(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学4.2.2等差数列的前n项和(精练)(含解析)
文档属性
| 名称 | (人教A版2019选择性必修第二册)高二数学4.2.2等差数列的前n项和(精练)(含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-28 06:57:39 | ||
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文档简介
4.2.2 等差数列的前n项和（精练）
1 等差数列基本量的计算
1．（2022·四川省）等差数列的前项和为，已知，，则公差为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．-2
2.（2022·六盘山）《算法统宗》是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·高二课时练习）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，，求．
4．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．
(1)已知，公差，，求和；
(2)已知，公差，，求n和；
(3)已知，，，求公差d和；
(4)已知，，，求和公差d．
2 等差数列前n项和与中项性质
1．（2022·天津·高二期末）若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，则______．
3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
3 等差数列前n项和性质
1．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（ ）
A．110 B．150
C．210 D．280
2．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列是等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）.
A．110 B．120 C．130 D．140
4．（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知为等差数列的前n项和，且，，则（ ）．
A．35 B．50 C．80 D．110
5．（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
6．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（ ）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018
7．（2022·广东）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
8．（2021·全国·高二专题练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________
10．（2022·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.
11．（2022·全国·高二）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．
4 等差数列前n项和的最值
1．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）（多选）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B．最大 C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设Sn是等差数列{an}的前n项之和，且S6＜S7，S7＝S8＞S9，则下列结论中正确的是（ ）
A．d＞0 B．a8＝0
C．S10＞S6 D．S7，S8均为Sn的最大项
3．（2022·四川）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则， B．若，，则，
C．若，，则， D．若，，则，
4．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列的最大项为 D．
6．（2022·云南·昆明一中高二期末）（多选）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则是中的最小项
7．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为____________.
8．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2021＜0，S2022＞0，则当Sn最小时，n的值为 __．
5 含有绝对值等差数列求和
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
2．（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
3．（2022·四川省）已知数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为数列{an}的前n项和，a1+a7=-2，S3=15.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
4．（2022·广东·测试·编辑教研五高二阶段练习）等差数列的前项和为．已知，为整数，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求的值．
5．（2021·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式.
(2)记，求.
6．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)求数列的前项和.
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知数列中，，（，），数列满足．
(1)证明是等差数列，并求的通项公式；
(2)求；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
8．（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）已知数列中，，数列满足：．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
4.2.2 等差数列的前n项和（精练）
1 等差数列基本量的计算
1．（2022·四川省）等差数列的前项和为，已知，，则公差为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．-2
答案：C
【解析】设等差数列的公差为d，由题意可得： ，解得：.故公差为3.
故选：C
2.（2022·六盘山）《算法统宗》是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由题意，数列是以为公差的等差数列，
因为，解得，
所以.
故选：C.
3．（2022·江苏·高二课时练习）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，，求．
答案：(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)设公差为d，则，解得，
所以.
(2)由，而，所以.
(3)由题设，，而，则，若公差为d，
则，可得，
所以.
(4)由，又，，
所以，可得.
4．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．
(1)已知，公差，，求和；
(2)已知，公差，，求n和；
(3)已知，，，求公差d和；
(4)已知，，，求和公差d．
答案：(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【解析】(1)等差数列中，公差，，
，；
(2)等差数列中，，
由，可得，
(3)等差数列中，，
由，可得，
(4)等差数列中，，，
由，可得
2 等差数列前n项和与中项性质
1．（2022·天津·高二期末）若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.
答案：
【解析】依题意可得；故答案为：
2．（2022·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，则______．
答案：2
【解析】因为、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，
所以，故答案为：2
3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
答案：
【解析】因为为等差数列，所以，所以.
故答案为：
3 等差数列前n项和性质
1．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（ ）
A．110 B．150
C．210 D．280
答案：D
【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
所以S30＝150，
又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，
所以S40＝280.
故选：D.
2．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列是等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由，得，设，则，
因为数列是等差数列，
所以，……，是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，，
所以，
故选：A
3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）.
A．110 B．120 C．130 D．140
答案：C
【解析】设公差为d，则
，所以，
所以.
故选：C
4．（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知为等差数列的前n项和，且，，则（ ）．
A．35 B．50 C．80 D．110
答案：C
【解析】由为等差数列的前n项和，则，，，也成等差数列，
所以5，15，，成等差数列，
即，，所以．
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
答案：C
【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．
∵a1＝﹣2018，，
∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，
∴2018+2019×1＝1，
∴S2020＝2020．
故选：C．
6．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（ ）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018
答案：A
【解析】因为为等差数列的前项和，令，则也为等差数列，设其公差为，
由得，
又得.
故选：A．
7．（2022·广东）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
答案：B
【解析】奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴．
故选：B．
8．（2021·全国·高二专题练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由已知，，
所以，
所有奇数项的和为，
于是可得.
故选：A.
9．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________
答案：
【解析】由题设成等差数列，
所以，则，
所以.
故答案为：
10．（2022·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.
答案：
【解析】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
11．（2022·全国·高二）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
答案：2
【解析】由,得,所以＝5d＝10，所以d＝2.故答案为：2.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．
答案：29
【解析】】因为为奇数，所以，解得．
所以，所以．故所求的中间项为29．
故答案为：29
4 等差数列前n项和的最值
1．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）（多选）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B．最大 C． D．
答案：ABD
【解析】因为，故，所以，
因为等差数列为递减数列，故公差，所以，故AB正确.
又，，故C错误，D正确.故选：ABD.
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设Sn是等差数列{an}的前n项之和，且S6＜S7，S7＝S8＞S9，则下列结论中正确的是（ ）
A．d＞0 B．a8＝0
C．S10＞S6 D．S7，S8均为Sn的最大项
答案：BD
【解析】∵S6＜S7，S7＝S8＞S9，∴，a8＝0，d＜0，且a1＞0，
∴S7，S8均为Sn的最大项，故A错误，B和D正确；
∵Sn是关于n的二次函数，且开口向下，对称轴为7.5，
∴S10＜S6，故C错误，故选：BD.
3．（2022·四川）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则， B．若，，则，
C．若，，则， D．若，，则，
答案：B
【解析】设等差数列的公差为，
A选项，若，，，，则，
，则，
，无法判断符号，A选项错误.
B选项，，则，
所以，所以.
，则，
所以，，B选项正确.
C选项，若，，，
，则，
，则，
则，，C选项错误.
D选项，若，，则，
当时，所以，
但，所以D选项错误.
故选：B
4．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：AD
【解析】因为，，所以，，故等差数列首项为负，公差为正，所以，，故A正确，B错误；由，可知，所以，故C错误；因为，所以，故D正确．
故选：AD
5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列的最大项为 D．
答案：ABD
【解析】因为，，所以，A正确；
，所以，B正确；
因为，，所以数列的最大项为，C不正确；
因为，，，所以，即，D正确．
故选：ABD．
6．（2022·云南·昆明一中高二期末）（多选）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则是中的最小项
答案：AC
【解析】对于A，因为，所以，得，所以A正确，
对于B，因为，所以，得，因为，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以与无法比较大小，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，可得，因为，所以，，所以是中的最大项，所以D错误，
故选：AC
7．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为____________.
答案：
【解析】根据题意，
，
所以当时，有最大值且最大值为：.
故答案为：
8．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2021＜0，S2022＞0，则当Sn最小时，n的值为 __．
答案：1011
【解析】因为等差数列{an}的中，S20212021a1011＜0，
S2022＝1011（a1+a2022）＝1011（a1011+a1012）＞0，
所以a1011＜0，a1011+a1012＞0，
则当Sn最小时，n＝1011．
故答案为：1011．
5 含有绝对值等差数列求和
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
答案：(1)
(2)当时，当时
【解析】（1）选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知，选①③，无法确定数列.
（2），其中,当，时，当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.
2．（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
答案：(1)；(2).
【解析】(1)由，则，
由，则，
所以，即，故，
则.
(2)由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
3．（2022·四川省）已知数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为数列{an}的前n项和，a1+a7=-2，S3=15.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
答案：(1)
(2)Tn=
【解析】(1)解法一 ∵{an}是等差数列，公差为d，
且a1+a7=-2，S3=15，∴解得a1=8，d=-3，
∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11，
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).
解法二 ∵{an}是等差数列，∴2a4=a1+a7=-2，∴a4=-1.
∵S3=15，∴3a2=15，∴a2=5.
∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=-3，
∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).
(2)令an≥0，则-3n+11≥0，∴3n≤11，∴n≤，又n∈N*，
∴当n≤3时，an>0;当n≥4时，an<0.
∵a1=8，an=-3n+11，
∴当n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=，
当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-，
∴Tn=
4．（2022·广东·测试·编辑教研五高二阶段练习）等差数列的前项和为．已知，为整数，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求的值．
答案：(1)(2)
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，因为，则，可得，
即，解得，因为，则，，
因此，.
此时，
故当时，取得最大值，合乎题意，所以，.
(2)解：由（1）知，所以，
因此，.
5．（2021·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式.
(2)记，求.
答案：(1)
(2)
【解析】(1)设公差为d，则，又，所以，，故，所以，所以
(2)当时，，当时，，所以当时，，当时，
综上：
6．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)求数列的前项和.
答案：(1)，
(2)，
【解析】（1）
设的公差为，则
，解得，
所以，.
（2）
由，得，
所以当时，；当时，，
所以当时，；
当时，
，
所以，.
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知数列中，，（，），数列满足．
(1)证明是等差数列，并求的通项公式；
(2)求；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
答案：(1)证明见解析；
(2)①时，=；②时
(3)，；理由见解析
【解析】（1）
证明：，
又，∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴
（2）
记的前n项和为，则
由，得，即时，；时，，
①时，=．
②时=
．
（3）
由，得．
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，．
8．（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）已知数列中，，数列满足：．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
答案：(1)证明见详解；
(2)
(3)，，理由见详解
【解析】（1）因为，
又，
∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴.
（2）由，得，即时，；时，，
∴
（3）由，得
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，.
1 等差数列基本量的计算
1．（2022·四川省）等差数列的前项和为，已知，，则公差为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．-2
2.（2022·六盘山）《算法统宗》是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·高二课时练习）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，，求．
4．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．
(1)已知，公差，，求和；
(2)已知，公差，，求n和；
(3)已知，，，求公差d和；
(4)已知，，，求和公差d．
2 等差数列前n项和与中项性质
1．（2022·天津·高二期末）若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，则______．
3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
3 等差数列前n项和性质
1．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（ ）
A．110 B．150
C．210 D．280
2．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列是等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）.
A．110 B．120 C．130 D．140
4．（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知为等差数列的前n项和，且，，则（ ）．
A．35 B．50 C．80 D．110
5．（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
6．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（ ）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018
7．（2022·广东）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
8．（2021·全国·高二专题练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________
10．（2022·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.
11．（2022·全国·高二）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．
4 等差数列前n项和的最值
1．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）（多选）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B．最大 C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设Sn是等差数列{an}的前n项之和，且S6＜S7，S7＝S8＞S9，则下列结论中正确的是（ ）
A．d＞0 B．a8＝0
C．S10＞S6 D．S7，S8均为Sn的最大项
3．（2022·四川）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则， B．若，，则，
C．若，，则， D．若，，则，
4．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列的最大项为 D．
6．（2022·云南·昆明一中高二期末）（多选）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则是中的最小项
7．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为____________.
8．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2021＜0，S2022＞0，则当Sn最小时，n的值为 __．
5 含有绝对值等差数列求和
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
2．（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
3．（2022·四川省）已知数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为数列{an}的前n项和，a1+a7=-2，S3=15.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
4．（2022·广东·测试·编辑教研五高二阶段练习）等差数列的前项和为．已知，为整数，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求的值．
5．（2021·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式.
(2)记，求.
6．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)求数列的前项和.
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知数列中，，（，），数列满足．
(1)证明是等差数列，并求的通项公式；
(2)求；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
8．（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）已知数列中，，数列满足：．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
4.2.2 等差数列的前n项和（精练）
1 等差数列基本量的计算
1．（2022·四川省）等差数列的前项和为，已知，，则公差为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．-2
答案：C
【解析】设等差数列的公差为d，由题意可得： ，解得：.故公差为3.
故选：C
2.（2022·六盘山）《算法统宗》是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由题意，数列是以为公差的等差数列，
因为，解得，
所以.
故选：C.
3．（2022·江苏·高二课时练习）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，，求．
答案：(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)设公差为d，则，解得，
所以.
(2)由，而，所以.
(3)由题设，，而，则，若公差为d，
则，可得，
所以.
(4)由，又，，
所以，可得.
4．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．
(1)已知，公差，，求和；
(2)已知，公差，，求n和；
(3)已知，，，求公差d和；
(4)已知，，，求和公差d．
答案：(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【解析】(1)等差数列中，公差，，
，；
(2)等差数列中，，
由，可得，
(3)等差数列中，，
由，可得，
(4)等差数列中，，，
由，可得
2 等差数列前n项和与中项性质
1．（2022·天津·高二期末）若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.
答案：
【解析】依题意可得；故答案为：
2．（2022·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，则______．
答案：2
【解析】因为、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，
所以，故答案为：2
3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
答案：
【解析】因为为等差数列，所以，所以.
故答案为：
3 等差数列前n项和性质
1．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（ ）
A．110 B．150
C．210 D．280
答案：D
【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
所以S30＝150，
又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，
所以S40＝280.
故选：D.
2．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列是等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由，得，设，则，
因为数列是等差数列，
所以，……，是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，，
所以，
故选：A
3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）.
A．110 B．120 C．130 D．140
答案：C
【解析】设公差为d，则
，所以，
所以.
故选：C
4．（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知为等差数列的前n项和，且，，则（ ）．
A．35 B．50 C．80 D．110
答案：C
【解析】由为等差数列的前n项和，则，，，也成等差数列，
所以5，15，，成等差数列，
即，，所以．
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
答案：C
【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．
∵a1＝﹣2018，，
∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，
∴2018+2019×1＝1，
∴S2020＝2020．
故选：C．
6．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（ ）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018
答案：A
【解析】因为为等差数列的前项和，令，则也为等差数列，设其公差为，
由得，
又得.
故选：A．
7．（2022·广东）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
答案：B
【解析】奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴．
故选：B．
8．（2021·全国·高二专题练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由已知，，
所以，
所有奇数项的和为，
于是可得.
故选：A.
9．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________
答案：
【解析】由题设成等差数列，
所以，则，
所以.
故答案为：
10．（2022·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.
答案：
【解析】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
11．（2022·全国·高二）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
答案：2
【解析】由,得,所以＝5d＝10，所以d＝2.故答案为：2.
12．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．
答案：29
【解析】】因为为奇数，所以，解得．
所以，所以．故所求的中间项为29．
故答案为：29
4 等差数列前n项和的最值
1．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）（多选）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B．最大 C． D．
答案：ABD
【解析】因为，故，所以，
因为等差数列为递减数列，故公差，所以，故AB正确.
又，，故C错误，D正确.故选：ABD.
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设Sn是等差数列{an}的前n项之和，且S6＜S7，S7＝S8＞S9，则下列结论中正确的是（ ）
A．d＞0 B．a8＝0
C．S10＞S6 D．S7，S8均为Sn的最大项
答案：BD
【解析】∵S6＜S7，S7＝S8＞S9，∴，a8＝0，d＜0，且a1＞0，
∴S7，S8均为Sn的最大项，故A错误，B和D正确；
∵Sn是关于n的二次函数，且开口向下，对称轴为7.5，
∴S10＜S6，故C错误，故选：BD.
3．（2022·四川）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则， B．若，，则，
C．若，，则， D．若，，则，
答案：B
【解析】设等差数列的公差为，
A选项，若，，，，则，
，则，
，无法判断符号，A选项错误.
B选项，，则，
所以，所以.
，则，
所以，，B选项正确.
C选项，若，，，
，则，
，则，
则，，C选项错误.
D选项，若，，则，
当时，所以，
但，所以D选项错误.
故选：B
4．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：AD
【解析】因为，，所以，，故等差数列首项为负，公差为正，所以，，故A正确，B错误；由，可知，所以，故C错误；因为，所以，故D正确．
故选：AD
5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列的最大项为 D．
答案：ABD
【解析】因为，，所以，A正确；
，所以，B正确；
因为，，所以数列的最大项为，C不正确；
因为，，，所以，即，D正确．
故选：ABD．
6．（2022·云南·昆明一中高二期末）（多选）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则是中的最小项
答案：AC
【解析】对于A，因为，所以，得，所以A正确，
对于B，因为，所以，得，因为，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以与无法比较大小，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，可得，因为，所以，，所以是中的最大项，所以D错误，
故选：AC
7．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为____________.
答案：
【解析】根据题意，
，
所以当时，有最大值且最大值为：.
故答案为：
8．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2021＜0，S2022＞0，则当Sn最小时，n的值为 __．
答案：1011
【解析】因为等差数列{an}的中，S20212021a1011＜0，
S2022＝1011（a1+a2022）＝1011（a1011+a1012）＞0，
所以a1011＜0，a1011+a1012＞0，
则当Sn最小时，n＝1011．
故答案为：1011．
5 含有绝对值等差数列求和
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
答案：(1)
(2)当时，当时
【解析】（1）选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知，选①③，无法确定数列.
（2），其中,当，时，当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.
2．（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
答案：(1)；(2).
【解析】(1)由，则，
由，则，
所以，即，故，
则.
(2)由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
3．（2022·四川省）已知数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为数列{an}的前n项和，a1+a7=-2，S3=15.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
答案：(1)
(2)Tn=
【解析】(1)解法一 ∵{an}是等差数列，公差为d，
且a1+a7=-2，S3=15，∴解得a1=8，d=-3，
∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11，
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).
解法二 ∵{an}是等差数列，∴2a4=a1+a7=-2，∴a4=-1.
∵S3=15，∴3a2=15，∴a2=5.
∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=-3，
∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).
(2)令an≥0，则-3n+11≥0，∴3n≤11，∴n≤，又n∈N*，
∴当n≤3时，an>0;当n≥4时，an<0.
∵a1=8，an=-3n+11，
∴当n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=，
当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-，
∴Tn=
4．（2022·广东·测试·编辑教研五高二阶段练习）等差数列的前项和为．已知，为整数，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求的值．
答案：(1)(2)
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，因为，则，可得，
即，解得，因为，则，，
因此，.
此时，
故当时，取得最大值，合乎题意，所以，.
(2)解：由（1）知，所以，
因此，.
5．（2021·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式.
(2)记，求.
答案：(1)
(2)
【解析】(1)设公差为d，则，又，所以，，故，所以，所以
(2)当时，，当时，，所以当时，，当时，
综上：
6．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)求数列的前项和.
答案：(1)，
(2)，
【解析】（1）
设的公差为，则
，解得，
所以，.
（2）
由，得，
所以当时，；当时，，
所以当时，；
当时，
，
所以，.
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知数列中，，（，），数列满足．
(1)证明是等差数列，并求的通项公式；
(2)求；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
答案：(1)证明见解析；
(2)①时，=；②时
(3)，；理由见解析
【解析】（1）
证明：，
又，∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴
（2）
记的前n项和为，则
由，得，即时，；时，，
①时，=．
②时=
．
（3）
由，得．
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，．
8．（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）已知数列中，，数列满足：．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
答案：(1)证明见详解；
(2)
(3)，，理由见详解
【解析】（1）因为，
又，
∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴.
（2）由，得，即时，；时，，
∴
（3）由，得
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，.