《圆的标准方程》教学设计
一、教材分析
1、教学内容
人教B版教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒3节圆的方程。本节主要研究圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。
教材的地位与作用
圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。
本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。
三维目标
（1）知识与技能：掌握圆的标准方程的形式；能够根据题目给定条件求圆的标准方程；能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。
（2）过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。
（3）情感、态度、价值观：培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。
4．教学重点
圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程
5. 教学难点
根据条件求圆的标准方程。
二．教法分析
高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。
在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。
三、学法分析
从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。
四、教学过程
教师活动：问题：圆的定义是什么？确定圆需要几个要素？
学生活动：学生回忆所学知识：①是平面内的点到定点的距离等于定长的点的集合
②确定圆的要素是定点（圆心）和半径
设计意图：通过回顾复习，让学生对本课有一个知识的准备。
教师活动：如果把一个圆放在坐标下，其方程有什么特征，如何写出这个圆的所在的方程，设C（a，b）为圆心，r为半径的圆。而M（x，y）为圆上的任意一点。
点与圆有几种位置关系
学生活动：学生讨论分析：根据定义圆上的点到圆心的距离为定长，老师引导我们通常建立平面坐标系，画出圆的图象：
学生通过观察，分析得：
即
老师总结：圆的标准方程 ；为单位圆
学生通过观察分析得，点与圆有3种位置关系
点在圆上，点到圆心的距离等于半径
点在圆内，点到圆心的距离小于半径
点在圆外，点到圆心的距离大于半径
设计意图：将几何知识用代数的式子表示出来是一个难点，所以老师要进行适当的引导，采用师生共同探讨的教学方法
教师活动：预习自测
（1）写出下列圆的圆心坐标和半径；
（2）写出圆心为，半径长等于5的圆的方程
判断点与圆的位置关系。
学生活动 （1）口头回答
(2)
三点分别在圆上，圆内，圆外
设计意图：学生对圆已有了初步的认识，进而掌握由圆的方程求圆心和半径；由圆心和半径求圆的方程，并判断点与圆的位置关系
教师活动：例1.根据下列条件，求圆的方程：
(1)圆心在点C（-2,1），并过点A（2，-2）;
(2) 圆心在点C（1,3），并与直线3x-4y-6=0相切；
学生活动：学生分析并讲解
答案：（1）
（2）
（3）
设计意图：本例题比较简单，故采用学生讲解的方式，一方面调动了学生的积极性，另一方面也锻炼了学生。
教师活动 例2．求下列条件所确定的圆的方程：
(1) 过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．
(2)已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.
教师结合图形点拨，最后和学生一起总结，掌握题目的本质。
学生活动：学生讨论探究：分7组讨论交流
（1）圆心在一条直线上，过一点且与一条直线相切；（2）过两点且圆心在一条直线上的圆的标准方程的求法，总结出求圆的标准方程的规律方法——几何法和代数法，做题时一定要注意数形结合。
讨论结束后，两个小组到黑板展示，另两个小组点评
设计意图：这是本节课的难点，在例1的基础上本题有一定的难度，符合学生循序渐进、由易到难的的认知规律，使学生掌握圆的标准方程。既培养了学生团结合作精神，又能形成竞争意识。
教师活动； 变式练习：
求下列条件所确定的圆的方程：（1）过，，且圆心在轴上的圆的方程
（2）半径为5，过点（1,2）且与x轴相切的圆的方程
学生回答完后，教师多媒体展示答案。
学生活动：学生分析并讲解，最后给出答案：
设计意图；这道题是两道综合题，用到了数形结合的思想和两点间的距离公式。进一步巩固加深圆的标准方程的求法。
教师活动；当堂检测：
1.已知，，求以线段为直径的圆的方程，并判断点
M(6，9)，N(3，6)，Q(5，-1)在圆上、在圆内、还是在圆外?
2. 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
3、已知圆的圆心在直线上，且与直线切于点，求圆的标准方程.
学生活动：用5分钟的时间完成这3个题，然后学生给出答案：
2、C
3、
设计意图；检测本节课的掌握情况
师生共同活动；课堂小结
1．圆的方程的推导步骤，点与圆的位置关系
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径。
3．由不同的已知条件求解圆的标准方程。
4. 求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法。
5. 数型结合的数学思想
教师活动：布置作业
学生活动：课后巩固学案A层作练习A，B层全做
设计意图：作业布置要有梯度，不能一刀切。
板书设计：2.3.1圆的标准方程
一、建立圆的标准方程
1、 圆的方程的推导
2、圆的标准方程的特点，圆心（a,b）定位，r定形
3、 点与圆的位置关系
二 、 圆的标准方程的应用
例1
例2（1）（2）
练习（1）（2）
五．教学后记
今天展示的这节课，不是展示我讲的多精彩，而是怎样让学生全身心的投入思考，怎样去探究45分钟的最大效能，怎样将试卷落实最好，不要留疑点。
万事万物都是发展变化的，课堂教学也是如此。但不管如何变化，学生学到知识，锻炼了思维才是最重要的！
《圆的标准方程》评测练习
1、已知，，求以线段为直径的圆的方程，并判断点M(6，9)，N(3，6)，Q(5，-1)在圆上、在圆内、还是在圆外?
2、以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
3、已知圆的圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0切与点（2，-1），求圆的标准方程。
4、求过点A(1,1)，B（-3，5），且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的方程。
课件18张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！圆的标准方程【三维目标】
知识与技能：掌握圆的标准方程的形式；能够根据题目给定条件求圆的标准方程；能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。
过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。
情感、态度、价值观：培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。
【教学重点】
圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程。
【教学难点】
根据条件求圆的标准方程。
复习回顾1、圆的定义 如图，在一个平面内，线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆平面内到定点距离等于定长的点的轨迹（集合）.2、确定圆需要几个要素？圆心－－确定圆的位置(定位)
半径－－确定圆的大小(定形)圆的定义：xy|CM|= r 如图，设M(x, y)是圆C上的任意一点，则点M在圆C上的条件是
由两点间距离公式M(x,y)， C(a,b) 探究一：已知圆的圆心C(a,b)及半径r,如何确定圆的方程？也就是说，如果点M在圆C上，则|CM|= r，反之,如果|CM|= r，则点M一定在圆C上 方程(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2称为圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程问题:圆的标准方程有什么特征?（1）有两个变量x,y，最高次数都是2，形式是与某个实数差的平方
（2）有三个参数a,b,r需要确定
（3）方程的右边是某个实数的平方，该实数一定为正数。若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
圆的半径是正数 怎样判断点 与圆
探究二：点与圆有几种位置关系 ？的位置关系？ 预习自测答案（1）圆心（4,1）半径r=
圆心（0,0）半径r=3
圆心（a,0）半径r=/a/
圆心（-2，-1）半径r=2请对照答案改错探究一 求圆的标准方程
例1.根据下列条件，求圆的方程：
(1)圆心在点C（-2,1），并过点A（2，-2）;
(2) 圆心在点C（1,3），并与直线3x-4y-6=0相切；
(3)过点（0,1）和点（2，1），半径为内容：
通过对例2的讨论，探究圆心在一条直线上，过一点且与一条直线相切；过两点且圆心在一条直线上的圆的标准方程的求法。（讨论时间：7分钟）
目标要求：
（1）小组长首先安排任务，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论，AA力争拓展提升，BB、CC解决好全部展示问题。
（2）讨论时，手不离笔、随时记录，争取在讨论时就能将错题解决，未解决的问题，组长记录好，准备展示质疑。让激情快乐流淌！3363高效课堂合作探究高效展示①画出图形，规范快速；
②可安排多人展示；
③可展示典型错误；
④要总结解题方法或关键点。基本要求3363高效课堂例2：(1) 过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线 y=2x+5相切．
分析：确定一个圆只需确定圆心与半径.圆心在直线y=2x上,可设为C（a,2a) ,圆经过点A(3,2)，与直线 y=2x+5相切, 则|CA|等于点C到直线y=2x+5的距离，列方程解出a，半径长等于|CA|．
圆心C 例2（2）已知圆心为C的圆经过点A(6,0)和 B(1,5)，且圆心C在直线l：2x-7y+8=0上,求圆心为C的圆的标准方程.分析：确定一个圆只需要确定圆心与半径.圆心为C 的圆经过点A(6,0)和B(1,5)，圆心C 在线段AB 的垂直平分线上.又圆心C 在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 m的交点，半径长等于|CA|或|CB|．弦AB的垂直平分线圆心：两条直线的交点解: A(6,0)和 B(1,5) 即：x-y-1=0∴圆心C(3,2) 例2（2）已知圆心为C的圆经过点A(6,0)和 B(1,5)，且圆心C在直线l：2x-7y+8=0上,求圆心为C的圆的标准方程.几何法圆经过A(6,0),B(1,5)解2:设圆C的方程为∵圆心在直线l:2x-7y+8=0上待定系数法 例2（2）已知圆心为C的圆经过点A(6,0)和 B(1,5)，且圆心C在直线l：2x-7y+8=0上,求圆心为C的圆的标准方程.如何解？练习（1）求过A（-1,1）B（1,3）
且圆心在x轴上的圆的方程（2）半径为5，过点A（1,2）
且与x轴相切的圆的方程本题出现的错误：不少同学将a=-3舍去了答案：当堂检测答案：把直径当半径 (2) 如何求圆的标准方程? 由于圆的标准方程中含
有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件
才能确定圆；在做题时结合图形注意圆的平面几何知识的运用，如圆心到切线的距离等于半径；圆心在弦的垂直平分线上；圆心与切点的连线垂直于该点处的圆的切线等，有不少题目都有两解。课堂小结：(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
当圆心在原点时 ，圆的标准方程为
(3)求圆的标准方程的方法：
①几何法 ；②待定系数法.
重要结论：
点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2
的位置关系：
