(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学5.3.2极值与最值(精练)(含解析)
文档属性
| 名称 | (人教A版2019选择性必修第二册)高二数学5.3.2极值与最值(精练)(含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 796.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-28 06:39:53 | ||
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文档简介
5.3.2 极值与最值（精练）
1 极值
1．（2022·辽宁锦州·高二期末）（多选）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是的极小值点
C．函数在上有极大值 D．是的极大值点
2（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的极值：
(1)；(2)．
3．（2021·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求的极值．
2 已知极值求参数
1．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）（多选）若函数有大于零的极值，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知为函数的极大值点，则______．
4．（2022·全国·高二课时练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________．
3 最值
1．（2022·全国·高二课时练习）函数（ ）
A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值
C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值
2．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）（多选）已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（ ）
A． B． C． D．3
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是______．
4．（2022·山东泰安·高二期末）已知函数，，则的最大值为_______.
5．（2021·广西）已知函数在与处都取得极值．
(1)求a、b的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间的最大值与最小值.
6．（2022·广东广州·高二期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
7．（2022·福建省漳州市第八中学高二阶段练习）已知函数，且当时，取得极值.
(1)求的取值；
(2)求在区间上的最值.
8．（2022·安徽滁州·高二期末）已知函数，若在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最大值．
4 已知最值求参数
1．（2022·吉林·高二期末）当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高二阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·四川泸州·高二期末（理））已知函数（）．
(1)若是函数的极值点，求在区间上的最值；
(2)求函数的单调增区间．
5．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）设函数，且曲线在处取得极大值.
(1)求的值，并讨论的单调性;
(2)求在上的最值.
5.3.2 极值与最值（精练）
1 极值
1．（2022·辽宁锦州·高二期末）（多选）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是的极小值点
C．函数在上有极大值 D．是的极大值点
答案：AD
【解析】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；
当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；
当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，
故选：AD
2（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的极值：
(1)；(2)．
答案：(1)极小值为；极大值为
(2)极大值为，没有极小值
【解析】（1）解：因为．
令，解得，．
当x变化时，，的变化情况如下表：
x －1 1
－ 0 ＋ 0 －
单调递减 －3 单调递增 －1 单调递减
由上表看出，当时，取得极小值，为；
当时，取得极大值，为．
（2）解：函数的定义域为，且．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
＋ 0 －
单调递增 单调递减
因此，是函数的极大值点，极大值为，没有极小值．
3．（2021·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求的极值．
答案：(1)
(2)极小值为，极大值为
【解析】（1）解：因为，该函数的定义域为，则，
，，
所以，函数在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为，该函数的定义域为，
则，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
所以，函数的极小值为，极大值为.
2 已知极值求参数
1．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）（多选）若函数有大于零的极值，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
答案：BC
【解析】函数的定义域为，求导得：，
当时，，函数在上单调递增，无极值，不符合题意，
当时，当时，，当时，，则当时，函数取得极大值，
因此，即，解得，显然选项A，D不满足，B，C满足.
故选：BC
2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．
答案：
【解析】由题意，函数，可得，
函数在处取得极值，且极值为0，
可得，解得或，
当时，，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得极值，符合题意．
综上所述，，所以．
故答案为：.
3．（2022·全国·高二专题练习）已知为函数的极大值点，则______．
答案：
【解析】因为，所以．
当时，，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以的极大值点为，即．
故答案为：.
4．（2022·全国·高二课时练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________．
答案：
【解析】因为函数有两个不同的极值点，所以有2个变号零点，即有两个不等的实根．
因为时显然不成立，所以，可得，令，则与图像有两个不同的交点即可，
则，当且时，，当时，，所以在和上单调递减，
在上单调递增，当时，，当时，，故的图象如图所示．
当时，，由图知当时两个函数的图像有2个不同的交点，可得原函数有2个极值点．
所以实数a的取值范围是．
故答案为：.
3 最值
1．（2022·全国·高二课时练习）函数（ ）
A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值
C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值
答案：C
【解析】，当时，，所以在上单调递减，
因此函数无最大值和最小值，也无极值，故选：C
2．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）（多选）已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（ ）
A． B． C． D．3
答案：ABC
【解析】由题意得在上恒成立，即，整理得，即，
又在上单调递增，则最小值为，故，结合选项知，可取0，1，2.
故选：ABC.
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是______．
答案：0
【解析】因为定义域为，
所以．
当时，；当时，．
所以在上为增函数，在上为减函数，
从而．
故答案为：．
4．（2022·山东泰安·高二期末）已知函数，，则的最大值为_______.
答案：1
【解析】函数，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
又因为，所以，
所以在时单调递增，
其最大值为.
故答案为：1
5．（2021·广西）已知函数在与处都取得极值．
(1)求a、b的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间的最大值与最小值.
答案：(1)，
(2)单调增区间是，减区间是
(3)，
【解析】（1）因为，所以,
因为在与处都取得极值，
所以，即，，相加可得解得，代入方程组可得.
故，
（2）由（1），所以，
令或，令，
所以的单调增区间是，减区间是.
（3）由（1）可知，
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
的极小值，的极大值，而，，
可得时，，，故得解.
6．（2022·广东广州·高二期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
答案：(1)
(2)最大值为，最小值0
【解析】（1）解：，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
又，
所以函数在上的最大值为，最小值0.
7．（2022·福建省漳州市第八中学高二阶段练习）已知函数，且当时，取得极值.
(1)求的取值；
(2)求在区间上的最值.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）由题意得，，
此时
令，则或，得，
所以取得极小值，满足题意，所以；
（2）由（1）得，在上单调递增，
在上单调递减，
且，
故.
8．（2022·安徽滁州·高二期末）已知函数，若在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最大值．
答案：(1)，
(2)
【解析】（1）
因为，
所以，
由题意得，
所以，；
（2）
由（1）得，，
因为，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，
又，，
因为
故函数在上的最大值为．
4 已知最值求参数
1．（2022·吉林·高二期末）当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】当时，函数取得最小值，
所以，所以，得，
又，根据函数在处取得最值，
所以即得，
所以，.
故选：C.
2．（2022·浙江·高二阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由题意可得：
∵，则
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立
当，令，则
∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立故选：A.
3．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】当x＜0时，，
当且仅当x＝ 1时，f（x）取得最大值f（ 1）＝a 2，
由题意可得x＞0时，的值域包含于（ ∞，a 2]，
即在x＞0时恒成立
即在x＞0时恒成立
即
设
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故选：C．
4．（2022·四川泸州·高二期末（理））已知函数（）．
(1)若是函数的极值点，求在区间上的最值；
(2)求函数的单调增区间．
答案：(1)最小值为，最大值为
(2)答案见解析
【解析】（1）解：因为，所以，
因为已知是函数的极值点．
所以是方程的根，
所以，故，经检验符合题意，
所以，则，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
且，
所以在区间上的最小值为，
最大值为；
（2）
解：，
所以，
因为，，
当时，令，解得或，
所以函数的单调增区间为，，
当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，
当时，令，解得或，
所以函数的单调增区间为，，
综上可得，当时单调增区间为，；
当时单调增区间为；
当时单调增区间为，.
5．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）设函数，且曲线在处取得极大值.
(1)求的值，并讨论的单调性;
(2)求在上的最值.
答案：(1)，函数在，上单调递减，在上单调递增；
(2)最小值为，最大值为.
【解析】（1）由函数求导得：，
因曲线在处取得极大值，则，解得，
当时，，当或时，，当时，，
即有函数在，上单调递减，在上单调递增，且在处取得极大值，
所以，函数在，上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
因，则当时，，当时，，
所以函数在的最小值为，最大值为.
1 极值
1．（2022·辽宁锦州·高二期末）（多选）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是的极小值点
C．函数在上有极大值 D．是的极大值点
2（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的极值：
(1)；(2)．
3．（2021·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求的极值．
2 已知极值求参数
1．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）（多选）若函数有大于零的极值，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知为函数的极大值点，则______．
4．（2022·全国·高二课时练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________．
3 最值
1．（2022·全国·高二课时练习）函数（ ）
A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值
C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值
2．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）（多选）已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（ ）
A． B． C． D．3
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是______．
4．（2022·山东泰安·高二期末）已知函数，，则的最大值为_______.
5．（2021·广西）已知函数在与处都取得极值．
(1)求a、b的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间的最大值与最小值.
6．（2022·广东广州·高二期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
7．（2022·福建省漳州市第八中学高二阶段练习）已知函数，且当时，取得极值.
(1)求的取值；
(2)求在区间上的最值.
8．（2022·安徽滁州·高二期末）已知函数，若在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最大值．
4 已知最值求参数
1．（2022·吉林·高二期末）当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高二阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·四川泸州·高二期末（理））已知函数（）．
(1)若是函数的极值点，求在区间上的最值；
(2)求函数的单调增区间．
5．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）设函数，且曲线在处取得极大值.
(1)求的值，并讨论的单调性;
(2)求在上的最值.
5.3.2 极值与最值（精练）
1 极值
1．（2022·辽宁锦州·高二期末）（多选）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是的极小值点
C．函数在上有极大值 D．是的极大值点
答案：AD
【解析】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；
当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；
当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，
故选：AD
2（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的极值：
(1)；(2)．
答案：(1)极小值为；极大值为
(2)极大值为，没有极小值
【解析】（1）解：因为．
令，解得，．
当x变化时，，的变化情况如下表：
x －1 1
－ 0 ＋ 0 －
单调递减 －3 单调递增 －1 单调递减
由上表看出，当时，取得极小值，为；
当时，取得极大值，为．
（2）解：函数的定义域为，且．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
＋ 0 －
单调递增 单调递减
因此，是函数的极大值点，极大值为，没有极小值．
3．（2021·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求的极值．
答案：(1)
(2)极小值为，极大值为
【解析】（1）解：因为，该函数的定义域为，则，
，，
所以，函数在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为，该函数的定义域为，
则，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
所以，函数的极小值为，极大值为.
2 已知极值求参数
1．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）（多选）若函数有大于零的极值，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
答案：BC
【解析】函数的定义域为，求导得：，
当时，，函数在上单调递增，无极值，不符合题意，
当时，当时，，当时，，则当时，函数取得极大值，
因此，即，解得，显然选项A，D不满足，B，C满足.
故选：BC
2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．
答案：
【解析】由题意，函数，可得，
函数在处取得极值，且极值为0，
可得，解得或，
当时，，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得极值，符合题意．
综上所述，，所以．
故答案为：.
3．（2022·全国·高二专题练习）已知为函数的极大值点，则______．
答案：
【解析】因为，所以．
当时，，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以的极大值点为，即．
故答案为：.
4．（2022·全国·高二课时练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________．
答案：
【解析】因为函数有两个不同的极值点，所以有2个变号零点，即有两个不等的实根．
因为时显然不成立，所以，可得，令，则与图像有两个不同的交点即可，
则，当且时，，当时，，所以在和上单调递减，
在上单调递增，当时，，当时，，故的图象如图所示．
当时，，由图知当时两个函数的图像有2个不同的交点，可得原函数有2个极值点．
所以实数a的取值范围是．
故答案为：.
3 最值
1．（2022·全国·高二课时练习）函数（ ）
A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值
C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值
答案：C
【解析】，当时，，所以在上单调递减，
因此函数无最大值和最小值，也无极值，故选：C
2．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）（多选）已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（ ）
A． B． C． D．3
答案：ABC
【解析】由题意得在上恒成立，即，整理得，即，
又在上单调递增，则最小值为，故，结合选项知，可取0，1，2.
故选：ABC.
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是______．
答案：0
【解析】因为定义域为，
所以．
当时，；当时，．
所以在上为增函数，在上为减函数，
从而．
故答案为：．
4．（2022·山东泰安·高二期末）已知函数，，则的最大值为_______.
答案：1
【解析】函数，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
又因为，所以，
所以在时单调递增，
其最大值为.
故答案为：1
5．（2021·广西）已知函数在与处都取得极值．
(1)求a、b的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间的最大值与最小值.
答案：(1)，
(2)单调增区间是，减区间是
(3)，
【解析】（1）因为，所以,
因为在与处都取得极值，
所以，即，，相加可得解得，代入方程组可得.
故，
（2）由（1），所以，
令或，令，
所以的单调增区间是，减区间是.
（3）由（1）可知，
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
的极小值，的极大值，而，，
可得时，，，故得解.
6．（2022·广东广州·高二期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
答案：(1)
(2)最大值为，最小值0
【解析】（1）解：，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
又，
所以函数在上的最大值为，最小值0.
7．（2022·福建省漳州市第八中学高二阶段练习）已知函数，且当时，取得极值.
(1)求的取值；
(2)求在区间上的最值.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）由题意得，，
此时
令，则或，得，
所以取得极小值，满足题意，所以；
（2）由（1）得，在上单调递增，
在上单调递减，
且，
故.
8．（2022·安徽滁州·高二期末）已知函数，若在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最大值．
答案：(1)，
(2)
【解析】（1）
因为，
所以，
由题意得，
所以，；
（2）
由（1）得，，
因为，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，
又，，
因为
故函数在上的最大值为．
4 已知最值求参数
1．（2022·吉林·高二期末）当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】当时，函数取得最小值，
所以，所以，得，
又，根据函数在处取得最值，
所以即得，
所以，.
故选：C.
2．（2022·浙江·高二阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由题意可得：
∵，则
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立
当，则当时恒成立，即
∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立
当，令，则
∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立故选：A.
3．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】当x＜0时，，
当且仅当x＝ 1时，f（x）取得最大值f（ 1）＝a 2，
由题意可得x＞0时，的值域包含于（ ∞，a 2]，
即在x＞0时恒成立
即在x＞0时恒成立
即
设
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故选：C．
4．（2022·四川泸州·高二期末（理））已知函数（）．
(1)若是函数的极值点，求在区间上的最值；
(2)求函数的单调增区间．
答案：(1)最小值为，最大值为
(2)答案见解析
【解析】（1）解：因为，所以，
因为已知是函数的极值点．
所以是方程的根，
所以，故，经检验符合题意，
所以，则，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
且，
所以在区间上的最小值为，
最大值为；
（2）
解：，
所以，
因为，，
当时，令，解得或，
所以函数的单调增区间为，，
当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，
当时，令，解得或，
所以函数的单调增区间为，，
综上可得，当时单调增区间为，；
当时单调增区间为；
当时单调增区间为，.
5．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）设函数，且曲线在处取得极大值.
(1)求的值，并讨论的单调性;
(2)求在上的最值.
答案：(1)，函数在，上单调递减，在上单调递增；
(2)最小值为，最大值为.
【解析】（1）由函数求导得：，
因曲线在处取得极大值，则，解得，
当时，，当或时，，当时，，
即有函数在，上单调递减，在上单调递增，且在处取得极大值，
所以，函数在，上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
因，则当时，，当时，，
所以函数在的最小值为，最大值为.