(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学4.1数列的概念(精练)(含解析)

4.1 数列的概念（精练）
1 数列的概念及辨析
1．（2022·上海）下列说法中正确的是（ ）
A．数列，，，可以表示为
B．数列，，，与，，，是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列与是相同的
2．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下面四个结论正确的是（ ）
A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
C．数列的图像是一系列孤立的点
D．数列的项数是无限的
4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列是递增数列
2 数列的通项与项的互求
1．（山东省潍坊市2023-2024学年高三上学期10月优生抽测数学试题）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则这个数列的第20项为（ ）
A．198 B．200 C．202 D．204
2．（2022·陕西）在数列中，第9个数是（ ）
A． B．3 C． D．10
3．（2022·全国·高二专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，则是斐波那契数列中的（ ）.
A．第2022项 B．第2023项 C．第2024项 D．第2025项
5（2023·全国·专题练习）若数列满足，，（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（2022·河南信阳）数列，，，，，，，，，，，…，则该数列的第28项为__________．
7．（2022·全国·高二课时练习）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第10个图有______个点．
8．（2021·全国·高二课时练习）如图，根据下列图形及相应图形中顶点的个数，找出其中的一种规律，写出第n个图形中共有___________个顶点.
3 数列的单调性
1．（2022·全国·高二课时练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，…
C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…，
2．（2022·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
3．（2021·全国·高二专题练习）下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A．1，，，，… B．sin ，sin，sin，…
C．－1，－，－，－，… D．1，，，…，
4（2022山东）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，，，，… B．，，，
C．，，，，… D．1，，，…，
5．（2023·全国·高三专题练习）在数列中， ， ，则（　　）
A．数列单调递减 B．数列单调递增
C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减
4 数列的最值
1．（2022·山西）已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京铁路二中高二期中）数列{an}是递增数列，则{an}的通项公式可以是下面的（ ）
A． B． C． D．
3（2022·全国·高三专题练习）若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）数列与函数是密不可分的，数列是自变量为正整数的特殊函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，数列的最小项和最大项分别是，
B．，数列的最小项和最大项分别是，
C．，数列的最大项是
D．，数列的最小项是
5．（2022·全国·高二课时练习）若，则数列的最大项是第______项．
6．（2022·北京）数列的通项满足，则数列中的项的最小值为_________.
7．（2022·云南）已知数列的通项公式为，若为该数列的最小项，则______．
8．（2022·青海）在数列中，，则数列中的最大项的________ .
4.1 数列的概念（精练）
1 数列的概念及辨析
1．（2022·上海）下列说法中正确的是（ ）
A．数列，，，可以表示为
B．数列，，，与，，，是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列与是相同的
答案：C
【解析】对于A，是一个集合，故A错误；
对于B，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故B错误；
对于C，，故C正确
对于D，数列与是不同的，表示数列，，，…，，…，而表示数列中的第n项，故D错误.
故选：C.
2．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
答案：B
【解析】因为数列是一类特殊的函数，其自变量 ,故数列的图象是一群孤立的点，A正确；
数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B错误；
观察数列，，，，…的前四项规律，可知一个通项公式是，C正确；
数列，，…，的每项是越来越小，故数列是递减数列，D正确，
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下面四个结论正确的是（ ）
A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
C．数列的图像是一系列孤立的点
D．数列的项数是无限的
答案：BC
【解析】对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误；
对于B，由数列的定义可知正确；
对于C，由数列的，可知正确；
对于D，根据数列的项可以分为有穷数列和无穷数列，故错误.
故选:BC.
4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列是递增数列
答案：ABD
【解析】由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集，选项A，B正确；
由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不正确；
对于，得到，所以，数列是递增数列，D正确.
故选：ABD
2 数列的通项与项的互求
1．（山东省潍坊市2023-2024学年高三上学期10月优生抽测数学试题）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则这个数列的第20项为（ ）
A．198 B．200 C．202 D．204
答案：B
【解析】由数列前10项的规律可知：
当为偶数时，；当为奇数时， ，
所以，
故选：B
2．（2022·陕西）在数列中，第9个数是（ ）
A． B．3 C． D．10
答案：B
【解析】观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为，即3．
故选：B
3．（2022·全国·高二专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，
故第四个五边形数为.
故选：D.
4．（2022·全国·高二课时练习）著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，则是斐波那契数列中的（ ）.
A．第2022项 B．第2023项 C．第2024项 D．第2025项
答案：C
【解析】因为，
所以
.
故选：C．
5（2023·全国·专题练习）若数列满足，，（ ）
A． B．1 C．2 D．
答案：C
【解析】数列满足，，
可得，可得；
，可得，
可得数列为3为周期的数列，
又
.
故选：C.
6．（2022·河南信阳）数列，，，，，，，，，，，…，则该数列的第28项为__________．
答案：
【解析】由题可知，数列的各项分母为的有个，
因为，
所以数列的第28项为.
故答案为：.
7．（2022·全国·高二课时练习）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第10个图有______个点．
答案：91
【解析】图（1）只有1个点，无分支；
图（2）除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；
图（3）除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；
图（4）除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点……
猜想第个图除中间1个点外，有个分支，每个分支有个点，
故第个图点的个数为，
故第10个图点的个数为．
故答案为：91.
8．（2021·全国·高二课时练习）如图，根据下列图形及相应图形中顶点的个数，找出其中的一种规律，写出第n个图形中共有___________个顶点.
答案：
【解析】可以先计算时顶点的个数，可发现顶点计算的一般规律.
当时，顶点个数为；
当时，顶点个数为；
当时，顶点个数为；…
其规律为：第n个图形应由正边形“扩展”而来，原有顶点个数为，每条边向外扩展正边形，多出个顶点，
因此第n个图形有个顶点.
故答案为：.
3 数列的单调性
1．（2022·全国·高二课时练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，…
C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…，
答案：B
【解析】A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.
2．（2022·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
答案：D
【解析】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故选：D
3．（2021·全国·高二专题练习）下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A．1，，，，… B．sin ，sin，sin，…
C．－1，－，－，－，… D．1，，，…，
答案：C
【解析】D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，C是无穷数列又是递增数列，
故选：C.
4（2022山东）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，，，，… B．，，，
C．，，，，… D．1，，，…，
答案：C
【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C．
5．（2023·全国·高三专题练习）在数列中， ， ，则（　　）
A．数列单调递减 B．数列单调递增
C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减
答案：A
【解析】由 ，，得 ， ，且可知 ．
再由，两边平方得 ①，
则 ②，
②﹣①得： ，∴ ，
∵，∴与 同号,
由 ，可知， ，即 ，
可知数列单调递减．
故选：A．
4 数列的最值
1．（2022·山西）已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】由，得，，，，．
又，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
故选：B．
2．（2022·北京铁路二中高二期中）数列{an}是递增数列，则{an}的通项公式可以是下面的（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】对于A，因为为单调递增函数，所以，为递增数列，A正确；
对于B，因为，所以不是递增数列，B错误
对于C，因为为递减函数，所以，为递减数列，C错误；
对于D，为摆动数列，D错误.
故选：A
3（2022·全国·高三专题练习）若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
答案：B
【解析】，
所以，即.
故选：B
4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）数列与函数是密不可分的，数列是自变量为正整数的特殊函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，数列的最小项和最大项分别是，
B．，数列的最小项和最大项分别是，
C．，数列的最大项是
D．，数列的最小项是
答案：ACD
【解析】对于A，B，
，当时，数列单调递增，
且，当时，数列单调递增，且，
∴数列的最小项和最大项分别是，，A项正确；
对于C，D，∵，∴，
当时，数列单调递减，且，当时，
数列单调递减，且，∴为最大项，为最小项．
故选：ACD．
5．（2022·全国·高二课时练习）若，则数列的最大项是第______项．
答案：7
【解析】，其对应的二次函数为，
对称轴为，但为正整数，所以离最近的整数为7，
所以在第7项取最大值．
故答案为：7.
6．（2022·北京）数列的通项满足，则数列中的项的最小值为_________.
答案：
【解析】因为，所以，
所以，
易得当时，；当时，，
所以数列中，递减到，后开始递增，
所以，
故答案为：
7．（2022·云南）已知数列的通项公式为，若为该数列的最小项，则______．
答案：或
【解析】令，解得：；
当且时，，则递减；当且时，，则递增；
又，，
，即或.
故答案为：或.
8．（2022·青海）在数列中，，则数列中的最大项的________ .
答案：6或
【解析】，
令，解得，
即时，，
当时，，
所以或最大，
所以或.
故答案为：6或7.