数学必修（Ⅰ） 2.2.2二次函数的最值 预习案
【知识回顾】
1、完成下列表格
f(x)=ax2+bx+c ( x∈R )
?
判别式
a>0
a<0
函
数
的
图
像
△>0
?
?
△=0
?
?
△ <0
?
?
最值
当x= 时,y最小值=
当x= 时,y最大值=
2、练习:已知函数f(x)=x2+2x+2 ( x∈D ),画出函数在下列各D中的草图（1） [-3,-2] （2）[-2,1]
【自主探究】
探究1：从2题的图像中看出
（1）当x=________是 y最大值=_________
当x=________是 y最小值=_________
（2）当x=________是 y最大值=_________
当x=________是 y最小值=_________
探究2：观察2题图像，函数对称轴与函数最值间有什么关系？
预习反馈：
我明白了什么？
我的疑点问题是什么？
数学必修（Ⅰ）2.2.2二次函数的最值 精讲学案
命制人：董文涛 复核人： 宋瑞金
【学习目标】
1、掌握闭区间上的二函数的最值问题
2、了解并会处理含参数的二次函数的最值问题
【合作探究】
探究一：
已知函数f(x)=x2+2x+2 ( x∈D ),求函数在下列各D中的最值
（1） [-3,-2] （2）[-2,1]
变式：已知函数f(x)=x2+2x+2 ( x∈D ),求函数在下列各D中的最值
（1） [0,1] (2)
小结：1、_______、_________、__________控制着二次函数的最值
2、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在_________或__________处取得
3、求二次函数最值时先观察对称轴和_________关系，如果对称轴在区间内再考察____________距离对称轴的远近。
探究二：含参数的二次函数的最值求解
例2：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最小值
例3：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值
小结：含参数的二次函数的最值主要从____________和____________进行讨论
变式：求二次函数f(x)= -x2 + 4ax -3在区间[-2,1]上的最大值，最小值。
【课堂小结】
本节课我学会了哪些知识？___________________________________________________
我学会了哪些方法？_________________________________________________________
【深化提高】
已知函数f（x）= x2+2x+2，x∈【n,n+1】
（1）求函数的最小值。
（2）求函数的最大值。
【当堂检测】
1、函数f（x）= -x2+2x+3，在区间(2，3]上的值域是_______
2、求二次函数f（x）= -x2+4ax-3在区间[-2,1]上的最小值。
【优化训练】
《二次函数在闭区间的值域》教学设计
????一、教学内容解析
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二次函数在闭区间上的最值是高中数学中的重点内容，也是困扰学生的一个难点和教师教学的一个难点，因为在解题过程中渗透着学生不太容易掌握的分类讨论、数形结合等重要的数学思想方法。?本节课安排在《普通高中课程标准实验教科书数学1（必修）》(人教B版)第一章《2.1.3函数的单调性》教学之后，?使得学生能更深刻地理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，并深刻体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用。本节课的教学重点是二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律，教学难点是与参数有关的二次函数在闭区间上的最值的求法。
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二次函数在闭区间上的最值属于程序性知识，需要教师运用理性的教学方法，让学生在认知单调性与最值等相关知识的基础上熟练掌握二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。?根据教学实际,我将本节课设计为数学探究课。在探究的过程中，借助于多媒体教学手段,让学生观察几何画板中的动态演示，通过对二次函数图像的“再认识”，探究二次函数在闭区间上的最值；运用“探究——讨论”模式，使学生运用单调性与最值的知识既巩固了函数的单调性与最大（小）值的知识，又突破了二次函数在闭区间上的最值这一重点。
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学生在初中已经学过二次函数的简单性质与图像，在前一节课中对函数的单调性与最大（小）值有一个初步的认识。遵循由浅入深、循序渐进的原则,本节课实质上是对前面所学知识的综合应用，从而实现对所学知识的螺旋式上升。?本节课中渗透的分类讨论思想及数形结合思想，又为学生继续学习高中数学打下坚实的基础。
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二、教学目标设置
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1。知识与能力：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，学会运用二次函数在闭区间上的图像研究和理解相关问题。
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2。过程与方法：通过实验，观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。
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3．情感、态度与价值观：通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用,培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作与交流的能力。
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三、学生学情分析
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我所任教班级的学生是潍坊中学的高一新生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新课标”下的课程、教材。
1。高一学生在初中已学过二次函数，知道二次函数在x∈?R时在顶点处取得最大值或最小值，在此之前又学习了函数的概念与表示、单调性与最大（小）值的相关知识，已经具备了本节课学习必须的基础知识；
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2。对于与参数有关的二次函数在闭区间上的最大（小）值问题的解决，达成教学目标除了要具备函数的单调性和最大（小）值、二次函数的相关知识之外，相应要求较高的计算能力、字母推理能力，特别是对于参数对二次函数图像的影响要准确把握，而这恰恰是高一新生所欠缺的；
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3。正是由于学生在已有的基础和需要的基础之间的差异，计算能力和字母推理能力可以通过课堂讨论、互助合作的方式消除，而参数对二次函数图像的影响可由学生的探究以及教师借助于多媒体手段帮助学生消除。
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四、教学策略分析
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由于这是一堂探究课,?考虑到学生的计算能力和字母推理能力较弱，所以在教学中,我拟采用讨论——探究式：先由教师利用实例设置问题情景，激发学生积极思考，引导他们运用已有的知识经验来解决探究1；再通过实验，师生合作讨论出探究2的解决方法并完成解题过程；再让学生课后探究的方式尝试解决探究3。最后，我将根据学生回答问题的情况进行小结，概括出本节探究课的成果。
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本节课的教学中，用实例引出探究的课题，再通过“探究1——探究2——探究3”问题串的形式让学生讨论探究出二次函数在闭区间上的最值一般解法和规律。课后作业的第1、2、3题分别是对探究1、探究2、探究3三种类型问题的练习，从而达到学以致用的目的；课后作业的第4题是本节课中的实例，让学生自主完成,从而达到解决实际问题的目的。课外探究第1题，是让学生探究分段函数最值得求法；第2题是让学生探究更为复杂的含参问题。课外探究的设置为学有余力的学生提供了进一步探究学习的机会。
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在本节课的教学中，为了配合多媒体的教学，准备了学案让学生配套使用。先让学生提前预习相关内容，对所要探究的问题有初步的了解，再在课堂上详细的探究，课后在学案上有相应的练习题和课外探究题让学生巩固所学知识。
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五、教学过程设计
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（一）实例引入
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【设计意图】
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引用美国电影《狙击精英》，导入课题，引起学生的注意和兴趣，充分调动起学生的积极性。
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【师生活动】
?1、观看电影中狙击枪的镜头，让学生认识到子弹在空中的飞行轨迹是抛物线
?2、学生对于影片中出现的武器，引出了极大的兴趣
教师活动
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1、播放投影，给出课题。
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2、借助电影引入实例，并分析题目的解决方法，激发学生进行探究的兴趣。
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3、结合课件，把预习案出现的问题集中解决。
学生活动
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1、观看投影，在已有的知识基础上分析实例。
?2、结合课件，把自己出现的问题解决。
?【学情预设】
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学生对于在整个函数区间上的值域并不陌生，基本能解决问题，为探究二次函数在闭区间上的最值埋下伏笔。
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（二）讨论探究
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【设计意图】
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通过“探究1——探究2——探究3”问题串的形式让学生讨论探究出二次函数在闭区间上的最值一般解法和规律,并感受数形结合思想与分类讨论思想在解决数学问题中的重要作用。
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1 探究1：二次函数在给定区间上最值的求法。
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【设计意图】
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通过探究1,让学生讨论探究定函数在定区间上最值求解方法，并通过二次函数在闭区间上图像直观形象地观察、分析问题和解决问题。
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【师生活动】
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1、探究1:求二次函数f(x)=x2+2x+2 ( x∈D )在下列区间上的最值：
?（1）x∈ [-3,-2] （2）x∈ [-2,1]
2、思考：通过探究1，你认为二次函数在闭区间上的最值有何规律？
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?? ?教师活动
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1、投影出探究1，给一定时间让学生尝试解决;
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2、等大部分同学做出结果后，投影出探究1的答案让学生核对，并借助图像进行分析讲解。
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3、在此基础上和学生互动讨论二次函数在闭区间上的最值的规律。
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?学生活动
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1、尝试解决探究1并核对正确答案；
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2、思考探究1中二次函数在闭区间上的最值的规律并积极讨论回答问题。
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【学情预设】
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探究1是最基本的题型，学生可以自己完成。（1）是对称轴在闭区间右侧；（2）内部情形，通过观察图像，运用单调性的相关知识也可以解决。这里难度较大的是如何让学生讨论探究出此类题型的最值的规律，故要借助图像引导学生总结出解法及规律。
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2 探究2：与参数有关的二次函数在给定区间上的最值的求法。
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【设计意图】
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让学生分组讨论探究2的求解方法，使学生体会运动的相对性,从而类比探究2的过程与方法可以制定出解决问题3的方法。
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【师生活动】
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1、探究2:求二次函数f(x)=x2-2ax-1??在区间[0,2]上的最小值。
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2、学生分组讨论：怎样求解探究2中f(x)最小值
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3、讨论结果反馈，请学生派代表说明讨论结果。
4、如果把问题变式成求最大值该如何处理？?
5、思考：通过探究2，你认为含有参数的二次函数在闭区间上的最值有何规律？
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??? ?教师活动
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?1、投影出探究2，让学生分组讨论。
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?2、组织学生说明讨论结果并加以完善。
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3、组织学生交流讨论结果。
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4、?引导学生讨论出探究2的解题方法和规律。
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?学生活动
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?1、分组讨论探究2
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?2、在教师的组织下派代表说明讨论结果
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?3、和教师讨论完善探究2的解题方法和规律
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【学情预设】
?探究2是难度较大的题型，涉及到分类讨论以及字母的推理运算。?教师要借助几何画板引导学生观察出对称轴变化时相应的区间变化，二次函数在闭区间上的图像也随着变化，从而影响到最值。教师注意和学生互动讨论并且在黑板上演示规范化解题的格式。学生对于f(x)max是关于参数a的函数较难理解，教师要注意用函数概念加以说明，此处也是让学生对函数概念螺旋式上升理解的一个具体例子。?学生讨论归纳探究2的解题方法和规律时教师要引导学生注意分类讨论思想的应用
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3 探究3：二次函数在与参数有关的区间上最值的求法。（课外探究）
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【设计意图】
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通过探究2,让学生讨论探究定函数在动区间上最值求解方法，并通过动态演示二次函数在闭区间上的图像，让学生直观形象地观察、分析问题和解决问题。
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根据运动的相对性,学生可以对比探究2的解题过程讨论出探究3的解题方法和规律来。?如果时间允许，探究3将为学生提供一次数学猜想、试验的机会。?探究3设置的目的是为学生自主探究学习提供平台，当然，如果课堂上时间允许的话，可借助“多媒体课件”，引导学生对自己的结论进行验证。
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? ?（三）课堂小结
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【设计意图】
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??归纳总结二次函数问题在闭区间上最值的一般解法和规律,完成本节课知识的建构。
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【师生活动】
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?1、二次函数在闭区间上的最值的求法:四看(开口方向、相对位置、单调性、最值点)加一看（看图像）。
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2、二次函数在闭区间上的最值的规律:两大类（对称轴在闭区间内、外）四小类（对称轴在闭区间左侧、右侧、内部靠近左端点、内部靠近右端点）。
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3、?本节课用到的数学思想:数形结合思想与分类讨论思想。
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【学情预设】
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学生在总结归纳中整理知识，深刻体会求解二次函数在闭区间上最值的方法和规律。
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（四）课后作业
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【设计意图】
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学生应用探究所得知识解决相关问题，进一步巩固和提高二次函数在闭区间上最值的求解方法与规律。本节课是由实例引入的，课后让学生思考完成实例，从而达到学以致用、解决实际问题的目的。
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（五）课外探究（探究3）
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【设计意图】
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让部分学有余力的同学积极去完成，培养学生的探索精神。
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课件21张PPT。二次函数的最值普通高中数学 必修一（人教B版）巴雷特m82预案反馈预习案整体完成好，个别同学在图像的处理中细节处理不够完善。
预习检测答案：1.x=-3时y=5 x=-2时y=2
2.x=1时y=5 x=-1时y=1优胜小组：五组、四组
优胜个人：王晓彬 于慈潇 刘瑞聪 刘旭东 张浩然
张晓辉 徐学林 裴昌齐 闫玲君 卢晓颖学习目标1、理解并掌握求二次函数值域的方法。
2、能够熟练运用含有字母参数的二次函数值域的求法及应用。
当x= 时,y最小值=已知函数f（x）=x2+2x+2,x D,画出函数在下列各D中的图像：
① [-3,-2]； xyxyO-1-1变式[0,1]； 已知函数f（x）=x2+2x+2,x D,画出函数在下列各D中的图像：
② [-2,1] ；xy-1xO-1y-3变式[-3,1/2]； 你知道二次函数在限定区间[m,n]
上的最值在什么地方产生吗自主探究含参的二次函数的最值求解例2：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间
[0,2]上的最小值？例3：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间
[0,2]上的最大值？变式训练：
求二次函数f(x)= -x2 + 4ax -3在区间[-2,1]上的最大值，最小值。已知函数f（x）=x2+2x+2，x∈【n,n+1】
求函数的最小值。深化提高求函数的最大值？1、
2、 小结：当堂检测1、函数f（x）= -x2+2x+3，在区间(2，3]上的值域是_______
2、求二次函数f（x）= -x2+4ax-3在区间[-2,1]上的最小值。作业：课后巩固案再见!
