(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学5.1导数的概念及意义(精练)（含解析）

5.1 导数的概念及意义（精练）
1 平均速度
1（2022·陕西·延安市第一中学）若函数，当时，平均变化率为2，则m等于（ ）
A． B．2 C．3 D．1
2．（2022·河北·高二期中）已知函数，则在上的平均变化率为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）某质点沿曲线运动的方程为（x表示时间，表示位移），则该质点从x＝2到x＝3的平均速度为（ ）
A．－5 B．5 C．－6 D．6
4．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为__________．
5．（2021·广东珠海·高二期末）若函数在区间上的平均变化率为3，则_____________.
6．（2022·北京八中高二阶段练习）如图，函数在上的平均变化率为______．
7．（2022·北京市房山区房山中学高二期中）2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①甲小区在[0，]，[，]，[，]三段时间中，在[，]的平均分出量最大；
②在[，]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
③在[，]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
④在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢．
其中所有正确结论的序号是______________.
2 瞬时速率
1．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）质点运动方程，那么当质点在 时的速度为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，则该物体在2秒末的瞬时速度是（ ）
A．8米/秒 B．12米/秒
C．16米/秒 D．20米/秒
3．（2021·重庆九龙坡·高二期末）一个物体运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系可用函数表示，那么物体在秒时的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．4米/秒
4．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（　 　）
A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒
5．（2022·陕西西安·高二期末（理））一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．16
6．（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
7（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度是关于时间的函数，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
3 某处的导数
1．（2022·北京房山·高二期末）已知函数，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·山东枣庄·高二期中）设函数在R上可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·云南德宏）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中（理））已知函数在处的导数为，则等于（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．1
5．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的定义域为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·广东·广州市第二中学高二阶段练习）已知函数f(x)的导函数为，且=1，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
8（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）已知函数，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
9．（2021·全国·高二单元测试）设函数，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
4 导数几何意义及应用
1．（2022·河南）已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45°
C．135° D．165°
2．（2021·全国高二课前预习）曲线y＝在点(1，1)处切线的斜率为（ ）
A．1 B．－1
C． D．－
3．（2021·全国）若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
4．（2021·全国高二课时练习）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处切线的斜率是________.
5．（2021·全国高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线
B．若曲线在点处有切线，则必存在
C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在
5.1 导数的概念及意义（精练）
1 平均速度
1（2022·陕西·延安市第一中学）若函数，当时，平均变化率为2，则m等于（ ）
A． B．2 C．3 D．1
答案：D
【解析】由题得，所以故选：D.
2．（2022·河北·高二期中）已知函数，则在上的平均变化率为（ ）
A． B． C．2 D．3
答案：A
【解析】在上的平均变化率为：，
故选：A
3．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）某质点沿曲线运动的方程为（x表示时间，表示位移），则该质点从x＝2到x＝3的平均速度为（ ）
A．－5 B．5 C．－6 D．6
答案：A
【解析】由题得该质点从x＝2到x＝3的平均速度为．
故选：A．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为__________．
答案：
【解析】根据题意，函数在区间上的平均变化率为：
解得： 故答案为：2.
5．（2021·广东珠海·高二期末）若函数在区间上的平均变化率为3，则_____________.
答案：2
【解析】函数在区间上的平均变化率为，所以.
故答案为：2
6．（2022·北京八中高二阶段练习）如图，函数在上的平均变化率为______．
答案：
【解析】依题意可得、，
所以在上的平均变化率；
故答案为：
7．（2022·北京市房山区房山中学高二期中）2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①甲小区在[0，]，[，]，[，]三段时间中，在[，]的平均分出量最大；
②在[，]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
③在[，]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
④在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢．
其中所有正确结论的序号是______________.
答案：③④
【解析】有图可知甲小区在[0，]，[，]，[，]三段时间中平均分出量基本相等，故①错.在[，]这段时间内，甲小区的增长量小于乙小区增长量，所以甲的平均分出量比乙小区的平均分出量小，故②错.在[，]这段时间内，乙小区增长量高于甲小区，所以乙的平均分出量比甲小区的平均分出量大，故③对.在时刻，乙的图像比甲陡，瞬时增长率大，所以④对.
故答案为:③④.
2 瞬时速率
1．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）质点运动方程，那么当质点在 时的速度为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：A
【解析】因为，所以 时的速度，故选：A
2．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，则该物体在2秒末的瞬时速度是（ ）
A．8米/秒 B．12米/秒
C．16米/秒 D．20米/秒
答案：D
【解析】物体在2秒末的瞬时速度是在时的导数值，
因为，所以物体在2秒末的瞬时速度是20米/秒．故选：D.
3．（2021·重庆九龙坡·高二期末）一个物体运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系可用函数表示，那么物体在秒时的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．4米/秒
答案：C
【解析】由已知得，，，当时，，
物体在时的瞬时速度为5米/秒.故选：C
4．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（　 　）
A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒
答案：D
【解析】
则他在0.25秒时的瞬时速度为5.55米/秒
故选：D
5．（2022·陕西西安·高二期末（理））一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．16
答案：A
【解析】
所以所以.故选：A.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
答案：D
【解析】∵物体做直线运动的方程为，
根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度，
∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．
故选：D．
7（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度是关于时间的函数，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
答案：B
【解析】几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢，
即图象越来越平缓，故选：B.
3 某处的导数
1．（2022·北京房山·高二期末）已知函数，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：A
【解析】由题意，
故选：A.
2．（2022·山东枣庄·高二期中）设函数在R上可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】
故选：C
3．（2020·云南德宏）已知，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】因为，所以
所以.故选：C
4．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中（理））已知函数在处的导数为，则等于（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．1
答案：A
【解析】根据导数的定义可知.
故选：A
5．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的定义域为，若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由导数的定义可得.故选：D.
6．（2021·广东·广州市第二中学高二阶段练习）已知函数f(x)的导函数为，且=1，则（ ）
A． B． C．1 D．2
答案：C
【解析】．故选：C．
7．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
答案：B
【解析】因为，所以，
故
故选：B
8（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）已知函数，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
答案：D
【解析】根据题意，，则，又．故选：D．
9．（2021·全国·高二单元测试）设函数，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
答案：A
【解析】∵，且，
∴．故选：A．
4 导数几何意义及应用
1．（2022·河南）已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45°
C．135° D．165°
答案：B
【解析】，
，
所以在点处切线的斜率为，
故切线的倾斜角为45°.
故选：B
2．（2021·全国高二课前预习）曲线y＝在点(1，1)处切线的斜率为（ ）
A．1 B．－1
C． D．－
答案：B
【解析】k＝＝＝－1.
3．（2021·全国）若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
答案：1
【解析】k＝
.
故答案为：1.
4．（2021·全国高二课时练习）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处切线的斜率是________.
答案：-4
【解析】由，根据导数的定义，可得，所以，
即曲线在处的切线的斜率为.
故答案为：.
5．（2021·全国高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线
B．若曲线在点处有切线，则必存在
C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在
答案：AC
【解析】，不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；
当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为，故AC正确.故选：AC.