浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024高二下·浙江期中）“笑靥踏青行，不负好韶光”，4月初某学校组织安排了高二年段的研学踏青活动，现要求5个班级分别从3个景点中选择一处游览，则不同的选法有（ ）种
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由已知得共有： (种).
故答案为：A.
【分析】根据分布乘法计数原理计算即可.
2．（2024高二下·浙江期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：由已知的通项为： ，
所以：
所以二项式系数是.
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理直接求解即可.
3．（2024高二下·浙江期中）下列说法正确的是（ ）
A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
C．正态分布的图象越瘦高，越大
D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
【答案】D
【知识点】回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征；正态分布定义
【解析】【解答】解：模型的拟合效果越好，因为 值越大，故A错误；
两个随机变量的线性相关性越强， 则 的绝对值越接近于 1 ， 故B错误；
正态分布 越小，的图象越瘦高，故C错误；
残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用统计相关性和正态分布知识进行判断即可.
4．（2024高二下·浙江期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】解：记抽到的女生人数为，则服从超几何分布，
由超几何分布的均值公式
所以.
故答案为：A.
【分析】根据超几何分布均值公式直接计算即可.
5．（2024高二下·浙江期中）某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以正态曲线关于对称，
因为，
所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】利用正态分布曲线相关性质计算即可.
6．（2024高二下·浙江期中） 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，组委会将篮球、网球、排球、空手道、击剑、摔跤6个项目安排在3个不同的体育场馆比赛，每个场馆安排2个项目，其中排球、空手道必须安排到同一场馆，则不同的排法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：(1)将除去排球、空手剩余四个项目分成两组， 有 种分组方法；
(2)将分好的三组安排到 3 个不同的体育场馆， 有 种安排方法.
则共有 种排法.
故答案为：B.
【分析】根据平均分组后在分配结合分步乘法计数原理计算即可.
7．（2024高二下·浙江期中）为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．35 B．36 C．37 D．38
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【解答】解：设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下：
发病 没发病 合计
接种 2k
没接种 k
合计 3k
则的观测值为：，整理得，
结合表中所给数据则，
即，
即
∴，∴
故答案为：B．
【分析】根据独立性检验和概率值关系解不等式即可求得最小值.
8．（2024高二下·浙江期中）已知随机变量的分布列为
a b
P b a
则下列说法不正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【知识点】基本不等式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，且a，
由离散型随机变量均值计算公式得：，
由基本不等式得：
当且仅当时取等号，A正确；
，
另一方面，
所以，所以B正确；
，所以C错误；
由
得，满足条件的a，b存在，所以D正确．
故答案为：C.
【分析】根据离散型随机变量的均值与方差计算公式结合基本不等式即可判断命题真假.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高二下·浙江期中）下列说法中正确的有（ ）
A．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布
B．已知随机变量X服从二项分布，若，，则
C．设随机变量，则，
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.4
【答案】A,D
【知识点】线性回归方程；二项分布；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：由二项分布的定义可知，故A正确；
由题意可得，，，
即，解得，故B错误；
由已知可得，，
则，
，故C错误；
对于D，由题意可得化简得，其化为对数式得：，
又因为，
所以；
又因为，所以，即，
对比线性方程
可得，
化为指数式得，故D正确.
故选：AD.
【分析】根据二项分布和均值方差公式性质判断ABC，利用指对化简求出回归方程判断D.
10．（2024高二下·浙江期中）已知，若，则正确的是（ ）
A．
B．
C．除以6所得余数为5
D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A：由已知，令，
得，
∴，所以A正确；
对于B：令∴，
所以，所以B错误；
对于C：由A知，
所以，除以6的余数为5，C正确；
对于D：由，
得，令，
得，所以D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法结合二项式定理计算即可.
11．（2024高二下·浙江期中）甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件（，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：由已知事件表示从甲罐中取出的2个球中含有1个红球，
，故A正确.
又因为，
，故C错误.
，
所以；
；
，故B正确.
由全概率公式可知∴
故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】根据题意和条件概率公式结合全概率公式计算即可.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
12．（2024高二下·浙江期中）某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如表所示．根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为 ．
x 2 3 4 5 6
y 1.5 2 3.5 4 5.5
【答案】-0.6
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由已知得： ，
，
因为回归方程为，
因为必过样本点中心 ，
把代入方程可得，所以，
所以在样本处的残差为.
故答案为：-0.6.
【分析】利用回归方程性质求得方程带入计算得到残差即可.
13．（2024高二下·浙江期中）在的展开式中，的系数为 ．
【答案】-1680
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：可看作7个相乘，
从中选3个，有种选法；
再从剩余的4个括号里边选出2个，
最后两个括号选出2个 ，由分步乘法计数原理可知有种选法；
即可得到的系数为，
故答案为：-1680.
【分析】根据二项式定理的原理计算即可.
14．（2024高二下·浙江期中）每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为 ．
【答案】216
【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：若分为3，1，1，1的四组，有种分组方法，
若分为2，2，1，1的四组，有种分组方法，
则一共有种分组方法：将分好的四组全排列，有种，
所以分配方法有种．
故答案为：216.
【分析】分类讨论结合分步乘法计数原理计算即可.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（2024高二下·浙江期中） 2022年，华为公司持续加大研发投入，2022年研发投入达到1615亿元，占全年收入的25.1%均处于历史高位，十年累计投入的研发费用超过9773亿元．为进一步突破卡脖子的技术，解决芯片制造的难题，以保持面向未来的持续创新能力，华为某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组该技术研发投入x（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据如下表所示：
研发投入 3 4 5 6 6 7 8 9
收益 8 9 11 10 13 15 17 21
（1）已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程；
（2）该高科技企业主要研发了一类新产品，已知该产品的品质达到世界超一流水平的概率为，现随机抽取5件产品，求至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率．
（附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计公式分别为：，；．）
【答案】（1）解：所以，
所以，
又由得∴，
所以此经验回归方程.
（2）解：记“至少有3件产品的品质到达世界超一流水平”为事件A，
则
所以至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率为.
【知识点】线性回归方程；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据线性回归方程计算公式即可求得回归方程.
（2）根据相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.
16．（2024高二下·浙江期中） 2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
（1）女生互不相邻的坐法有多少种？
（2）若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？
（3）若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？
【答案】（1）解：不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种
（2）解：方法一：“间接法”，不同排列方式共有种
方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法．
（3）解：方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法，
当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能，
所以不同排列方式共有种．
（方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法．
【知识点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用不相邻问题插空法进行计算即可.
（2）利用间接法或直接法进行计算即可.
（3）特殊元素优先考虑计算即可.
17．（2024高二下·浙江期中）在二项式的展开式中，
（1）若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项；
（2）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）解：由题意得：
∴，
即
∴或舍）
∴，，1，2，…6，
所以，3，6时为有理项
即展开式中的有理项为：，，
（2）解：因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以，
设第项的展开式系数最大，则
，
解得
所以展开式中系数最大项为：，
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）利用二项式定理展开式系数的关系求得n，即可求得有理项.
（2）由最大二项式系数居中求得n，利用不等式即可求得系数最大的项.
18．（2024高二下·浙江期中）某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数，且所有得分都是整数．
（1）求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差；
（2）计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数）
（3）本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：若，则；；．
【答案】（1）解：由题意得：平均成绩，
标准差为
（2）解：因为，，
所以
所以超过141的人数为：人
（3）解：设事件A，表示“小明选择了i个选项”（，2，3），事件B表示“选择的选项是正确的”．
由题知，可取6，4，2，0．
因为，，
，
所以随机变量的分布列为：
6 4 2 0
P
于是，
【知识点】超几何分布的应用；正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据正态分布知识求解即可.
（2）利用准则进行计算即可.
（3）利用离散型随机变量的均值与方差公式进行计算即可.
19．（2024高二下·浙江期中）一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9．
（1）请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联．
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生 15
合计 50 100
（2）一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求
①求X的分布列；
②求；
③试判断是否为定值，并加以证明．
附：，．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由题意得：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 35 20 55
女生 15 30 45
合计 50 50 100
则的观测值为，
所以有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联
（2）解：①由题可知，的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知：
；；
故的分布列如下表：
0 1 2
P
②由全概率公式可知：
即：，所以，所以，
又，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即．
③可判断为定值
由全概率公式可得：
即：，又，
所以，
所以
又，
所以，
所以
所以
可得的分布列
0 1 2
P
所以
∴为定值1
【知识点】等比数列的通项公式；独立性检验；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；全概率公式
【解析】【分析】（1）结合已知条件补全表格，利用独立性检验相关知识判断即可.
（2）①由相互独立事件概率乘法公式计算概率求得分布列.
②利用全概率公式结合等比数列通项公式即可求得.
③利用全概率公式结合分布列整理化简即可证明.
1 / 1浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024高二下·浙江期中）“笑靥踏青行，不负好韶光”，4月初某学校组织安排了高二年段的研学踏青活动，现要求5个班级分别从3个景点中选择一处游览，则不同的选法有（ ）种
A． B． C． D．
2．（2024高二下·浙江期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·浙江期中）下列说法正确的是（ ）
A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
C．正态分布的图象越瘦高，越大
D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
4．（2024高二下·浙江期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2024高二下·浙江期中）某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9
6．（2024高二下·浙江期中） 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，组委会将篮球、网球、排球、空手道、击剑、摔跤6个项目安排在3个不同的体育场馆比赛，每个场馆安排2个项目，其中排球、空手道必须安排到同一场馆，则不同的排法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
7．（2024高二下·浙江期中）为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．35 B．36 C．37 D．38
8．（2024高二下·浙江期中）已知随机变量的分布列为
a b
P b a
则下列说法不正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高二下·浙江期中）下列说法中正确的有（ ）
A．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布
B．已知随机变量X服从二项分布，若，，则
C．设随机变量，则，
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.4
10．（2024高二下·浙江期中）已知，若，则正确的是（ ）
A．
B．
C．除以6所得余数为5
D．
11．（2024高二下·浙江期中）甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件（，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
12．（2024高二下·浙江期中）某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如表所示．根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为 ．
x 2 3 4 5 6
y 1.5 2 3.5 4 5.5
13．（2024高二下·浙江期中）在的展开式中，的系数为 ．
14．（2024高二下·浙江期中）每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（2024高二下·浙江期中） 2022年，华为公司持续加大研发投入，2022年研发投入达到1615亿元，占全年收入的25.1%均处于历史高位，十年累计投入的研发费用超过9773亿元．为进一步突破卡脖子的技术，解决芯片制造的难题，以保持面向未来的持续创新能力，华为某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组该技术研发投入x（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据如下表所示：
研发投入 3 4 5 6 6 7 8 9
收益 8 9 11 10 13 15 17 21
（1）已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程；
（2）该高科技企业主要研发了一类新产品，已知该产品的品质达到世界超一流水平的概率为，现随机抽取5件产品，求至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率．
（附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和纵截距的最小二乘法估计公式分别为：，；．）
16．（2024高二下·浙江期中） 2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
（1）女生互不相邻的坐法有多少种？
（2）若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？
（3）若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？
17．（2024高二下·浙江期中）在二项式的展开式中，
（1）若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项；
（2）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项．
18．（2024高二下·浙江期中）某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数，且所有得分都是整数．
（1）求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差；
（2）计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数）
（3）本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：若，则；；．
19．（2024高二下·浙江期中）一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9．
（1）请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联．
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生 15
合计 50 100
（2）一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求
①求X的分布列；
②求；
③试判断是否为定值，并加以证明．
附：，．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由已知得共有： (种).
故答案为：A.
【分析】根据分布乘法计数原理计算即可.
2．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：由已知的通项为： ，
所以：
所以二项式系数是.
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理直接求解即可.
3．【答案】D
【知识点】回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征；正态分布定义
【解析】【解答】解：模型的拟合效果越好，因为 值越大，故A错误；
两个随机变量的线性相关性越强， 则 的绝对值越接近于 1 ， 故B错误；
正态分布 越小，的图象越瘦高，故C错误；
残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用统计相关性和正态分布知识进行判断即可.
4．【答案】A
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】解：记抽到的女生人数为，则服从超几何分布，
由超几何分布的均值公式
所以.
故答案为：A.
【分析】根据超几何分布均值公式直接计算即可.
5．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以正态曲线关于对称，
因为，
所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】利用正态分布曲线相关性质计算即可.
6．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：(1)将除去排球、空手剩余四个项目分成两组， 有 种分组方法；
(2)将分好的三组安排到 3 个不同的体育场馆， 有 种安排方法.
则共有 种排法.
故答案为：B.
【分析】根据平均分组后在分配结合分步乘法计数原理计算即可.
7．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【解答】解：设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下：
发病 没发病 合计
接种 2k
没接种 k
合计 3k
则的观测值为：，整理得，
结合表中所给数据则，
即，
即
∴，∴
故答案为：B．
【分析】根据独立性检验和概率值关系解不等式即可求得最小值.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，且a，
由离散型随机变量均值计算公式得：，
由基本不等式得：
当且仅当时取等号，A正确；
，
另一方面，
所以，所以B正确；
，所以C错误；
由
得，满足条件的a，b存在，所以D正确．
故答案为：C.
【分析】根据离散型随机变量的均值与方差计算公式结合基本不等式即可判断命题真假.
9．【答案】A,D
【知识点】线性回归方程；二项分布；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：由二项分布的定义可知，故A正确；
由题意可得，，，
即，解得，故B错误；
由已知可得，，
则，
，故C错误；
对于D，由题意可得化简得，其化为对数式得：，
又因为，
所以；
又因为，所以，即，
对比线性方程
可得，
化为指数式得，故D正确.
故选：AD.
【分析】根据二项分布和均值方差公式性质判断ABC，利用指对化简求出回归方程判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A：由已知，令，
得，
∴，所以A正确；
对于B：令∴，
所以，所以B错误；
对于C：由A知，
所以，除以6的余数为5，C正确；
对于D：由，
得，令，
得，所以D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法结合二项式定理计算即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：由已知事件表示从甲罐中取出的2个球中含有1个红球，
，故A正确.
又因为，
，故C错误.
，
所以；
；
，故B正确.
由全概率公式可知∴
故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】根据题意和条件概率公式结合全概率公式计算即可.
12．【答案】-0.6
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由已知得： ，
，
因为回归方程为，
因为必过样本点中心 ，
把代入方程可得，所以，
所以在样本处的残差为.
故答案为：-0.6.
【分析】利用回归方程性质求得方程带入计算得到残差即可.
13．【答案】-1680
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：可看作7个相乘，
从中选3个，有种选法；
再从剩余的4个括号里边选出2个，
最后两个括号选出2个 ，由分步乘法计数原理可知有种选法；
即可得到的系数为，
故答案为：-1680.
【分析】根据二项式定理的原理计算即可.
14．【答案】216
【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：若分为3，1，1，1的四组，有种分组方法，
若分为2，2，1，1的四组，有种分组方法，
则一共有种分组方法：将分好的四组全排列，有种，
所以分配方法有种．
故答案为：216.
【分析】分类讨论结合分步乘法计数原理计算即可.
15．【答案】（1）解：所以，
所以，
又由得∴，
所以此经验回归方程.
（2）解：记“至少有3件产品的品质到达世界超一流水平”为事件A，
则
所以至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率为.
【知识点】线性回归方程；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据线性回归方程计算公式即可求得回归方程.
（2）根据相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.
16．【答案】（1）解：不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种
（2）解：方法一：“间接法”，不同排列方式共有种
方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法．
（3）解：方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法，
当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能，
所以不同排列方式共有种．
（方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法．
【知识点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用不相邻问题插空法进行计算即可.
（2）利用间接法或直接法进行计算即可.
（3）特殊元素优先考虑计算即可.
17．【答案】（1）解：由题意得：
∴，
即
∴或舍）
∴，，1，2，…6，
所以，3，6时为有理项
即展开式中的有理项为：，，
（2）解：因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以，
设第项的展开式系数最大，则
，
解得
所以展开式中系数最大项为：，
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）利用二项式定理展开式系数的关系求得n，即可求得有理项.
（2）由最大二项式系数居中求得n，利用不等式即可求得系数最大的项.
18．【答案】（1）解：由题意得：平均成绩，
标准差为
（2）解：因为，，
所以
所以超过141的人数为：人
（3）解：设事件A，表示“小明选择了i个选项”（，2，3），事件B表示“选择的选项是正确的”．
由题知，可取6，4，2，0．
因为，，
，
所以随机变量的分布列为：
6 4 2 0
P
于是，
【知识点】超几何分布的应用；正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据正态分布知识求解即可.
（2）利用准则进行计算即可.
（3）利用离散型随机变量的均值与方差公式进行计算即可.
19．【答案】（1）解：由题意得：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 35 20 55
女生 15 30 45
合计 50 50 100
则的观测值为，
所以有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联
（2）解：①由题可知，的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知：
；；
故的分布列如下表：
0 1 2
P
②由全概率公式可知：
即：，所以，所以，
又，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即．
③可判断为定值
由全概率公式可得：
即：，又，
所以，
所以
又，
所以，
所以
所以
可得的分布列
0 1 2
P
所以
∴为定值1
【知识点】等比数列的通项公式；独立性检验；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；全概率公式
【解析】【分析】（1）结合已知条件补全表格，利用独立性检验相关知识判断即可.
（2）①由相互独立事件概率乘法公式计算概率求得分布列.
②利用全概率公式结合等比数列通项公式即可求得.
③利用全概率公式结合分布列整理化简即可证明.
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