2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 10.2 不等式的基本性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·上城期末）已知a＞b，下列不等式成立的是（ ）
A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣2＜b﹣2 C．a+2＜b+2 D．3a＜3b
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴两边同乘(-2)，不等号方向改变，故-2a<-2b，A选项正确；
B、∵a＞b，∴两边同减2，不等号方向不改变，故a-2>b-2，B选项错误；
C、∵a＞b，∴两边同加2，不等号方向不改变，故a+2>b+2，C选项错误；
D、∵a＞b，∴两边同乘3，不等号方向不改变，故3a>3b，C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
2．（2024八上·炎陵期末）若，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，故本选项正确，不符合题意；
B、若，则，故本选项错误，符合题意；
C、若，则，故本选项正确，不符合题意；
D、若，则，故本选项正确，不符合题意；
故答案为：B
【分析】不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ）
A．> B．< C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，
∴-4a＜-4b，
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质，即可得出答案.
4．（2023·期中） 若a>b，则下列各式中一定成立的是
A．a-2-2b D．a+2>b+2
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边加上-2，则不等号不变号，故A选项错误；
B、如果c=0时，则ac=bc，故B选项错误；
C、不等式两边同时乘以-2，则不等号需要变号，故C选项错误；
D、不等式两边同时加上2，则不等号不需要变号，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一 一判断得出答案.
5．（2024八上·浙江期末）若，且，当时，关于x的代数式恰好能取到两个非负整数值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵且
∴
∵当时，关于x的代数式恰好能取到两个非负整数值，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质得到结合题意得到即可求出x的取值范围，进而得到a的取值范围.
6．（2024八上·江口期末）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2
C．由ab＞ac，得b＞c D．由，得b＞c
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.由a＞b，当c＞0时，可得ac＞bc，变形错误，不符合题意；
B.由a＞b，可得a﹣2＞b﹣2，变形错误，不符合题意；
C.由ab＞ac，当a＞0时，可得b＞c，变形错误，不符合题意；
D.由，可得b＞c，变形正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质对每个选项逐一判断求解即可。
7．（2023八上·龙马潭开学考）已知a＜b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ac2＜bc2 B．c﹣a＜c﹣b C．a﹣c＜b﹣c D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A项，当c=0，ac2=bc2=0.故A项错误；
B项，不等式的两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，因为a-b，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，所以c-a>c-b.故B项错误；
C项，不等式的两边都减去同一个数，不等号的方向不变，a-cD项，不等式的两边除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边除以同一个负数，不等号的方向改变，当c<0，，故D项错误
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个实数，不等号方向不变，同乘或同除大于0的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案。
8．（2023八上·奉化期中）设，则下面不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若假设a＝﹣2，b＝﹣1时，符合a＜b，但是此时a2＞b2，故本选项不正确；
B．∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴2﹣a＞2﹣b，故本选项不正确；
C．∵a＜b，∴，∴11，故本选项正确；
D．∵a＜b，∴3a＜3b，∴3a﹣3＜3b﹣3，故本选项不正确；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可解答．
二、填空题
9．若不等式x>y和(a-3)x<(a-3)y成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ∵不等式x>y和(a-3)x<(a-3)y成立 ，∴a-3＜0，解得a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变.
10．实数a，b在数轴上的位置如图，用不等号填空．
（1）b-a 0．
（2）a+2b 0．
（3）ab 0．
（4）a2 b2．
【答案】（1）＞
（2）＞
（3）＜
（4）＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜0＜b，，∴（1）b-a＞0，（2）a+2b＞0，（3）ab＜0，（4）a2＜b2.
故答案为：＞；＞；＜；＜.
【分析】先判断a、b的大小，然后再根据相应的运算法则进行运算即可.
11．（2024七上·朝阳期末）举例说明“若是有理数，则”是错误的，请写出一个的值： ．
【答案】答案不唯一，如
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得当b为负数的时候，是错误的，
故答案为：答案不唯一，如
【分析】根据不等式的性质结合题意即可得到b的取值，进而即可求解。
12．按下列条件写出仍能成立的不等式，并写出依据．
（1）x-17<5，两边都加17，得 ，依据：
（2）m≤3，两边都乘（），得 ，依据：
（3）10x≥9x+2，两边都减去9x ，得 ，依据：
（4） 2.1y<-0.7，两边都除以2.1，得 ， 依据：
【答案】（1）x<22；不等式的基本性质2
（2）m≥-2；不等式的基本性质3
（3）x≥2；不等式的基本性质2
（4）y<；不等式的基本性质3
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： （1）x-17<5，两边都加17，得x-17+17<5+17，
即得x<22，依据： 不等式的基本性质2；
故答案为：x<22，不等式的基本性质2；
（2）m≤3，两边都乘（），得m×≥3×，即得 m≥-2，
依据： 不等式的基本性质3 .
（3） 10x≥9x+2，两边都减去9x ，得10x-9x ≥9x+2-9x ，即得 x≥2，
依据：不等式的基本性质2.
故答案为：x≥2，不等式的基本性质2.
（4）2.1y<-0.7，两边都除以2.1，得y< ， 依据：不等式的基本性质3.
故答案为：y< ，不等式的基本性质3.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此分别解答即可.
13．（1）填空.(填或)
①如果，那么 ；
②如果，那么 ；
③如果，那么 b.
（2）用(1)的方法你能否比较与的大小 如果能，请写出比较过程.
（3）若，则 (填">"<"或).
【答案】（1）＜；=；＞
（2）解：
即，
.
（3）＜
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵
∴
故答案为：＜.
②∵
∴
故答案为：=.
③∵
∴
故答案为：＞.
（3）∵
∴
∴
故答案为：＞.
【分析】（1）根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，据此逐项分析即可；
（2）利用作差法，即可进行比较；
（3）根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，据此得到：进而即可求解.
三、解答题
14．运用不等式的基本性质，将下列不等式化为或的形式.
（1）.
（2）.
【答案】（1）解：，
不等式的两边都加上1，得，
不等式的两边都乘2，得；
（2）解：，
不等式的两边都减去3x，得，
不等式的两边都除以-2，得.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）先给不等式的两边都加上1，再给两边都乘2即可；
（2）先给不等式的两边都减去3x，再把不等式的两边都除以-2即可.
15．我们知道不等式的两边加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变，不等式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题.
（1）完成下列填空：
已知 用“<”或“>”填空
4+2 3+1
-3-2 2-1
（2）一般地，如果那么a+c ▲ b+d（用“<”或“>”填空）.请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性.
【答案】（1）；
（2）解：<；理由：
因为，所以，
因为，
所以，
所以.
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】（1）∵，∴；
∵，∴.
【分析】（1）根据有理数的运算即可得出；
（2）利用（1）的规律判断，利用不等式的基本性质即可证明.
四、综合题
16．（2023七下·昌黎期末）如图，在数轴上，点分别表示数1、.
（1）求的取值范围；
（2）试判断数轴上表示数的点落在“点的左边”、“线段上”还是“点的右边”？并说明理由.
【答案】（1）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得
解得
（2）解：由，得
解得
数轴上表示数的点在点的右边；
作差，得
由，得
∴.
数轴上表示数的点在点的左边.
表示数的点在线段上.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，解不等式即可；
（2）根据不等式的性质，得到点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边.
17．（2022八下·广陵期末）我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：
（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，
①用数学关系式可以表示为 ▲ ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为，周长为2，当矩形为正方形时，周长为，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，
①用数学关系式可以表示为 ▲ ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：，）
【答案】（1）解：①A；
②证明：＝＝＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴成立．
（2）解：①A；
②证明：＝＝
＝＝，
∵≥0，
∴≥，
∴成立
【知识点】完全平方公式及运用；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知用数学关系式可以表示为：.
故答案为：A.
【分析】（1）①根据含糖量=结合含糖量变大了进行解答；
②＝，根据m＞0，b＞a＞0可得b-a＞0，据此证明；
（2）①根据矩形的周长≥正方形的周长进行解答；
②＝＝=，然后结合偶次幂的非负性进行解答.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 10.2 不等式的基本性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·上城期末）已知a＞b，下列不等式成立的是（ ）
A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣2＜b﹣2 C．a+2＜b+2 D．3a＜3b
2．（2024八上·炎陵期末）若，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ）
A．> B．< C． D．
4．（2023·期中） 若a>b，则下列各式中一定成立的是
A．a-2-2b D．a+2>b+2
5．（2024八上·浙江期末）若，且，当时，关于x的代数式恰好能取到两个非负整数值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·江口期末）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2
C．由ab＞ac，得b＞c D．由，得b＞c
7．（2023八上·龙马潭开学考）已知a＜b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ac2＜bc2 B．c﹣a＜c﹣b C．a﹣c＜b﹣c D．
8．（2023八上·奉化期中）设，则下面不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若不等式x>y和(a-3)x<(a-3)y成立，则a的取值范围是 .
10．实数a，b在数轴上的位置如图，用不等号填空．
（1）b-a 0．
（2）a+2b 0．
（3）ab 0．
（4）a2 b2．
11．（2024七上·朝阳期末）举例说明“若是有理数，则”是错误的，请写出一个的值： ．
12．按下列条件写出仍能成立的不等式，并写出依据．
（1）x-17<5，两边都加17，得 ，依据：
（2）m≤3，两边都乘（），得 ，依据：
（3）10x≥9x+2，两边都减去9x ，得 ，依据：
（4） 2.1y<-0.7，两边都除以2.1，得 ， 依据：
13．（1）填空.(填或)
①如果，那么 ；
②如果，那么 ；
③如果，那么 b.
（2）用(1)的方法你能否比较与的大小 如果能，请写出比较过程.
（3）若，则 (填">"<"或).
三、解答题
14．运用不等式的基本性质，将下列不等式化为或的形式.
（1）.
（2）.
15．我们知道不等式的两边加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变，不等式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题.
（1）完成下列填空：
已知 用“<”或“>”填空
4+2 3+1
-3-2 2-1
（2）一般地，如果那么a+c ▲ b+d（用“<”或“>”填空）.请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性.
四、综合题
16．（2023七下·昌黎期末）如图，在数轴上，点分别表示数1、.
（1）求的取值范围；
（2）试判断数轴上表示数的点落在“点的左边”、“线段上”还是“点的右边”？并说明理由.
17．（2022八下·广陵期末）我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：
（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，
①用数学关系式可以表示为 ▲ ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为，周长为2，当矩形为正方形时，周长为，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，
①用数学关系式可以表示为 ▲ ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：，）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴两边同乘(-2)，不等号方向改变，故-2a<-2b，A选项正确；
B、∵a＞b，∴两边同减2，不等号方向不改变，故a-2>b-2，B选项错误；
C、∵a＞b，∴两边同加2，不等号方向不改变，故a+2>b+2，C选项错误；
D、∵a＞b，∴两边同乘3，不等号方向不改变，故3a>3b，C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，故本选项正确，不符合题意；
B、若，则，故本选项错误，符合题意；
C、若，则，故本选项正确，不符合题意；
D、若，则，故本选项正确，不符合题意；
故答案为：B
【分析】不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，
∴-4a＜-4b，
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边加上-2，则不等号不变号，故A选项错误；
B、如果c=0时，则ac=bc，故B选项错误；
C、不等式两边同时乘以-2，则不等号需要变号，故C选项错误；
D、不等式两边同时加上2，则不等号不需要变号，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一 一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵且
∴
∵当时，关于x的代数式恰好能取到两个非负整数值，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质得到结合题意得到即可求出x的取值范围，进而得到a的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.由a＞b，当c＞0时，可得ac＞bc，变形错误，不符合题意；
B.由a＞b，可得a﹣2＞b﹣2，变形错误，不符合题意；
C.由ab＞ac，当a＞0时，可得b＞c，变形错误，不符合题意；
D.由，可得b＞c，变形正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质对每个选项逐一判断求解即可。
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A项，当c=0，ac2=bc2=0.故A项错误；
B项，不等式的两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，因为a-b，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，所以c-a>c-b.故B项错误；
C项，不等式的两边都减去同一个数，不等号的方向不变，a-cD项，不等式的两边除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边除以同一个负数，不等号的方向改变，当c<0，，故D项错误
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个实数，不等号方向不变，同乘或同除大于0的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案。
8．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若假设a＝﹣2，b＝﹣1时，符合a＜b，但是此时a2＞b2，故本选项不正确；
B．∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴2﹣a＞2﹣b，故本选项不正确；
C．∵a＜b，∴，∴11，故本选项正确；
D．∵a＜b，∴3a＜3b，∴3a﹣3＜3b﹣3，故本选项不正确；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可解答．
9．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ∵不等式x>y和(a-3)x<(a-3)y成立 ，∴a-3＜0，解得a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变.
10．【答案】（1）＞
（2）＞
（3）＜
（4）＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜0＜b，，∴（1）b-a＞0，（2）a+2b＞0，（3）ab＜0，（4）a2＜b2.
故答案为：＞；＞；＜；＜.
【分析】先判断a、b的大小，然后再根据相应的运算法则进行运算即可.
11．【答案】答案不唯一，如
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得当b为负数的时候，是错误的，
故答案为：答案不唯一，如
【分析】根据不等式的性质结合题意即可得到b的取值，进而即可求解。
12．【答案】（1）x<22；不等式的基本性质2
（2）m≥-2；不等式的基本性质3
（3）x≥2；不等式的基本性质2
（4）y<；不等式的基本性质3
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： （1）x-17<5，两边都加17，得x-17+17<5+17，
即得x<22，依据： 不等式的基本性质2；
故答案为：x<22，不等式的基本性质2；
（2）m≤3，两边都乘（），得m×≥3×，即得 m≥-2，
依据： 不等式的基本性质3 .
（3） 10x≥9x+2，两边都减去9x ，得10x-9x ≥9x+2-9x ，即得 x≥2，
依据：不等式的基本性质2.
故答案为：x≥2，不等式的基本性质2.
（4）2.1y<-0.7，两边都除以2.1，得y< ， 依据：不等式的基本性质3.
故答案为：y< ，不等式的基本性质3.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此分别解答即可.
13．【答案】（1）＜；=；＞
（2）解：
即，
.
（3）＜
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵
∴
故答案为：＜.
②∵
∴
故答案为：=.
③∵
∴
故答案为：＞.
（3）∵
∴
∴
故答案为：＞.
【分析】（1）根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，据此逐项分析即可；
（2）利用作差法，即可进行比较；
（3）根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，据此得到：进而即可求解.
14．【答案】（1）解：，
不等式的两边都加上1，得，
不等式的两边都乘2，得；
（2）解：，
不等式的两边都减去3x，得，
不等式的两边都除以-2，得.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）先给不等式的两边都加上1，再给两边都乘2即可；
（2）先给不等式的两边都减去3x，再把不等式的两边都除以-2即可.
15．【答案】（1）；
（2）解：<；理由：
因为，所以，
因为，
所以，
所以.
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】（1）∵，∴；
∵，∴.
【分析】（1）根据有理数的运算即可得出；
（2）利用（1）的规律判断，利用不等式的基本性质即可证明.
16．【答案】（1）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得
解得
（2）解：由，得
解得
数轴上表示数的点在点的右边；
作差，得
由，得
∴.
数轴上表示数的点在点的左边.
表示数的点在线段上.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，解不等式即可；
（2）根据不等式的性质，得到点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边.
17．【答案】（1）解：①A；
②证明：＝＝＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴成立．
（2）解：①A；
②证明：＝＝
＝＝，
∵≥0，
∴≥，
∴成立
【知识点】完全平方公式及运用；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知用数学关系式可以表示为：.
故答案为：A.
【分析】（1）①根据含糖量=结合含糖量变大了进行解答；
②＝，根据m＞0，b＞a＞0可得b-a＞0，据此证明；
（2）①根据矩形的周长≥正方形的周长进行解答；
②＝＝=，然后结合偶次幂的非负性进行解答.
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