2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.3 三角形的角平分线、中线和高同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022八上·新昌月考）下列各图中，正确画出 边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
3．（2023八上·鄯善月考）如图，在中，画出边上的高（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022七上·高青期中）如图，在中，已知点D、E，F分别为、、的中点，且，则阴影部分面积S=（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2017七下·抚宁期末）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020八上·安丘期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部
④三角形的三个外角一定都是锐角
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
7．（2023八上·嘉祥月考）如图，在中，知点，，分别为，，的中点，，则阴影部分的面积（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
8．（2023八上·安庆月考）如图，BD是的中线，点E，F分别为BD，CE的中点．若的面积为4．则的面积是（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
二、填空题
9．（2024八上·奉化期末）在中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若的面积为26，则 .
10．（2023八上·肇庆月考）如图，D是BC的中点，E是AD的中点，F是CE的中点，三角形ABC的面积为16，则三角形DEF的面积为 ；
11．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=
12．中国古代数学家刘微在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法.如图所示，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=2，则△ABC的面积是 .
13．（2023八上·安庆月考）如图，于点E，于点D，AD交EC于点B．若，，，则 ．
三、解答题
14．（2024八上·东莞期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．
（1）求AD的长；
（2）求△ACE和△ABE周长的差．
15．（2023八上·嘉祥月考）如图，在中，点在边上．
（1）若，求的度数；
（2）若为的中线，的周长比的周长大，求的长．
四、综合题
16．（2021七下·姑苏月考）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高.
（1）若∠ACB＝100°，求∠CAE的度数；
（2）若S△ABC＝12，CD＝4，求高AE的长.
17．（2022七下·仓山期末）我们学过三角形的相关知识，在“信息技术应用”——画图找规律的实践学习中，我们发现了几个基本事实：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点.请根据以上的基本事实，解决下面的问题.
如图，钝角三角形中，，分别为，边上的高.
（1）请用无刻度直尺画出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求高与的比是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意可得，
A选项是三角形的高，符合题意；
B选项不是三角形的高，不符合题意；
C选项不是三角形的高，不符合题意；
D选项不是三角形的高，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，垂线顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高，据此判断.
2．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：线段CD是△ABC的AB边上的高线 ，故A不符合题意；B符合题意；
线段AD不是△ABC的高线，故C，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用三角形高的定义：从三角形的一个顶点作对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高，据此可得答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC边上的高为：过点B作BD⊥AC于点D
故答案为：D
【分析】根据三角形边上的高的定义即可求出答案。
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝6，
∵点E为AD的中点，
∴S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝3，
∴S△EBC＝S△EBD＋S△EDC＝6，
∵点F为EC的中点，
∴S△BEF＝S△BEC＝3，
即阴影部分的面积为3cm2．
故答案为：C．
【分析】根据三角形中线的性质平分三角形的面积可得S△BEF＝S△BEC＝3，从而得解。
5．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故答案为：D．
【分析】从三角形的一个顶点，向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，叫做三角形的高线；
根据三角形高线的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据平面图形的基本概念依次分析各小题即可作出判断。
①“同位角相等”必须有“两直线平行”的前提，④直角的外角是直角，故为假命题；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部，均为真命题，
故选B.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平面图形的基本概念，即可完成。
7．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：在△ABC中，已知点D是BC的中点，
∴，
∵E是AD中点，
∴，，
∴，
∵F是CE的中点，
∴，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中线的性质把三角形分成两个面积相等的三角形，即可计算出阴影部分的面积.
8．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：是的中点，的面积为，
，
是的中点，
，
．
故答案为：A
【分析】先根据三角形中线的性质得到，进而得到，再结合题意运用 即可求解。
9．【答案】3
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ E为边AC的中点，
∴ S△ABE=S△ABC=13，
∵ BD：CD=5：8，
∴ S△ABD=S△ABC=10，
∴ S△ABE-S△ABD=S△AEF-S△BDF=13-10=3.
故答案为：3.
【分析】根据中线的性质得S△ABE=S△ABC，根据BD：CD=5：8得S△ABD=S△ABC，即可求得.
10．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据中线的性质：“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”，得到，计算求解即可．
11．【答案】45°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：延长CH交AB于F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，
∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD=45°，
故答案为∠CHD=45°
【分析】利用三角形的三条高相交于一点可得CF⊥AB，利用三内角之和为180°，可得∠CHD的度数。
12．【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】由题意得；BG=CH=AF=2，DG=DF，EF=EH，
∴DG+EH=DE=3，
∴BC=GH=3+3=6，
∴△ABC的边BC上的高为4，
∴S△ABC=×6×4=12.
故答案为：12.
【分析】由图形的拼接可求出BC以及BC边上的高，然后根据三角形的面积等于底×高可求解.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据三角形面积公式即可得到△ABC的面积，进而结合题意即可得到AE。
14．【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴，
∴，即AD的长度为4.8cm
（2）解：∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长
＝（AC+AE+CE）﹣（AB+BE+AE）
＝AC﹣AB
＝8﹣6
＝2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】（1）运用等面积法可求出高AD的长度．
（2）将△ACE和△ABE的周长用对应的线段分别表示出来，作差即可．
15．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵为的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】(1)由三角形外角的性质得：∠3=∠4=∠1+∠2=70°，接着再根据三角形内角和定理即可求解；
(2)由三角形中线的定义得BD=CD，根据的周长比的周长大，再结合三角形周长公式推出AB-AC=3，再由AB=9，从而可得答案.
16．【答案】（1）∵AE是BC边上的高，
∴∠E＝90°，
又∵∠ACB＝100°，∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝80°，
∵∠CAE+∠ACE+∠E＝180°
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣80°＝10°；
（2）∵AD是BC上的中线，DC＝4，
∴D为BC的中点，
∴BC＝2DC＝8，
∵AE是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABC＝ BC AE，
即 ×8×AE＝12，
∴AE＝3.
【知识点】角的运算；三角形的面积；三角形内角和定理；线段的中点
【解析】【分析】（1）首先根据邻补角的性质可得∠ACE的度数，然后根据三角形内角和定理就可求出∠CAE的度数；
（2）由已知条件可得BC=8，然后根据三角形面积公式就可求出AE的值.
17．【答案】（1）解：如图，线段即为所求作的高.
（2）解：∵，分别是的边，上的高，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图-垂线
【解析】【分析】（1）作AB边上的高就是过点C作AB的垂线段，交BA的延长线于点F，画出图形即可.
（2）利用同一个三角形的面积相等，可得到AB·CF=AC·BE，再将AB，AC代入，可得到CF与BE的比值.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.3 三角形的角平分线、中线和高同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022八上·新昌月考）下列各图中，正确画出 边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意可得，
A选项是三角形的高，符合题意；
B选项不是三角形的高，不符合题意；
C选项不是三角形的高，不符合题意；
D选项不是三角形的高，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，垂线顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高，据此判断.
2．（2022·杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：线段CD是△ABC的AB边上的高线 ，故A不符合题意；B符合题意；
线段AD不是△ABC的高线，故C，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用三角形高的定义：从三角形的一个顶点作对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高，据此可得答案.
3．（2023八上·鄯善月考）如图，在中，画出边上的高（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC边上的高为：过点B作BD⊥AC于点D
故答案为：D
【分析】根据三角形边上的高的定义即可求出答案。
4．（2022七上·高青期中）如图，在中，已知点D、E，F分别为、、的中点，且，则阴影部分面积S=（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝6，
∵点E为AD的中点，
∴S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝3，
∴S△EBC＝S△EBD＋S△EDC＝6，
∵点F为EC的中点，
∴S△BEF＝S△BEC＝3，
即阴影部分的面积为3cm2．
故答案为：C．
【分析】根据三角形中线的性质平分三角形的面积可得S△BEF＝S△BEC＝3，从而得解。
5．（2017七下·抚宁期末）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故答案为：D．
【分析】从三角形的一个顶点，向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，叫做三角形的高线；
根据三角形高线的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答.
6．（2020八上·安丘期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部
④三角形的三个外角一定都是锐角
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据平面图形的基本概念依次分析各小题即可作出判断。
①“同位角相等”必须有“两直线平行”的前提，④直角的外角是直角，故为假命题；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部，均为真命题，
故选B.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平面图形的基本概念，即可完成。
7．（2023八上·嘉祥月考）如图，在中，知点，，分别为，，的中点，，则阴影部分的面积（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：在△ABC中，已知点D是BC的中点，
∴，
∵E是AD中点，
∴，，
∴，
∵F是CE的中点，
∴，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中线的性质把三角形分成两个面积相等的三角形，即可计算出阴影部分的面积.
8．（2023八上·安庆月考）如图，BD是的中线，点E，F分别为BD，CE的中点．若的面积为4．则的面积是（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：是的中点，的面积为，
，
是的中点，
，
．
故答案为：A
【分析】先根据三角形中线的性质得到，进而得到，再结合题意运用 即可求解。
二、填空题
9．（2024八上·奉化期末）在中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若的面积为26，则 .
【答案】3
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ E为边AC的中点，
∴ S△ABE=S△ABC=13，
∵ BD：CD=5：8，
∴ S△ABD=S△ABC=10，
∴ S△ABE-S△ABD=S△AEF-S△BDF=13-10=3.
故答案为：3.
【分析】根据中线的性质得S△ABE=S△ABC，根据BD：CD=5：8得S△ABD=S△ABC，即可求得.
10．（2023八上·肇庆月考）如图，D是BC的中点，E是AD的中点，F是CE的中点，三角形ABC的面积为16，则三角形DEF的面积为 ；
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据中线的性质：“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”，得到，计算求解即可．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=
【答案】45°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：延长CH交AB于F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，
∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD=45°，
故答案为∠CHD=45°
【分析】利用三角形的三条高相交于一点可得CF⊥AB，利用三内角之和为180°，可得∠CHD的度数。
12．中国古代数学家刘微在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法.如图所示，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=2，则△ABC的面积是 .
【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】由题意得；BG=CH=AF=2，DG=DF，EF=EH，
∴DG+EH=DE=3，
∴BC=GH=3+3=6，
∴△ABC的边BC上的高为4，
∴S△ABC=×6×4=12.
故答案为：12.
【分析】由图形的拼接可求出BC以及BC边上的高，然后根据三角形的面积等于底×高可求解.
13．（2023八上·安庆月考）如图，于点E，于点D，AD交EC于点B．若，，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据三角形面积公式即可得到△ABC的面积，进而结合题意即可得到AE。
三、解答题
14．（2024八上·东莞期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．
（1）求AD的长；
（2）求△ACE和△ABE周长的差．
【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴，
∴，即AD的长度为4.8cm
（2）解：∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长
＝（AC+AE+CE）﹣（AB+BE+AE）
＝AC﹣AB
＝8﹣6
＝2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】（1）运用等面积法可求出高AD的长度．
（2）将△ACE和△ABE的周长用对应的线段分别表示出来，作差即可．
15．（2023八上·嘉祥月考）如图，在中，点在边上．
（1）若，求的度数；
（2）若为的中线，的周长比的周长大，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵为的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】(1)由三角形外角的性质得：∠3=∠4=∠1+∠2=70°，接着再根据三角形内角和定理即可求解；
(2)由三角形中线的定义得BD=CD，根据的周长比的周长大，再结合三角形周长公式推出AB-AC=3，再由AB=9，从而可得答案.
四、综合题
16．（2021七下·姑苏月考）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高.
（1）若∠ACB＝100°，求∠CAE的度数；
（2）若S△ABC＝12，CD＝4，求高AE的长.
【答案】（1）∵AE是BC边上的高，
∴∠E＝90°，
又∵∠ACB＝100°，∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝80°，
∵∠CAE+∠ACE+∠E＝180°
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣80°＝10°；
（2）∵AD是BC上的中线，DC＝4，
∴D为BC的中点，
∴BC＝2DC＝8，
∵AE是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABC＝ BC AE，
即 ×8×AE＝12，
∴AE＝3.
【知识点】角的运算；三角形的面积；三角形内角和定理；线段的中点
【解析】【分析】（1）首先根据邻补角的性质可得∠ACE的度数，然后根据三角形内角和定理就可求出∠CAE的度数；
（2）由已知条件可得BC=8，然后根据三角形面积公式就可求出AE的值.
17．（2022七下·仓山期末）我们学过三角形的相关知识，在“信息技术应用”——画图找规律的实践学习中，我们发现了几个基本事实：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点.请根据以上的基本事实，解决下面的问题.
如图，钝角三角形中，，分别为，边上的高.
（1）请用无刻度直尺画出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求高与的比是多少？
【答案】（1）解：如图，线段即为所求作的高.
（2）解：∵，分别是的边，上的高，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图-垂线
【解析】【分析】（1）作AB边上的高就是过点C作AB的垂线段，交BA的延长线于点F，画出图形即可.
（2）利用同一个三角形的面积相等，可得到AB·CF=AC·BE，再将AB，AC代入，可得到CF与BE的比值.
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