人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题7.2坐标系中平移的几何综合(原卷版+解析)

专题7.2 坐标系中平移的几何综合
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；
（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；
（3）设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位
∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．
由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，
∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，
设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，
∴OM=t．
∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，
∴,
即，
解得t=2；
（3）解：不变．
理由如下：如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，
过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，
∵=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，
∴=S△ONB+S△OMB
=
=
=6-3t+3t
=6；
∴为定值6，故其值不会变化．
1．（2022春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，A(﹣3，3)．
（1）点C的坐标为　 　；
（2）将ABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到A1B1C1，请在图中画出平移后的A1B1C1，并求A1B1C1的面积；
（3）在x轴上有一点P，使得PA1B1的面积等于A1B1C1的面积，直接写出点P坐标．
2．（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到△，点的对应点为．
（1）直接写出点，，的坐标．
（2）在图中画出△．
（3）连接，，，求的面积．
（4）连接，若点在轴上，且三角形的面积为8，请直接写出点的坐标．
3．（2022春·湖南湘西·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，-2），B（-2，-4），C（-4，-1）．
（1）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A的对应点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P在坐标轴上，且△A1B1P的面积是2，直接写出点P的坐标_____________________．
4．（2022春·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0）．
（1）在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积为 ．
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C，P的对应点分别是A1，B1，C1，P1．若点P1的坐标为（a，b）．在坐标系中画出△A1B1C1．
（3）若坐标轴上存在一点M，使△BCM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接，．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形的面积等于平行四边形的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且．求证：．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
（1）点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________；
（2）在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．
（1）如图1，求点，的坐标及四边形的面积；
（2）如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，点为与轴交点，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由；
8．（2022秋·八年级单元测试）规定：如果图形是由图形G经过平移所得，那么把图形称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形与G的“友好距离”
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．
（1）①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；
②若点A的“友好图形”点在y轴上，则点A与点的“友好距离”最小值为______；
（2）若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD的面积为10，求点D的坐标；
（3）如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点在x轴上，求点A与点的“友好距离”．
9．（2022秋·八年级单元测试）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
（1）以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 　 　；
（2）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 　 　，长方形的面积为 　 　；
（3）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 　 　（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，，，，，．
（1）求的面积；
（2）如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值；
（3）如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标．
11．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为，，连接交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）线段可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出，的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究与的数量关系，给出结论并说明理由．
12．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点的对应点分别是点，点，点，点，点.
（1）若，求的值；
（2）若点，其中. 直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由.
13．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期中）已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO平移至线段BC，其中点A与点B对应．
（1）如图（1），若 ，连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得，求点D的坐标；
（2）如图（2），若，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出与之间的数量关系（不用证明）．
14．（2023·全国·七年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．
（1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论．
（2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
15．（2022春·吉林·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点C，D的坐标分别为_______， ________，并求出四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB =S四边形ABDC，求出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D两点重合），则的值______（填“变”或“不变”）．
16．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．
（1）填空：点D的坐标为　 　．
（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．
①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．
②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
（1）请求出点和点的坐标；
（2）点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．
　　
（1）直接写出______，______；
（2）如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
专题7.2 坐标系中平移的几何综合
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标；
（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；
（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；
（3）设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位
∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．
由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，
∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，
设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，
∴OM=t．
∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，
∴,
即，
解得t=2；
（3）解：不变．
理由如下：如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，
过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，
∵=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，
∴=S△ONB+S△OMB
=
=
=6-3t+3t
=6；
∴为定值6，故其值不会变化．
1．（2022春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，A(﹣3，3)．
（1）点C的坐标为　 　；
（2）将ABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到A1B1C1，请在图中画出平移后的A1B1C1，并求A1B1C1的面积；
（3）在x轴上有一点P，使得PA1B1的面积等于A1B1C1的面积，直接写出点P坐标．
【思路点拨】
（1）利用直角坐标系可直接写出点坐标；
（2）分别作出，，的对应点，，即可得到△，用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△的面积；
（3）设．利用三角形面积关系构建方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，△即为所求．
△的面积：；
（3）设．
，，将向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△，
，，
∴△的面积，
解得：或7，
或．
2．（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到△，点的对应点为．
（1）直接写出点，，的坐标．
（2）在图中画出△．
（3）连接，，，求的面积．
（4）连接，若点在轴上，且三角形的面积为8，请直接写出点的坐标．
【思路点拨】
（1）利用P点和P1的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）利用点A1，B1，C1的坐标描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△AOA1的面积；
（4）设Q（0，t），利用三角形面积公式得到×8×|t 1|＝8，然后解方程求出t得到Q点的坐标．
【解题过程】
（1）解：，，；
（2）解：如图，△为所作；
（3）解：的面积
，
，
；
（4）解：设，
，，
，
三角形的面积为8，
，解得或，
点的坐标为或．
3．（2022春·湖南湘西·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，-2），B（-2，-4），C（-4，-1）．
（1）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A的对应点的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P在坐标轴上，且△A1B1P的面积是2，直接写出点P的坐标_____________________．
【思路点拨】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
（3）利用的面积是2，分情况讨论得出答案．
【解题过程】
（1）解：如图所示：把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，可得△A1B1C1．点A1坐标为（0，0），点B1坐标为（ 1， 2），点C1坐标为（ 3，1）．
∴点A的对应点A1的坐标为（0，0）．
（2）解：△A1B1C1的面积为：
3×3 ×1×3 ×2×3 ×1×2=；
（3）解：∵点A1的坐标为（0，0），点B1坐标为（ 1， 2），
若点P在x轴上，
设点P的坐标为（m，0），
则：=A1P×2= |m﹣0|×2=2，
解得：m=±2，
∴点P的坐标为：（2，0），（﹣2，0）；
若点P在y轴上，设点P的坐标为（0，n），
则： = A1P×1= |n﹣0|=2，
解得：n=±4，
∴点P的坐标为：（0，4）或（0，﹣4）．
综上所述：点P坐标为：（2，0）或（﹣2，0）或（0，4）或（0，﹣4）．
4．（2022春·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0）．
（1）在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积为 ．
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C，P的对应点分别是A1，B1，C1，P1．若点P1的坐标为（a，b）．在坐标系中画出△A1B1C1．
（3）若坐标轴上存在一点M，使△BCM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
【思路点拨】
（1）根据点A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0），即可在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积；
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位即可在坐标系中画出△A1B1C1；
（3）根据△BCM的面积等于△ABC的面积，即可在坐标轴上找到点M．
【解题过程】
解：（1）如图，△ABC即为所求，
△ABC的面积为：12﹣3﹣2﹣2＝5；
故答案为：5；
（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位即可在坐标系中画出△A1B1C1，如图，△A1B1C1即为所求；
（3）因为△BCM的面积等于△ABC的面积，
由（1）知：△ABC的面积=5，
∴△BCM的面积：或，
解得：MC=2.5或BM=10，
∵B（0，4），C（-1，0），
∴MO=3.5或1.5，
∴M（-3.5，0）或（1.5，0）；
当点M在y轴正半轴上时，
∵BM=10，OB=4，
∴MO=10+4=14，
∴M（0，14），
当点M在y轴负半轴上时，
∵BM=10，OB=4
∴MO=10-4=6，
∴M（0，-6），
所以点M的坐标为（-3.5，0）或（1.5，0）或（0，14）或（0，-6）．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接，．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形的面积等于平行四边形的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且．求证：．
【思路点拨】
（1）由非负数的性质得出，且，求出，，得出，，由平移的性质得，；
（2）设，由（1）由（1）得：，，∴，进而可得关于x的方程，即可得出答案；
（3）由平移的性质得，由平行线的性质得出，证出，即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：∵m，n满足，
∴，且，
∴，，
∴，，
由平移的性质得：，；
（2）解：存在，理由如下：
设，
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
（3）证明：由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
（1）点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________；
（2）在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标；
（3）当点P在线段BD上，作交轴于，根据平行线的性质由得，再根据平行线的性质，，从而得到结论．
【解题过程】
（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
；
（2）解：存在．理由如下：
设点的坐标为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：，理由如下：
过点作交轴于，如图所示：
∴
∴，，
∴．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．
（1）如图1，求点，的坐标及四边形的面积；
（2）如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，点为与轴交点，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由；
【思路点拨】
（1）根据平移的性质求出点，的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形的面积；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）根据直线上点的坐标特征设出点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【解题过程】
（1）解：（1）∵点，的坐标分别为，，线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，
∴点的坐标为，点的坐标为，，
∴四边形的面积；
（2）存在，
设点的坐标为，
由题意得：，
解得：，
∴点的坐标为或；
（3）设点的坐标为，
则，
由题意得：，
解得：或，
则点的坐标为或．
8．（2022秋·八年级单元测试）规定：如果图形是由图形G经过平移所得，那么把图形称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形与G的“友好距离”
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．
（1）①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；
②若点A的“友好图形”点在y轴上，则点A与点的“友好距离”最小值为______；
（2）若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD的面积为10，求点D的坐标；
（3）如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点在x轴上，求点A与点的“友好距离”．
【思路点拨】
（1）①根据坐标求出线段AB的长度即可；②根据垂线段最短，可得是原点时点A与点的“友好距离”最小值；
（2）根据计算即可；
（3）连接AF，，由∥易得，面积相等求出即可．
【解题过程】
（1）①∵点A（3，0）的“友好图形”点B（3，6）
∴点A与点B的“友好距离”AB=6；
②当是原点时，点A（3，0）与点的“友好距离”最小值，最小值为3；
（2）
由题意可知：AC＝4，
∴OD＝5，
∵点D在y轴上，
∴D（0，5）或（0，－5）
（3）如图，连接AF，
∵
∴
∴
∵EF＝8，OA＝3，OE＝6
∴
∴
∴点A与点的“友好距离”为4．
9．（2022秋·八年级单元测试）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
（1）以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 　 　；
（2）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 　 　，长方形的面积为 　 　；
（3）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 　 　（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？
【思路点拨】
（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可．
（2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出的长度，计算面积即可．
（3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可．
【解题过程】
解：（1）∵AB＝10cm，BC＝6cm，
∴C的坐标为（10，6），
故答案为：（10，6）．
（2）∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，
∴点C向右平移4cm，
∵C（10，6），
∴（14，6），
故答案为：（14，6）．
∵AB＝10，＝4，
∴＝6，
∴长方形的面积为36（）．
故答案为：36．
（3）当t≤5时，如图：
∵＝AB﹣＝10﹣2t，
∴长方形的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（），
当t＞5时，如图：
∵＝﹣AB＝2t﹣10，
∴长方形的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（），
故答案为：（﹣12t+60）或（12t﹣60）；
当t≤5时，如图：
长方形的面积为﹣12t+60，
△面积的3倍为，
由题意得：﹣12t+60＝18t，
解得t＝2；
当t＞5时，如图：
同理可得：12t﹣60＝18t，
解得t＝﹣10（舍去），
∴t＝2．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，，，，，．
（1）求的面积；
（2）如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值；
（3）如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标．
【思路点拨】
（1）由非负数的性质求出，求出，由三点的坐标可求出答案；
（2）根据三角形的面积关系可得出答案；
（3）连接，设，由三角形面积关系得出，由平移的性质得出，根据三角形的面积关系可求出答案．
【解题过程】
解：（1），，，
，，
，，
，
，，，
，，
；
（2）由题意知：，，
，
，
．
（3）连接，，
设，
，
，
，
点向右平移个单位长度得到点，
，
，
，
，
，
11．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为，，连接交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）线段可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出，的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究与的数量关系，给出结论并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用平移变换的性质解决问题即可．
（2）利用分割法确定四边形的面积即可．
（3）分两种情形：点在点的上方，点在点的下方，分别求解即可．
【解题过程】
解：（1）点，，
又将线段进行平移，使点刚好落在轴的负半轴上，点刚好落在轴的负半轴上，
线段是由线段向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，
，．
（2）．
（3）连接．
，，
的中点坐标为在轴上，
．
，
轴，
同法可证，
，
，
，
同法可证，，
，，
当点在点的下方时，
，，
，
，
当点在点的上方时，．
12．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点的对应点分别是点，点，点，点，点.
（1）若，求的值；
（2）若点，其中. 直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由.
【思路点拨】
（1）当a=1时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值；
（2）由平移的规律得出，变形整理得到，那么CE∥x轴，根据三角形BEM的面积，求出a=2，A（0，2），B（0，6），C（-2，5）．根据点F与点C是对应点，得出F（0，4），求出AF=BF=2．
【解题过程】
解：（1）当时，
由三角形平移得到三角形，
的对应点分别为
，
可得，
解得.
∴的值为6.
（2）由三角形平移得到三角形，
，的对应点分别为
，.
可得，
由②得③，
把③代入①，得，
∴，
∴点与点的纵坐标相等，
∴轴，
∴点，
∴三角形的面积，
∵，
∴，.
∴，
∴，
∴，，.
又∵在平移中，点与点是对应点，
∴，
∴
，
∴.
13．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期中）已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO平移至线段BC，其中点A与点B对应．
（1）如图（1），若 ，连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得，求点D的坐标；
（2）如图（2），若，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出与之间的数量关系（不用证明）．
【思路点拨】
（1）先根据A,B的坐标找到平移规律，从而求出C的坐标，进而的面积和的面积可求,则点D的坐标可求；
（2）分两种情况讨论：当P在y轴的正半轴上时和当P在y轴的负半轴上时，分情况进行讨论即可．
【解题过程】
（1）由线段平移，点的对应点为，
知线段AO先向石平移2个单位，再向下平移3个单位，
则点平移后的坐标为，
即
,
点A到x轴的距离为3，到y轴的的距离为1，
若点D在x轴上，
点D的坐标为或
若点D在y轴上，
∴点D为或
综上所述，点D的坐标为或或或
（2）如图，延长BC交y轴于点E．
且,
，，
分两种情况讨论：
（1）当P在y轴的正半轴上时，
（2）当P在y轴的负半轴上时，
若P在点E上方（含与点E重台）时，
即
若P在点E下方时，
即
综合可得与的数量关系是或或．
14．（2023·全国·七年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．
（1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论．
（2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
【思路点拨】
（1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a、b的值，过点P作，由平移的性质可得，利用平行线的性质即可求解；
（2）先求出的面积，再根据Q在x轴上与y轴上分别求解．
【解题过程】
（1）解：，证明如下：
证明：∵
∴，，解得，，
∴，，
∵将点A、B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到对应点C、D，
∴，，
过点P作，由平移的性质可得，
∴，
∴，，
∴，
即．
（2）解：存在，M点坐标为，，，．理由如下：
的面积为，
①M在x轴上，根据的高与相等的高，
∴，
∴点M坐标为，，
②M在y轴上，的高为，的面积为5，
即
∴
又∵，
∴点M坐标为，．
故存在符合条件的M点坐标为，，，．
15．（2022春·吉林·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点C，D的坐标分别为_______， ________，并求出四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB =S四边形ABDC，求出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D两点重合），则的值______（填“变”或“不变”）．
【思路点拨】
（1）根据平移的特点可得出点C、D的坐标，利用平行四边形的面积公式可求面积；
（2）存在2种情况，点P在y轴正半轴和点P在y轴负半轴，另△ABP的面积与平行四边形ABDC面积相等可求得点P的坐标；
（3）如下图，利用平行的性质可求得∠CQO=∠DCQ+∠QOB，可得不变关系．
【解题过程】
解：（1）∵将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点C、D
又∵点A，B的坐标分别为（，0），（3，0）
∴C（0，2），D（4，2）．
由题意可知：四边形ABDC为平行四边形，
∴S四边形ABDC=OC×AB=2×4=8．
（2）当点P在y轴正半轴时，设点P的纵坐标为a，图形如下
根据题意，得×4=8．
解得:a=4
同理当点P在y轴负半轴时，a=－4
∴P（0，4）或P（0，－4）．
（3）不变．
图形如下，过点Q作QM∥CD
∵CD是AB平移得到，∴AB∥CD
∵QM∥CD，∴QM∥AB
∴∠DCQ=∠CQM，∠MQO=∠QOB
∴∠DCQ+∠QOB=∠CQM+∠MQO=∠CQO
∴，比值始终不变
16．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．
（1）填空：点D的坐标为　 　．
（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．
①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．
②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据CD∥x轴，CD＝4，C（2，0），可确定点D坐标；
（2）①先计算出S梯形OCDB＝7，再讨论：当点P运动到点B时，S△POC的最小值＝3，则可判断S△CDP+S△BOP＝4，当点P运动到点D时，S△POC的最大值＝4，于是可判断S△CDP+S△BOP＝3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②分类讨论：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，易得∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，同样有∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，由于∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，于是∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．
【解题过程】
（1）∵点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），
∴AB＝4，
由题意得：C（2，0），
∵CD＝4，AB∥CD，
∴D（2，﹣4）．
故答案为（2，﹣4）；
（2）①如图1中，S梯形OCDB＝×（3+4）×2＝7，
当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值＝×3×2＝3，此时S△CDP+S△BOP＝4，
当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值＝×4×2＝4，S△CDP+S△BOP＝3，
所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，
∴∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．
17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
（1）请求出点和点的坐标；
（2）点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【思路点拨】
（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解；
（2）由平移的性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解；
（3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
【解题过程】
（1）解：∵，，
，解得，
∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；
（2）解：存在．
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），
∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ，
设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，
∴OM=t，
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，
∴，即，解得t=3，
存在这样的，使得四边形的面积等于9；
（3）解：不变．
理由如下：当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD，
∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，
∴= S△OND+S△OMD
=
=
=3-2t+2t
=3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，
∴为定值，故其值不会变化．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．
　　
（1）直接写出______，______；
（2）如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
（3）如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出，；
（2）过点作轴于，设，由三角形面积关系得出，求出，过点作轴于，由三角形面积关系得出，求出即可；
（3）连接，过点作轴，分点在第二象限，点在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．
【解题过程】
（1）解： ，
又∵，，
，
解得：，
故答案为：-3，4．
（2）过点作轴于，
设，
三角形的面积四边形的面积三角形的面积，
，
即，
解得：，
点的坐标为，
过点作轴于，
三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
，
即，
，
点的坐标为或．
（3）点向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，
∵点D向左平移4个单位长度后的对应点正好在y轴上，
∴点平移后的对应点恰好是点，
连接，过点作轴，如图所示：
，
三角形的面积三角形的面积，
当三角形的面积三角形的面积时，，
当点在第三象限时，
，
解得：，
当点在第二象限时，
，
解得：，
当三角形的面积不超过三角形面积的时，
点的横坐标的取值范围是，且．