课件35张PPT。教学教法分析课前自主导学易错易误辨析课堂互动探究当堂双基达标 课后知能检测教师备课资源2．1 平面直角坐标系中的基本公式
2．1.1 数轴上的基本公式●三维目标
1．知识与技能
(1)理解实数与数轴上点的一一对应关系及实数运算在数轴上的几何意义．
(2)理解向量及其相等的概念，掌握数轴上向量加法的坐标运算及数轴上两点间的距离公式．2．过程与方法
(1)通过对初中所学的数轴知识的复习，明确数轴上的一点所表示的实数就是这点在数轴上的坐标，并借此引入向量的概念．培养学生观察、探索的能力，运用数学语言表达的能力，数学交流与评价的能力.
(2)通过直观分析、计算验证引入基本公式AC＝AB＋BC，这个公式是解析几何的基本公式，务必理解并掌握．3．情感、态度与价值观
(1)学会观察发现、类比、猜想和实验探索，培养创新能力和动手能力.
(2)培养树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
●重点、难点
重点：数轴上的基本公式．
难点：向量的坐标或数量．难点突破：建立向量和实数的对应．
本着新课程标准，在充分理解教材基础上，本节课是学习本章的基础，理解数轴的有关概念，由点的位置能写出坐标，会根据坐标描出相应的点是教学的重点．在数轴上的点坐标中隐含了一一对应的函数思想，学生理解有一定难度．因此，理解数轴上的点与有序实数对之间的一一对应关系以及坐标轴上点的坐标特征是本节课的教学难点．一条给出了_________、________和________的直线．原点度量单位正方向【问题导思】
1．在物理中，力、速度、加速度、位移等有何共同特征？
【提示】 它们都是既有大小又有方向的量．1．向量
位移是一个既有_______又有__________的量，通常叫做位移向量，简称为向量．大小方向2．相等向量
数轴上_______且_______的向量．
3．向量的坐标
用_________表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量．同向等长实数AC＝AB＋BC x2－x1|x2－x1|.(1)若点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x的取值范围；
(2)试确定点A(a)，B(b)的位置关系．
【思路探究】 两点的相对位置关系由两点坐标的大小决定，可在草稿纸上画出数轴帮助理解． 【自主解答】 (1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，
所以－2(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系：当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a(1)A(－3.2)，B(－2.3)；(2)A(m)，B(m2＋1)；
(3)A(|a|)，B(a)．【自主解答】 ∵向量不能比较大小，∴A选项错误；同时由向量的相关概念知，B、C、D都正确．故选A.
【答案】 A1．向量和数量的区别：
(1)在数学中，既有大小，又有方向的量称为向量．而只有大小，没有方向的量称为数量；
(2)向量的两要素是大小、方向．其中大小是代数特征，方向是几何特征，因此向量不能像实数那样比较大小，因为方向没有大小之分．【答案】 B已知M、N、P是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝2，求d(M，P)．
【思路探究】 先由已知条件确定M、N、P的位置，注意情况是否唯一，若不唯一，尝试分类讨论．【自主解答】 ∵M、N、P是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝2，
(1)当点P在点M，N之间时(如图所示)，
d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－2＝3.
(2)当点P在点M、N之外时(如图所示)，
d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋2＝7.
综上所述：d(M，P)＝3或d(M，P)＝7.1．解答本类问题时，如果两点的相对位置不确定，一定要注意分类讨论．
2．要明确向量的长度及数量的区别与联系，注意|AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|，AB＝xB－xA.对距离公式理解不全面致误
数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是到B(－4)的距离的3倍，求实数x.
【错解】 由题意知x－(－8)＝3[x－(－4)]，
解得x＝－2.【错因分析】 未考虑点P(x)与点A(－8)，B(－4)的位置关系．
【防范措施】 1.不能确定两点的位置关系时，需加上绝对值，如d(P，A)＝|x－(－8)|；
2．在求数轴上两点间的距离公式时，注意不要漏解．【正解】 由题意知：|x－(－8)|＝3|x－(－4)|，
即|x＋8|＝3|x＋4|，
∴x＋8＝3(x＋4)或x＋8＝－3(x＋4)，
解得x＝－2或x＝－5.3．数轴上向量加法的坐标运算法则：
对数轴上的任意三点A，B，C都有AC＝AB＋BC，可理解为AC的坐标等于首尾相连的两个向量AB，BC的坐标之和．1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是( )
A．C(－3)和D(－4)
B．C(3)和D(4)
C．C(－4)和D(3)
D．C(－4)和D(－3)
【解析】 由数轴上点的坐标可知A正确．
【答案】 A【解析】 逐个判断可知．
【答案】 C3．若在直线坐标系中，有两点A(6)，B(－9)，且AB＋BC＝2 014，则点C的坐标为________．
【解析】 设C点的坐标为x，则
－9－6＋x＋9＝2014，解得x＝2020.
【答案】 20204．在数轴上求一点P，使它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍．
【解】 设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5.所以P(3)或P(－5)．2.1.1 数轴上的距离公式与中点公式
【教学目标】
1. 理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标．
2. 掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神；培养学生合作交流等良好品质．
【教学重点】
数轴上的距离公式、中点公式．
【教学难点】
距离公式与中点公式的应用．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组教学法．先从数轴入手，在使学生进一步明确了数与数轴上的点的一一对应关系后，给出数轴上点的坐标的定义及记法，在此基础上进一步学习数轴上距离公式及中点公式．本节教学中，始终要坚持数形结合的思想和方法，让学生积极大胆的猜想，在探索过程中发现和归纳两个公式，以此增强学生的参与意识，提高学生的学习兴趣．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
引
入
1．数轴
2．数轴上的点与实数是 对应的．
师：人类早期用石子来记数，但是石子记数不能移动，无法携带，于是人们又想到了用结绳等方法记数．我国古书《易经》上记载有“结绳记数”的历史，即在一根长绳上打上结表示数．随着社会的进步，记数的方法也越来越准确、科学．到了17世纪，法国数学家笛卡儿发明了用直线和直线上的点来表示数的方法，这就是我们现在仍在沿用的数轴表示数的方法．
师：数轴的三要素是什么？
学生回答，教师展示数轴．
通过引入激发学生学习的兴趣．
新
课
新
课
新
课
1. 数轴上点的坐标
在数轴上，如果点P与x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)．
练习一
观察数轴，完成下列题目：
（1）点P与－3.5对应，则点P的坐标是 ，记作 ；
（2）点A的坐标是 ，记作 ；
（3）点B的坐标是 ，记作 ；
（4）点O的坐标是 ，记作 ．
2. 数轴上的距离公式
探究一
如图，填空：
（1）图中点A的坐标是 ，B的坐标是 ，C的坐标是 ，点D的坐标是 ；
（2）点A与B之间的距离|AB|= ，点C与A之间的距离|CA|= ，点B与C之间的距离|BC|= ；
（3）你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？
一般地，如果A(x1)，B(x2)，则这两点的距离公式为
|AB|=|x2－x1|．
探究二
在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的(如下图所示)，数轴上的距离公式成立吗？
试求两个图中点A与B之间的距离．
3. 数轴上的中点公式
探究三
根据下图回答问题：
（1）点A(－1)，C(－3)的中点坐标是多少？中点坐标与A，C两点的坐标有怎样的关系？
（2）点A(－1)，D(1)的中点坐标是多少？中点坐标与A，D两点的坐标有怎样的关系？
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2)的中点坐标x满足关系式
x＝ ．
4. 应用
例 已知点A(－3)，B(5)，求：
（1）|AB|；
（2）A，B两点的中点坐标．
解 （1）|AB|＝|5－(－3)|＝8；
（2）设点M(x)是A，B两点的中点，则
x＝ ＝1．
即A，B的中点坐标为1．
练习二
已知点A(－6)，B(－1)，C(2)，D(4.5)，E(7)，求：
（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|；
（2）A，B的中点坐标，B，E的中点坐标．
师：平面上我们用一对有序实数来表示一个点的位置，在数轴上，我们应当怎么表示一个点的位置呢？
学生思考问题．教师投影，给出数轴上点的坐标的定义及记法．
学生理解概念，教师强调记法．
请同学们结合定义抢答下列问题．
学生回答，教师点评．
教师投影提出问题，学生分组讨论探究．
教师巡视．
第 (2) 题主要是引导学生从图象上直观地求距离．
学生在尝试解决问题 (3) 的过程中，使认知得到升华．
在探究的基础上，教师给出数轴上两点的距离公式．
教师提出问题，学生观察并尝试解决．
师：不管数轴在平面上怎么放置，两点间的距离公式是不变的．
教师投影提出问题，学生分组讨论探究．
教师巡视．
学生在尝试解决问题的过程中，探究中点公式．
在探究的基础上，教师引导学生归纳出数轴上两点的中点公式．
教师投影，先让学生思考，小组内合作尝试解答．
教师在学生思考的基础上，找个别学生回答，并给予点评．
小组合作完成，并采用抢答形式，提高课堂学习气氛．
教师针对学生的解答给予点评．
由二维坐标到一维坐标，似乎违反了人的认知规律，但在以往的学习中，学生对两维坐标是熟悉的．通过类比平面坐标得到轴上坐标，学生容易理解．
强化新知识的记忆与应用，以形成学生内在的素质．
让学生通过小组合作，在探究过程中，归纳出数轴上两点间的距离公式，形成知识的主动认知．
使学生由感性认知（算法）上升到理性认知（公式）．
探究二使学生认识到非水平放置的数轴上的两点间的距离公式是不改变的，特别是竖直放置的数轴上的距离问题，为下节解决平面直角坐标系中两点间的距离公式打下基础．
让学生通过小组合作，在探究过程中，归纳得出数轴上两点间的中点公式．
在实践中应用本节知识解决有关数轴上的距离和中点问题．
检验并强化本节知识的应用．
小
结
1．数轴上点的坐标．
2．数轴上两点间的距离公式．
3．数轴上两点的中点公式．
回顾本节主要内容，强化一个定义及两个公式．
简洁明了地概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．
作
业
教材P67 练习A 组第1题．
教材P67练习B组第3题(选做)．
学生标记作业．
针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．
一、选择题
1．给出以下几个命题：( )
①数轴上起点相同的向量方向相同；
②数轴上相等的向量，若起点不同，则终点一定不同；
③数轴上不相等的向量，终点一定不相同；
④零向量没有方向．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在数轴上M、N、P的坐标分别是3、－1、－5，则MP－PN等于( )
A．－4 B．4 C．－12 D．12
3．若A，B，C，D是数轴上的四个点，且BA＝6，BC＝－2，CD＝6，则AD＝( )
A．0 B．－2 C．10 D．－10
4．数轴上向量的坐标为－8，且B(－5)，则点A的坐标为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(2014·日照高一检测)对于数轴上任意三点A，B，O，如下关于线段的数量关系不恒成立的是( )
A．AB＝OB－OA
B．AO＋OB＋BA＝0
C．AB＝AO＋OB
D．AB＋AO＋BO＝0
二、填空题
6．若在直线坐标系中，有两点A(5)，B(－2)，且AB＋CB＝0，则C点的坐标为________．
7．已知数轴上点A，B的坐标分别为x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，则x1的值为________．
三、解答题
8．(2014·烟台高一检测)已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3.
(1)求向量、的数量；
(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和．
