2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 10.2 不等式的基本性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·东安期末）已知且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七上·信都月考）关于代数式，下列说法一定正确的是（ ）
A．它的值比小 B．它的值比3小
C．它的值比3大 D．它的值随着的增大而增大
3．（2023七上·崇阳期中）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
4．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2023七下·石家庄期中）若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：2.2 不等式的基本性质）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若a+c>b+c，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b
7．（2022九上·宁波月考）设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
8．（2020八上·下城期末）设m，n是实数，a，b是正整数，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若，则 (填“>"““或).
10．若，有下列式子：①；②；③；④.其中正确的是 .(填序号)
11．（2023七下·常熟期末）命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”）．
12．（2023七下·岳池期末）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ．
13．（2023七下·东城期末）如果命题“若，则”为真命题，那么可以是 （写出一个即可）．
三、解答题
14．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册3.2不等式的基本性质 同步训练）已知a＜0，-1＜b＜0，试比较a、ab、ab2的大小．
15．（2022九上·福建竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组 若 .求 的最小值.
必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设 ， 为两组实数， 是 的任一排列，则 .
四、综合题
16．（初中数学苏科版七年级下册11.1-11.3 一元一次不等式 同步练习）
（1）①如果 a-b＜0，那么 a b；②如果 a-b=0，那么 a b；
③如果 a-b＞0，那么 a b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
（3）用（1）的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小？如果能，请写出比较过程．
17．（2019八上·平遥月考）阅读理解：我们知道，比较两数（式）大小有很多方法，“作差法”是常用的方法之一，其原理是不等式（或等式）的性质：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .
例：已知 ， ，其中 ，求证： .
证明： .
∵ ，∴ ，∴ .
（1）操作感知：比较大小：
①若 ，则 ；
② .
（2）类比探究：已知 ， ，试运用上述方法比较 、 的大小，并说明理由.
（3）应用拓展：已知 ， 为平面直角坐标系中的两点，小明认为，无论 取何值，点 始终在点 的上方，小明的猜想对吗？为什么？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：令 ①， ②，
①+②得，
同时乘以得：.
故答案为：C.
【分析】先两式相加得，再根据不等式的基本性质求解即可.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵3＞0，∴x+3＞x，即代数式x+3比x大，原说法错误，故不符合题意；
B、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3不一定比3小，原说法错误，故不符合题意；
C、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3不一定比3大，原说法错误，故不符合题意；
D、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3随x的增大而增大，原说法正确，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】由3＞0可得x+3＞x，据此逐项判断即可.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 如果，那么，故不符合题意；
B、 如果，那么， 故不符合题意；
C、 如果，那么 ，正确，故符合题意；
D、 如果，当a≠0时，， 故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、当c=0时，ac2＝bc2，故选项错误，不符合题意；
B、当c=d=0时，ac=bd，故选项错误，不符合题意；
C、若c2a＞c2b，则a＞b，故选项正确，符合题意；
D、当a=- 1，b=- 2，c=2，d=1时，a-c=- 3，b-d=- 3，此时a-c=b-d，故选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的相关性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此逐个判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵的解集是，
∴a-1<0，
∴a<1，
故答案为：D
【分析】由的解集是可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，所以a-1<0，解出即可.
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故A不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故B不符合题意；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故C符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故D不符合题意。
故应选：C．
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号方向不变 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都除以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；就可以一一判断。
7．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
∴（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，
∴（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，
∵a1＞a2＞a3＞0，a1（x1+1）（x1-2）＝1，a2（x2+1）（x2-2）＝2，a3（x3+1）（x3-2）＝3，
∴（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），
∴x1＞x2＞x3.
故答案为：A．
【分析】由x1，x2，x3都是小于-1的数可得（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，根据不等式的性质可得（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，从而得到（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），进而可得x1＞x2＞x3，即可解答.
8．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：m，n是实数，则 、 和 都有可能，
①当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时四个选项均成立；
②当 时，
a和b的大小不能确定，
此时A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时A、B不成立，C、D成立；
综上可知D一定成立，
故答案为：D.
【分析】分别讨论 、 和 ，利用不等式的性质进行判断.
9．【答案】≥
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
∵x>y，≥0
∴
故答案为：≥
【分析】≥0，所以x>y两边同时乘以时，结果为
10．【答案】①②③
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：a
把a把a∵a0，∴a+b把 两边同时乘以ab得，b综上，正确的是①②③.
故答案为：①②③.
【分析】根据不等式的性质判断①②④，根据a+b和ab的正负，判断③.
11．【答案】假
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：若，
当时，，
∴原命题为假命题，
故答案为：假.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此即可求解.
12．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】∵不等式的解集是，
∴a+2＜0，
解得：a＜-2，
故答案为：.
【分析】利用不等式的性质可得a+2＜0，再求出a的取值范围即可.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
m＜0
故答案为：-1 （答案不唯一） .
【分析】 根据不等式两边同时乘以同一个小于0的整式，不等号方向改变即可得出答案。
14．【答案】解：∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，又∵-1＜b＜0，ab＞0，∴ab2＜0．∵-1＜b＜0，∴0＜b2＜1，∴ab2＞a，
∴a＜ab2＜ab
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质，不等式的两边都乘以同一个负数不等号方向改变，由a＜0，b＜0，得出ab＞0，进而得出ab2＜0，由
-1＜b＜0，得出0＜b2＜1，又a＜0，故ab2＞a，根据有理数大小的比较即可得出答案。
15．【答案】解：由对称性，不妨设 ， ，2，…，8，且 ，
则
，
∴ ，
∵ ， ，…， ，
∴ ，
若 ，则 ，不符合要求，
∴ ，
于是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…， 是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且 ，
∵
.
根据排序不等式，当 ， ，…， 从小到大排列时， 的值最大， 的值最小.
∵当 ， ，…， 从小到大排列时，
，
∴ 的最小值为482.
或：∵ ，
当 ， ，…， 从小到大排列时，
，
.
∴ 的最小值为482.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】设ai16．【答案】（1）＜；=；＞
（2）解：比较a，b两数的大小，如果a与b的差大于0，则a大于b；a与b的差等于0，则a等于b；如果a与b的差小于0，则a小于b．
（3）解：(3x2-3x+7)-(4x2-3x+7)=-x2 ≤ 0，
∴3x2-3x+7 ≤ 4x2-3x+7
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)①∵a-b＜0
∴a-b+b＜0+b，
∴a＜b
②∵a-b=0
∴a=b；
③∵a-b＞0
∴a-b+b＞0+b
∴a＞b
故答案为：＜，=，＞
【分析】（1）利用不等式的性质1，可分别得到a与b的大小关系。
（2）利用（1）的方法，可以利用求差法比较a，b的大小。
（3）利用求差法，求出两代数式的差，根据两代数式的差-x2的大小关系，可得到两代数式的大小。
17．【答案】（1）；
（2）解： ，理由：设 ，
则
，
∴ .
（3）解：小明的猜想是对的，理由如下： ，
所以，无论 取何值，点 都在点 的上方，即小明的观点符合题意.
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；偶次方的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵
∴a+b<0，a-b<0
∴ <0
故答案为：<.
②
故答案为：≥.
【分析】（1）①根据不等式的性质即可得出答案；②根据完全平方公式即可得出答案；（2）两式相减即可得出答案；（3）两点横坐标相同，比较纵坐标的大小即可得出答案.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 10.2 不等式的基本性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·东安期末）已知且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：令 ①， ②，
①+②得，
同时乘以得：.
故答案为：C.
【分析】先两式相加得，再根据不等式的基本性质求解即可.
2．（2023七上·信都月考）关于代数式，下列说法一定正确的是（ ）
A．它的值比小 B．它的值比3小
C．它的值比3大 D．它的值随着的增大而增大
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵3＞0，∴x+3＞x，即代数式x+3比x大，原说法错误，故不符合题意；
B、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3不一定比3小，原说法错误，故不符合题意；
C、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3不一定比3大，原说法错误，故不符合题意；
D、∵3＞0，∴x+3＞x，则代数式x+3随x的增大而增大，原说法正确，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】由3＞0可得x+3＞x，据此逐项判断即可.
3．（2023七上·崇阳期中）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 如果，那么，故不符合题意；
B、 如果，那么， 故不符合题意；
C、 如果，那么 ，正确，故符合题意；
D、 如果，当a≠0时，， 故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一判断即可.
4．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、当c=0时，ac2＝bc2，故选项错误，不符合题意；
B、当c=d=0时，ac=bd，故选项错误，不符合题意；
C、若c2a＞c2b，则a＞b，故选项正确，符合题意；
D、当a=- 1，b=- 2，c=2，d=1时，a-c=- 3，b-d=- 3，此时a-c=b-d，故选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的相关性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此逐个判断得出答案.
5．（2023七下·石家庄期中）若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵的解集是，
∴a-1<0，
∴a<1，
故答案为：D
【分析】由的解集是可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，所以a-1<0，解出即可.
6．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：2.2 不等式的基本性质）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若a+c>b+c，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故A不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故B不符合题意；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故C符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故D不符合题意。
故应选：C．
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号方向不变 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都除以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；就可以一一判断。
7．（2022九上·宁波月考）设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
∴（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，
∴（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，
∵a1＞a2＞a3＞0，a1（x1+1）（x1-2）＝1，a2（x2+1）（x2-2）＝2，a3（x3+1）（x3-2）＝3，
∴（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），
∴x1＞x2＞x3.
故答案为：A．
【分析】由x1，x2，x3都是小于-1的数可得（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，根据不等式的性质可得（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，从而得到（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），进而可得x1＞x2＞x3，即可解答.
8．（2020八上·下城期末）设m，n是实数，a，b是正整数，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：m，n是实数，则 、 和 都有可能，
①当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时四个选项均成立；
②当 时，
a和b的大小不能确定，
此时A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时A、B不成立，C、D成立；
综上可知D一定成立，
故答案为：D.
【分析】分别讨论 、 和 ，利用不等式的性质进行判断.
二、填空题
9．若，则 (填“>"““或).
【答案】≥
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
∵x>y，≥0
∴
故答案为：≥
【分析】≥0，所以x>y两边同时乘以时，结果为
10．若，有下列式子：①；②；③；④.其中正确的是 .(填序号)
【答案】①②③
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：a把a把a∵a0，∴a+b把 两边同时乘以ab得，b综上，正确的是①②③.
故答案为：①②③.
【分析】根据不等式的性质判断①②④，根据a+b和ab的正负，判断③.
11．（2023七下·常熟期末）命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：若，
当时，，
∴原命题为假命题，
故答案为：假.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此即可求解.
12．（2023七下·岳池期末）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】∵不等式的解集是，
∴a+2＜0，
解得：a＜-2，
故答案为：.
【分析】利用不等式的性质可得a+2＜0，再求出a的取值范围即可.
13．（2023七下·东城期末）如果命题“若，则”为真命题，那么可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
m＜0
故答案为：-1 （答案不唯一） .
【分析】 根据不等式两边同时乘以同一个小于0的整式，不等号方向改变即可得出答案。
三、解答题
14．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册3.2不等式的基本性质 同步训练）已知a＜0，-1＜b＜0，试比较a、ab、ab2的大小．
【答案】解：∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，又∵-1＜b＜0，ab＞0，∴ab2＜0．∵-1＜b＜0，∴0＜b2＜1，∴ab2＞a，
∴a＜ab2＜ab
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质，不等式的两边都乘以同一个负数不等号方向改变，由a＜0，b＜0，得出ab＞0，进而得出ab2＜0，由
-1＜b＜0，得出0＜b2＜1，又a＜0，故ab2＞a，根据有理数大小的比较即可得出答案。
15．（2022九上·福建竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组 若 .求 的最小值.
必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设 ， 为两组实数， 是 的任一排列，则 .
【答案】解：由对称性，不妨设 ， ，2，…，8，且 ，
则
，
∴ ，
∵ ， ，…， ，
∴ ，
若 ，则 ，不符合要求，
∴ ，
于是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…， 是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且 ，
∵
.
根据排序不等式，当 ， ，…， 从小到大排列时， 的值最大， 的值最小.
∵当 ， ，…， 从小到大排列时，
，
∴ 的最小值为482.
或：∵ ，
当 ， ，…， 从小到大排列时，
，
.
∴ 的最小值为482.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】设ai四、综合题
16．（初中数学苏科版七年级下册11.1-11.3 一元一次不等式 同步练习）
（1）①如果 a-b＜0，那么 a b；②如果 a-b=0，那么 a b；
③如果 a-b＞0，那么 a b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
（3）用（1）的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小？如果能，请写出比较过程．
【答案】（1）＜；=；＞
（2）解：比较a，b两数的大小，如果a与b的差大于0，则a大于b；a与b的差等于0，则a等于b；如果a与b的差小于0，则a小于b．
（3）解：(3x2-3x+7)-(4x2-3x+7)=-x2 ≤ 0，
∴3x2-3x+7 ≤ 4x2-3x+7
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)①∵a-b＜0
∴a-b+b＜0+b，
∴a＜b
②∵a-b=0
∴a=b；
③∵a-b＞0
∴a-b+b＞0+b
∴a＞b
故答案为：＜，=，＞
【分析】（1）利用不等式的性质1，可分别得到a与b的大小关系。
（2）利用（1）的方法，可以利用求差法比较a，b的大小。
（3）利用求差法，求出两代数式的差，根据两代数式的差-x2的大小关系，可得到两代数式的大小。
17．（2019八上·平遥月考）阅读理解：我们知道，比较两数（式）大小有很多方法，“作差法”是常用的方法之一，其原理是不等式（或等式）的性质：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .
例：已知 ， ，其中 ，求证： .
证明： .
∵ ，∴ ，∴ .
（1）操作感知：比较大小：
①若 ，则 ；
② .
（2）类比探究：已知 ， ，试运用上述方法比较 、 的大小，并说明理由.
（3）应用拓展：已知 ， 为平面直角坐标系中的两点，小明认为，无论 取何值，点 始终在点 的上方，小明的猜想对吗？为什么？
【答案】（1）；
（2）解： ，理由：设 ，
则
，
∴ .
（3）解：小明的猜想是对的，理由如下： ，
所以，无论 取何值，点 都在点 的上方，即小明的观点符合题意.
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；偶次方的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵
∴a+b<0，a-b<0
∴ <0
故答案为：<.
②
故答案为：≥.
【分析】（1）①根据不等式的性质即可得出答案；②根据完全平方公式即可得出答案；（2）两式相减即可得出答案；（3）两点横坐标相同，比较纵坐标的大小即可得出答案.
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