2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.3 三角形的角平分线、中线和高同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·金华期末）有两条高在三角形外部的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：有两条高在三角形外部的三角形是钝角三角形，
故答案为：C.
【分析】根据高线的定义可知，锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形一条高在三角形的内部，两条就是直角三角形的两条直角边；钝角三角形的一条高在三角形的内部，两条高在三角形的外部。据此即可求解.
2．（2019八上·蓝山期中）下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵过三角形ABC的顶点A作AD⊥BC于点D，点A与点D之间的线段叫做三角形的高线，
∴D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三角形某一边上高的概念，逐一判断选项，即可得到答案．
3．（2023九下·前郭尔罗斯月考）如图，将一张四边形纸片沿对角线翻折，点D恰好落在边的中点处.设，分别为和的面积，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据题意可得：△ADC≌△AD'C，
∴S△ADC=S△AD'C，
∵点D'为AB的中点，
∴AD'=D'B，
∵等底同高的两个三角形的面积相等，
∴S△AD'C=S△BCD'，
∴S△AD'C=S△ABC，
∴S△ADC=S△ABC，
∴S1=S2，
故答案为：B.
【分析】利用折叠和全等的性质可得S△ADC=S△AD'C，再结合等底同高的两个三角形的面积相等，可得S△AD'C=S△BCD'，再利用等量代换可得S1=S2.
4．（2023八上·南昌月考）如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点；下列结论中正确的结论有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
，
，
∵，
∴，
由①得，，
∴，故②正确；
∵BE平分，
∴，，
∴，，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有①②③④；
故答案为：D．
【分析】①根据，和可证结论正确；
②根据角平分线的性质和三角形外角的性质、结合①的结论可证结论正确；
③根据三角形角平分线的性质和三角形外角的性质可证结论正确；
④根据三角形内角和180°、角平分线性质和三角形外角的性质可证结论正确；
5．（2023八上·沧州月考）如图，在中，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的角平分线
C． D．是的高
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：
A、是的中线，A不符合题意；
B、是的角平分线，B不符合题意；
C、是的角平分线，
，
是中线，
，
不正确，C符合题意．
D、
是的高，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据中线和角平分线即可判定A和B；根据角平分线的性质得到，进而根据中线的性质，从而即可判断C；根据高的定义结合题意即可判断D。
6．（2023八上·丰南期中） 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意得依次是的角平分线、高线、中线，
故答案为：C
【分析】根据角平分线、高线、中线的定义结合图片即可求解。
7．（2024七上·罗湖期末）如图，在长方形中，，，E为的中点，动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E.若点P运动的时间为x秒，则当的面积为时，x的值为（ ）
A． B．5 C．或5 D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①当P在上时，即时
∵的面积等于，
∴，
解得．
②当P在上时，即时
∵的面积等于，
∴，
∴，
解得．
③当P在上时，即时
∴，
解得，舍去．
综上所述，当或5时，的面积等于．
故答案为：C.
【分析】分类讨论：即点P在上，上及上，分别画出图形，利用三角形的面积公式，分别求出x的值，即可得解．
8．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD=2：1，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，
∴
∵
∴
∴阴影部分面积为：2+2=4，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，进而可知：△ABC为阴影部分面积的三倍，即可求解.
二、填空题
9．（2024八上·阿图什期末）如图，在中，边上的高是
【答案】线段
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： 在中，
∵BC边对应的顶点是A，
∴BC边上的高是AB．
故答案为：线段AB．
【分析】根据三角形高线的定义“从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高”．据此判断即可．
10．（2023八上·娄底月考）如图，在中，是高，是角平分线，，，则 .
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=90°-∠C=20°，
∵∠EAD=5°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=25°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAC=2∠EAC=50°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据高的定义得∠ADC=90°，结合已知得∠EAC=25°，再根据角平分线的定义得∠BAC=50°，最后根据三角形的内角和即可求解.
11．（2023八上·南川期中）如图，分别是边上的点，，设的面积为，的面积为，若，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：，则是的中线
，
．
，，
，
又，
即．
故答案为：2．
【分析】根据，，且，就可以求出的面积和的面积，然后根据即可求解．
12．（2023八上·长沙月考）如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为 .
【答案】1
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：根据题意可知D是BC的中点，所以(cm2)，又因为E是AD的中点，所以S阴影=(cm2)
故答案为：1.
【分析】根据题意可知三角形的中线将三角形分成面积一样的两部分，为2cm，代入公式S阴影=即可得出答案。
13．（2019七下·南昌期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且 ，则阴影部分的面积等于 ．
【答案】2cm2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝ EC，高相等；
∴S△BEF＝ S△BEC，
D、E、分别是BC、AD的中点，同理得，
S△EBC＝ S△ABC，
∴S△BEF＝ S△ABC，且S△ABC＝8cm2，
∴S△BEF＝2cm2，
即阴影部分的面积为2cm2.
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ACD，即可推出S△BEC=S△ABC，再根据S△BEF=S△BEC即可计算出阴影部分的面积.
三、解答题
14．（2023九上·南昌开学考）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则三角形的面积.我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积.依据上述公式解决下列问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积.
【答案】（1）
（2）解：.
答：这个三角形的面积是3.
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1），
.
答：这个三角形的面积等于.
故答案为：.
【分析】 (1) 已知三角形三边求面积，我们应该熟记并使用海伦公式。(2)题中三边有两边的值带根号，故选用秦九韶公式代入计算较简便。
15．（2024八上·吉林期末）用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形，并解答下列问题.
（1）由图②和图①可以得到关于面积的等式为 .
（2）小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为（2m+3n）（3m+2n）的大长方形图片，求需要M，N，D三种纸片各多少张.
（3）如图③，已知点P为线段AF上的动点，分别以PF，AP为边在AF的两侧作正方形PMEF和正方形APCD.若AF=5，且两个正方形的面积之和为S1＋S2=13，利用（1）中得到的结论求图③中阴影部分面积S△PCF.
【答案】（1）(m＋n)2=m2＋2mn＋n2
（2）解：∵(2m＋3n)(3m＋2n)=6m2＋4mn＋9mn＋6n2=6m2＋13mn＋6n2，
∴需要M，N两种纸片各6张，D种纸片13张.
（3）解：设PF=m，AP=n.
∵AF=5，AF=AP＋PF，∴m＋n=5.
∵S1＋S2=13，∴m2＋n2=13.
∵(m＋n)2=m2＋2mn＋n2，
∴m2＋n2=(m＋n)2－2mn，13=52－2mn，mn=6.
∴S△PCF即S△PCF=3.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）观察图形可得：由图②和图①可以得到关于面积的等式为(m＋n)2=m2＋2mn＋n2，
故答案为：(m＋n)2=m2＋2mn＋n2 .
【分析】（1）观察图形，根据面积公式计算图形面积即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算法则计算求解即可；
（3）根据题意先求出m＋n=5. 再求出mn=6，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
四、综合题
16．（2023七下·承德期末）已知为的中线，E为线段上一点．
（1）如图1，若，周长为10，求周长；
（2）若面积为20，，请在图2中作的边上的高，并求出点E到直线的距离；
（3）如图3，若，，射线平分，点P射线上一点，且直线与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：∵为的中线，
∴．
∵，
∴，即的周长的周长
∵的周长为10，
∴的周长为13
（2）解：如图，过点E作于F，则即为所求的的边上的高．
∵的面积为20，
∴
∵，
∴，即点E到直线的距离为5
（3）解：或或
【知识点】垂线；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）∵ 射线平分 且，
∴∠ABE=∠DBE=20°，
当DP⊥BE时，∠BDP=90°-20°=70°，
当DP⊥BD时，∠BDP=90°，
当DP⊥ED时，∠BDP=∠ADB-∠PDE=110°-90°=20°，
综上所述：∠BDP的度数为： 或或 ；
【分析】（1）由为的中线可得，由，可得
，即的周长的周长，据此即可求解；
（2）过点E作于F，根据的面积= ，即可求解；
（3）由角平分的定义可得∠ABE=∠DBE=20°，然后分三种情况：①当DP⊥BE时，②当DP⊥BD时，③当DP⊥ED时，据此分别求解即可.
17．（2023七下·松江期中）如图，已知的面积是，请完成下列问题：
（1）如图，中，若是边上的中线，则的面积 的面积填“”、“”或“”；
（2）如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：
连接，由得，
同理，可得．
设，，则，．
由题意得，．
可列方程组，解得 ，
通过解这个方程组可得四边形的面积为 ；
（3）如图，，，请直接写出四边形的面积 不用书写过程
【答案】（1）=
（2）；
（3）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）如图所示：过点A作AH⊥BC于点H，
∵是边上的中线，
∴BD=CD，
∴S△ABD=，S△ACD=，
∴S△ABD=S△ACD，
即△ABD=△ACD的面积，
故答案为：=；
（2）由方程组 ， 可得：，
∴S△AOD=S△AOE=10，
∴S四边形ADOE=S△AOD+S△AOE=20，
故答案为：；20.
【分析】（1）根据中线先求出BD=CD，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用加减消元法解方程组求出，再求解即可；
（3）利用三角形的面积公式，结合题意求解即可。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.3 三角形的角平分线、中线和高同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·金华期末）有两条高在三角形外部的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
2．（2019八上·蓝山期中）下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九下·前郭尔罗斯月考）如图，将一张四边形纸片沿对角线翻折，点D恰好落在边的中点处.设，分别为和的面积，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·南昌月考）如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点；下列结论中正确的结论有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
5．（2023八上·沧州月考）如图，在中，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的角平分线
C． D．是的高
6．（2023八上·丰南期中） 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
7．（2024七上·罗湖期末）如图，在长方形中，，，E为的中点，动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E.若点P运动的时间为x秒，则当的面积为时，x的值为（ ）
A． B．5 C．或5 D．
8．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD=2：1，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．（2024八上·阿图什期末）如图，在中，边上的高是
10．（2023八上·娄底月考）如图，在中，是高，是角平分线，，，则 .
11．（2023八上·南川期中）如图，分别是边上的点，，设的面积为，的面积为，若，则的值为 ．
12．（2023八上·长沙月考）如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为 .
13．（2019七下·南昌期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且 ，则阴影部分的面积等于 ．
三、解答题
14．（2023九上·南昌开学考）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则三角形的面积.我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积.依据上述公式解决下列问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积.
15．（2024八上·吉林期末）用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形，并解答下列问题.
（1）由图②和图①可以得到关于面积的等式为 .
（2）小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为（2m+3n）（3m+2n）的大长方形图片，求需要M，N，D三种纸片各多少张.
（3）如图③，已知点P为线段AF上的动点，分别以PF，AP为边在AF的两侧作正方形PMEF和正方形APCD.若AF=5，且两个正方形的面积之和为S1＋S2=13，利用（1）中得到的结论求图③中阴影部分面积S△PCF.
四、综合题
16．（2023七下·承德期末）已知为的中线，E为线段上一点．
（1）如图1，若，周长为10，求周长；
（2）若面积为20，，请在图2中作的边上的高，并求出点E到直线的距离；
（3）如图3，若，，射线平分，点P射线上一点，且直线与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数．
17．（2023七下·松江期中）如图，已知的面积是，请完成下列问题：
（1）如图，中，若是边上的中线，则的面积 的面积填“”、“”或“”；
（2）如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：
连接，由得，
同理，可得．
设，，则，．
由题意得，．
可列方程组，解得 ，
通过解这个方程组可得四边形的面积为 ；
（3）如图，，，请直接写出四边形的面积 不用书写过程
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：有两条高在三角形外部的三角形是钝角三角形，
故答案为：C.
【分析】根据高线的定义可知，锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形一条高在三角形的内部，两条就是直角三角形的两条直角边；钝角三角形的一条高在三角形的内部，两条高在三角形的外部。据此即可求解.
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵过三角形ABC的顶点A作AD⊥BC于点D，点A与点D之间的线段叫做三角形的高线，
∴D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三角形某一边上高的概念，逐一判断选项，即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据题意可得：△ADC≌△AD'C，
∴S△ADC=S△AD'C，
∵点D'为AB的中点，
∴AD'=D'B，
∵等底同高的两个三角形的面积相等，
∴S△AD'C=S△BCD'，
∴S△AD'C=S△ABC，
∴S△ADC=S△ABC，
∴S1=S2，
故答案为：B.
【分析】利用折叠和全等的性质可得S△ADC=S△AD'C，再结合等底同高的两个三角形的面积相等，可得S△AD'C=S△BCD'，再利用等量代换可得S1=S2.
4．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
，
，
∵，
∴，
由①得，，
∴，故②正确；
∵BE平分，
∴，，
∴，，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有①②③④；
故答案为：D．
【分析】①根据，和可证结论正确；
②根据角平分线的性质和三角形外角的性质、结合①的结论可证结论正确；
③根据三角形角平分线的性质和三角形外角的性质可证结论正确；
④根据三角形内角和180°、角平分线性质和三角形外角的性质可证结论正确；
5．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：
A、是的中线，A不符合题意；
B、是的角平分线，B不符合题意；
C、是的角平分线，
，
是中线，
，
不正确，C符合题意．
D、
是的高，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据中线和角平分线即可判定A和B；根据角平分线的性质得到，进而根据中线的性质，从而即可判断C；根据高的定义结合题意即可判断D。
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意得依次是的角平分线、高线、中线，
故答案为：C
【分析】根据角平分线、高线、中线的定义结合图片即可求解。
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①当P在上时，即时
∵的面积等于，
∴，
解得．
②当P在上时，即时
∵的面积等于，
∴，
∴，
解得．
③当P在上时，即时
∴，
解得，舍去．
综上所述，当或5时，的面积等于．
故答案为：C.
【分析】分类讨论：即点P在上，上及上，分别画出图形，利用三角形的面积公式，分别求出x的值，即可得解．
8．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，
∴
∵
∴
∴阴影部分面积为：2+2=4，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，进而可知：△ABC为阴影部分面积的三倍，即可求解.
9．【答案】线段
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： 在中，
∵BC边对应的顶点是A，
∴BC边上的高是AB．
故答案为：线段AB．
【分析】根据三角形高线的定义“从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高”．据此判断即可．
10．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=90°-∠C=20°，
∵∠EAD=5°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=25°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAC=2∠EAC=50°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据高的定义得∠ADC=90°，结合已知得∠EAC=25°，再根据角平分线的定义得∠BAC=50°，最后根据三角形的内角和即可求解.
11．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：，则是的中线
，
．
，，
，
又，
即．
故答案为：2．
【分析】根据，，且，就可以求出的面积和的面积，然后根据即可求解．
12．【答案】1
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：根据题意可知D是BC的中点，所以(cm2)，又因为E是AD的中点，所以S阴影=(cm2)
故答案为：1.
【分析】根据题意可知三角形的中线将三角形分成面积一样的两部分，为2cm，代入公式S阴影=即可得出答案。
13．【答案】2cm2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝ EC，高相等；
∴S△BEF＝ S△BEC，
D、E、分别是BC、AD的中点，同理得，
S△EBC＝ S△ABC，
∴S△BEF＝ S△ABC，且S△ABC＝8cm2，
∴S△BEF＝2cm2，
即阴影部分的面积为2cm2.
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ACD，即可推出S△BEC=S△ABC，再根据S△BEF=S△BEC即可计算出阴影部分的面积.
14．【答案】（1）
（2）解：.
答：这个三角形的面积是3.
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1），
.
答：这个三角形的面积等于.
故答案为：.
【分析】 (1) 已知三角形三边求面积，我们应该熟记并使用海伦公式。(2)题中三边有两边的值带根号，故选用秦九韶公式代入计算较简便。
15．【答案】（1）(m＋n)2=m2＋2mn＋n2
（2）解：∵(2m＋3n)(3m＋2n)=6m2＋4mn＋9mn＋6n2=6m2＋13mn＋6n2，
∴需要M，N两种纸片各6张，D种纸片13张.
（3）解：设PF=m，AP=n.
∵AF=5，AF=AP＋PF，∴m＋n=5.
∵S1＋S2=13，∴m2＋n2=13.
∵(m＋n)2=m2＋2mn＋n2，
∴m2＋n2=(m＋n)2－2mn，13=52－2mn，mn=6.
∴S△PCF即S△PCF=3.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）观察图形可得：由图②和图①可以得到关于面积的等式为(m＋n)2=m2＋2mn＋n2，
故答案为：(m＋n)2=m2＋2mn＋n2 .
【分析】（1）观察图形，根据面积公式计算图形面积即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算法则计算求解即可；
（3）根据题意先求出m＋n=5. 再求出mn=6，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
16．【答案】（1）解：∵为的中线，
∴．
∵，
∴，即的周长的周长
∵的周长为10，
∴的周长为13
（2）解：如图，过点E作于F，则即为所求的的边上的高．
∵的面积为20，
∴
∵，
∴，即点E到直线的距离为5
（3）解：或或
【知识点】垂线；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）∵ 射线平分 且，
∴∠ABE=∠DBE=20°，
当DP⊥BE时，∠BDP=90°-20°=70°，
当DP⊥BD时，∠BDP=90°，
当DP⊥ED时，∠BDP=∠ADB-∠PDE=110°-90°=20°，
综上所述：∠BDP的度数为： 或或 ；
【分析】（1）由为的中线可得，由，可得
，即的周长的周长，据此即可求解；
（2）过点E作于F，根据的面积= ，即可求解；
（3）由角平分的定义可得∠ABE=∠DBE=20°，然后分三种情况：①当DP⊥BE时，②当DP⊥BD时，③当DP⊥ED时，据此分别求解即可.
17．【答案】（1）=
（2）；
（3）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）如图所示：过点A作AH⊥BC于点H，
∵是边上的中线，
∴BD=CD，
∴S△ABD=，S△ACD=，
∴S△ABD=S△ACD，
即△ABD=△ACD的面积，
故答案为：=；
（2）由方程组 ， 可得：，
∴S△AOD=S△AOE=10，
∴S四边形ADOE=S△AOD+S△AOE=20，
故答案为：；20.
【分析】（1）根据中线先求出BD=CD，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用加减消元法解方程组求出，再求解即可；
（3）利用三角形的面积公式，结合题意求解即可。
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