山东省德州市2023年中考数学模拟试卷
1．（2023·德州模拟）-5的相反数是（ ）
A．5 B． C． D．-5
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：由题意得-5的相反数为5，
故答案为：A
【分析】根据有理数的相反数写出-5的相反数即可求解。
2．（2023·德州模拟）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，B不符合题意；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，C符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．（2023·德州模拟）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】∵1109万=11090000，
∴11090000=1.109×107．
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
4．（2023·德州模拟）已知关于x的一元二次方程 ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： △ ，
方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程跟的判别式，求出b2-4ac的值，再根据其值进行判断即可。
5．（2023·德州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A、不是同类项，不能合并，A计算不符合题意；
B、 ，B计算符合题意；
C、 ，C计算不符合题意；
D、 ，D计算不符合题意．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方，同底数幂乘法以及完全平方公式，逐项判断即可．
6．（2023·德州模拟）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作于点D，则，如图所示：
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】过点A作于点D，则，进而运用勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
7．（2023·德州模拟）下列说法正确的是（ ）
A．一元一次方程的解是
B．在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定
C．从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中
D．将一次函数的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；一次函数图象与几何变换；概率的意义；方差
【解析】【解答】解：A、一元一次方程的解是x=-2，A不符合题意；
B、在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较小的同学的成绩更稳定，B不符合题意；
C、从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中，C符合题意；
D、将一次函数y=-2x+5的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为y=-2x+7，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据一元一次方程的解、方差的定义、概率的定义、一次函数的图象与几何变换结合题意对选项逐一分析即可求解。
8．（2023·德州模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得．
故答案为：D．
【分析】根据 用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺， 列方程组即可。
9．（2023·德州模拟）如图，矩形OABC与反比例函数是非零常数，的图象交于点M，N，与反比例函数是非零常数，的图象交于点，连接OM，ON.若四边形OMBN的面积为3，则
A．3 B．-3 C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵、的图象均在第一象限，
∴，，
∵点M、N均在反比例函数（是非零常数，）的图象上，
∴，
∵矩形的顶点B在反比例函数（是非零常数，）的图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据反比例函数的图象得到，，进而根据反比例函数图象k的几何意义得到，，从而结合题意即可求解。
10．（2023·德州模拟）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示
主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最大．
故答案为：C．
【分析】根据所给的几何体求解即可。
11．（2023·德州模拟）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点.下列结论：①；②若点是抛物线上的两点，则；③；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：对称轴，
，
，①正确；
抛物线开口向上，点，到对称轴的距离小于点的距离，
，故②正确；
经过点，
，
对称轴，
，
，
，
，故③错误；
对称轴，
点的对称点为，
开口向上，
时，．故④正确；
由图象可知一元二次方程，有两个不相等的实数根，故⑤正确；
∴①②④⑤共4个正确．
故答案为：D
【分析】根据二次函数的对称轴即可判断①；根据二次函数的开口结合题意即可判断②；先根据点得到，进而根据对称轴得到，再代入即可判断③；根据二次函数的性质得到点的对称点为，再根据开口即可判断④；根据二次函数与x轴的交点即可判断一元二次方程根的情况，从而即可判断⑤.
12．（2023·德州模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点在坐标原点，点是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作，交AB于，点在线段EF上.若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·德州模拟）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得3-2x≥0，
∴，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可求解。
14．（2023·德州模拟）因式分解： ．
【答案】（x-2）（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式
【分析】先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式 即可．
15．（2023·德州模拟）如图，已知AB是半圆的直径，弦，则CD与AB之间的距离是 .
【答案】3
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图所示：
则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为：3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，进而根据垂径定理结合题意得到CH＝DH＝CD＝4，根据勾股定理即可求出OH，从而根据平行线间的距离即可求解。
16．（2023·德州模拟）如图，在直角坐标系中，点 ， 是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且 ，在 轴上取一点D，连接 ， ， ， ，使得四边形 的周长最小，这个最小周长的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ ，点 的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∵点 ， 是第一象限角平分线上的两点，
∴∠BAC=45°，
∵ ，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠C=90°，
∴BC∥y轴，
∴AC=BC=2，
作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，
∴此时四边形 的周长最小，
作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，
∴EG=2，GA=4，
在Rt△AGE中，
，
∴ 四边形 的周长最小值为2+2+ =4+ ．
【分析】先求出AC=BC=2，作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，即此时四边形 的周长最小；作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，根据勾股定理求出AE即可．
17．（2023·德州模拟）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，进而结合题意代入即可求出m，从而根据一元二次方程根的判别式即可求解。
18．（2023·德州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．
【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF=60°，PF=PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF，
如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，
则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，
∵AO⊥P1F1，
∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，
∴∠P1AO=30°，且AO=4，
由勾股定理得：，
∴，
∴点F1的坐标为，
如图，当点F2在y轴上时，
∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，
∴AO=F2O=4，
∴点F2的坐标为（0，-4），
∵，
∴∠OF1F2=60°，
∴点F运动所形成的图象是一条直线，
∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，
设直线F1F2的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线F1F2的解析式为y=x-4，
∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，
∴，
在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，
设点O到F1F2的距离为h，则，
∴，
解得h=2，
即线段OF的最小值为2，
故答案为2．
【分析】分类讨论，利用待定系数法，锐角三角函数计算求解即可。
19．（2023·德州模拟）
（1）先化简再求值：，其中.
（2）解不等式组并将解集表示在所给的数轴上.
【答案】（1）解：
=（m-3）（m-1）
=m2-4m+3，
当m=4时，
原式=42-4×4+3
=3
（2）解：，
解①得：x>2，
解②得：x≤4，
故不等式组的解集是：2解集在数轴上表示：
【知识点】分式的化简求值；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解；
（2）根据题意分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
20．（2023·德州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OD、CD， 由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝AB，由线段中点定义可得BD=AD=AB，于是AD=AC，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△ADC是等边三角形，由等边三角形的性质并结合已知可求得∠DCO=30°，由等边对等角可得∠ODC=∠DCO=30°，结合角的构成∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝90°，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）在直角三角形OBD中，用勾股定理求得OD的值，然后根据阴影部分的构成S阴影=＝S△BDO﹣S扇形DOE可求解.
21．（2023·德州模拟）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档： ；B档： ；C档： ；D档： ．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【答案】（1）解：由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12-4=8人，
8÷20%=40人，
补全图形如下：
（2）解：1200× （人）
答：全校B档的人数为480人，
（3）解：用A表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，
所以P（2名学生来自不同年级）=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；（3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可.
22．（2023·德州模拟）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【答案】（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF=∠DAB=30°，∴，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（负值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，根据题意得：，解得x=15，经检验，x=15是原方程的解，也符合题意，∴x+35=50，答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）先求出 BE：CE=1：2.4， 再利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等 ，列方程求解即可。
23．（2023·德州模拟）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
【答案】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，
∴AE=AM= (4 a)，BE= (4 b)，
∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），AC=4，
∴EF=AB-AE-BF= [4-（4-a）-（4-b）]，
∵ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），
∴AE2+BF2=EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）解：①如图1，连接PC交EF于G，
∵a=b，
∴ME=AM=BN=NF，
∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PEG=90°，
∵CM=CN=PM=PN，
∴PE=PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，
∴PE=AE=PF=BF，
∴ME=EG=FG=FN，
∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；
②如图2，仍然成立，理由如下：将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，
∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，
∵EF2=BF2+AE2，
∴DE=EF，
∵CD=CF，CE=CE，
∴△DCE≌△FCE（SSS），
∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）①先求出 ME=AM=BN=NF， 再求出 ∠PEG=90°， 最后求解即可；
②利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。
24．（2023·德州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，点.
（1）当抛物线过点时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论为何值，抛物线必过定点，并求出点的坐标；
（3）在(1)的条件下，抛物线与轴交于点，点是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与轴交于点.设，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值.
【答案】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）解：如图，
连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，
∴点的坐标是（1，4）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，进而即可求出抛物线的解析式；
（2）根据题意将抛物线的解析式变形为y=－x2+m（2x+3），进而根据题意即可求解；
（3）连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），根据题意运用待定系数法求出直线PD的函数解析式，进而根据一次函数与坐标轴的交点问题得到点N的坐标是（0，），从而得到，再根据S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，结合题意根据二次函数的最值即可求解。
25．（2023·德州模拟）如图，在菱形ABCD中，，点E、F、G分别在边BC、CD上，平分，点是线段AF上一动点（与点A不重合）.
（1）求证：△AEH≌△AGH；
（2）当AB=12，BE=4时：
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3.若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
1 / 1山东省德州市2023年中考数学模拟试卷
1．（2023·德州模拟）-5的相反数是（ ）
A．5 B． C． D．-5
2．（2023·德州模拟）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·德州模拟）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·德州模拟）已知关于x的一元二次方程 ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
5．（2023·德州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·德州模拟）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）.
A． B． C． D．
7．（2023·德州模拟）下列说法正确的是（ ）
A．一元一次方程的解是
B．在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定
C．从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中
D．将一次函数的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为
8．（2023·德州模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·德州模拟）如图，矩形OABC与反比例函数是非零常数，的图象交于点M，N，与反比例函数是非零常数，的图象交于点，连接OM，ON.若四边形OMBN的面积为3，则
A．3 B．-3 C． D．
10．（2023·德州模拟）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
11．（2023·德州模拟）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点.下列结论：①；②若点是抛物线上的两点，则；③；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023·德州模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点在坐标原点，点是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作，交AB于，点在线段EF上.若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·德州模拟）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 .
14．（2023·德州模拟）因式分解： ．
15．（2023·德州模拟）如图，已知AB是半圆的直径，弦，则CD与AB之间的距离是 .
16．（2023·德州模拟）如图，在直角坐标系中，点 ， 是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且 ，在 轴上取一点D，连接 ， ， ， ，使得四边形 的周长最小，这个最小周长的值为 ．
17．（2023·德州模拟）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= .
18．（2023·德州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．
19．（2023·德州模拟）
（1）先化简再求值：，其中.
（2）解不等式组并将解集表示在所给的数轴上.
20．（2023·德州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．
21．（2023·德州模拟）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档： ；B档： ；C档： ；D档： ．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
22．（2023·德州模拟）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
23．（2023·德州模拟）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
24．（2023·德州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，点.
（1）当抛物线过点时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论为何值，抛物线必过定点，并求出点的坐标；
（3）在(1)的条件下，抛物线与轴交于点，点是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与轴交于点.设，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值.
25．（2023·德州模拟）如图，在菱形ABCD中，，点E、F、G分别在边BC、CD上，平分，点是线段AF上一动点（与点A不重合）.
（1）求证：△AEH≌△AGH；
（2）当AB=12，BE=4时：
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3.若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：由题意得-5的相反数为5，
故答案为：A
【分析】根据有理数的相反数写出-5的相反数即可求解。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，B不符合题意；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，C符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】∵1109万=11090000，
∴11090000=1.109×107．
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： △ ，
方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程跟的判别式，求出b2-4ac的值，再根据其值进行判断即可。
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A、不是同类项，不能合并，A计算不符合题意；
B、 ，B计算符合题意；
C、 ，C计算不符合题意；
D、 ，D计算不符合题意．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方，同底数幂乘法以及完全平方公式，逐项判断即可．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作于点D，则，如图所示：
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】过点A作于点D，则，进而运用勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
7．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；一次函数图象与几何变换；概率的意义；方差
【解析】【解答】解：A、一元一次方程的解是x=-2，A不符合题意；
B、在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较小的同学的成绩更稳定，B不符合题意；
C、从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中，C符合题意；
D、将一次函数y=-2x+5的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为y=-2x+7，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据一元一次方程的解、方差的定义、概率的定义、一次函数的图象与几何变换结合题意对选项逐一分析即可求解。
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得．
故答案为：D．
【分析】根据 用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺， 列方程组即可。
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵、的图象均在第一象限，
∴，，
∵点M、N均在反比例函数（是非零常数，）的图象上，
∴，
∵矩形的顶点B在反比例函数（是非零常数，）的图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据反比例函数的图象得到，，进而根据反比例函数图象k的几何意义得到，，从而结合题意即可求解。
10．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示
主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最大．
故答案为：C．
【分析】根据所给的几何体求解即可。
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：对称轴，
，
，①正确；
抛物线开口向上，点，到对称轴的距离小于点的距离，
，故②正确；
经过点，
，
对称轴，
，
，
，
，故③错误；
对称轴，
点的对称点为，
开口向上，
时，．故④正确；
由图象可知一元二次方程，有两个不相等的实数根，故⑤正确；
∴①②④⑤共4个正确．
故答案为：D
【分析】根据二次函数的对称轴即可判断①；根据二次函数的开口结合题意即可判断②；先根据点得到，进而根据对称轴得到，再代入即可判断③；根据二次函数的性质得到点的对称点为，再根据开口即可判断④；根据二次函数与x轴的交点即可判断一元二次方程根的情况，从而即可判断⑤.
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得3-2x≥0，
∴，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可求解。
14．【答案】（x-2）（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式
【分析】先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式 即可．
15．【答案】3
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图所示：
则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为：3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，进而根据垂径定理结合题意得到CH＝DH＝CD＝4，根据勾股定理即可求出OH，从而根据平行线间的距离即可求解。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ ，点 的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∵点 ， 是第一象限角平分线上的两点，
∴∠BAC=45°，
∵ ，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠C=90°，
∴BC∥y轴，
∴AC=BC=2，
作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，
∴此时四边形 的周长最小，
作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，
∴EG=2，GA=4，
在Rt△AGE中，
，
∴ 四边形 的周长最小值为2+2+ =4+ ．
【分析】先求出AC=BC=2，作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，即此时四边形 的周长最小；作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，根据勾股定理求出AE即可．
17．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，进而结合题意代入即可求出m，从而根据一元二次方程根的判别式即可求解。
18．【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF=60°，PF=PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF，
如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，
则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，
∵AO⊥P1F1，
∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，
∴∠P1AO=30°，且AO=4，
由勾股定理得：，
∴，
∴点F1的坐标为，
如图，当点F2在y轴上时，
∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，
∴AO=F2O=4，
∴点F2的坐标为（0，-4），
∵，
∴∠OF1F2=60°，
∴点F运动所形成的图象是一条直线，
∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，
设直线F1F2的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线F1F2的解析式为y=x-4，
∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，
∴，
在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，
设点O到F1F2的距离为h，则，
∴，
解得h=2，
即线段OF的最小值为2，
故答案为2．
【分析】分类讨论，利用待定系数法，锐角三角函数计算求解即可。
19．【答案】（1）解：
=（m-3）（m-1）
=m2-4m+3，
当m=4时，
原式=42-4×4+3
=3
（2）解：，
解①得：x>2，
解②得：x≤4，
故不等式组的解集是：2解集在数轴上表示：
【知识点】分式的化简求值；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解；
（2）根据题意分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
20．【答案】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OD、CD， 由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝AB，由线段中点定义可得BD=AD=AB，于是AD=AC，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△ADC是等边三角形，由等边三角形的性质并结合已知可求得∠DCO=30°，由等边对等角可得∠ODC=∠DCO=30°，结合角的构成∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝90°，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）在直角三角形OBD中，用勾股定理求得OD的值，然后根据阴影部分的构成S阴影=＝S△BDO﹣S扇形DOE可求解.
21．【答案】（1）解：由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12-4=8人，
8÷20%=40人，
补全图形如下：
（2）解：1200× （人）
答：全校B档的人数为480人，
（3）解：用A表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，
所以P（2名学生来自不同年级）=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；（3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可.
22．【答案】（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF=∠DAB=30°，∴，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（负值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，根据题意得：，解得x=15，经检验，x=15是原方程的解，也符合题意，∴x+35=50，答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）先求出 BE：CE=1：2.4， 再利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等 ，列方程求解即可。
23．【答案】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，
∴AE=AM= (4 a)，BE= (4 b)，
∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），AC=4，
∴EF=AB-AE-BF= [4-（4-a）-（4-b）]，
∵ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），
∴AE2+BF2=EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）解：①如图1，连接PC交EF于G，
∵a=b，
∴ME=AM=BN=NF，
∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PEG=90°，
∵CM=CN=PM=PN，
∴PE=PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，
∴PE=AE=PF=BF，
∴ME=EG=FG=FN，
∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；
②如图2，仍然成立，理由如下：将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，
∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，
∵EF2=BF2+AE2，
∴DE=EF，
∵CD=CF，CE=CE，
∴△DCE≌△FCE（SSS），
∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）①先求出 ME=AM=BN=NF， 再求出 ∠PEG=90°， 最后求解即可；
②利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。
24．【答案】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）解：如图，
连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，
∴点的坐标是（1，4）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，进而即可求出抛物线的解析式；
（2）根据题意将抛物线的解析式变形为y=－x2+m（2x+3），进而根据题意即可求解；
（3）连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），根据题意运用待定系数法求出直线PD的函数解析式，进而根据一次函数与坐标轴的交点问题得到点N的坐标是（0，），从而得到，再根据S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，结合题意根据二次函数的最值即可求解。
25．【答案】（1）
（2）
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