(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学5.3.1函数的单调性(精练)(含解析)

5.3.1 函数的单调性（精练）
1 无参函数求单调区间
1．（2022·重庆长寿·高二期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．（0，2） B．（2，3）
C．（1，3） D．（3，+∞）
2．（2022·四川绵阳 ）函数的单调递增区间为（ ）
A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列区间中能使函数单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东）己知函数，则函数的单调递增区间是_____________．
5．（2022·安徽 ）函数的单调递增区间为______.
6．（2022·黑龙江 ）函数的单调增区间为_________.
7．（2022·辽宁省 ）已知函数，则的单调减区间为______.
2 已知单调区间求参数
1．（2022·浙江宁波·高二期中）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东东莞·高二期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）
3．（2022·天津一中高二期中）已知函数的单调递减区间是，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川·仁寿一中高二期中（理））若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．或或 B．或
C． D．不存在这样的实数
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·陕西 ）已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·江苏 ）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广东深圳）若函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3 导数的正负与函数的增减性
1．（2022·吉林·长春市第五中学高二期中）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二单元测试）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2022·山东德州·高二期末）函数的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东广州·高二期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
4 含参函数单调性的讨论
1．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知函数．求的单调区间；
2．（2022贵州省）已知函数，讨论的单调性；
3．（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）已知函数，讨论的单调性；
4．（2022·四川省）已知函数，讨论的单调性；
5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数，讨论函数的单调性；
6（2022·全国·阶段练习（文））已知且.讨论函数的单调性；
5 单调性的运用
1．（2022·湖北黄冈）已知函数的定义域为，，若对于任意都有，则当时，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·福建龙岩）（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二专题练习）设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为 __．
4．（2022·广东揭阳）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________．
5（2022·福建福州）定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________．
6．（2022·山西太原）已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为________．
5.3.1 函数的单调性（精练）
1 无参函数求单调区间
1．（2022·重庆长寿·高二期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．（0，2） B．（2，3）
C．（1，3） D．（3，+∞）
答案：B
【解析】的定义域为,
,
令，解得：.
所以函数的单调递减区间为（2，3）.
故选：B.
2．（2022·四川绵阳 ）函数的单调递增区间为（ ）
A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)
答案：D
【解析】∵函数，，
∴，
由，，解得，
即函数的单调递增区间为.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列区间中能使函数单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
答案：BD
【解析】由，得，解得或，
所以函数的定义域为.
令，则，
由，得，
令即，解得，或，
当或时，；
所以在和上单调递增；
所以在定义域内是单调递增函数,
所以函数在和上单调递增.
故选：BD.
4．（2022·广东）己知函数，则函数的单调递增区间是_____________．
答案：
【解析】函数，其定义域，
则在恒成立，
所以函数 的单调递增区间是.
故答案为：.
5．（2022·安徽 ）函数的单调递增区间为______.
答案：
【解析】由题意知，定义域为R，，
且在R上恒成立，
所以，函数的单调递增区间为.
故答案为：
6．（2022·黑龙江 ）函数的单调增区间为_________.
答案：，
【解析】因为函数的定义域为，而，所以函数的单调增区间为，．
故答案为：，．
7．（2022·辽宁省 ）已知函数，则的单调减区间为______.
答案：
【解析】函数的定义域为，
，
令，即，解得：，
∴函数的单调递减区间为.故答案为：.
2 已知单调区间求参数
1．（2022·浙江宁波·高二期中）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】在区间上是增函数，
在上恒成立，
，因为，所以
令，则，即，，
，令，，则，
在上单调递减，，即，
故选：A．
2．（2022·广东东莞·高二期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）
答案：B
【解析】，由题意得：，
即在上恒成立，
因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是.
故选：B
3．（2022·天津一中高二期中）已知函数的单调递减区间是，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
答案：B
【解析】函数，则导数
令，即，
∵，的单调递减区间是，
∴0，4是方程的两根，∴，，∴故选：B.
4．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由，
因为函数在区间内单调递增，
所以有在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以由，
因为，所以，于是有，
故选：D
5．（2022·四川·仁寿一中高二期中（理））若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．或或 B．或
C． D．不存在这样的实数
答案：B
【解析】
，
令，解得，或，所以当或时，
当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，
即函数极值点为，
若函数在区间上不是单调函数，
则或，
所以或，
解得或
故选：B．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，则在上恒成立，即，又，当时，的最小值为，故．
故选：A
7．（2022·陕西 ）已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，
则，由，得，单调递增，又由，得，
故，所以，的取值范围
故选：A
8．（2021·江苏 ）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】∵，
∴，
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故，
令，则在单调递增，
，
故.
故选：D.
9．（2022·广东深圳）若函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】，，
当时，在上恒成立，
此时在上单调递减，不合要求，舍去；
当时，则要求的零点在内，
的对称轴为，由零点存在性定理可得：
，故，
解得：，
故的取值范围.
故选：C
10．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】，
令，则或（舍），
因为在区间上不单调，故即，
故选：A.
3 导数的正负与函数的增减性
1．（2022·吉林·长春市第五中学高二期中）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；
当时，,函数单调递减；
当时，,函数单调递增.
只有C选项的图象符合.故选:C.
2．（2022·全国·高二单元测试）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（ ）．
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】由题意可知，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，单调递增，则在上增的越来越快，
当时，单调递减，则在上增的越来越慢，
当时，单调递减，则在上减的越来越快，
当时，单调递增，则在上减的越来越慢，
只有A选项符合.
故选：A.
3．（2022·山东德州·高二期末）函数的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】对求导得恒成立,故在上单调递增，A正确.
故选：A.
4．（2022·广东广州·高二期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】设导函数与横轴的交点为，设，
由导函数的图象可知：当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，由此可以确定选项C符合，
故选：A
4 含参函数单调性的讨论
1．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知函数．求的单调区间；
答案：见解析
【解析】．当时，单调递增；
当时，令，得．若单调递减，
若单调递增．
综上，当时，函数单调递增区间为，无减区间；当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为上．
2．（2022贵州省）已知函数，讨论的单调性；
答案：见解析.
【解析】的定义域为，且，
当时，成立，所以在上单调递增；
当时，
当时，成立，所以在上为增函数；
当时，，所以在上为减函数.
综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数.
3．（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）已知函数，讨论的单调性；
答案：见解析
【解析】函数的定义域为．
．
当时，若，则；若，则在区间单调递增，在单调递减．
当时在单调递增．
当时，，若或，则；若，则．
所以在区间单调递增，在区间单调递减．
当时，，若或，则；若，则．
所以在单调递增，在单调递减．
综上所述，时，在单调递增，在单调递减．时，在单调递增．
时，在单调递增，在单调递减．时，在，单调递增，在单调递减．
4．（2022·四川省）已知函数，讨论的单调性；
答案：答案见解析；
【解析】因为，
∴．
①若，当时，,
当或时，，
即在上单调递减，在和上单调递增；
②若，恒有．即在定义域上单调递增；
③若，当时，,
当或时，，
即在上单调递减，在和上单调递增.
5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数，讨论函数的单调性；
答案：答案见解析
【解析】解：的定义域为，
，
当，即时，在上单调递减；
当时，
令，得，解得，
讨论：，
则当或时，；
当时，；
当时，；
当时，恒有，由，得；由，得，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒有，由，得；由，得，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上成立，
所以在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时， 在上单调递减；
当时， 在上单调递增，在上单调递减；
6（2022·全国·阶段练习（文））已知且.讨论函数的单调性；
答案：答案见解析；
【解析】且的定义域为，，
当时，令，得；令，得，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增.
5 单调性的运用
1．（2022·湖北黄冈）已知函数的定义域为，，若对于任意都有，则当时，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】由题意构造函数，则，
函数在上为增函数，
，，
又，
，
，由，∴
故选：B．
2．（2022·福建龙岩）（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
答案：AD
【解析】由已知得 ，
设，得，
所以，当时，，单调递减，
所以，即，所以，A正确，B错误；
设，则，
所以，在上上单调递增，
所以，即
又
，
所以，C错误，D正确．
故选：AD
3．（2022·全国·高二专题练习）设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为 __．
答案：．
【解析】由，构造函数，
因为是定义在R上的奇函数，所以为偶函数，
又当时，为减函数，且，
因为，解得，
由，解得或，
不等式等价于，
即或，解得或，
故答案为：．
4．（2022·广东揭阳）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________．
答案：
【解析】构造，
则当时，，
在上递增，
∵ 为奇函数，
∴ 为偶函数，
在上递减，，
当时，，
；
当时，，
，
综上：使得成立的的取值范围是
故答案为：．
5（2022·福建福州）定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________．
答案：
【解析】构造函数（）
则，
因为，即，
所以，
故在上单调递增，
而，
由，得，
即，
所以，解得：.
故答案为：
6．（2022·山西太原）已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为________．
答案：
【解析】令，则
因为，即，
所以，即函数为偶函数，
因为，当时，
所以，当时，，函数为单调递减函数，
因为函数为上的偶函数
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以
因为可变形为，即，
因为函数为上的偶函数，在上单调递增，在上单调递减，
所以，或，即或，
所以，不等式的解集为故答案为：.