古典概型教学设计
一、教学目标
【知识与技能】：(1)理解古典概型及其概率计算公式，
(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
【过程与方法】：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。
【情感态度与价值观】：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。
二、【教学重点】: 理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
【教学难点】:如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
【教学方法与理念】:与学生共同探讨，应用数学解决现实问题。
三、教法及学法分析
【教法分析】：根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。
【学法分析】：学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。
四、教学过程
项 目
内 容
师生活动
理论依据或意图
教
学
过
程
分
析
一
提出问题引入新课
在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验：
试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数），最后由科代表汇总；
试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数），最后由科代表汇总。
试验三：从字母a，b，c，d中任意取出两个不同的字母的试验中，有几个基本事件？分别是什么？
试验四:若将上面的抽取方式改为按先后顺序依次抽取，结果如何呢？
在课上，学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受。
教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题？
1．用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？
不好，要求出某一随机事件的概率，需要进行大量的试验，并且求出来的结果是频率，而不是概率。
2．根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？
学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受，教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题。
通过课前的模拟实验的展示，让学生感受与他人合作的重要性，培养学生运用数学语言的能力。随着新问题的提出，激发了学生的求知欲望，通过观察对比，培养了学生发现问题的能力。
二
思
考
交
流
形
成
概
念
在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是互斥的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是；
在试验二中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是互斥的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是。
我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。
基本事件有如下的两个特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
特点（2）的理解：在试验一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在试验二中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”、“4点”和“6点”共同组成。
学生观察对比得出两个模拟试验的相同点和不同点，教师给出基本事件的概念，并对相关特点加以说明，加深新概念的理解。
让学生从问题的相同点和不同点中找出研究对象的对立统一面，这能培养学生分析问题的能力，同时也教会学生运 用对立统一的辩证唯物主义观点来分析问题的一种方法。
教师的注解可以使学生更好的把握问题的关键。
项 目
内 容
师生活动
理论依据或意图
教
学
过
程
分
析
二
思
考
交
流
形
成
概
念
练习 从字母中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来。利用树状图可以将它们之间的关系列出来。
我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举。
（树状图）
解：所求的基本事件共有6个：
，，，
，，
观察对比，发现两个模拟试验和例1的共同特点：
试验一中所有可能出现的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；
试验二中所有可能出现的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；
练习 中所有可能出现的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；
经概括总结后得到：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。
思考交流：
（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？
先让学生尝试着列出所有的基本事件，教师再讲解用树状图列举问题的优点。
让学生先观察对比，找出两个模拟试验和例1的共同特点，再概括总结得到的结论，教师最后补充说明。
学生互相交流，回答补充，教师归纳。
将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来。由于没有学习排列组合，因此用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏。解决了求古典概型中基本事件总数这一难点。
培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点分析问题的能力，充分体现了数学的化归思想。启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力。通过用表格列出相同和不同点，能让学生很好的理解古典概型。从而突出了古典概型这一重点。
两个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点。突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。
项 目
内 容
师生活动
理论依据或意图
教
学
过
程
分
析
思考交流形成概念
答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。
（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？
答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。
三
观
察
分
析
推
导
方
程
问题思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？
分析：
实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即
P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）
由概率的加法公式，得
P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1
因此 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝
即 试验二中，出现各个点的概率相等，即
P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）
＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）
反复利用概率的加法公式，我们有
P（“1点”）＋P（“2点”）＋P（“3点”）＋P（“4点”）＋P（“5点”）＋P（“6点”）＝P（必然事件）＝1
所以P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）
＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）＝
进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，
P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4点”）＋P（“6点”）＝＋＋＝＝
即 根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
教师提出问题，引导学生类比分析两个模拟试验和例1的概率，先通过用概率加法公式求出随机事件的概率，再对比概率结果，发现其中的联系。
鼓励学生运用观察类比和从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义方法来分析问题，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性，突出了古典概型的概率计算公式这一重点。
项 目
内 容
师生活动
理论依据或意图
教
学
过
程
分
析
三
观
察
分
析
推
导
方
程
提问：
（1）练习的实验中，出现字母“d”的概率是多少？
出现字母“d”的概率为：
提问：
（2）在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么?
归纳：
在使用古典概型的概率公式时，应该注意：
（1）要判断该概率模型是不是古典概型；
（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
除了画树状图，还有什么方法求基本事件的个数呢？
教师提问，学生回答，加深对古典概型的概率计算公式的理解。
深化对古典概型的概率计算公式的理解，也抓住了解决古典概型的概率计算的关键。
四
例
题
分
析
推
广
应
用
例2 在标准化考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？
分析：
解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型。
解：
这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有15个：(A),(B),(C),(D),(A,B)(A,C)(A,D)(B,C)(B,D)(C,D)(A,B,C),(A,B,D)(A,C,D)(B,C,D)(A,B,C,D)，即基本事件共有15个，考生随机地选择一个答案的可能性是相等的。从而由古典概型的概率计算公式得：
P(“答对”)==
课后思考：
(2)假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定知识的可能性大？
学生先思考再回答，教师对学生没有注意到的关键点加以说明。
让学生明确决概率的计算问题的关键是：先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
巩固学生对已学知识的掌握。
项 目
内 容
师生活动
理论依据或意图
教
学
过
程
分
析
四
例
题
分
析
推
广
应
用
例2 同时掷两个骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
（4）若以两颗骰子的点数和打赌，你认为压几点最有利？
解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果（如表），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。（可由列表法得到）
由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种。
（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为：
（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得
先给出问题，再让学生完成，然后引导学生分析问题，发现解答中存在的问题。
引导学生用列表来列举试验中的基本事件的总数。
利用列表数形结合和分类讨论，既能形象直观地列出基本事件的总数，又能做到列举的不重不漏。深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解，和用列举法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率。
培养学生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。
五
探
究
思
考
巩
固
深
化
问题思考：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
如果不标上记号，类似于（1，2）和（2，1）的结果将没有区别。这时，所有可能的结果将是：
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21种，和是5的结果有2个，它们是（1，4）（2，3），所求的概率为
这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的要求了。
可以通过展示两个不同的骰子所抛掷出来的点，感受第二种方法构造的基本事件不是等可能事件，另外还可以利用Excel展示第二种方法中构造的21个基本事件不是等可能事件。从而加深印象，巩固知识。
要求学生观察对比两种结果，找出问题产生的原因。
通过观察对比，发现两种结果不同的根本原因是——研究的问题是否满足古典概型，从而再次突出了古典概型这一教学重点，体现了学生的主体地位，逐渐养成自主探究能力。
项 目
内 容
师生活动
理论依据或意图
教
学
过
程
分
析
六
总
结
概
括
加
深
理解
1．我们将具有
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）
这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。
2．古典概型计算任何事件的概率计算公式
3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表），应做到不重不漏。
学生小结归纳，不足的地方老师补充说明。
使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想，让学生的认知更上一层。
七
布
置
作
业
同步练习册：古典概型基础巩固
学生课后自主完成。
进一步让学生掌握古典概型及其概率公式，并能够学以致用，加深对本节课的理解。
六、板书设计：
七、设计说明：
本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标。
古典概性的教学应该让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。让学生初步会把一些实际问题化为古典概型。教学中不把重点放在“如何计算”上，应着重于概念的理解和从简单的试验推出公式的计算过程。让学生理解古典概型的定义及概率的计算公式。
例1的目的是训练学生用列举法表示一个随机试验的全部基本事件。
例2中，讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型是此题的关键。
例3的目的试通过此题的教学要使学生体会到，使用公式计算时要验证第二个条件，否则计算是错误的。
限于学校目前条件，如果结合多媒体课件教学效果更好！
古典概型评测练习
1、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算：
(1)两枚硬币都出现正面的概率是______
(2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 ________
2、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出 其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是 ______________
3、盒中有十个铁钉，其中八个合格，两个不合格，从中任取一个恰为合格铁钉的概率（?? ）?
?????? B、?????? C、?????? D、
4.（摸球问题）:一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。
求摸出两个球都是红球的概率；
5. 从含有两件正品，和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
6.在5中,把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”其余不变，求取出两件中恰好有一件次品的概率。
课件24张PPT。3.2 古典概型人教B版高一数学 假设银行卡的密码由6个数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随即试一次密码就能取到钱的概率是多少？ 如何计算随机事件的概率？设置情景 （1）掷硬币（2）掷骰子(3) 从字母a，b，c，d 中任意取出两个不同字母的实验中，按一次性抽取的方式，哪那些基本事件？(4)若将上面的抽取方式改为按先后顺序依次抽取，结果如何呢？ “正面朝上” 、“反面朝上”2“1点”、“2点”、“3点”
“4点”、“5点”、“6点”66(a,b),(a,c),(a,d),(b,a)
(b,c),(b,d),(c,a),(c,b)
(c,d),(d,a),(d,b),(d,c)12 1.基本事
件有有限
个
(a,b)、(a,c)、(a,d)
(b,c)、(b,d)、(c,d)（4）
（2）（1） （3）2、每个基本事件出现是等可能的 思考:从基本事件出现的可能性来看,上述4个试验中的基本事件有什么共同特点?
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
②每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）古典概率模型，简称古典概型。有限性等可能性（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？（2）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：“命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环”和“不中环”。你认为这是古典概型吗？为什么？有限性等可能性
①在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“正面朝上” 的概率是多少？
②在抛掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现点数为1”的概率是多少？
③在抛掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现奇数点”的概率是多少？
小组探究二
思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？
古典概型概率计算公式： 假设银行卡的密码由6个数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随即试一次密码就能取到钱的概率是多少？基本事件总数有1000000个。记事件A表示“试一次密码就能取到钱”，它包含的基本事件个数为1， 解：
这是一个古典概型,则，由古典概型的概率计算公式得：问题解决例1：不定项选择题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？基本事件有：(A)；(B)；(C)；(D)(A、B)；(B、C)；(A、C)；(A、D);(B、D)；(C、D)；(A、B、C)；(B、 C 、D )；(A、B 、D)；(A、C、 D);(A 、B 、 C、 D)；P(“答对”)=例2（掷骰子问题）同时掷两个骰子,计算：
(1)一共有多少种不同的等可能结果?
(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?
(3)向上的点数之和是5的概率是多少?
(4)若以两颗骰子的点数和打赌，你认为压几
点最有利？.
(1)一共有多少种不同的等可能结果?.
(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?解：.由上表可知，向上的点数之和是5的结果有4种.(1，4)(3，2)(2，3)(4，1)
(3)向上的点数之和是5的概率是多少?解：. 设事件A表示“向上点数之和为5”,由(2)可知，事件A包含的基本事件个数为4个.于是由古典概型的概率计算公式可得
(4)若以两颗骰子的点数和打赌，你认为压几点最有利？ (1，6)(2，5)(3，4)(4，3)(5，2)(6，1)古典概型解题步骤:（1）阅读题目,搜集信息；（2）判断试验是否为古典概型；（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；.思考与探究为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？ 如果不标上记号，类似于（1，2）和（2，1）的结果将没有区别。这时，所有可能的结果将是： (3，2)(4，1)五、当堂训练,巩固提高1、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算：
(1)两枚硬币都出现正面的概率是
(2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 0.250.52、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案
中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出
其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是 0.25 古 典 概 型3、盒中有十个铁钉，其中八个合格，两个不合格，从中任取一个恰为合格铁钉的概率（?? ）?
A、????????????? B、?????????????? C、???????????????? D、C4.（摸球问题）:一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。求摸出两个球都是红球的概率；解： 分别对红球编号为1、2、3、4、5号，对黄球编号6、7、
8号，从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8） （4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8） （5，6）、（5，7）、（5，8） （6，7）、（6，8） （7，8） 7654321共有28个等可能事件设“摸出两个球都是红球”为事件A则A中包含的基本事件有10个， 因此 5. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品. 用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A={(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. 事件A由4个基本事件组成，因而，P(A)=6.在5中,把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”其余不变，求取出两件中恰好有一件次品的概率。解：有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω={(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2) ，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)} 用B表示“恰好有一件次品”这一事件，则
B={(a1，b1)， (a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. 事件B由4个基本事件组成，因此P(B)=1.古典概型的定义和特点: 2.古典概型计算任何事件的概率计算公式：P(A)=归纳反思知识巩固3.应用易错点（1）分清一次性抽取和分几次抽取
（2）分清骰子问题中标记号和不标记号两种问题
(3)分清不放回和有放回问题作业同步练习册：古典概型基础巩固
