(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学5.3.1函数的单调性(精讲)(含解析)
文档属性
| 名称 | (人教A版2019选择性必修第二册)高二数学5.3.1函数的单调性(精讲)(含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-28 06:56:32 | ||
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文档简介
5.3.1 函数的单调性（精讲）
考点一 无参函数求单调区间
【例1-1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2022·吉林·高二期末）函数的递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．
【一隅三反】
1．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
考点二 已知单调区间求参数
【例2-1】82022·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022·江西）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-3】（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·广西河池）“”是“函数为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南）设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5（2022广东深圳）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三 导数的正负与函数的增减性
【例3-1】（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】（2022·河北邯郸·高二阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·四川遂宁·高二期末（理））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
2．（2022·福建泉州·高二期中）已知函数的导函数为的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川成都·高二期中（理））函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
考点四 含参函数单调性的讨论
【例4-1】（2022·广西）已知函数，讨论的单调性；
【例4-2】（2022·云南）求函数的单调区间.
【例4-3】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．
【一隅三反】
1．（2022·河北迁安三中）已知函数.讨论函数的单调性；
2．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程：
(2)讨论的单调性．
3．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，．
(1)求在x＝1处的切线方程；
(2)设，试讨论函数的单调性．
4.（2022上海）已知f(x)＝aln x＋(a为常数)，求函数的单调区间.
考点五 单调性的运用
【例5-1】（2022·湖南）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（2022·福建）已知，，，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5-3】（2022·宁夏 ）若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江）已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·宁夏 ）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广东肇庆 ）已知函数，满足导函数恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·贵州遵义）已知函数，则不等式的解集为_____________．
5.3.1 函数的单调性（精讲）
考点一 无参函数求单调区间
【例1-1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】，
令，得，所以函数的单调递减区间是，故选：A.
【例1-2】（2022·吉林·高二期末）函数的递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．
答案：C
【解析】由题设，且，可得，所以递增区间为.故选：C
【一隅三反】
1．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】，
当，或时，，所以为增函数，
当时，，为增函数，
故函数的单调递增区间为.故选：A.
2．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】由可得，
令，解得，所以的单调递增区间是，故选：B
3．（2022·湖南）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为．故选：B．
考点二 已知单调区间求参数
【例2-1】82022·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B.
【例2-2】（2022·江西）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．故选:B．
【例2-3】（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因为函数在定义域上恰有三个单调区间，
所以其导函数在定义域上有两个不同的零点，
由可得，即，
所以只需，方程在上有两个不同的实数根.故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·广西河池）“”是“函数为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】若函数单调递增，有恒成立，
可得，解得：，
因为，但，所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.故选：B.
2．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，所以即，故选：A.
3．（2022·湖南）设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由题可知，在内存在解，因为，所以在内存在解，等价于在内存在解，易知函数在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取得，所以．故选：D．
4．（2022·广西）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】由，
①当时函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：B．
5（2022广东深圳）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】由题可知，函数的定义域为：，
，则，
当时，，所以函数单调递减，
也可以说当时，函数单调递减，
即函数的单调递减区间为，
又函数在区间上单调递减，
只需满足条件：，解得：，
所以实数的取值范围是.故选：B.
考点三 导数的正负与函数的增减性
【例3-1】（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】由导函数的图象，
函数有三个极值点，一个小于0，两个大于0，设，
当或，，单调递减；
当或，，单调递增；
只有D符合题意，故选：D
【例3-2】（2022·河北邯郸·高二阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由题意在上单调递减，所以符号不确定
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·四川遂宁·高二期末（理））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
答案：A
【解析】由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；
当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B；故选：A
2．（2022·福建泉州·高二期中）已知函数的导函数为的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】根据导函数的正负可判断，原函数的单调性为先增后减再增，故排除AD,
又C选项，递减区间斜率不变，故排除，故选：B.
3．（2022·四川成都·高二期中（理））函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当时，，
当时，，
故当时，；
当时，；
当时，，
故的解集为.
故选：A
考点四 含参函数单调性的讨论
【例4-1】（2022·广西）已知函数，讨论的单调性；
答案：答案见解析
【解析】的定义域为
当时，在上恒成立，故在上单调递减
当时，，且时，，时，
即在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【例4-2】（2022·云南）求函数的单调区间.
答案：见解析
【解析】因为，所以.
由，解得x＝0或x＝2a.
当a＝0时，，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（0，2a）；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（2a，0）.
【例4-3】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．
答案：(1)
(2)答案见解析
【解析】(1)当时，，则，故，且，故在点处的切线方程为
(2)求导可得，
当时，，故当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，令，则，
1.当时，，故当和时，，单调递减；当时，单调递增；
2.当时：
①当，即时，在，上，单调递增；在上，单调递减；
②当，即时，，在定义域R单调递增；
③当，即时，在，上，单调递增；在上，单调递减；
综上有：
当时，在，单调递减，单调递增．
当时，在单调递增，单调递减．
当时，在，单调递增，单调递减．
当，在定义域R单调递增．
当时，在，单调递增，单调递减．
【一隅三反】
1．（2022·河北迁安三中）已知函数.讨论函数的单调性；
答案：）答案见解析
【解析】，定义域为，且，
当，则，单调递增
当，令，则；若，则，
综上，当时，函数增区间为，无减区间
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
2．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程：
(2)讨论的单调性．
答案：(1)(2)在上单调递减，在上单调递增.
【解析】（1）当时，，则，
∴，∴，所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
3．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，．
(1)求在x＝1处的切线方程；
(2)设，试讨论函数的单调性．
答案：(1)；
(2)答案见解析.
【解析】（1）因为，则，
所以，在x＝1处．
在x＝1处切线方程：，即．
（2）因为，
所以，
①若，则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
②若，，
当时，在和上，在上，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，在和上，在上，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上，，在上单调递增，在上单调递减；
，在和上单调递增，在上单调递减；
，在上单调递增；
，在和上单调递增，在上单调递减.
4.（2022上海）已知f(x)＝aln x＋(a为常数)，求函数的单调区间.
答案：答案见解析
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
＋＝，
当时，，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当，即时，g(x)≤0，
则，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当－＜a＜0时，＞0，
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝，
由x1＝＝＞0，
x2＝＞0，且，
所以当时，g(x)＜0，，函数f(x)单调递减，
当时，g(x)＞0，，函数f(x)单调递增，
当时，g(x)＜0，，函数f(x)单调递减，
综上可得：
当时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，
f(x)在，上单调递减，
在上单调递增.
考点五 单调性的运用
【例5-1】（2022·湖南）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】令，则，因此函数在上是奇函数．
①当时，，在时单调递增，
故函数在上单调递增．
，
，
．
②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3），
，的解集为．
③当时，，不符合要求
不等式的解集是，，．
故选：D
【例5-2】（2022·福建）已知，，，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】构造函数，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
由，可得，即，
即，
由，可得，即，
即，
因为，在上单调递增，
所以，故，
因为在上单调递减，，故，
因为，
故，即，
因为，所以，
因为在上单调递减，，故，
从而.
故选：A
【例5-3】（2022·宁夏 ）若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】的定义域为，，
所以是奇函数，
在上递增，
所以由得，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
故选：C
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江）已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】是定义在R上的偶函数，
，则，即是奇函数，
由，可得，
构造，则，
所以函数单调递增，
，
，即的周期为，
则，即；
不等式可化简为，即，
所以，解得.
故选：C
2．（2022·宁夏 ）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】由，令，则，令，则，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
由，则，即，
故选：C.
3．（2022·广东肇庆 ）已知函数，满足导函数恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】令，则，∴在上单调递减，
∴，∴，即.
故选：C.
4．（2022·贵州遵义）已知函数，则不等式的解集为_____________．
答案：
【解析】由，得，
∵，当且仅当即时，取等号，
且，
∴，
∴函数为增函数，
因为，，
所以，
所以，解得，故不等式的解集为，
故答案为：
考点一 无参函数求单调区间
【例1-1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2022·吉林·高二期末）函数的递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．
【一隅三反】
1．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
考点二 已知单调区间求参数
【例2-1】82022·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022·江西）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-3】（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·广西河池）“”是“函数为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南）设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5（2022广东深圳）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三 导数的正负与函数的增减性
【例3-1】（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】（2022·河北邯郸·高二阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·四川遂宁·高二期末（理））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
2．（2022·福建泉州·高二期中）已知函数的导函数为的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川成都·高二期中（理））函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
考点四 含参函数单调性的讨论
【例4-1】（2022·广西）已知函数，讨论的单调性；
【例4-2】（2022·云南）求函数的单调区间.
【例4-3】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．
【一隅三反】
1．（2022·河北迁安三中）已知函数.讨论函数的单调性；
2．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程：
(2)讨论的单调性．
3．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，．
(1)求在x＝1处的切线方程；
(2)设，试讨论函数的单调性．
4.（2022上海）已知f(x)＝aln x＋(a为常数)，求函数的单调区间.
考点五 单调性的运用
【例5-1】（2022·湖南）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（2022·福建）已知，，，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5-3】（2022·宁夏 ）若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江）已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·宁夏 ）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广东肇庆 ）已知函数，满足导函数恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·贵州遵义）已知函数，则不等式的解集为_____________．
5.3.1 函数的单调性（精讲）
考点一 无参函数求单调区间
【例1-1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】，
令，得，所以函数的单调递减区间是，故选：A.
【例1-2】（2022·吉林·高二期末）函数的递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．
答案：C
【解析】由题设，且，可得，所以递增区间为.故选：C
【一隅三反】
1．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】，
当，或时，，所以为增函数，
当时，，为增函数，
故函数的单调递增区间为.故选：A.
2．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】由可得，
令，解得，所以的单调递增区间是，故选：B
3．（2022·湖南）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为．故选：B．
考点二 已知单调区间求参数
【例2-1】82022·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B.
【例2-2】（2022·江西）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．故选:B．
【例2-3】（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因为函数在定义域上恰有三个单调区间，
所以其导函数在定义域上有两个不同的零点，
由可得，即，
所以只需，方程在上有两个不同的实数根.故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·广西河池）“”是“函数为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】若函数单调递增，有恒成立，
可得，解得：，
因为，但，所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.故选：B.
2．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，所以即，故选：A.
3．（2022·湖南）设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由题可知，在内存在解，因为，所以在内存在解，等价于在内存在解，易知函数在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取得，所以．故选：D．
4．（2022·广西）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】由，
①当时函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：B．
5（2022广东深圳）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】由题可知，函数的定义域为：，
，则，
当时，，所以函数单调递减，
也可以说当时，函数单调递减，
即函数的单调递减区间为，
又函数在区间上单调递减，
只需满足条件：，解得：，
所以实数的取值范围是.故选：B.
考点三 导数的正负与函数的增减性
【例3-1】（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】由导函数的图象，
函数有三个极值点，一个小于0，两个大于0，设，
当或，，单调递减；
当或，，单调递增；
只有D符合题意，故选：D
【例3-2】（2022·河北邯郸·高二阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由题意在上单调递减，所以符号不确定
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·四川遂宁·高二期末（理））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
答案：A
【解析】由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；
当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B；故选：A
2．（2022·福建泉州·高二期中）已知函数的导函数为的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】根据导函数的正负可判断，原函数的单调性为先增后减再增，故排除AD,
又C选项，递减区间斜率不变，故排除，故选：B.
3．（2022·四川成都·高二期中（理））函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当时，，
当时，，
故当时，；
当时，；
当时，，
故的解集为.
故选：A
考点四 含参函数单调性的讨论
【例4-1】（2022·广西）已知函数，讨论的单调性；
答案：答案见解析
【解析】的定义域为
当时，在上恒成立，故在上单调递减
当时，，且时，，时，
即在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【例4-2】（2022·云南）求函数的单调区间.
答案：见解析
【解析】因为，所以.
由，解得x＝0或x＝2a.
当a＝0时，，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（0，2a）；
当时，当时，；当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（2a，0）.
【例4-3】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．
答案：(1)
(2)答案见解析
【解析】(1)当时，，则，故，且，故在点处的切线方程为
(2)求导可得，
当时，，故当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，令，则，
1.当时，，故当和时，，单调递减；当时，单调递增；
2.当时：
①当，即时，在，上，单调递增；在上，单调递减；
②当，即时，，在定义域R单调递增；
③当，即时，在，上，单调递增；在上，单调递减；
综上有：
当时，在，单调递减，单调递增．
当时，在单调递增，单调递减．
当时，在，单调递增，单调递减．
当，在定义域R单调递增．
当时，在，单调递增，单调递减．
【一隅三反】
1．（2022·河北迁安三中）已知函数.讨论函数的单调性；
答案：）答案见解析
【解析】，定义域为，且，
当，则，单调递增
当，令，则；若，则，
综上，当时，函数增区间为，无减区间
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
2．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程：
(2)讨论的单调性．
答案：(1)(2)在上单调递减，在上单调递增.
【解析】（1）当时，，则，
∴，∴，所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
3．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，．
(1)求在x＝1处的切线方程；
(2)设，试讨论函数的单调性．
答案：(1)；
(2)答案见解析.
【解析】（1）因为，则，
所以，在x＝1处．
在x＝1处切线方程：，即．
（2）因为，
所以，
①若，则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
②若，，
当时，在和上，在上，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，在和上，在上，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上，，在上单调递增，在上单调递减；
，在和上单调递增，在上单调递减；
，在上单调递增；
，在和上单调递增，在上单调递减.
4.（2022上海）已知f(x)＝aln x＋(a为常数)，求函数的单调区间.
答案：答案见解析
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
＋＝，
当时，，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当，即时，g(x)≤0，
则，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当－＜a＜0时，＞0，
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝，
由x1＝＝＞0，
x2＝＞0，且，
所以当时，g(x)＜0，，函数f(x)单调递减，
当时，g(x)＞0，，函数f(x)单调递增，
当时，g(x)＜0，，函数f(x)单调递减，
综上可得：
当时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，
f(x)在，上单调递减，
在上单调递增.
考点五 单调性的运用
【例5-1】（2022·湖南）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】令，则，因此函数在上是奇函数．
①当时，，在时单调递增，
故函数在上单调递增．
，
，
．
②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3），
，的解集为．
③当时，，不符合要求
不等式的解集是，，．
故选：D
【例5-2】（2022·福建）已知，，，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】构造函数，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
由，可得，即，
即，
由，可得，即，
即，
因为，在上单调递增，
所以，故，
因为在上单调递减，，故，
因为，
故，即，
因为，所以，
因为在上单调递减，，故，
从而.
故选：A
【例5-3】（2022·宁夏 ）若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】的定义域为，，
所以是奇函数，
在上递增，
所以由得，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
故选：C
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江）已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】是定义在R上的偶函数，
，则，即是奇函数，
由，可得，
构造，则，
所以函数单调递增，
，
，即的周期为，
则，即；
不等式可化简为，即，
所以，解得.
故选：C
2．（2022·宁夏 ）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】由，令，则，令，则，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
由，则，即，
故选：C.
3．（2022·广东肇庆 ）已知函数，满足导函数恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】令，则，∴在上单调递减，
∴，∴，即.
故选：C.
4．（2022·贵州遵义）已知函数，则不等式的解集为_____________．
答案：
【解析】由，得，
∵，当且仅当即时，取等号，
且，
∴，
∴函数为增函数，
因为，，
所以，
所以，解得，故不等式的解集为，
故答案为：