仁寿一中南校区2023级高一下5月月考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为共线向量，且，则（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量共线求出x，再求模长即可.
【详解】共线，则，得，
故.
故选：C
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘方及复数除法运算求出复数，再求出即可得解.
【详解】由，得，
则，所以的虚部为1.
故选：A
3. 设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由题设写出A、B的点坐标，进而得到的点坐标，即可判断其对应点所在象限.
【详解】由复数的几何意义知，，故，
所以表示的复数所对应的点位于第四象限.
故选：D
4. 已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由投影向量公式直接求解.
【详解】在方向上的投影向量为.
故选：B
5. 已知，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式得到，再利用余弦二倍角公式求出答案.
【详解】
.
故选：B
6. 已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕 转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将梯形复原为原图即直角梯形，确定相关的边长，结合题意以及圆台的侧面积公式，即可求得答案.
【详解】由题意将梯形复原为原图，即直角梯形，
其中，则，
故将梯形绕 转一周得到一个几何体为圆台，
圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5，
故该几何体的侧面积为，
故选：C
7. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理化简已知式可得，再由余弦定理可知，最后由正弦定理即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得：，
所以由余弦定理可得：，
所以，再由正弦定理可得：.
故选：D.
8. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解.
【详解】因为所以
因为三点共线，
所以即,
又因为，
所以,且为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以，
所以
.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积公式，结合圆柱、圆锥、球的体积公式逐一判断即可.
【详解】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，
则圆柱的侧面积为，A错误；
圆锥的母线长，侧面积为，B错误；
球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；
，，
，D正确．
故选：CD．
10. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 的对称轴为，
C. 的对称中心为，
D. 的单调递增区间为，
【答案】AD
【解析】
【分析】先利用三角恒等变换将函数解析式化简，再结合三角函数的图象和性质逐一判断选项即可．
【详解】，
对于A，函数的最小正周期为，所以A正确；
对于B，令，则，所以对称轴为，故B错误；
对于C，令，，可得对称中心为，故C错误；
对于D，令，，则，
所以单调递增区间为,故D正确．
故选：AD．
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 在上的投影向量为
D. 若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断AB,由投影向量和投影判断CD得答案．
【详解】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，
对于A，，故A错误；
对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍，
可得，故B正确；
对于C，在上的投影向量为，故C正确；
对于D，设的夹角为则，其中表示在上的投影，
易知,延长DC交AB延长线于Q,当P在线段DC上运动，投影最大，
易知为等腰直角三角形，且,
则在中，,
在等腰三角形中，则
.故D正确．
故选:ABD．
【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积及性质，关键是利用数量积的几何意义确定在上的投影的最大值解决D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示直接求解.
【详解】若，则即，解得.
故答案为：
13. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是_________
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆锥的底面圆半径和高，再利用体积公式计算即得.
【详解】设圆锥底面圆半径为，由圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为4的扇形，
得圆锥的母线，且，解得，因此圆锥的高，
所以这个圆锥的体积.
故答案为：
14. 设向量满足，与的夹角为，则的最大值为______
【答案】4
【解析】
【分析】利用向量的数量积求得的夹角，在利用向量的运算法则作出图，结合图象，判断出四点共圆，利用正弦定理求出外接圆的直径，即可求解.
【详解】如图所示，设 因为，
所以，因为，所以，
，，所以四点共圆,
因为，，所以，
由正弦定理知，即过四点的圆的直径为4，
所以||的最大值等于直径4.
故答案为：4.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；
（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
因为，
所以，而，故
所以，
因为，，
所以.
因此有
16. 在中，角所对的边分别为，且．
（1）求的大小；
（2）若，，点在边上，且，求线段的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，即可求解；
（2）根据平面向量的线性运算可得，结合向量数量积的运算律和定义计算即可求解.
【小问1详解】
，由正弦定理得，
，
又，
所以，
得，又，
所以，即，
得，又，所以，
故；
【小问2详解】
由，得，即，
所以，
所以，即.
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数所在上有两个不同的零点，，求实数的取值范围，并计算的值．
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）m∈[，2），tan（x1′+x2′）＝．
【解析】
【分析】（1）利用正弦和角公式，降幂扩角公式以及辅助角公式化简函数解析式为标准正弦型函数，再求函数性质即可；
（2）数形结合，根据图象有2个交点，求得的范围；根据对称性，即可求得，再求正切即可.
【详解】函数f（x）＝4sin（x）cosx．
化简可得：f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x
＝sin2x（cos2x）
＝sin2xcos2x
＝2sin（2x）
（1）函数的最小正周期T，
由2x时单调递增，
解得：
∴函数的单调递增区间为：[，]，k∈Z．
（2）函数g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1′，x2′，
转化为函数f（x）与函数y＝m有两个交点
令u＝2x，∵x∈[0，]，∴u∈[，]
可得f（x）＝sinu的图象（如图）．
从图可知：m在[，2），函数f（x）与函数y＝m有两个交点，
其横坐标分别为x1′，x2′．
故得实数m的取值范围是m∈[，2），
由题意可知x1′，x2′是关于对称轴是对称的：
那么函数在[0，]的对称轴x
∴x1′+x2′2
那么：tan（x1′+x2′）＝tan
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及三角函数性质的性质的求解，数形结合的思想，属综合中档题.
18. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
（1）求小岛与小岛之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；
（3）记为，为，求的值．
【答案】（1）2nmile；
（2）18平方海里； （3）．
【解析】
【分析】（1）根据同角的平方关系求出，结合余弦定理计算即可求解；
（2）易知，则，利用余弦定理计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解；
（3）方法1：根据正弦定理和同角的平方关系可得，由诱导公式求出，结合和两角和的正弦公式计算即可求解.
方法2：利用余弦定理和同角的平方关系计算求得，结合和两角和的正弦公式计算即可求解.
【小问1详解】
，且A为钝角，，
中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或（舍去）．
小岛A与小岛之间的距离为2nmile．
【小问2详解】
四点共圆，与互补，则
．
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得（舍去）或．
（平方海里），
四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．
【小问3详解】
方法1：在中，由正弦定理得：，即，解．
，为锐角，则，
又，
，
．
方法2
在三角形中，；；；
由余弦定理可得：；
；
又，
，
．
19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点.
（1）若向量的“伴随函数”为，求向量；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数的“源向量”为，且已知，；
（ⅰ）求周长的最大值；
（ⅱ）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由“源向量”与“伴随函数”的概念将化为形式求解即可.
（2）（ⅰ）由余弦定理与基本不等式求解周长的最大值即可；（ⅱ）将向量转化为三角形的边的关系，结合重要不等式求解即可.
【小问1详解】
,
所以
小问2详解】
（ⅰ）由于函数的“源向量”为，
所以，，所以，，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，
所以有基本不等式得：，
所以，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，所以周长的最大值为.
（ⅱ），
又，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
又当点无限接近点顶点时，边无限接近，即无限接近，
综上所述：，
令，则，，
从而，
所以，
即的取值范围为.仁寿一中南校区2023级高一下5月月考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知共线向量，且，则（ ）
A. B. 3 C. D.
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. 1 B. C. D.
3. 设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕 转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角所对的边分别为，已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥侧面积为
C. 圆柱侧面积与球面面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为
10. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 的对称轴为，
C. 的对称中心为，
D. 的单调递增区间为，
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 在上的投影向量为
D. 若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则实数的值为___________．
13. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是_________
14. 设向量满足，与的夹角为，则的最大值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
16. 在中，角所对的边分别为，且．
（1）求的大小；
（2）若，，点在边上，且，求线段的长．
17 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数所在上有两个不同的零点，，求实数的取值范围，并计算的值．
18. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
（1）求小岛与小岛之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；
（3）记为，为，求的值．
19. 定义函数“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点.
（1）若向量的“伴随函数”为，求向量；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数的“源向量”为，且已知，；
（ⅰ）求周长的最大值；
（ⅱ）求的取值范围.
