入数据计算即可求解.
12．【答案】9；
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点到的距离为．
，
，
，
点到直线的距离9，到直线的距离是．
故答案为：9；.
【分析】根据三角形的面积公式求解即可.
13．【答案】3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=24，
∴S△ABD=S△ABC=12，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△EBD=S△ABD=6，
∴BD·EF=6，
∵BD＝4，
∴EF=3.
故答案为：3.
【分析】根据三角形中线性质得出S△ABD=S△ABC=12，S△EBD=S△ABD=6，再根据三角形面积公式得出BD·EF=6，即可得出EF的长.
14．【答案】 解：∵ 在△ABC中，∠A=70°，∠B=50° ，∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-（70°+50°）=60°，∵ CD平分∠ACB ，∴.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和，由 ∠ACB=180°-（∠A+∠B） 算出∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得出 .
15．【答案】（1）解：，
，
，
解得：；
（2）解：
当，时，
原式
；
（3）解：设大正方形的边长为，正方形的边长为，
，
，
①，
，
，
解得：，
，
，
②，
由①②解得：，
．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的适当变形，利用整体代入的方法即可求得答案；
（2）根据完全平方公式的适当变形，利用整体代入的方法即可求得答案；
（3） 设大正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可知 ，①， 根据完全平方公式适当变形，可求得 ②， 联立①②，即可求得m=5，然后可得，整体代入，即可得出阴影部分的面积。
16．【答案】（1）解：，理由如下：
平分，
.
又，
，
即；
（2）解：如图，过点作于.
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，表示出∠EAC，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠DAC，然后根据∠EAD=∠EAC-∠DAC表示出∠EAD，整理即可求解；
（2）过点A作AD⊥BC于D，则可得AD//FM，根据（1）的答案即可求得.
17．【答案】（1）解： ， ， 分别为边 ， ， 的中点，
， ， ， 的面积相等．
与 的面积相等．
．
．
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：（2） 为边 的中点，
．
， ， 分别为边 ， ， 的中点，
， ， ， 的面积相等．
故答案为： ．
【分析】（1）利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得 ， ， ， 的面积相等， 与 的面积相等，从而得出= ，据此即得结论；
（2）由（1）可得，从而得出结论.
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一、选择题
1．（2023八上·德州月考）如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】
A：BE不是 的高 ，不合题意；
B：BE不是 的高 ，不合题意；
C：BE不是 的高 ，不合题意；
D：BE是 的高 ，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查三角形的高。三角形的高，从顶点到对边的垂线段，是三角形的高。锐角三角形的三条高在三角形的内部，直角三角形的两条高在直角边，斜边上的高在内部，钝角三角形的一条高在内部，钝角边的高在外部。
2．（2024八上·娄底期末）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．三角形的高和中线
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的两条高在三角形的外部。
故答案为：C
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义解答。
3．（2023八上·肇庆月考）如图，中，CD是中线，，的周长为25cm，的周长是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：是中线，
，
的周长为，
的周长为
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中线的定义可得，然后根据三角形的周长的定义求出，计算求解即可.
4．（2023八上·肇庆月考）下列是四个同学画△ABC的高，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、线段DB⊥BC，不垂直于AC，所以BD不是△ABC的高，故此选项不符合题意；
B、线段DB垂直于AC，所以BD是△ABC的高，故此选项符合题意；
C、线段DB⊥AB，不垂直于AC，所以BD不是△ABC的高，故此选项不符合题意；
D、线段DB⊥BC，不垂直于AC，所以BD不是△ABC的高，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义：过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得解.
5．（2024八上·从江月考）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】BD、CE是两条高，
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理求得再根据高线的定义得到从而求解.
6．（2024八上·盘龙期末）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、∵CF是△ABC的中线，∴AF=BF，∴，∴A正确，不符合题意；
B、∵CE是△ABC的角平分线，∴，∴B正确，不符合题意；
C、∵CF是△ABC的中线，∴AB=2BF，∵BF≠BE，∴AB≠2BE，∴C不正确，符合题意；
D、∵CD是△ABC的高线，∴CD⊥BE，∴D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形中线、角平分线和高线的定义及性质逐项分析判断即可.
7．如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，已知EF=8，BE=3，CG=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12.5 B．19.5 C．32 D．45.5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：∵将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，
∴
∴
∴
∵
∴
∴图中阴影部分的面积为：
故答案为：B.
【分析】根据平移的性质得到进而利用梯形面积计算公式计算即可.
8．（2019·赤峰）如图，点 是反比例函数 的图象上任意一点，过点 作 轴，垂足为 ．若 的面积等于2，则 的值等于（ ）．
A．-4 B．4 C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ 的面积等于2，
∴ ，
而 ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形POM的面积计算得到k的值。
二、填空题
9．（2023八上·大兴期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的中点，若△ADE的面积是2，则△ABC的面积是 ．
【答案】8
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】 【解答】解：∵点D、E分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出，，进而根据已知条件代入，即可求解．
10．如图所示.
（1）在△ABC中，BC边上的高线是 .
（2）在△AEC中，AE边上的高线是 .
【答案】（1）AB
（2）CD
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：（1）在△ABC中，BC⊥AB，且AB过BC所对顶点A，
所以BC边上的高线是AB；
故答案为：AB；
（2）在△AEC中，AD⊥CD于AE的延长线上的点D，且CD过AE所对顶点C，
所以AE边上的高线是CD.
故答案为：CD.
【分析】（1）（2）三角形的高，即从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高线，据此可求解.
11．（2024八上·从江月考）如图所示，△ABC中，AB=AC=2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC=1，则PE+PF= .
【答案】1
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】由题可得：
AB=AC=2，
PE+PF= 1，
故答案为：1.
【分析】根据PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，结合S△ABC=1， 利用，代入数据计算即可求解.
12．（2024七上·东阳期末）如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15．点A到直线BC的距离 ．C到直线AB的距离是 ．
【答案】9；
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点到的距离为．
，
，
，
点到直线的距离9，到直线的距离是．
故答案为：9；.
【分析】根据三角形的面积公式求解即可.
13．（2023八上·义乌月考）如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F．若S△ABC＝24，BD＝4，则EF长为
【答案】3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=24，
∴S△ABD=S△ABC=12，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△EBD=S△ABD=6，
∴BD·EF=6，
∵BD＝4，
∴EF=3.
故答案为：3.
【分析】根据三角形中线性质得出S△ABD=S△ABC=12，S△EBD=S△ABD=6，再根据三角形面积公式得出BD·EF=6，即可得出EF的长.
三、解答题
14．（2018八上·达孜期中）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数。
【答案】 解：∵ 在△ABC中，∠A=70°，∠B=50° ，∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-（70°+50°）=60°，∵ CD平分∠ACB ，∴.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和，由 ∠ACB=180°-（∠A+∠B） 算出∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得出 .
15．（2024八上·浏阳期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．解：，，即．又，．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）若，，求的值；
（3）两个正方形、如图摆放，面积和为，，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）解：，
，
，
解得：；
（2）解：
当，时，
原式
；
（3）解：设大正方形的边长为，正方形的边长为，
，
，
①，
，
，
解得：，
，
，
②，
由①②解得：，
．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的适当变形，利用整体代入的方法即可求得答案；
（2）根据完全平方公式的适当变形，利用整体代入的方法即可求得答案；
（3） 设大正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可知 ，①， 根据完全平方公式适当变形，可求得 ②， 联立①②，即可求得m=5，然后可得，整体代入，即可得出阴影部分的面积。
四、综合题
16．如图
（1）如图1，在中，于点D，AE平分，你能找出与，之间的数量关系吗？并说明理由.
（2）如图2，平分为AE上一点，于点，这时与，之间又有何数量关系？并说明理由.
【答案】（1）解：，理由如下：
平分，
.
又，
，
即；
（2）解：如图，过点作于.
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，表示出∠EAC，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠DAC，然后根据∠EAD=∠EAC-∠DAC表示出∠EAD，整理即可求解；
（2）过点A作AD⊥BC于D，则可得AD//FM，根据（1）的答案即可求得.
17．（2021八上·赵县月考）在 ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点．
（1）如图1，若 ＝1cm2，求 BEF的面积．
（2）如图2，若 ＝1cm2，则 ＝ ．
【答案】（1）解： ， ， 分别为边 ， ， 的中点，
， ， ， 的面积相等．
与 的面积相等．
．
．
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：（2） 为边 的中点，
．
， ， 分别为边 ， ， 的中点，
， ， ， 的面积相等．
故答案为： ．
【分析】（1）利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得 ， ， ， 的面积相等， 与 的面积相等，从而得出= ，据此即得结论；
（2）由（1）可得，从而得出结论.
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