人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题 7.2平面直角坐标系中的规律问题(原卷版+解析版)
文档属性
| 名称 | 人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题 7.2平面直角坐标系中的规律问题(原卷版+解析版) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-27 22:18:59 | ||
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文档简介
专题7.1 平面直角坐标系中的规律问题
【典例1】综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，，分别写出，，，的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为、，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律 ，并用，的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” ；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点，点，则线段的中点的坐标为 ；
②已知点是线段的中点，且点，，求点的坐标．
【思路点拨】
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段的中点的坐标；
②设点的坐标为，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点的坐标．
【解题过程】
（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，，，，，，
，，，的坐标分别为：，，，；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
、，线段的中点是，
，
，，，，，、分别为线段、的中点，
检验得，，，
通过，的坐标验证规律是正确的，
故答案为：；是；
（3）解：①点，点，
根据（2）中发现的规律，线段的中点的坐标为，
故答案为：；
②设点的坐标为，
点是线段的中点，且点，，
，
，
点的坐标为．
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，，，，，，，，……，按此规律接下去，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·七年级专题练习）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对表示，如点的位置为，点的位置为．点从开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到，第2次向上移动2个单位到，第3次向右移动3个单位到，…，第次移动个单位(为奇数时向右，为偶数时向上)，那么点第次移动到的位置为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系内，动点P第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……按这样的规律，第2023次运动到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，由跳动至点，依次跳动至点，点，点…根据这个规律，则点的坐标是（ ）
A．（1348，-1） B．（1348，2） C．（674，-1） D．（674，2）
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（-1，3），第四次从点A3跳动到点A4（-1，4），……，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）．
A．（673，2021） B．（674，2021） C．（-673，2021） D．（-674，2021）
8．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·七年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此规律平移下去，则A102的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·山东东营·七年级统考期末）如图，已知A1(1，2)，A2(2，2)，A3(3，0)，A4(4，﹣2)，A5(5，﹣2)，A6(6，0)，…，按这样的规律，则点A2022的坐标为______．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是______，经过第2018次运动后，动点P的坐标是______．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，；，；，；…；则点的坐标是______．
13．（2023春·七年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是______________
14．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为______，第个点的坐标为______．
15．（2022春·北京·七年级北京市第五中学分校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________．
16．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到时，点的坐标是______，点的坐标是______．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即，，，，，……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为______．
18．（2023秋·湖北孝感·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，…，根据这个规律，第25个点的坐标为________，第2022个点的坐标为________．
19．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，．
（1）若点在线段上，当点与点的距离最小时，点的坐标为____；
（2）把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与x轴负半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴负半轴的交点依次记作，，…，，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（3）请求出四边形的面积．
专题7.1 平面直角坐标系中的规律问题
【典例1】综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，，分别写出，，，的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为、，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律 ，并用，的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” ；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点，点，则线段的中点的坐标为 ；
②已知点是线段的中点，且点，，求点的坐标．
【思路点拨】
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段的中点的坐标；
②设点的坐标为，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点的坐标．
【解题过程】
（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，，，，，，
，，，的坐标分别为：，，，；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
、，线段的中点是，
，
，，，，，、分别为线段、的中点，
检验得，，，
通过，的坐标验证规律是正确的，
故答案为：；是；
（3）解：①点，点，
根据（2）中发现的规律，线段的中点的坐标为，
故答案为：；
②设点的坐标为，
点是线段的中点，且点，，
，
，
点的坐标为．
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，，，，，，，，……，按此规律接下去，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
由正方形的中心都是位于原点，边长依次为2，4，6，8，，可得第个正方形的顶点横坐标与纵坐标的绝对值都是．计算，根据商和余数知道是第几个正方形的顶点，且在哪一个象限，进而得出的坐标．
【解题过程】
解：，
顶点是第504个正方形的顶点，且在第四象限，
横坐标是，纵坐标是，
，
故选：B．
2．（2023·全国·七年级专题练习）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对表示，如点的位置为，点的位置为．点从开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到，第2次向上移动2个单位到，第3次向右移动3个单位到，…，第次移动个单位(为奇数时向右，为偶数时向上)，那么点第次移动到的位置为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
数对表示位置的方法是：第一个表示列，第二个表示行，当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，据此即可得解．
【解题过程】
解：根据题意可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，当向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，
∴点第次移动到的位置时，列的数字是中所有奇数的和，行的数字是中所有偶数的和，
∴，，
∴点第次移动到的位置为，
故选：．
3．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系内，动点P第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……按这样的规律，第2023次运动到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据图象可得出：横坐标为运动次数，纵坐标依次为4，2，1，，2，4，每5次一轮，进而即可求出答案．
【解题过程】
解：根据动点在平面直角坐标系中的运动，
，，，，，，
…，
∴横坐标为运动次数，经过第2023次运动后，点的横坐标是2020，
纵坐标依次为4，2，1，，2，每5次一轮，
∴ 4，
∴经过第2023次运动后，点的坐标是，
故选：C．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【解题过程】
解：∵，，，，
∴，，，，
∴绕四边形一周的细线长度为，
，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第5个单位长度的位置，即点C的位置，
∴点的坐标为．
故选：C．
5．（2022春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，由跳动至点，依次跳动至点，点，点…根据这个规律，则点的坐标是（ ）
A．（1348，-1） B．（1348，2） C．（674，-1） D．（674，2）
【思路点拨】
观察可知，，，，每三个点为一组，纵坐标为0，2，-1循环，每个循环内横坐标增加2，据此求解即可．
【解题过程】
解：∵动点从点出发，由跳动至点，依次跳动至点，点，点…
∴，，，，每三个点为一组，纵坐标为0，2，-1循环，每个循环内横坐标增加2，
∵，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为-1，点横坐标为，
∴点的坐标为（1348，-1）．
故选：A．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【思路点拨】
根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离．
【解题过程】
解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是，
第4次跳动至点的坐标是，
第6次跳动至点的坐标是，
第8次跳动至点的坐标是，
…
第2n次跳动至点的坐标是，
则第2022次跳动至点的坐标是，
第2021次跳动至点的坐标是．
∵点与点的纵坐标相等，
∴点与点之间的距离，
故选：A．
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（-1，3），第四次从点A3跳动到点A4（-1，4），……，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）．
A．（673，2021） B．（674，2021） C．（-673，2021） D．（-674，2021）
【思路点拨】
根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可．
【解题过程】
解：∵A1（0，1），A2（1，2），A3（-1，3），A4（-1，4），
∴A5（2，5），A6（-2，6），A7（-2，7），A8（3，8），
∴A3n-1（n，3n-1），A3n（-n，3n），A3n+1（-n，3n+1）（n为正整数），
∵3×674-1=2021，
∴n=674，所以A 2021（674，2021）．
故选B．
8．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，再由2022÷4=505……2，可得点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，再由A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，可得A4n（2n，0），从而得到A2020的坐标是（1010，0），从而可得出点A2022的坐标．
【解题过程】
解：根据题意得：点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），……
∴每移动4次图象完成一个循环，
∵2022÷4=505……2，
∴点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，
∵A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，
∴A4n（2n，0），
∴A2020的坐标是（1010，0），
∴A2022的坐标是（1010+1，1），即A2022的坐标是（1011，1）．
故选：D．
9．（2022·全国·七年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此规律平移下去，则A102的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据题意可知，点A平移时每4次为一个周期，由102÷4=25 2，可知点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同，分别求出A2，A6，A10的坐标，找出规律，进而求解即可．
【解题过程】
解：由题意可知，将点A（-1，0）向上平移1个单位长度得到A1（-1，1），再向右平移3个单位长度得到A2（2，1），再向下平移5个单位长度得到A3（2，-4），再向左平移7个单位长度得到A4（-5，-4）；再向上平移9个单位长度得到A5（-5，5）…，
∴点A平移时每4次为一个周期．
∵102÷4=25 2，
∴点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同．
∵A2（2，1），A6（6，5），A10（10，9），
以此类推，
∴A4n+2（4n+2，4n+1），
∴A102的点坐标是（102，101）．
故选：C．
10．（2023秋·山东东营·七年级统考期末）如图，已知A1(1，2)，A2(2，2)，A3(3，0)，A4(4，﹣2)，A5(5，﹣2)，A6(6，0)，…，按这样的规律，则点A2022的坐标为______．
【思路点拨】
观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2022÷6所得的整数及余数，可计算出点A2022的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．
【解题过程】
解：观察发现，每6个点形成一个循环，
∵A6（6，0），
∴OA6＝6，
∵2022÷6＝337，
∴点A2022的位于第337个循环组的第6个，
∴点A2022的横坐标为6×337＝2022，其纵坐标为：0，
∴点A2022的坐标为（2022，0）．
故答案为：（2022，0）．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是______，经过第2018次运动后，动点P的坐标是______．
【思路点拨】
观察前几次运动后点的坐标，不难发现动点P的横坐标等于运动的次数，而纵坐标的变化为1，0，2，0，1，0，2，0…，4个一循环；
接下来通过总结得到的规律，再结合2017÷4=504……1，即可求出经过2017次运动后动点P的坐标了，同理可找到2018次运动后动点P的坐标.
【解题过程】
根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
∴横坐标为运动次数，经过第2017次运动后，动点P的横坐标为2017，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2017次运动后，动点P的纵坐标为：2017÷4=504……1，故纵坐标为四个数中第一个，即1，
∴经过第2017次运动后，动点P的坐标是（2017，1）.
∵2018÷4=504……2，
∴经过第2018次运动后，动点P的坐标是（2018，0）.
故答案为 ， .
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，；，；，；…；则点的坐标是______．
【思路点拨】
先得出A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3）的坐标，观察可得A的纵坐标的规律，然后确定A的横坐标与下标之间的关系即可求解．
【解题过程】
解：A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3），…，
可得：
A1横坐标为：×3 2=1，纵坐标为：+1=2；
A3横坐标为：×3 2=4，纵坐标为：+1=3；
A5横坐标为：×3 2=7，纵坐标为：+1=4，…；
∴下标为奇数时，横坐标依次为：1，4，7，…，纵坐标为：2，3，4，…；
∴A2023横坐标为：×3 2=3034，纵坐标为：+1=1013…；
∴A2023的坐标为：（3034，1013），
故答案为：（3034，1013）．
13．（2023春·七年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是______________
【思路点拨】
根据图形可以发现规律，从到是一个循环，一个循环周期是10，一个循环后又回到x轴上，且一个循环后横坐标增加4个单位，先求出点的坐标（804，0），再求点的坐标即可．
【解题过程】
解：观察图形可知，ｎ为正整数时，的纵坐标为0，1，3，﹣3
纵坐标为0的点：
纵坐标为1的点：
纵坐标为3的点：
纵坐标为﹣3的点：
可以看出纵坐标为1，3，﹣3时，ｎ取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，
∵2021＝10×202＋1，纵坐标为1的规律
∴的纵坐标为1，
由，解得n＝203，
∵正好是往右循环203次，
∴横坐标为﹣4＋（203－1）×4＝804，
∴点的坐标是（804，1），
故答案为：（804，1）
14．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为______，第个点的坐标为______．
【思路点拨】
从图中可以看出横坐标为的有一个点，横坐标为的有个点，横坐标为的有个点，依此类推横坐标为的有个点．题目要求写出第个点和第个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第个点和第个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【解题过程】
解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有个点第列有个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数轴上方比下方多一个，
，
第个点在第列自下而上第行，
所以奇数列的坐标为：；
偶数列的坐标为：．
由加法推算可得到第个点位于第列自下而上第行．
代入上式得第个点的坐标为，第个点的坐标为．
故答案为： ．
15．（2022春·北京·七年级北京市第五中学分校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________．
【思路点拨】
设第n次跳动至点，根据部分点的坐标找出变化规律“，，，”，照此规律由2022=4×505+2代入求解即可．
【解题过程】
解：设第n次跳动至点，
由图知，、、、、、、、、…，
∴可得：点的变化规律为，，，，
∵2022=4×505+2，
∴，即，
故答案为：．
16．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到时，点的坐标是______，点的坐标是______．
【思路点拨】
根据题意求出点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为，依此类推，从点开始，每走动4次一个循环，从而得到点位于第一象限内，再由落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，即可求解．
【解题过程】
解：根据题意可知：，
∴点的坐标为；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
依此类推，可得点的坐标为，即．
由此发现，从点开始，每走动4次一个循环，
∵，
∴点位于第一象限内，
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，
∴点的坐标为，即．
故答案为①，②．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即，，，，，……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为______．
【思路点拨】
观察点的坐标特点寻找规律，找到横坐标和纵坐标的变化特点即可解答．
【解题过程】
解：横坐标为1的点有1个，纵坐标为0；
横坐标为2的点有2个，纵坐标为0，1；
横坐标为3的点有3个，纵坐标为0，1，2；
横坐标为4的点有4个，纵坐标为0，1，2，3；
…，
发现规律：
因为1＋2＋3＋4＋…＋14＝105，
因为在第14行点的走向为向上，
所以第105个点的坐标为（14，13），
因为第15行点的走向为向下，
故第110个点在此行上，
横坐标为15，纵坐标为从106个点（15，14）向下数5个点，即为10；
故第110个点的坐标为（15，10）
故答案为：（15，10）．
18．（2023秋·湖北孝感·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，…，根据这个规律，第25个点的坐标为________，第2022个点的坐标为________．
【思路点拨】
观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【解题过程】
解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，，
…
右下角的点的横坐标为时，共有个，
①∵，是奇数，
∴第25个点是，
②∵，是奇数，
∴第个点是，
即第个点是
故答案为，．
19．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，．
（1）若点在线段上，当点与点的距离最小时，点的坐标为____；
（2）把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
【思路点拨】
（1）根据两点之间线段最短即可求出答案；
（2）计算“凸”形图中各线段的长度，绕一周需要多少个单位长度，因为是周期变化，所以计算出绕了多少周，余下的线段落在哪里即可求出答案．
【解题过程】
（1）解：根据题意，画图如下，
∵两点之间线段最短，
∴当点 在的直线上时，点与点的距离最小，且点在线段 上，
∴点的坐标是 ，
故答案是：．
（2）解：∵，，，，，
从点的线段之和为 ，即，
∴ ，即绕了 周余下 个单位长度，也就是落在点 ，
∴细线的另一端所在位置的点的坐标是，
故答案是：．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与x轴负半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴负半轴的交点依次记作，，…，，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（3）请求出四边形的面积．
【思路点拨】
（1）根据点的坐标规律即可写出.
（2）根据点的坐标规律即可写出.
（3）四边形的面积为计算即可.
【解题过程】
由题意得:
的横坐标为，纵坐标为0，得出
的横坐标为0，纵坐标为，得出
的横坐标为 ，纵坐标为0，得出
的横坐标为0，纵坐标为，得出
故答案为：，，，
（2）根据上式得出的规律，直接即可写出，，，
故答案为：，，，
（3）∵，，，，
∴四边形的面积为
【典例1】综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，，分别写出，，，的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为、，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律 ，并用，的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” ；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点，点，则线段的中点的坐标为 ；
②已知点是线段的中点，且点，，求点的坐标．
【思路点拨】
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段的中点的坐标；
②设点的坐标为，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点的坐标．
【解题过程】
（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，，，，，，
，，，的坐标分别为：，，，；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
、，线段的中点是，
，
，，，，，、分别为线段、的中点，
检验得，，，
通过，的坐标验证规律是正确的，
故答案为：；是；
（3）解：①点，点，
根据（2）中发现的规律，线段的中点的坐标为，
故答案为：；
②设点的坐标为，
点是线段的中点，且点，，
，
，
点的坐标为．
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，，，，，，，，……，按此规律接下去，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·七年级专题练习）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对表示，如点的位置为，点的位置为．点从开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到，第2次向上移动2个单位到，第3次向右移动3个单位到，…，第次移动个单位(为奇数时向右，为偶数时向上)，那么点第次移动到的位置为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系内，动点P第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……按这样的规律，第2023次运动到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，由跳动至点，依次跳动至点，点，点…根据这个规律，则点的坐标是（ ）
A．（1348，-1） B．（1348，2） C．（674，-1） D．（674，2）
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（-1，3），第四次从点A3跳动到点A4（-1，4），……，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）．
A．（673，2021） B．（674，2021） C．（-673，2021） D．（-674，2021）
8．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·七年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此规律平移下去，则A102的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·山东东营·七年级统考期末）如图，已知A1(1，2)，A2(2，2)，A3(3，0)，A4(4，﹣2)，A5(5，﹣2)，A6(6，0)，…，按这样的规律，则点A2022的坐标为______．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是______，经过第2018次运动后，动点P的坐标是______．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，；，；，；…；则点的坐标是______．
13．（2023春·七年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是______________
14．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为______，第个点的坐标为______．
15．（2022春·北京·七年级北京市第五中学分校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________．
16．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到时，点的坐标是______，点的坐标是______．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即，，，，，……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为______．
18．（2023秋·湖北孝感·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，…，根据这个规律，第25个点的坐标为________，第2022个点的坐标为________．
19．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，．
（1）若点在线段上，当点与点的距离最小时，点的坐标为____；
（2）把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与x轴负半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴负半轴的交点依次记作，，…，，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（3）请求出四边形的面积．
专题7.1 平面直角坐标系中的规律问题
【典例1】综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，，分别写出，，，的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为、，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律 ，并用，的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” ；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点，点，则线段的中点的坐标为 ；
②已知点是线段的中点，且点，，求点的坐标．
【思路点拨】
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段的中点的坐标；
②设点的坐标为，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点的坐标．
【解题过程】
（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，，，，，，
，，，的坐标分别为：，，，；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
、，线段的中点是，
，
，，，，，、分别为线段、的中点，
检验得，，，
通过，的坐标验证规律是正确的，
故答案为：；是；
（3）解：①点，点，
根据（2）中发现的规律，线段的中点的坐标为，
故答案为：；
②设点的坐标为，
点是线段的中点，且点，，
，
，
点的坐标为．
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，，，，，，，，……，按此规律接下去，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
由正方形的中心都是位于原点，边长依次为2，4，6，8，，可得第个正方形的顶点横坐标与纵坐标的绝对值都是．计算，根据商和余数知道是第几个正方形的顶点，且在哪一个象限，进而得出的坐标．
【解题过程】
解：，
顶点是第504个正方形的顶点，且在第四象限，
横坐标是，纵坐标是，
，
故选：B．
2．（2023·全国·七年级专题练习）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对表示，如点的位置为，点的位置为．点从开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到，第2次向上移动2个单位到，第3次向右移动3个单位到，…，第次移动个单位(为奇数时向右，为偶数时向上)，那么点第次移动到的位置为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
数对表示位置的方法是：第一个表示列，第二个表示行，当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，据此即可得解．
【解题过程】
解：根据题意可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，当向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，
∴点第次移动到的位置时，列的数字是中所有奇数的和，行的数字是中所有偶数的和，
∴，，
∴点第次移动到的位置为，
故选：．
3．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系内，动点P第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……按这样的规律，第2023次运动到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据图象可得出：横坐标为运动次数，纵坐标依次为4，2，1，，2，4，每5次一轮，进而即可求出答案．
【解题过程】
解：根据动点在平面直角坐标系中的运动，
，，，，，，
…，
∴横坐标为运动次数，经过第2023次运动后，点的横坐标是2020，
纵坐标依次为4，2，1，，2，每5次一轮，
∴ 4，
∴经过第2023次运动后，点的坐标是，
故选：C．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【解题过程】
解：∵，，，，
∴，，，，
∴绕四边形一周的细线长度为，
，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第5个单位长度的位置，即点C的位置，
∴点的坐标为．
故选：C．
5．（2022春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，由跳动至点，依次跳动至点，点，点…根据这个规律，则点的坐标是（ ）
A．（1348，-1） B．（1348，2） C．（674，-1） D．（674，2）
【思路点拨】
观察可知，，，，每三个点为一组，纵坐标为0，2，-1循环，每个循环内横坐标增加2，据此求解即可．
【解题过程】
解：∵动点从点出发，由跳动至点，依次跳动至点，点，点…
∴，，，，每三个点为一组，纵坐标为0，2，-1循环，每个循环内横坐标增加2，
∵，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为-1，点横坐标为，
∴点的坐标为（1348，-1）．
故选：A．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次点跳动至点，第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【思路点拨】
根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离．
【解题过程】
解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是，
第4次跳动至点的坐标是，
第6次跳动至点的坐标是，
第8次跳动至点的坐标是，
…
第2n次跳动至点的坐标是，
则第2022次跳动至点的坐标是，
第2021次跳动至点的坐标是．
∵点与点的纵坐标相等，
∴点与点之间的距离，
故选：A．
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（-1，3），第四次从点A3跳动到点A4（-1，4），……，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）．
A．（673，2021） B．（674，2021） C．（-673，2021） D．（-674，2021）
【思路点拨】
根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可．
【解题过程】
解：∵A1（0，1），A2（1，2），A3（-1，3），A4（-1，4），
∴A5（2，5），A6（-2，6），A7（-2，7），A8（3，8），
∴A3n-1（n，3n-1），A3n（-n，3n），A3n+1（-n，3n+1）（n为正整数），
∵3×674-1=2021，
∴n=674，所以A 2021（674，2021）．
故选B．
8．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，再由2022÷4=505……2，可得点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，再由A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，可得A4n（2n，0），从而得到A2020的坐标是（1010，0），从而可得出点A2022的坐标．
【解题过程】
解：根据题意得：点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），……
∴每移动4次图象完成一个循环，
∵2022÷4=505……2，
∴点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，
∵A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，
∴A4n（2n，0），
∴A2020的坐标是（1010，0），
∴A2022的坐标是（1010+1，1），即A2022的坐标是（1011，1）．
故选：D．
9．（2022·全国·七年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此规律平移下去，则A102的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据题意可知，点A平移时每4次为一个周期，由102÷4=25 2，可知点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同，分别求出A2，A6，A10的坐标，找出规律，进而求解即可．
【解题过程】
解：由题意可知，将点A（-1，0）向上平移1个单位长度得到A1（-1，1），再向右平移3个单位长度得到A2（2，1），再向下平移5个单位长度得到A3（2，-4），再向左平移7个单位长度得到A4（-5，-4）；再向上平移9个单位长度得到A5（-5，5）…，
∴点A平移时每4次为一个周期．
∵102÷4=25 2，
∴点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同．
∵A2（2，1），A6（6，5），A10（10，9），
以此类推，
∴A4n+2（4n+2，4n+1），
∴A102的点坐标是（102，101）．
故选：C．
10．（2023秋·山东东营·七年级统考期末）如图，已知A1(1，2)，A2(2，2)，A3(3，0)，A4(4，﹣2)，A5(5，﹣2)，A6(6，0)，…，按这样的规律，则点A2022的坐标为______．
【思路点拨】
观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2022÷6所得的整数及余数，可计算出点A2022的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．
【解题过程】
解：观察发现，每6个点形成一个循环，
∵A6（6，0），
∴OA6＝6，
∵2022÷6＝337，
∴点A2022的位于第337个循环组的第6个，
∴点A2022的横坐标为6×337＝2022，其纵坐标为：0，
∴点A2022的坐标为（2022，0）．
故答案为：（2022，0）．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是______，经过第2018次运动后，动点P的坐标是______．
【思路点拨】
观察前几次运动后点的坐标，不难发现动点P的横坐标等于运动的次数，而纵坐标的变化为1，0，2，0，1，0，2，0…，4个一循环；
接下来通过总结得到的规律，再结合2017÷4=504……1，即可求出经过2017次运动后动点P的坐标了，同理可找到2018次运动后动点P的坐标.
【解题过程】
根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
∴横坐标为运动次数，经过第2017次运动后，动点P的横坐标为2017，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2017次运动后，动点P的纵坐标为：2017÷4=504……1，故纵坐标为四个数中第一个，即1，
∴经过第2017次运动后，动点P的坐标是（2017，1）.
∵2018÷4=504……2，
∴经过第2018次运动后，动点P的坐标是（2018，0）.
故答案为 ， .
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，；，；，；…；则点的坐标是______．
【思路点拨】
先得出A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3）的坐标，观察可得A的纵坐标的规律，然后确定A的横坐标与下标之间的关系即可求解．
【解题过程】
解：A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3），…，
可得：
A1横坐标为：×3 2=1，纵坐标为：+1=2；
A3横坐标为：×3 2=4，纵坐标为：+1=3；
A5横坐标为：×3 2=7，纵坐标为：+1=4，…；
∴下标为奇数时，横坐标依次为：1，4，7，…，纵坐标为：2，3，4，…；
∴A2023横坐标为：×3 2=3034，纵坐标为：+1=1013…；
∴A2023的坐标为：（3034，1013），
故答案为：（3034，1013）．
13．（2023春·七年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是______________
【思路点拨】
根据图形可以发现规律，从到是一个循环，一个循环周期是10，一个循环后又回到x轴上，且一个循环后横坐标增加4个单位，先求出点的坐标（804，0），再求点的坐标即可．
【解题过程】
解：观察图形可知，ｎ为正整数时，的纵坐标为0，1，3，﹣3
纵坐标为0的点：
纵坐标为1的点：
纵坐标为3的点：
纵坐标为﹣3的点：
可以看出纵坐标为1，3，﹣3时，ｎ取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，
∵2021＝10×202＋1，纵坐标为1的规律
∴的纵坐标为1，
由，解得n＝203，
∵正好是往右循环203次，
∴横坐标为﹣4＋（203－1）×4＝804，
∴点的坐标是（804，1），
故答案为：（804，1）
14．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为______，第个点的坐标为______．
【思路点拨】
从图中可以看出横坐标为的有一个点，横坐标为的有个点，横坐标为的有个点，依此类推横坐标为的有个点．题目要求写出第个点和第个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第个点和第个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【解题过程】
解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有个点第列有个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数轴上方比下方多一个，
，
第个点在第列自下而上第行，
所以奇数列的坐标为：；
偶数列的坐标为：．
由加法推算可得到第个点位于第列自下而上第行．
代入上式得第个点的坐标为，第个点的坐标为．
故答案为： ．
15．（2022春·北京·七年级北京市第五中学分校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________．
【思路点拨】
设第n次跳动至点，根据部分点的坐标找出变化规律“，，，”，照此规律由2022=4×505+2代入求解即可．
【解题过程】
解：设第n次跳动至点，
由图知，、、、、、、、、…，
∴可得：点的变化规律为，，，，
∵2022=4×505+2，
∴，即，
故答案为：．
16．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到时，点的坐标是______，点的坐标是______．
【思路点拨】
根据题意求出点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为，依此类推，从点开始，每走动4次一个循环，从而得到点位于第一象限内，再由落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，即可求解．
【解题过程】
解：根据题意可知：，
∴点的坐标为；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
依此类推，可得点的坐标为，即．
由此发现，从点开始，每走动4次一个循环，
∵，
∴点位于第一象限内，
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，
∴点的坐标为，即．
故答案为①，②．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按照图中“→”方向排列，即，，，，，……．根据这个规律，探究可得到第110个点的坐标为______．
【思路点拨】
观察点的坐标特点寻找规律，找到横坐标和纵坐标的变化特点即可解答．
【解题过程】
解：横坐标为1的点有1个，纵坐标为0；
横坐标为2的点有2个，纵坐标为0，1；
横坐标为3的点有3个，纵坐标为0，1，2；
横坐标为4的点有4个，纵坐标为0，1，2，3；
…，
发现规律：
因为1＋2＋3＋4＋…＋14＝105，
因为在第14行点的走向为向上，
所以第105个点的坐标为（14，13），
因为第15行点的走向为向下，
故第110个点在此行上，
横坐标为15，纵坐标为从106个点（15，14）向下数5个点，即为10；
故第110个点的坐标为（15，10）
故答案为：（15，10）．
18．（2023秋·湖北孝感·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为，，，，，，…，根据这个规律，第25个点的坐标为________，第2022个点的坐标为________．
【思路点拨】
观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【解题过程】
解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，，
…
右下角的点的横坐标为时，共有个，
①∵，是奇数，
∴第25个点是，
②∵，是奇数，
∴第个点是，
即第个点是
故答案为，．
19．（2022春·河北邢台·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，．
（1）若点在线段上，当点与点的距离最小时，点的坐标为____；
（2）把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为____．
【思路点拨】
（1）根据两点之间线段最短即可求出答案；
（2）计算“凸”形图中各线段的长度，绕一周需要多少个单位长度，因为是周期变化，所以计算出绕了多少周，余下的线段落在哪里即可求出答案．
【解题过程】
（1）解：根据题意，画图如下，
∵两点之间线段最短，
∴当点 在的直线上时，点与点的距离最小，且点在线段 上，
∴点的坐标是 ，
故答案是：．
（2）解：∵，，，，，
从点的线段之和为 ，即，
∴ ，即绕了 周余下 个单位长度，也就是落在点 ，
∴细线的另一端所在位置的点的坐标是，
故答案是：．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）小明在学面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与x轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴正半轴的交点依次记作，，…，，图形与x轴负半轴的交点依次记作，，…，，图形与y轴负半轴的交点依次记作，，…，，发现其中包含了一定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（2）请分别写出下列点的坐标：__________，__________，__________，__________．
（3）请求出四边形的面积．
【思路点拨】
（1）根据点的坐标规律即可写出.
（2）根据点的坐标规律即可写出.
（3）四边形的面积为计算即可.
【解题过程】
由题意得:
的横坐标为，纵坐标为0，得出
的横坐标为0，纵坐标为，得出
的横坐标为 ，纵坐标为0，得出
的横坐标为0，纵坐标为，得出
故答案为：，，，
（2）根据上式得出的规律，直接即可写出，，，
故答案为：，，，
（3）∵，，，，
∴四边形的面积为