黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．（2024八下·哈尔滨开学考）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．爱 B．国 C．敬 D．业
2．（2024八下·哈尔滨开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·哈尔滨开学考）下列与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·哈尔滨开学考）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边中线的交点
5．（2024八下·哈尔滨开学考）等腰三角形的顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·哈尔滨开学考）已知，，则的值为（ ）
A．9 B．18 C．2 D．3
7．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024八下·哈尔滨开学考）在，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024八下·哈尔滨开学考）点P是等边三角形所在平面内一点，若点P和的三个顶点所组成的、、都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
10．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，在中，、分别平分、，过点I作，分别交于点D，交于点E，给出下列结论：①是等腰三角形；②是等腰三角形；③平分；④的周长等于．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题（每题3分，共计30分）
11．（2024八下·哈尔滨开学考）用科学记数法表示0.00000307是 ．
12．（2024八下·哈尔滨开学考）若代数式有意义，则实数x的取值范围 ．
13．（2024八下·哈尔滨开学考）因式分解： ．
14．（2024八下·哈尔滨开学考）计算： = ．
15．（2024八下·哈尔滨开学考）若，，则的值为 ．
16．（2024八下·哈尔滨开学考）在中，，，若，则斜边边上的高为 cm．
17．（2024八下·哈尔滨开学考）汽车以的速度从A地到B地，又以的速度从B到A，则来回的平均速度为 km/h．
18．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，P、两点关于对称，P、两点关于对称，若，，则 ．
19．（2024八下·哈尔滨开学考）在中，是的垂直平分线，交于D，是的垂直平分线，交于E，若，则等于 ．
20．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，中，，，过上点D作直线，分别交、延长线于点F、点E，若，，则 ．
三、解答题（第21、22题每题7分，第23、24题每题8分，第25、26、27每题10分）
21．（2024八下·哈尔滨开学考）解方程：
（1）
（2）
22．（2024八下·哈尔滨开学考）先化简，再求值： ，其中
23．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中作出关于y轴的对称图形；
（2）在图中作出向下平移2个单位后的图形；
（3）连接、、，直接写出的面积．
24．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F．
（1）求的度数；
（2）连接，若，，求的长．
25．（2024八下·哈尔滨开学考）春节期间，某水果商从批发市场分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，且大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．
（1）求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
（2）在运输和销售过程中，大樱桃损耗了15%，若大樱桃的售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6700元，则小樱桃的售价最少应该为每千克多少元？
26．（2024八下·哈尔滨开学考）如图
（1） [问题提出]
如图1，在中，，是的中线，E是线段上的一个动点，且点E不与点C、D重合，连接、．
求证：；
（2）[问题探究]
将线段绕点E逆时针旋转，使点B的对应点F落在直线上．
如图2，当时，的大小是否发生变化？请说明理由；
（3）[迁移探究]
如图3，当时，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
27．（2024八下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，点在x轴正半轴上，且a、b、c满足等式．
（1）如图1，求线段的长；
（2）如图2，动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，连接，过点O作交于点E，设的面积为S，点D的运动时间为t秒，求S与t的关系式；
（3）在（2）的条件下，在上取点P， PO=QO， 在上取点Q，连接、、、，若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、“爱”不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、“国”不是轴对称图形，故B选项不合题意；
C、“敬”不是轴对称图形，故C选项不合题意；
D、“业”是轴对称图形，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐个判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、+=2，故A选项不合题意；
B、=，故B选项不合题意；
C、a=，故C选项不合题意；
D、，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
3．【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2，故A选项符合题意；
B、=，故B选项不合题意；
C、=，故C选项不合题意；
D、=，故D选项不合题意.
故答案为：A.
【分析】先根据二次根式的性质，将各个选项中的二次根式化为最简二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，据此判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，根据性质得出结论.
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=80°，
∴∠B=∠ACB=(180°-80°)=50°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°-50°=40°.
故答案为：A.
【分析】先根据等边对等角及三角形的内角和定理得∠B=∠ACB=(180°-80°)=50°，进而根据垂直定义得∠BDC=90°，最后由直角三角形的两锐角互余可得答案.
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵xm=6，xn=3，
∴xm+n=xm×xn=6×3=18.
故答案为：B.
【分析】由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加法则的逆用，将待求式子变形后整体代入按有理数的乘法法则计算可得答案.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PC⊥OB于点C，
∵PM=PN，MN=2，PC⊥OB于点C，
∴CM=MN=1，∠PCO=90°，
又∵∠PON=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC=OP=6，
∴OM=OC-MC=5.
故答案为：C.
【分析】过点P作PC⊥OB于点C，由等腰三角形的三线合一得CM=MN=1，∠PCO=90°，由三角形的内角和定理得∠OPC=30°，根据含30°角直角三角形的性质得OC=OP=6，最后根据OM=OC-MC算出答案.
8．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： 在，，，，中，是分式的有，，这三个.
故答案为：C.
【分析】形如“”，A、B表示两个整式，且B中含有字母的式子就是分式，据此逐个判断得出答案.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点；
②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；
③还有一点就是AB，BC， AC三条边的垂直平分线的交点，
∴这样的点P共有3+3+3+1=10个.
故答案为：D.
【分析】①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点；②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC， AC三条边的垂直平分线的交点，相加即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵IB是∠ABC的角平分线，
∴∠ABI=∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=DI，
∴△DBI是等腰三角形，故①正确；
同理EI=EC，
∴△ADE的周长为AD+DI+IE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC，故④正确；
过点I作IF⊥AC于点F，IM⊥BC于点M，IN⊥AB于点N，
∵IB、IC分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴IM=IF，IN=IM，
∴IN=IF，
又∵IN⊥AB，IF⊥AC，
∴点I在∠BAC的角平分线上，即IA平分∠BAC，故③正确；
∵∠BAC不一定等于∠ACB，
∴∠CAI不一定等于∠ACI，
∴△ACI不一定是等腰三角形，故②错误，
综上正确的有①③④.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可推出∠DIB=∠DBI，由等角对等边可得DI=BD，据此可判断①；由角平分线的定义及平行线的性质可推出∠CIE=∠ECI，由等角对等边可得EI=DC，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段和差，可将△ADE的周长转化为AB+AC，据此可判断④；过点I作IF⊥AC于点F，IM⊥BC于点M，IN⊥AB于点N，由角平分线的性质定理可推出IN=IF，进而根据角平分线的判定定理可判断③；由于∠BAC不一定等于∠ACB，从而∠CAI不一定等于∠ACI，据此可判断②.
11．【答案】3.07×10-6
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.00000307用科学记数法表示为3.07×10-6.
故答案为：3.07×10-6.
【分析】用科学记数法表示绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
12．【答案】x＞1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-1＞0，
解得x＞1.
故答案为：x＞1.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数及分母不为零可列出关于字母x的不等式，求解即可.
13．【答案】a(x-3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：ax2-6ax+9a=a(x2-6x+9)=a(x-3)2.
故答案为：a(x-3)2.
【分析】先利用提取公因式分解，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
14．【答案】2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=4 -6× =4 -2 =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
15．【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=8，ab=15，
∴a2+ab+b2=(a+b)2-ab=82-15=49.
故答案为：49.
【分析】利用配方法将待求式子变形为(a+b)2-ab，然后整体代入计算可得答案.
16．【答案】4
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A=∠B，
∴∠B=2∠A，
∴2∠A=∠A=90°，
∴∠A=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠A=30°，AC=8cm，
∴CD=AC=4cm.
故答案为：4.
【分析】根据题意画出图形，由三角形的内角和定理及已知可求出∠A=30°，在Rt△ACD中，根据含30°角直角三角形的性质可求出CD的长，从而得到答案.
17．【答案】
【知识点】分式的混合运算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设A、B两地的总路程为skm，
则一个来回的平均速度为km/h.
故答案为：.
【分析】根据时间等于路程除以速度，分别表示出从A至B所用时间及从b至A所用时间，进而根据平均速度等于总路程除以总时间列式计算即可.
18．【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP'与OP''，
∵ P、P'两点关于OA对称，P、P''两点关于OB对称，
∴OP'=OP=7，OP''=OP=7，∠P'OP=∠AOP，∠BOP=∠P''OP，
∴OP'=OP''，∠P'OP''=2∠AOP+2∠BOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=60°，
∴△P'OP''是等边三角形，
∴P'P''=OP'=7.
故答案为：7.
【分析】如图，连接OP'与OP''，由轴对称的性质得OP'=OP=7，OP''=OP=7，∠P'OP=∠AOP，∠BOP=∠P''OP，则OP'=OP''，∠P'OP''=2∠AOB=60°，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△P'OP''是等边三角形，最后根据等边三角形的三边相等可得答案.
19．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分类讨论：
①如图，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF=AF，
∴∠B=∠BAF，
同理∠C=∠CAE，
∵∠B+∠BAF+∠C+∠CAE+∠EAF=180°，
∴2∠BAF+2∠CAE+20°=180°，
∴∠BAF+∠CAE=80°，
∴∠BAC=∠BAF+∠CAE+∠EAF=100°；
②如图，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF=AF，
∴∠B=∠BAF，
同理∠C=∠CAE，
∵∠B+∠BAF+∠C+∠CAE-∠EAF=180°，
∴2∠BAF+2∠CAE-20°=180°，
∴∠BAF+∠CAE=100°，
∴∠BAC=∠BAF+∠CAE-∠EAF=80°，
综上，∠BAC的度数为80°或100°.
故答案为：80°或100°.
【分析】分类讨论：①△ABC是钝角三角形，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及等边对等角可得∠B=∠BAF，∠C=∠CAE，由三角形的内角和定理得∠B+∠BAF+∠C+∠CAE+∠EAF=180°，则∠BAF+∠CAE=80°，进而根据角的构成，由∠BAC=∠BAF+∠CAE+∠EAF可算出∠BAC的度数；②当△ABC是锐角三角形时，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及等边对等角可得∠B=∠BAF，∠C=∠CAE，由三角形的内角和定理得∠B+∠BAF+∠C+∠CAE-∠EAF=180°，则∠BAF+∠CAE=100°，进而根据角的构成，由∠BAC=∠BAF+∠CAE-∠EAF可算出∠BAC的度数，综上即可出答案.
20．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG∥AC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠FHB=∠FHD=90°，∠DGB=∠A=90°，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴△BFH与△BDG都是等腰直角三角形，
∴BH=FH，BG=DG，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠ACB=∠CDE+∠CED=45°，
∴∠CDE=22.5°=∠FDB=∠GDB，
在△FGO与△FHO中，
∵∠FGD=∠FHD=90°，FD=FD，∠FDB=∠GDB，
∴△FGD≌△FHD（ASA），
∴GD=HD，FH=FG，
设FH=x，则FG=x，BH=x，BF=x，
∴GD=BG=HD=(1+)x，BD=BH+HD=(2+)x，
∵S△FBD=BD×FH=(1+)x2，FD2=FH2+HD2=(4+)2
∴FD2=4S△FBD
又∵S△FBD=12，
∴FD2=48，
∴FD=
故答案为：.
【分析】如图，过点D作DG∥AC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，易得△BFH与△BDG都是等腰直角三角形，则BH=FH，BG=DG，由等边对等角、三角形外角相等、对顶角相等及平行线的性质可得∠CDE=22.5°=∠FDB=∠GDB，从而用ASA判断出△FGD≌△FHD，得GD=HD，FH=FG，设FH=x，则FG=x，BH=x，BF=x，GD=BG=HD=(1+)x，BD=BH+HD=(2+)x，然后根据勾股定理表示出DF2，用三角形面积计算公式表示出△BDF的面积，可得FD2=4S△FBD，据此建立方程可求出DF.
21．【答案】（1）解：去分母得2(x+1)=3x，
解得x=2，
检验，当x=2时，x(x+1)≠0，
∴原方程的解为x=2；
（2）解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)约去分母，得(x+1)2-4=(x+1)(x-1)，
解得x=1，
检验，当x=1时，(x+1)(x-1)=0，
∴x=1是原方程的增根，原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据两内项之积等于两外项之积可将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（2）方程两边同时乘以(x+1)(x-1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
22．【答案】解：
当 时
原式 =
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将分式化简后得到
，再将
，代入计算即可。
23．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1就是所求的三角形；
（2）解：如图，△A2B2C2就是所求的三角形；
（3）解：如图，连接CC1、CC2、C1C2，
△CC1C2的面积是．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C三点向下平移2个单位长度后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）利用方根纸的特点，结合三角形面积计算公式直接计算可得答案.
24．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCA=60°，
在△ABD与△BCE中，
∵AB=BC，∠ABC=∠BCA=60°，BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠AFE=∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠CBF=∠ABC=60°；
（2）解：如图，延长BE至点H，使FH=AF，连接AH、CH，
由（1）知∠AFH=60°，
∴△AFH是等边三角形，
∴AF=FH=AH，∠FAH=60°，
∵∠BAC=∠FAH=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠FAH-∠DAC，即∠BAF=∠CAH，
在△ABF与△ACH中，
∵AB=AC，∠BAF=∠CAH，AF=AH，
∴△ABF≌△ACH（SAS），
∴BF=CH=3，∠ABF=∠ACH，
∵∠BAD=∠CBE，
∴∠BAC-∠BAD=∠ABC-∠CBE，即∠DAC=∠ABF，
∴∠DAC=∠ACH，
∴AF∥CH，
∴∠HCF=180°-∠AFC=90°，
又∵∠CFH=∠AFC-∠AFH=90°-60°=30°，
∴FH=2CH=6，
∴AF=FH=6.
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得AB=BC，∠ABC=∠BCA=60°，从而由SAS证△ABD≌△BCE，得∠BAD=∠CBE，进而根据三角形外角性质、等量代换及角的和差可得∠AFEF=∠ABC，从而得出答案；
（2）如图，延长BE至点H，使FH=AF，连接AH、CH，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，得△AFH是等边三角形，由等边三角形性质得AF=FH=AH，∠FAH=60°，根据等式的性质推出∠BAF=∠CAH，从而用SAS判断出△ABF≌△ACH，得BF=CH=3，∠ABF=∠ACH；进而根据等式性质推出∠DAC=∠ABF=∠ACH，由内错角相等，两直线平行，得AF∥CH，再由二直线平行，同旁内角互补得∠HCF=90°，然后根据含30°角直角三角形的性质可得FH=2CH=6，从而即可得出AF的长.
25．【答案】（1）解：设大樱桃每千克的进价为x元，则小樱桃的进价为每千克(x-20)元，由题意得
，
解得x=50，经检验x=50是原方程的根，且适合题意，
∴x-20=50-20=30(元)，
∴大樱桃的进价是每千克50元，小樱桃的进价是每千克30元；
（2）解：购进大、小樱桃的质量分别是10000÷50=200(千克)，
设小樱桃的售价至少定位每千克y元，由题意得
200×(1-15％)×80-10000+200y-6000≥6700，
解得y≥45.5
∴小樱桃的售价最少应该为每千克45.5元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设大樱桃每千克的进价为x元，则小樱桃的进价为每千克(x-20)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃 ”可列出分式方程，求解并检验即可得出答案；
（2）首先分别算出购进大、小樱桃的数量，进而根据单价乘以数量等于总价分别表示出大、小樱桃的销售总价，进而根据销售两种樱桃的总价减去购进两种樱桃的成本等于销售两种樱桃的利润及 此次销售获利不少于6700元列出不等式，求解即可.
26．【答案】（1）证明：∵△ABC中，AC=BC，且CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
（2）解：如图，设EF与AC相交于点G，
∵AC=BC，AE=BE，
∴∠CAB=∠CBA，∠EAB=∠EBA，
∴∠CAB-∠EAB=∠CBA-∠EBA，即∠CAE=∠CBE，
∵BE=FE，
∴∠EBF=∠EFB，
∴∠EFB=∠CAE，
又∵∠FGC=∠AGE，
∴∠AEF=∠ACF=90°；
（3）解：CF-DE=6，理由如下：
过点E作EM⊥BC于点M，
设CM=a，则BM=BC-CM=12-a，
∵BE=FE，EM⊥BF，
∴BF=2BM=24-2a，∠EMC=90°
∴CF=BF-BC=12-2a，
∵AC=BC，∠ACB=120°，CD是△ABC的中线，
∴∠CBD=(180°-∠ACB)=30°，∠CDB=90°，∠BCD=∠ACB=60°
∴CD=BC=6，
∵∠EMC=90°，∠BCD=60°，
∴∠CEM=30°，
∴CE=2CM=2a，
∴ED=CD-EC=6-2a，
∴CF-ED=12-2a-(6-2a)=6.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一可推出CD是线段AB的垂直平分线，进而根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得AE=BE；
（2）由等边对等角得∠CAB=∠CBA，∠EAB=∠EBA，由等量减去等量差相等得∠CAE=∠CBE，由旋转的性质得BE=FE，由等边对等角得∠EBF=∠EFB，则∠EFB=∠CAE，进而结合对顶角相等及三角形的内角和定理可推出∠AEF=∠ACF=90°；
（3）CF-DE=6，理由如下：过点E作EM⊥BC于点M，设CM=a，则BM=BC-CM=12-a，由等腰三角形的三线合一得BF=2BM=24-2a，进而由线段的和差得CF=BF-BC=12-2a，根据等哟啊三角形的性质可得∠CBD=(180°-∠ACB)=30°，∠CDB=90°，∠BCD=∠ACB=60°，由含30°角直角三角形的性质的CD=BC=6，CE=2CM=2a，则ED=CD-EC=6-2a，从而即可求出CF与DE的关系.
27．【答案】（1）解：∵，
∴ ，
∴a-2=0，a+b=0，b+c=0，
∴a=2，b=-2，c=2，
∴A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
∴BC=4；
（2）解：如图，过点D作DF⊥AO于点F，
∴∠DFA=90°，
∵A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
∴OA=OB=OC=2，AB=，
∴△ABO与△ACO都是等腰直角三角形，
∴∠BAO=∠C=45°，
∴△ADF也是等腰直角三角形，
∵动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，
∴BD=2t，
∴AD=AB-BD=-2t，
∴DF=
∴S△ADO=
∵∠AOD+∠AOE=∠AOE+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠COE，
在△ADO与△CEO中，
∵∠AOD=∠COE，OA=OC，∠BAO=∠C=45°，
∴△ADO≌△CEO（ASA），
∴S△CEO=S△ADO，
∴；
（3）解：∵∠BOP+∠AOP=∠AOP+∠AOQ=90°，
∴∠BOP=∠AOQ，
在△BOP与△AOQ中，
∵BO=AO，∠BOP=∠AOQ，PO=QO，
∴△BOP≌△AOQ（SAS），
∴∠OBP=∠OAQ，
同理△AOP≌△COQ，
∴∠OAP=∠OCQ，
由（2）知△ABO与△ACO都是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠OAC=45°，
∴∠ABO+∠ACO=90°，
又∵∠ABP+∠ACQ=45°，
∴∠OBP+∠OCQ=45°，
∴∠PAQ=∠PAO+∠OAQ=∠OBP+∠OCQ=45°.
【知识点】坐标与图形性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式将已知等式的前三项分解因式，然后根据偶数次幂的非负性、绝对值的非负性及算术平方根的非负性，由三个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b、c的值，从而得到A、B、C三点的坐标，进而根据两点间的距离公式可求出BC的长；
（2）过点D作DF⊥AO于点F，由两点间的距离公式得OA=OB=OC=2，AB=，则△ABO与△ACO都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得∠BAO=∠C=45°，则△ADF也是等腰直角三角形；由题意易得BD=2t，则AD=AB-BD=-2t，由等腰直角三角形的性质得DF=，然后根据三角形的面积计算公式表示出△ADO的面积，由同角的余角相等得∠AOD=∠COE，从而用ASA判断出△ADO≌△CEO，根据全等三角形的面积相等即可求出S关于t的关系式；
（3）由同角的余角相等得∠BOP=∠AOQ，从而由SAS判断出△BOP≌△AOQ，由全等三角形的对应角相等得∠OBP=∠OAQ，同理∠OAP=∠OCQ；由（2）知△ABO与△ACO都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可推出∠ABO+∠ACO=90°，结合已知可得∠OBP+∠OCQ=45°，进而根据角的构成及等量代换可求出∠PAQ的度数.
1 / 1黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．（2024八下·哈尔滨开学考）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．爱 B．国 C．敬 D．业
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、“爱”不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、“国”不是轴对称图形，故B选项不合题意；
C、“敬”不是轴对称图形，故C选项不合题意；
D、“业”是轴对称图形，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐个判断得出答案.
2．（2024八下·哈尔滨开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、+=2，故A选项不合题意；
B、=，故B选项不合题意；
C、a=，故C选项不合题意；
D、，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
3．（2024八下·哈尔滨开学考）下列与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2，故A选项符合题意；
B、=，故B选项不合题意；
C、=，故C选项不合题意；
D、=，故D选项不合题意.
故答案为：A.
【分析】先根据二次根式的性质，将各个选项中的二次根式化为最简二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，据此判断得出答案.
4．（2024八下·哈尔滨开学考）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边中线的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，根据性质得出结论.
5．（2024八下·哈尔滨开学考）等腰三角形的顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=80°，
∴∠B=∠ACB=(180°-80°)=50°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°-50°=40°.
故答案为：A.
【分析】先根据等边对等角及三角形的内角和定理得∠B=∠ACB=(180°-80°)=50°，进而根据垂直定义得∠BDC=90°，最后由直角三角形的两锐角互余可得答案.
6．（2024八下·哈尔滨开学考）已知，，则的值为（ ）
A．9 B．18 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵xm=6，xn=3，
∴xm+n=xm×xn=6×3=18.
故答案为：B.
【分析】由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加法则的逆用，将待求式子变形后整体代入按有理数的乘法法则计算可得答案.
7．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PC⊥OB于点C，
∵PM=PN，MN=2，PC⊥OB于点C，
∴CM=MN=1，∠PCO=90°，
又∵∠PON=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC=OP=6，
∴OM=OC-MC=5.
故答案为：C.
【分析】过点P作PC⊥OB于点C，由等腰三角形的三线合一得CM=MN=1，∠PCO=90°，由三角形的内角和定理得∠OPC=30°，根据含30°角直角三角形的性质得OC=OP=6，最后根据OM=OC-MC算出答案.
8．（2024八下·哈尔滨开学考）在，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： 在，，，，中，是分式的有，，这三个.
故答案为：C.
【分析】形如“”，A、B表示两个整式，且B中含有字母的式子就是分式，据此逐个判断得出答案.
9．（2024八下·哈尔滨开学考）点P是等边三角形所在平面内一点，若点P和的三个顶点所组成的、、都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点；
②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；
③还有一点就是AB，BC， AC三条边的垂直平分线的交点，
∴这样的点P共有3+3+3+1=10个.
故答案为：D.
【分析】①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点；②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC， AC三条边的垂直平分线的交点，相加即可得出答案.
10．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，在中，、分别平分、，过点I作，分别交于点D，交于点E，给出下列结论：①是等腰三角形；②是等腰三角形；③平分；④的周长等于．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵IB是∠ABC的角平分线，
∴∠ABI=∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=DI，
∴△DBI是等腰三角形，故①正确；
同理EI=EC，
∴△ADE的周长为AD+DI+IE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC，故④正确；
过点I作IF⊥AC于点F，IM⊥BC于点M，IN⊥AB于点N，
∵IB、IC分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴IM=IF，IN=IM，
∴IN=IF，
又∵IN⊥AB，IF⊥AC，
∴点I在∠BAC的角平分线上，即IA平分∠BAC，故③正确；
∵∠BAC不一定等于∠ACB，
∴∠CAI不一定等于∠ACI，
∴△ACI不一定是等腰三角形，故②错误，
综上正确的有①③④.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可推出∠DIB=∠DBI，由等角对等边可得DI=BD，据此可判断①；由角平分线的定义及平行线的性质可推出∠CIE=∠ECI，由等角对等边可得EI=DC，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段和差，可将△ADE的周长转化为AB+AC，据此可判断④；过点I作IF⊥AC于点F，IM⊥BC于点M，IN⊥AB于点N，由角平分线的性质定理可推出IN=IF，进而根据角平分线的判定定理可判断③；由于∠BAC不一定等于∠ACB，从而∠CAI不一定等于∠ACI，据此可判断②.
二、填空题（每题3分，共计30分）
11．（2024八下·哈尔滨开学考）用科学记数法表示0.00000307是 ．
【答案】3.07×10-6
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.00000307用科学记数法表示为3.07×10-6.
故答案为：3.07×10-6.
【分析】用科学记数法表示绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
12．（2024八下·哈尔滨开学考）若代数式有意义，则实数x的取值范围 ．
【答案】x＞1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-1＞0，
解得x＞1.
故答案为：x＞1.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数及分母不为零可列出关于字母x的不等式，求解即可.
13．（2024八下·哈尔滨开学考）因式分解： ．
【答案】a(x-3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：ax2-6ax+9a=a(x2-6x+9)=a(x-3)2.
故答案为：a(x-3)2.
【分析】先利用提取公因式分解，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
14．（2024八下·哈尔滨开学考）计算： = ．
【答案】2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=4 -6× =4 -2 =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
15．（2024八下·哈尔滨开学考）若，，则的值为 ．
【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=8，ab=15，
∴a2+ab+b2=(a+b)2-ab=82-15=49.
故答案为：49.
【分析】利用配方法将待求式子变形为(a+b)2-ab，然后整体代入计算可得答案.
16．（2024八下·哈尔滨开学考）在中，，，若，则斜边边上的高为 cm．
【答案】4
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A=∠B，
∴∠B=2∠A，
∴2∠A=∠A=90°，
∴∠A=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠A=30°，AC=8cm，
∴CD=AC=4cm.
故答案为：4.
【分析】根据题意画出图形，由三角形的内角和定理及已知可求出∠A=30°，在Rt△ACD中，根据含30°角直角三角形的性质可求出CD的长，从而得到答案.
17．（2024八下·哈尔滨开学考）汽车以的速度从A地到B地，又以的速度从B到A，则来回的平均速度为 km/h．
【答案】
【知识点】分式的混合运算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设A、B两地的总路程为skm，
则一个来回的平均速度为km/h.
故答案为：.
【分析】根据时间等于路程除以速度，分别表示出从A至B所用时间及从b至A所用时间，进而根据平均速度等于总路程除以总时间列式计算即可.
18．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，P、两点关于对称，P、两点关于对称，若，，则 ．
【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP'与OP''，
∵ P、P'两点关于OA对称，P、P''两点关于OB对称，
∴OP'=OP=7，OP''=OP=7，∠P'OP=∠AOP，∠BOP=∠P''OP，
∴OP'=OP''，∠P'OP''=2∠AOP+2∠BOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=60°，
∴△P'OP''是等边三角形，
∴P'P''=OP'=7.
故答案为：7.
【分析】如图，连接OP'与OP''，由轴对称的性质得OP'=OP=7，OP''=OP=7，∠P'OP=∠AOP，∠BOP=∠P''OP，则OP'=OP''，∠P'OP''=2∠AOB=60°，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△P'OP''是等边三角形，最后根据等边三角形的三边相等可得答案.
19．（2024八下·哈尔滨开学考）在中，是的垂直平分线，交于D，是的垂直平分线，交于E，若，则等于 ．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分类讨论：
①如图，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF=AF，
∴∠B=∠BAF，
同理∠C=∠CAE，
∵∠B+∠BAF+∠C+∠CAE+∠EAF=180°，
∴2∠BAF+2∠CAE+20°=180°，
∴∠BAF+∠CAE=80°，
∴∠BAC=∠BAF+∠CAE+∠EAF=100°；
②如图，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF=AF，
∴∠B=∠BAF，
同理∠C=∠CAE，
∵∠B+∠BAF+∠C+∠CAE-∠EAF=180°，
∴2∠BAF+2∠CAE-20°=180°，
∴∠BAF+∠CAE=100°，
∴∠BAC=∠BAF+∠CAE-∠EAF=80°，
综上，∠BAC的度数为80°或100°.
故答案为：80°或100°.
【分析】分类讨论：①△ABC是钝角三角形，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及等边对等角可得∠B=∠BAF，∠C=∠CAE，由三角形的内角和定理得∠B+∠BAF+∠C+∠CAE+∠EAF=180°，则∠BAF+∠CAE=80°，进而根据角的构成，由∠BAC=∠BAF+∠CAE+∠EAF可算出∠BAC的度数；②当△ABC是锐角三角形时，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及等边对等角可得∠B=∠BAF，∠C=∠CAE，由三角形的内角和定理得∠B+∠BAF+∠C+∠CAE-∠EAF=180°，则∠BAF+∠CAE=100°，进而根据角的构成，由∠BAC=∠BAF+∠CAE-∠EAF可算出∠BAC的度数，综上即可出答案.
20．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，中，，，过上点D作直线，分别交、延长线于点F、点E，若，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG∥AC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠FHB=∠FHD=90°，∠DGB=∠A=90°，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴△BFH与△BDG都是等腰直角三角形，
∴BH=FH，BG=DG，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠ACB=∠CDE+∠CED=45°，
∴∠CDE=22.5°=∠FDB=∠GDB，
在△FGO与△FHO中，
∵∠FGD=∠FHD=90°，FD=FD，∠FDB=∠GDB，
∴△FGD≌△FHD（ASA），
∴GD=HD，FH=FG，
设FH=x，则FG=x，BH=x，BF=x，
∴GD=BG=HD=(1+)x，BD=BH+HD=(2+)x，
∵S△FBD=BD×FH=(1+)x2，FD2=FH2+HD2=(4+)2
∴FD2=4S△FBD
又∵S△FBD=12，
∴FD2=48，
∴FD=
故答案为：.
【分析】如图，过点D作DG∥AC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，易得△BFH与△BDG都是等腰直角三角形，则BH=FH，BG=DG，由等边对等角、三角形外角相等、对顶角相等及平行线的性质可得∠CDE=22.5°=∠FDB=∠GDB，从而用ASA判断出△FGD≌△FHD，得GD=HD，FH=FG，设FH=x，则FG=x，BH=x，BF=x，GD=BG=HD=(1+)x，BD=BH+HD=(2+)x，然后根据勾股定理表示出DF2，用三角形面积计算公式表示出△BDF的面积，可得FD2=4S△FBD，据此建立方程可求出DF.
三、解答题（第21、22题每题7分，第23、24题每题8分，第25、26、27每题10分）
21．（2024八下·哈尔滨开学考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：去分母得2(x+1)=3x，
解得x=2，
检验，当x=2时，x(x+1)≠0，
∴原方程的解为x=2；
（2）解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)约去分母，得(x+1)2-4=(x+1)(x-1)，
解得x=1，
检验，当x=1时，(x+1)(x-1)=0，
∴x=1是原方程的增根，原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据两内项之积等于两外项之积可将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（2）方程两边同时乘以(x+1)(x-1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
22．（2024八下·哈尔滨开学考）先化简，再求值： ，其中
【答案】解：
当 时
原式 =
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将分式化简后得到
，再将
，代入计算即可。
23．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中作出关于y轴的对称图形；
（2）在图中作出向下平移2个单位后的图形；
（3）连接、、，直接写出的面积．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1就是所求的三角形；
（2）解：如图，△A2B2C2就是所求的三角形；
（3）解：如图，连接CC1、CC2、C1C2，
△CC1C2的面积是．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C三点向下平移2个单位长度后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）利用方根纸的特点，结合三角形面积计算公式直接计算可得答案.
24．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F．
（1）求的度数；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCA=60°，
在△ABD与△BCE中，
∵AB=BC，∠ABC=∠BCA=60°，BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠AFE=∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠CBF=∠ABC=60°；
（2）解：如图，延长BE至点H，使FH=AF，连接AH、CH，
由（1）知∠AFH=60°，
∴△AFH是等边三角形，
∴AF=FH=AH，∠FAH=60°，
∵∠BAC=∠FAH=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠FAH-∠DAC，即∠BAF=∠CAH，
在△ABF与△ACH中，
∵AB=AC，∠BAF=∠CAH，AF=AH，
∴△ABF≌△ACH（SAS），
∴BF=CH=3，∠ABF=∠ACH，
∵∠BAD=∠CBE，
∴∠BAC-∠BAD=∠ABC-∠CBE，即∠DAC=∠ABF，
∴∠DAC=∠ACH，
∴AF∥CH，
∴∠HCF=180°-∠AFC=90°，
又∵∠CFH=∠AFC-∠AFH=90°-60°=30°，
∴FH=2CH=6，
∴AF=FH=6.
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得AB=BC，∠ABC=∠BCA=60°，从而由SAS证△ABD≌△BCE，得∠BAD=∠CBE，进而根据三角形外角性质、等量代换及角的和差可得∠AFEF=∠ABC，从而得出答案；
（2）如图，延长BE至点H，使FH=AF，连接AH、CH，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，得△AFH是等边三角形，由等边三角形性质得AF=FH=AH，∠FAH=60°，根据等式的性质推出∠BAF=∠CAH，从而用SAS判断出△ABF≌△ACH，得BF=CH=3，∠ABF=∠ACH；进而根据等式性质推出∠DAC=∠ABF=∠ACH，由内错角相等，两直线平行，得AF∥CH，再由二直线平行，同旁内角互补得∠HCF=90°，然后根据含30°角直角三角形的性质可得FH=2CH=6，从而即可得出AF的长.
25．（2024八下·哈尔滨开学考）春节期间，某水果商从批发市场分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，且大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．
（1）求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
（2）在运输和销售过程中，大樱桃损耗了15%，若大樱桃的售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6700元，则小樱桃的售价最少应该为每千克多少元？
【答案】（1）解：设大樱桃每千克的进价为x元，则小樱桃的进价为每千克(x-20)元，由题意得
，
解得x=50，经检验x=50是原方程的根，且适合题意，
∴x-20=50-20=30(元)，
∴大樱桃的进价是每千克50元，小樱桃的进价是每千克30元；
（2）解：购进大、小樱桃的质量分别是10000÷50=200(千克)，
设小樱桃的售价至少定位每千克y元，由题意得
200×(1-15％)×80-10000+200y-6000≥6700，
解得y≥45.5
∴小樱桃的售价最少应该为每千克45.5元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设大樱桃每千克的进价为x元，则小樱桃的进价为每千克(x-20)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃 ”可列出分式方程，求解并检验即可得出答案；
（2）首先分别算出购进大、小樱桃的数量，进而根据单价乘以数量等于总价分别表示出大、小樱桃的销售总价，进而根据销售两种樱桃的总价减去购进两种樱桃的成本等于销售两种樱桃的利润及 此次销售获利不少于6700元列出不等式，求解即可.
26．（2024八下·哈尔滨开学考）如图
（1） [问题提出]
如图1，在中，，是的中线，E是线段上的一个动点，且点E不与点C、D重合，连接、．
求证：；
（2）[问题探究]
将线段绕点E逆时针旋转，使点B的对应点F落在直线上．
如图2，当时，的大小是否发生变化？请说明理由；
（3）[迁移探究]
如图3，当时，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵△ABC中，AC=BC，且CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
（2）解：如图，设EF与AC相交于点G，
∵AC=BC，AE=BE，
∴∠CAB=∠CBA，∠EAB=∠EBA，
∴∠CAB-∠EAB=∠CBA-∠EBA，即∠CAE=∠CBE，
∵BE=FE，
∴∠EBF=∠EFB，
∴∠EFB=∠CAE，
又∵∠FGC=∠AGE，
∴∠AEF=∠ACF=90°；
（3）解：CF-DE=6，理由如下：
过点E作EM⊥BC于点M，
设CM=a，则BM=BC-CM=12-a，
∵BE=FE，EM⊥BF，
∴BF=2BM=24-2a，∠EMC=90°
∴CF=BF-BC=12-2a，
∵AC=BC，∠ACB=120°，CD是△ABC的中线，
∴∠CBD=(180°-∠ACB)=30°，∠CDB=90°，∠BCD=∠ACB=60°
∴CD=BC=6，
∵∠EMC=90°，∠BCD=60°，
∴∠CEM=30°，
∴CE=2CM=2a，
∴ED=CD-EC=6-2a，
∴CF-ED=12-2a-(6-2a)=6.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一可推出CD是线段AB的垂直平分线，进而根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得AE=BE；
（2）由等边对等角得∠CAB=∠CBA，∠EAB=∠EBA，由等量减去等量差相等得∠CAE=∠CBE，由旋转的性质得BE=FE，由等边对等角得∠EBF=∠EFB，则∠EFB=∠CAE，进而结合对顶角相等及三角形的内角和定理可推出∠AEF=∠ACF=90°；
（3）CF-DE=6，理由如下：过点E作EM⊥BC于点M，设CM=a，则BM=BC-CM=12-a，由等腰三角形的三线合一得BF=2BM=24-2a，进而由线段的和差得CF=BF-BC=12-2a，根据等哟啊三角形的性质可得∠CBD=(180°-∠ACB)=30°，∠CDB=90°，∠BCD=∠ACB=60°，由含30°角直角三角形的性质的CD=BC=6，CE=2CM=2a，则ED=CD-EC=6-2a，从而即可求出CF与DE的关系.
27．（2024八下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，点在x轴正半轴上，且a、b、c满足等式．
（1）如图1，求线段的长；
（2）如图2，动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，连接，过点O作交于点E，设的面积为S，点D的运动时间为t秒，求S与t的关系式；
（3）在（2）的条件下，在上取点P， PO=QO， 在上取点Q，连接、、、，若，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴ ，
∴a-2=0，a+b=0，b+c=0，
∴a=2，b=-2，c=2，
∴A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
∴BC=4；
（2）解：如图，过点D作DF⊥AO于点F，
∴∠DFA=90°，
∵A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
∴OA=OB=OC=2，AB=，
∴△ABO与△ACO都是等腰直角三角形，
∴∠BAO=∠C=45°，
∴△ADF也是等腰直角三角形，
∵动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，
∴BD=2t，
∴AD=AB-BD=-2t，
∴DF=
∴S△ADO=
∵∠AOD+∠AOE=∠AOE+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠COE，
在△ADO与△CEO中，
∵∠AOD=∠COE，OA=OC，∠BAO=∠C=45°，
∴△ADO≌△CEO（ASA），
∴S△CEO=S△ADO，
∴；
（3）解：∵∠BOP+∠AOP=∠AOP+∠AOQ=90°，
∴∠BOP=∠AOQ，
在△BOP与△AOQ中，
∵BO=AO，∠BOP=∠AOQ，PO=QO，
∴△BOP≌△AOQ（SAS），
∴∠OBP=∠OAQ，
同理△AOP≌△COQ，
∴∠OAP=∠OCQ，
由（2）知△ABO与△ACO都是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠OAC=45°，
∴∠ABO+∠ACO=90°，
又∵∠ABP+∠ACQ=45°，
∴∠OBP+∠OCQ=45°，
∴∠PAQ=∠PAO+∠OAQ=∠OBP+∠OCQ=45°.
【知识点】坐标与图形性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式将已知等式的前三项分解因式，然后根据偶数次幂的非负性、绝对值的非负性及算术平方根的非负性，由三个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b、c的值，从而得到A、B、C三点的坐标，进而根据两点间的距离公式可求出BC的长；
（2）过点D作DF⊥AO于点F，由两点间的距离公式得OA=OB=OC=2，AB=，则△ABO与△ACO都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得∠BAO=∠C=45°，则△ADF也是等腰直角三角形；由题意易得BD=2t，则AD=AB-BD=-2t，由等腰直角三角形的性质得DF=，然后根据三角形的面积计算公式表示出△ADO的面积，由同角的余角相等得∠AOD=∠COE，从而用ASA判断出△ADO≌△CEO，根据全等三角形的面积相等即可求出S关于t的关系式；
（3）由同角的余角相等得∠BOP=∠AOQ，从而由SAS判断出△BOP≌△AOQ，由全等三角形的对应角相等得∠OBP=∠OAQ，同理∠OAP=∠OCQ；由（2）知△ABO与△ACO都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可推出∠ABO+∠ACO=90°，结合已知可得∠OBP+∠OCQ=45°，进而根据角的构成及等量代换可求出∠PAQ的度数.
1 / 1
